圓的一般方程

高二年級(jí)數(shù)學(xué)2.從方程的角度來(lái)看，圓的方程有什么代數(shù)特征呢？1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？圓心坐標(biāo)為，半徑為（）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（1）把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的括號(hào)展開(kāi)、整理之后，得到的方程形式是什么樣的？展開(kāi)得，整理得，（2）一般地，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi)、整理之后，得到的方程形式是什么樣的？展開(kāi)得，整理得，令原方程可以表示成①一般地，二元二次方程①是否都是圓的方程呢？滿足圓的定義，即可以化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式因此，當(dāng)時(shí)，方程①表示以為圓心，為半徑的圓.當(dāng)時(shí)，方程①只有實(shí)數(shù)解所以方程①表示一個(gè)點(diǎn).當(dāng)時(shí)，方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)解，所以方程①不表示任何圖形.一般地，二元二次方程

①

（1）當(dāng)時(shí)，稱(chēng)①式為圓的一般方程.其中，圓心為，半徑為.新知提煉一般地，二元二次方程

①

（2）當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn);（3）當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形.新知提煉

例1.判斷下列方程是否是圓的方程；如果是，寫(xiě)出圓心坐標(biāo)與半徑；如果不是，說(shuō)明理由；（1）解：其中，所以此方程不是圓的方程.因?yàn)?，?）所以這是圓的方程.解：其中，因?yàn)?，又因?yàn)樵匠炭梢曰癁樗允菆A心為，半徑為5的圓的方程.即（3）解：方程兩邊除以4，得所以這是圓心為，半徑為

的圓的方程.原方程可以化為即，思考：可以通過(guò)圓的一般方程直接判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系嗎？一般地，圓的一般方程為

，點(diǎn)，則點(diǎn)在圓內(nèi)

；

點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓外

.

新知提煉

例2.判斷點(diǎn)

與圓的位置關(guān)系.解：因?yàn)椋渣c(diǎn)A在圓內(nèi)；因?yàn)?，所以點(diǎn)B在圓上；因?yàn)?，所以點(diǎn)C在圓外.分析：圓的方程有圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程

兩種形式.思路1：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.思路2：求圓的一般方程.

例3.已知

都是P上的點(diǎn)，求這個(gè)圓的方程.

例3.已知

都是P上的點(diǎn)，求這個(gè)圓的方程.解：(法1待定系數(shù)法）設(shè)P的圓心坐標(biāo)為，半徑為（）.則P的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意得,即解得因此，所求圓的方程為

例3.已知

都是P上的點(diǎn)，求這個(gè)圓的方程.

例3.已知

都是P上的點(diǎn)，求這個(gè)圓的方程.法2：(數(shù)形結(jié)合）設(shè)線段AB和線段BC的垂直平分線分為l,

m，則圓心P為直線l和直線m的交點(diǎn).由題知，，所以.

因此，直線l的方程為由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為.

例3.已知

都是P上的點(diǎn)，求這個(gè)圓的方程.法2：(數(shù)形結(jié)合）設(shè)線段AB和線段BC的垂直平分線分為l,

m，則圓心P為直線l和直線m的交點(diǎn).由題知，，所以.

因此，直線l的方程為由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為.

例3.已知

都是P上的點(diǎn)，求這個(gè)圓的方程.同理可得,直線m的方程為.

例3.已知

都是P上的點(diǎn)，求這個(gè)圓的方程.同理可得,直線m的方程為解得因此，圓心P滿足所以，圓心P坐標(biāo)為，且因此，所求圓的方程為

例3.已知

都是P上的點(diǎn)，求這個(gè)圓的方程.法3：(一般方程）設(shè)所求圓的方程為因?yàn)锳,

B,C都是圓上的點(diǎn)，因此解得因此，所求圓的方程為

課堂小結(jié)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般