2023年遼寧省葫蘆島市普通高校對口單招高等數(shù)學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.對于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系數(shù)法求其特解y*時，下列特解設(shè)法正確的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

2.

A.

B.

C.

D.

3.函數(shù)y=ln(1+x2)的單調(diào)增加區(qū)間是()。A.(-5，5)B.(-∞，0)C.(0，+∞)D.(-∞，+∞)

4.

5.

6.A.

B.

C.e-x

D.

7.

8.若y(x-1)=x2-1，則y'(x)等于（）A.2x+2B.x(x+1)C.x(x-1)D.2x-19.A.

B.

C.

D.

10.微分方程y’-4y=0的特征根為（）A.0，4B.-2，2C.-2，4D.2，411.設(shè)等于()A.A.-1B.1C.-cos1D.1-cos1

12.平衡物體發(fā)生自鎖現(xiàn)象的條件為()。

A.0≤α≤φ

B.0≤φ≤α

C.0<α<90。

D.0<φ<90。

13.

14.

15.

16.

17.A.A.

B.

C.

D.

18.在空間直角坐標系中，方程x2-4(y-1)2=0表示()。A.兩個平面B.雙曲柱面C.橢圓柱面D.圓柱面19.A.A.2

B.

C.1

D.－2

20.

二、填空題(20題)21.

22.設(shè)sinx為f(x)的原函數(shù)，則f(x)=______．

23.

24.25.

26.

27.設(shè)z＝2x＋y2，則dz＝______。28.微分方程y"+y'=0的通解為______．

29.

30.

31.過點Mo(1，-1，0)且與平面x-y+3z=1平行的平面方程為_______.

32.

33.

34.

35.

36.

37.38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．42.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質(zhì)量m．

43.

44.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

45.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則46.

47.

48.研究級數(shù)的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數(shù)a>0．49.證明：50.求微分方程的通解．51.

52.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設(shè)梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

53.求曲線在點(1，3)處的切線方程．54.55.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值．56.

57.58.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

59.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

60.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數(shù)．四、解答題(10題)61.62.63.已知f(x)在[a，b]上連續(xù)且f(a)=f(b)，在（a，b)內(nèi)f''(x)存在，連接A(a，f(a))，B(b，f(b))兩點的直線交曲線y=f(x)于C(c，f(c))且a＜c＜b，試證在（a，b)內(nèi)至少有一點ξ使得f''(ξ)=0.

64.設(shè)y=xsinx，求y．

65.

66.設(shè)y=xsinx，求y'。

67.將周長為12的矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)得一圓柱體，問繞邊長為多少的邊旋轉(zhuǎn)才能使圓柱體的體積最大?

68.

69.設(shè)ex-ey=siny，求y'。

70.求曲線y=x3-3x+5的拐點.五、高等數(shù)學(0題)71.

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.D特征方程為r2-2r+1=0，特征根為r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1為特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此選D。

2.C

3.C本題考查的知識點為判定函數(shù)的單調(diào)性。

y=ln(1+x2)的定義域為(-∞，+∞)。

當x＞0時，y'＞0，y為單調(diào)增加函數(shù)，

當x＜0時，y'＜0，y為單調(diào)減少函數(shù)。

可知函數(shù)y=ln(1+x2)的單調(diào)增加區(qū)間是(0，+∞)，故應選C。

4.A

5.B

6.A

7.B

8.A因f(x-1)=x2-1，故f(x)=(x+1)2-1=x2+2x，則f'(x)=2x+2.

9.D本題考查的知識點為牛頓一萊布尼茨公式和定積分的換元法。因此選D。

10.B由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根為2，-2，故選B．

11.B本題考查的知識點為可變上限的積分．

由于，從而知

可知應選B．

12.A

13.A

14.B

15.D解析：

16.C解析：

17.D本題考查的知識點為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程特解y*的取法：

18.A

19.C本題考查的知識點為函數(shù)連續(xù)性的概念．

20.D解析：

21.極大值為8極大值為8

22.cosxcosx解析：本題考查的知識點為原函數(shù)的概念．

由于sinx為f(x)的原函數(shù)，因此f(x)=(sinx)'=cosx．

23.(-33)(-3,3)解析：24.F(sinx)+C

25.

26.-ln(3-x)+C-ln(3-x)+C解析：27.2dx+2ydy28.y=C1+C2e-x，其中C1，C2為任意常數(shù)本題考查的知識點為二階線性常系數(shù)齊次微分方程的求解．

二階線性常系數(shù)齊次微分方程求解的一般步驟為：先寫出特征方程，求出特征根，再寫出方程的通解．

微分方程為y"+y'=0．

特征方程為r3+r=0．

特征根r1=0．r2=-1．

因此所給微分方程的通解為

y=C1+C2e-x，

其牛C1，C2為任意常數(shù)．

29.x=-2x=-2解析：

30.431.由于已知平面的法線向量，所求平面與已知平面平行，可取所求平面法線向量，又平面過點Mo(1，-1，0)，由平面的點法式方程可知，所求平面為

32.

33.

解析：

34.

35.1/3

36.

37.x--arctanx+C本題考查了不定積分的知識點。38.0

39.2

40.11解析：

41.

列表：

說明

42.由二重積分物理意義知

43.

44.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

45.由等價無窮小量的定義可知

46.

47.

48.

49.

50.51.由一階線性微分方程通解公式有

52.

53.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

54.55.函數(shù)的定義域為

注意

56.

則

57.

58.

59.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

60.

61.

62.63.由題意知f(a)=f(b)=f(c)，在(a，c)內(nèi)有一點η1，使得f'(η1)=0，在（c，6)內(nèi)有一點η2，使得f'(η2）=0，這里a＜η1＜c＜b，再由羅爾定理，知在(η1，η2)內(nèi)有一點ξ使得f''(ξ)=0.

64.解

65.

66.因為y=xsinx則y'=x'sinx+x(sinx)'=sinx+x