微分方程模型建立中的穩(wěn)定性模型第一頁，共五十四頁，2022年，8月28日0穩(wěn)定性問題

在研究許多實際問題時，人們最為關(guān)心的也許并非系統(tǒng)與時間有關(guān)的變化狀態(tài)，而是系統(tǒng)最終的發(fā)展趨勢。例如，在研究某頻危種群時，雖然我們也想了解它當(dāng)前或今后的數(shù)量，但我們更為關(guān)心的卻是它最終是否會絕滅，用什么辦法可以拯救這一種群，使之免于絕種等等問題。要解決這類問題，需要用到微分方程或微分方程組的穩(wěn)定性理論。在下兩節(jié)，我們將研究幾個與穩(wěn)定性有關(guān)的問題。第二頁，共五十四頁，2022年，8月28日一般的微分方程或微分方程組可以寫成：定義稱微分方程或微分方程組為自治系統(tǒng)或動力系統(tǒng)。（3.28）

若方程或方程組f(x)=0有解Xo，X=Xo顯然滿足（3.28）。稱點Xo為微分方程或微分方程組（3.28)的平衡點或奇點。第三頁，共五十四頁，2022年，8月28日例Logistic模型共有兩個平衡點：N=0和N=K，分別對應(yīng)微分方程的兩兩個特殊解。前者為No=0時的解而后者為No=K時的解。

當(dāng)No<K時，積分曲線N=N(t)位于N=K的下方；當(dāng)No>K時，則位于N=K的上方。從圖3-17中不難看出，若No>0，積分曲線在N軸上的投影曲線（稱為軌線）將趨于K。這說明，平衡點N=0和N=K有著極大的區(qū)別。圖3-17

定義1自治系統(tǒng)的相空間是指以（x1,…,xn）為坐標(biāo)的空間Rn。特別，當(dāng)n=2時，稱相空間為相平面?？臻gRn的點集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)滿足(3.28)，i=1,…,n}稱為系統(tǒng)的軌線，所有軌線在相空間的分布圖稱為相圖。第四頁，共五十四頁，2022年，8月28日定義2設(shè)x0是（3.28）的平衡點，稱：（1）x0是穩(wěn)定的，如果對于任意的ε>0，存在一個δ>0，只要|x(0)-x0|<δ，就有|x(t)-x0|<ε對所有的t都成立。（2）x0是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的且。

微分方程平衡點的穩(wěn)定性除了幾何方法，還可以通過解析方法來討論，所用工具為以下一些定理。（3）x0是不穩(wěn)定的，如果（1）不成立。根據(jù)這一定義，Logistic方程的平衡點N=K是穩(wěn)定的且為漸近穩(wěn)定的，而平衡點N=0則是不穩(wěn)定的。第五頁，共五十四頁，2022年，8月28日解析方法定理1設(shè)xo是微分方程的平衡點：若,則xo是漸近穩(wěn)定的若,則xo是漸近不穩(wěn)定的證由泰勒公式，當(dāng)x與xo充分接近時，有：由于xo是平衡點，故f(xo)=0。若，則當(dāng)x<xo時必有f(x)>0，從而x單增；當(dāng)x>xo時，又有f(x)<0，從而x單減。無論在哪種情況下都有x→xo，故xo是漸進穩(wěn)定的。的情況可類似加以討論。高階微分方程與高階微分方程組平衡點的穩(wěn)定性討論較為復(fù)雜，大家有興趣可參閱微分方程定性理論。為了下兩節(jié)的需要，我們簡單介紹一下兩階微分方程組平衡點的穩(wěn)定性判別方法。第六頁，共五十四頁，2022年，8月28日考察兩階微分方程組：（3.29）

令，作一坐標(biāo)平移，不妨仍用x記x’，則平衡點xo的穩(wěn)定性討論轉(zhuǎn)化為原點的穩(wěn)定性討論了。將f(x1,x2)、g(x1,x2)在原點展開，（3.29）又可寫成:考察（3.29）的線性近似方程組:（3.30）其中：第七頁，共五十四頁，2022年，8月28日記λ1、λ2為A的特征值則λ1、λ2是方程：det（A-λI）=λ2-(a+b)λ+(ad–bc)=0的根令p=a+d,q=ad-bc=|A|，則，記。討論特征值與零點穩(wěn)定的關(guān)系（1）若△>0，可能出現(xiàn)以下情形：

①若q>0，λ1λ2>0。當(dāng)p>0時，零點不穩(wěn)定；當(dāng)p<0時，零點穩(wěn)定若q<0，λ1λ2<0當(dāng)c1=0時，零點穩(wěn)定當(dāng)c1≠0時,零點為不穩(wěn)定的鞍點③q=0，此時λ1=p，λ2=0，零點不穩(wěn)定。（2）△=0，則λ1=λ2:λ有兩個線性無關(guān)的特征向量當(dāng)p>0時，零點不穩(wěn)定當(dāng)p<0時，零點穩(wěn)定第八頁，共五十四頁，2022年，8月28日②如果λ只有一個特征向量當(dāng)p≥0時，零點不穩(wěn)定當(dāng)p>0時，零點穩(wěn)定（2）△<0，此時若a>0，零點穩(wěn)定若a=0，有零點為中心的周期解

綜上所述：僅當(dāng)p<0且q>0時，（3.30）零點才是漸近穩(wěn)定的；當(dāng)p=0且q>0時（3.30）有周期解，零點是穩(wěn)定的中心（非漸近穩(wěn)定）；在其他情況下，零點均為不穩(wěn)定的。非線性方程組（3.29）平衡點穩(wěn)定性討論可以證明有下面定理成立:定理2若（3.30）的零點是漸近穩(wěn)定的，則（3.29）的平衡點也是漸近穩(wěn)定的；若（3.30）的零點是不穩(wěn)定的，則（3.29）的平衡點也是不穩(wěn)定的。第九頁，共五十四頁，2022年，8月28日穩(wěn)定性模型對象仍是動態(tài)過程，而建模目的是研究時間充分長以后過程的變化趨勢——平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。第十頁，共五十四頁，2022年，8月28日6.1捕魚業(yè)的持續(xù)收獲再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等）再生資源應(yīng)適度開發(fā)——在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。問題及分析在捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。如果使捕撈量等于自然增長量，漁場魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。背景第十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日產(chǎn)量模型假設(shè)無捕撈時魚的自然增長服從Logistic規(guī)律單位時間捕撈量與漁場魚量成正比建模捕撈情況下漁場魚量滿足不需要求解x(t),只需知道x(t)穩(wěn)定的條件r~固有增長率,N~最大魚量h(x)=Ex,E~捕撈強度x(t)~漁場魚量第十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日一階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性一階非線性（自治）方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡點設(shè)x(t)是方程的解，若從x0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱x0是方程(1)的穩(wěn)定平衡點不求x(t),判斷x0穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的近似線性方程第十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日產(chǎn)量模型平衡點穩(wěn)定性判斷x0穩(wěn)定,可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1穩(wěn)定,漁場干枯E~捕撈強度r~固有增長率第十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日產(chǎn)量模型在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使產(chǎn)量最大圖解法P的橫坐標(biāo)x0~平衡點y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的縱坐標(biāo)h~產(chǎn)量產(chǎn)量最大f與h交點Phmx0*=N/2P*y=E*x控制漁場魚量為最大魚量的一半第十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日效益模型假設(shè)魚銷售價格p單位捕撈強度費用c單位時間利潤在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使效益最大.穩(wěn)定平衡點求E使R(E)最大漁場魚量收入T=ph(x)=pEx支出S=cE第十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日EsS(E)T(E)0rE捕撈過度

封閉式捕撈追求利潤R(E)最大

開放式捕撈只求利潤R(E)>0R(E)=0時的捕撈強度(臨界強度)Es=2ER臨界強度下的漁場魚量捕撈過度ERE*令=0第十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日6.2軍備競賽描述雙方(國家或國家集團)軍備競賽過程解釋(預(yù)測)雙方軍備競賽的結(jié)局假設(shè)1）由于相互不信任，一方軍備越大，另一方軍備增加越快；2）由于經(jīng)濟實力限制，一方軍備越大，對自己軍備增長的制約越大；3）由于相互敵視或領(lǐng)土爭端，每一方都存在增加軍備的潛力。進一步假設(shè)1）2）的作用為線性；3）的作用為常數(shù)目的第十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日建模軍備競賽的結(jié)局微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性x(t)~甲方軍備數(shù)量，y(t)~乙方軍備數(shù)量,~本方經(jīng)濟實力的制約；k,l~對方軍備數(shù)量的刺激；g,h~本方軍備競賽的潛力。t時的x(t)，y(t)第十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日線性常系數(shù)微分方程組的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點P0(x0,y0)=(0,0)~代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點記系數(shù)矩陣特征方程特征根第二十頁，共五十四頁，2022年，8月28日線性常系數(shù)微分方程組的平衡點及其穩(wěn)定性特征根平衡點P0(0,0)微分方程一般解形式平衡點P0(0,0)穩(wěn)定平衡點P0(0,0)不穩(wěn)定1,2為負數(shù)或有負實部p>0且q>0p<0或q<0第二十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日平衡點穩(wěn)定性判斷系數(shù)矩陣平衡點(x0,y0)穩(wěn)定的條件模型軍備競賽第二十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日模型的定性解釋雙方軍備穩(wěn)定(時間充分長后趨向有限值)的條件雙方經(jīng)濟制約大于雙方軍備刺激時，軍備競賽才會穩(wěn)定，否則軍備將無限擴張。平衡點2)若g=h=0,則x0=y0=0,在>kl下x(t),y(t)0,即友好鄰國通過裁軍可達到永久和平。模型,~本方經(jīng)濟實力的制約；k,l~對方軍備數(shù)量的刺激；g,h~本方軍備競賽的潛力。第二十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日3）若g,h不為零，即便雙方一時和解，使某時x(t),y(t)很小，但因，也會重整軍備。4）即使某時一方(由于戰(zhàn)敗或協(xié)議)軍備大減,如x(t)=0，也會因使該方重整軍備，即存在互不信任()或固有爭端()的單方面裁軍不會持久。模型的定性解釋,~本方經(jīng)濟實力的制約；k,l~對方軍備數(shù)量的刺激；g,h~本方軍備競賽的潛力。模型第二十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日6.3種群的相互競爭一個自然環(huán)境中有兩個種群生存，它們之間的關(guān)系：相互競爭；相互依存；弱肉強食。當(dāng)兩個種群為爭奪同一食物來源和生存空間相互競爭時，常見的結(jié)局是，競爭力弱的滅絕，競爭力強的達到環(huán)境容許的最大容量。建立數(shù)學(xué)模型描述兩個種群相互競爭的過程，分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件。第二十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日模型假設(shè)有甲乙兩個種群，它們獨自生存時數(shù)量變化均服從Logistic規(guī)律;兩種群在一起生存時，乙對甲增長的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比;甲對乙有同樣的作用。對于消耗甲的資源而言，乙(相對于N2)是甲(相對于N1)的1倍。對甲增長的阻滯作用，乙大于甲乙的競爭力強模型第二十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日模型分析(平衡點及其穩(wěn)定性)(二階)非線性(自治)方程的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點P0(x10,x20)~代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點模型第二十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日判斷P0(x10,x20)穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的近似線性方程平衡點P0穩(wěn)定(對2,1)p>0且q>0平衡點P0不穩(wěn)定(對2,1)p<0或q<0第二十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日僅當(dāng)1,2<1或1,2>1時，P3才有意義模型第二十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日平衡點穩(wěn)定性分析平衡點Pi穩(wěn)定條件：p>0且q>0第三十頁，共五十四頁，2022年，8月28日種群競爭模型的平衡點及穩(wěn)定性不穩(wěn)定平衡點2>1,1>1,P1,P2是一個種群存活而另一滅絕的平衡點P3是兩種群共存的平衡點1<1,2<1P1穩(wěn)定的條件1<1?1<12<1穩(wěn)定條件第三十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日0S1S2S3平衡點穩(wěn)定性的相軌線分析從任意點出發(fā)(t=0)的相軌線都趨向P1(N1,0)(t)P1(N1,0)是穩(wěn)定平衡點(1)2>1,

1<1tx1,x2tx1,x2tx1,x2第三十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日P1P2有相軌線趨向P1有相軌線趨向P2P1穩(wěn)定的條件：直接法2>1P1,P2都不(局部)穩(wěn)定0(3)1<1,2<10(2)1>1,2<10(4)1>1,2>1加上與(4)相區(qū)別的1<1

P2穩(wěn)定

P3穩(wěn)定P1全局穩(wěn)定第三十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日結(jié)果解釋對于消耗甲的資源而言，乙(相對于N2)是甲(相對于N1)的1倍。對甲增長的阻滯作用，乙小于甲乙的競爭力弱

P1穩(wěn)定的條件：1<1,2>12>1甲的競爭力強甲達到最大容量，乙滅絕

P2穩(wěn)定的條件：1>1,2<1

P3穩(wěn)定的條件：1<1,2<1通常11/2，P3穩(wěn)定條件不滿足第三十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日6.4種群的相互依存甲乙兩種群的相互依存有三種形式1)甲可以獨自生存，乙不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。2)甲乙均可以獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。3)甲乙均不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。第三十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日模型假設(shè)甲可以獨自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律;甲乙一起生存時乙為甲提供食物、促進增長。乙不能獨自生存；甲乙一起生存時甲為乙提供食物、促進增長；乙的增長又受到本身的阻滯作用(服從Logistic規(guī)律)。模型乙為甲提供食物是甲消耗的1倍甲為乙提供食物是乙消耗的2倍第三十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日種群依存模型的平衡點及穩(wěn)定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡點穩(wěn)定條件不穩(wěn)定平衡點第三十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日平衡點P2穩(wěn)定性的相軌線0

1<1,2>1,12<1

P2穩(wěn)定第三十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日12<1~2>1前提下P2存在的必要條件結(jié)果解釋2>1~甲必須為乙提供足夠的食物——甲為乙提供的食物是乙消耗的2倍1<1~2>1,12<1的需要，且1必須足夠小，才能在2>1條件下使12<1成立

P2穩(wěn)定條件：1<1,2>1,12<1甲可以獨自生存乙不能獨立生存第三十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日6.5種群的弱肉強食(食餌-捕食者模型)種群甲靠豐富的天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌-捕食者系統(tǒng)，如食用魚和鯊魚，美洲兔和山貓，害蟲和益蟲。

模型的歷史背景——一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降(食用魚和鯊魚同時捕撈)，但是其中鯊魚的比例卻增加，為什么？第四十頁，共五十四頁，2022年，8月28日食餌（甲）數(shù)量x(t),捕食者（乙）數(shù)量y(t)甲獨立生存的增長率r乙使甲的增長率減小，減小量與y成正比乙獨立生存的死亡率d甲使乙的死亡率減小，減小量與x成正比方程(1),(2)無解析解食餌-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食餌能力b~食餌供養(yǎng)捕食者能力第四十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日Volterra模型的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點穩(wěn)定性分析P點穩(wěn)定性不能用近似線性方程分析p=0,q>0P:臨界狀態(tài)q<0P′不穩(wěn)定第四十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.9269………5.10009.616216.72355.20009.017316.2064………9.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求微分方程數(shù)值解x~y平面上的相軌線第四十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日計算結(jié)果（數(shù)值，圖形）x(t),y(t)是周期函數(shù)，相圖(x,y)是封閉曲線觀察，猜測x(t),y(t)的周期約為9.6xmax65.5,xmin6,ymax20.5,ymin3.9用數(shù)值積分可算出x(t),y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值約為25,y(t)的平均值約為10。食餌-捕食者模型(Volterra)第四十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日消去dt用相軌線分析點穩(wěn)定性c由初始條件確定取指數(shù)第四十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上討論相軌線的圖形用相軌線分析點穩(wěn)定性相軌線時無相軌線以下設(shè)第四十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0P0x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)相軌線退化為P點存在x1<x0<x2,使f(x1)=f(x2)=p存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q相軌線是封閉曲線族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相軌線P~中心第四十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日相軌線是封閉曲線x(t),y(t)是周期