2023年廣東省韶關市普通高校對口單招高等數(shù)學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.設函數(shù)y=f(x)二階可導，且f(x)<0，f(x)<0，又△y=f(x＋△x)-f(x)，dy=f(x)△x，則當△x>0時，有()A.△y>dy>0

B.△<dy<0

C.dy>Ay>0

D.dy<△y<0

2.

3.

4.lim(x2＋1)=

x→0

A.3

B.2

C.1

D.0

5.

6.（）。A.

B.

C.

D.

7.級數(shù)()。A.絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.收斂性與k有關8.設f(x)在點x0的某鄰域內有定義，且，則f'(x0)等于()．A.-1B.-1/2C.1/2D.19.A.A.0B.1/2C.1D.∞10.（）。A.

B.

C.

D.

11.設二元函數(shù)z=xy，則點P0(0，0)A.為z的駐點，但不為極值點B.為z的駐點，且為極大值點C.為z的駐點，且為極小值點D.不為z的駐點，也不為極值點

12.

13.A.

B.0

C.

D.

14.在空間直角坐標系中，方程2+3y2+3x2=1表示的曲面是()．

A.球面

B.柱面

C.錐面

D.橢球面

15.A.A.xy

B.yxy

C.(x+1)yln(x+1)

D.y(x+1)y-1

16.

17.微分方程y"-y=ex的一個特解應具有的形式為(下列各式中α、b為常數(shù))。A.aex

B.axex

C.aex+bx

D.axex+bx

18.

19.

20.構件承載能力不包括()。

A.強度B.剛度C.穩(wěn)定性D.平衡性二、填空題(20題)21.22.

23.

24.

25.26.27.28.29.

30.

31.y"+8y=0的特征方程是________。

32.33.

34.

35.設y=ln(x+2)，貝y"=________。

36.

37.38.39.y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值為______．40.三、計算題(20題)41.

42.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

43.研究級數(shù)的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數(shù)a>0．

44.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

45.

46.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．47.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

48.

49.

50.求曲線在點(1，3)處的切線方程．51.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

52.求微分方程的通解．53.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則54.

55.56.57.求函數(shù)y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．58.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數(shù)．59.證明：60.求函數(shù)一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．四、解答題(10題)61.62.(本題滿分10分)設F(x)為f(x)的－個原函數(shù)，且f(x)＝xlnx，求F(x)．63.

64.

65.(本題滿分10分)求由曲線y=x，y=lnx及y=0，y=1圍成的平面圖形的面積S及此平面圖形繞y軸旋轉一周所得旋轉體體積．66.67.用洛必達法則求極限：68.設F(x)為f(x)的一個原函數(shù)，且f(x)=xlnx，求F(x)．69.求微分方程的通解．

70.

五、高等數(shù)學(0題)71.f(x)=｜x一2｜在點x=2的導數(shù)為()。

A.1B.0C.一1D.不存在六、解答題(0題)72.求y=xex的極值及曲線的凹凸區(qū)間與拐點．

參考答案

1.B

2.C解析：

3.C

4.C

5.C

6.A

7.A本題考查的知識點為級數(shù)的絕對收斂與條件收斂。

由于的p級數(shù)，可知為收斂級數(shù)。

可知收斂，所給級數(shù)絕對收斂，故應選A。

8.B由導數(shù)的定義可知

可知，故應選B。

9.A

10.D

11.A

12.C

13.A

14.D對照標準二次曲面的方程可知x2+3y2+3x2=1表示橢球面，故選D．

15.C

16.B

17.B方程y"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根為r1=1，r2=-1。

方程y"-y=ex中自由項f1(x)=ex，α=1是特征單根，故應設定y*=αxex，因此選B。

18.A

19.A

20.D

21.

22.本題考查的知識點為連續(xù)性與極限的關系．

由于為初等函數(shù)，定義域為(-∞，0)，(0，+∞)，點x=2為其定義區(qū)間(0，+∞)內的點，從而知

23.

24.y=f(0)

25.

26.27.0．

本題考查的知識點為定積分的性質．

積分區(qū)間為對稱區(qū)間，被積函數(shù)為奇函數(shù)，因此

28.本題考查的知識點為二重積分的直角坐標與極坐標轉化問題。

29.

30.

31.r2+8r=0本題考查的知識點為二階常系數(shù)線性微分方程特征方程的概念。y"+8y"=0的特征方程為r2+8r=0。

32.解析：

33.

34.(-∞．2)

35.

36.(02)(0,2)解析：

37.

38.39.-24本題考查的知識點為連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值．

若f(x)在(a，b)內可導，在[a，b]上連續(xù)，?？梢岳脤?shù)判定f(x)在[a，b]上的最值：

(1)求出f'(x)．

(2)求出f(x)在(a，b)內的駐點x1，…，xk．

(3)比較f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)．其中最大(小)值為f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相應的點x為f(x)的最大(小)值點．

y=x3-27x+2,

則y'=3x2-27=3(x-3)(x+3),

令y'=0得y的駐點x1=-3，x2=3，可知這兩個駐點都不在(1，2)內．

由于f(1)=-24，f(2)=-44，可知y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值為-24．

本題考生中出現(xiàn)的錯誤多為求出駐點x1=-3，x2=3之后，直接比較

f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44，

得出y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值為f(-3)=56．其錯誤的原因是沒有判定駐點x1=-3，x2=3是否在給定的區(qū)間(1，2)內，這是值得考生注意的問題．在模擬試題中兩次出現(xiàn)這類問題，目的就是希望能引起考生的重視．

本題還可以采用下列解法：注意到y(tǒng)'=3(x-3)(x+3)，在區(qū)間[1，2]上有y'＜0，因此y為單調減少函數(shù)?？芍?/p>

x=2為y的最小值點，最小值為y|x=2=-44．

x=1為y的最大值點，最大值為y|x=1=-24．40.

本題考查的知識點為二階線性常系數(shù)齊次微分方程的求解．

二階線性常系數(shù)齊次微分方程求解的－般步驟為：先寫出特征方程，求出特征根，再寫出方程的通解．

41.

42.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

43.

44.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

45.

46.函數(shù)的定義域為

注意

47.由二重積分物理意義知

48.

49.

則

50.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

51.

52.53.由等價無窮小量的定義可知54.由一階線性微分方程通解公式有

55.

56.

57.

58.

59.

60.

列表：

說明

61.解

62.本題考查的知識點為兩個：原函數(shù)的概念和分部積分法．

由題設可得知63.本題考查的知識點為計算二重積分；選擇積分次序或利用極坐標計算．

積分區(qū)域D如圖2—1所示．

解法1利用極坐標系．

D可以表示為

解法2利用直角坐標系．

如果利用直角坐標計算，區(qū)域D的邊界曲線關于x，y地位等同，因此選擇哪種積分次序應考慮被積函數(shù)的特點．注意

可以看出，兩種積分次序下的二次積分都可以進行計算，但是若先對x積分，后對y積分，將簡便些．

本題中考生出現(xiàn)的較普遍的錯誤為，利用極坐標將二重積分化為二次積分：

右端被積函數(shù)中丟掉了r，這是考生應該注意的問題．通常若區(qū)域可以表示為

64.65.所給曲線圍成的圖形如圖8—1所示．

66.

67.68.由題設可得知本題考查的知識點為兩個：原函數(shù)的概念和分部積分法．69.所給方程為一階線性微分方程

其通解為

本題考杏的知識點為求解