全章素養(yǎng)整合授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第17頁(yè)授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第17頁(yè)類型一四種命題及真假判斷題型特點(diǎn)命題涉及知識(shí)點(diǎn)多，知識(shí)跨度大，主要考查命題及其關(guān)系以及對(duì)命題真假的判斷．高考中多以選擇題、填空題的形式命題．方法歸納1.四種命題的寫法(1)明確條件和結(jié)論：認(rèn)清命題的條件p和結(jié)論q，然后按定義寫出命題的逆命題、否命題、逆否命題．(2)注意：原命題中的前提條件不能作為命題的條件．2．簡(jiǎn)單命題真假的判斷方法(1)直接法：判斷簡(jiǎn)單命題的真假，通常用直接法判斷．用直接法判斷時(shí)，應(yīng)先分清條件和結(jié)論，運(yùn)用命題所涉及的知識(shí)進(jìn)行推理論證．(2)間接法：當(dāng)命題的真假不易判斷時(shí)，還可以用間接法，轉(zhuǎn)化為等價(jià)命題或舉反例．用轉(zhuǎn)化法判斷時(shí)，需要準(zhǔn)確地寫出所給命題的等價(jià)命題．[例1]原命題：“a，b為兩個(gè)實(shí)數(shù)，若a＋b≥2，則a，b中至少有一個(gè)不小于1”，下列說法錯(cuò)誤的是()A．逆命題：若a，b中至少有一個(gè)不小于1，則a＋b≥2，為假命題B．否命題：若a＋b<2，則a，b都小于1，為假命題C．逆否命題：若a，b都小于1，則a＋b<2，為真命題D．“a＋b≥2”是“a，b中至少有一個(gè)不小于1”的必要不充分條件[解析]“a＋b≥2”可以得到“a，b中至少有一個(gè)不小于1”，但“a，b中至少有一個(gè)不小于1”，不一定能得出“a＋b≥2”，所以原命題為真命題，逆命題為假命題，則逆否命題為真命題，否命題為假命題，且A，B，C變換形式正確；而對(duì)于選項(xiàng)D，“a＋b≥2”是“a，b中至少有一個(gè)不小于1”的充分不必要條件，故選項(xiàng)D的說法錯(cuò)誤．[答案]D跟蹤訓(xùn)練1.(1)下列命題的逆命題為真命題的是()A．若x>2，則(x－2)(x＋1)>0B．若x2＋y2≥4，則xy＝2C．若x＋y＝2，則xy≤1D．若a≥b，則ac2≥bc2解析：對(duì)于A的逆命題是“若(x－2)(x＋1)>0，則x>2”假命題．對(duì)于B的逆命題是“若xy＝2，則x2＋y2≥4”真命題．對(duì)于C的逆命題是“若xy≤1，則x＋y＝2”假命題．對(duì)于D的逆命題是“ac2≥bc2，則a≥b”假命題．故選B.答案：B(2)下列四個(gè)命題：①“若a，G，b成等比數(shù)列，則G2＝ab”的逆命題；②“如果x2＋x－6≥0，則x>2”的否命題；③在△ABC中，“若A>B，則sinA>sinB”的逆否命題；④當(dāng)0≤α≤π時(shí)，若8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0對(duì)?x∈R恒成立，則α的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))).其中真命題的序號(hào)是________．解析：①由G2＝ab得不到a、G、b成等比數(shù)列．∴該逆命題為假命題．②由x>2可得出x2＋x－6≥0，∴該逆命題為真，故否命題為真命題．③由A>B可得出sinA>sinB，∴該逆否命題為真命題．④?x∈R該不等式恒成立，則32cos2α－64sin2α≥0，即cos2α－2sin2α≥0，即1－2sin2α－2sin2α≥0，∴－eq\f(1,2)≤sinα≤eq\f(1,2).又∵α∈[0，π]，∴0≤α≤eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)≤α≤π.故答案為②③.答案：②③類型二充分條件與必要條件的判定題型特點(diǎn)充要條件是數(shù)學(xué)的重要概念之一，在數(shù)學(xué)中有著非常廣泛的應(yīng)用，在高考中有著較高的考查頻率，主要以選擇題、填空題形式考查，其特點(diǎn)是以高中數(shù)學(xué)的其他知識(shí)為載體，考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷．方法歸納法一：判斷p是q的什么條件，其實(shí)質(zhì)是判斷“若p，則q”及其逆命題“若q，則p”是真是假．(1)原命題為真而逆命題為假，則p是q的充分不必要條件；(2)原命題為假而逆命題為真，則p是q的必要不充分條件；(3)原命題為真，逆命題為真，則p是q的充要條件；(4)原命題為假，逆命題為假，則p是q的既不充分也不必要條件，同時(shí)要注意反證法的運(yùn)用．法二：用集合間的包含關(guān)系判斷充分條件和必要條件．A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若AB，則A是B的充分不必要條件．若AB，則A是B的必要不充分條件．若A＝B，則A是B的充要條件．若A與B間無包含關(guān)系，則A是B的既不充分也不必要條件．[例2](1)已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[解析]由a與b相交，可推出平面α與β相交．由α與β相交，可推出a與b可能平行，可能相交，也可能異面．故選A.[答案]A(2)已知p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若綈p是綈q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解析]由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m.由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2，得－2≤x≤10.由綈p是綈q的必要不充分條件知，p是q的充分不必要條件，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≤－2，,1＋m≥10，))且不等式組中的等號(hào)不能同時(shí)成立，得m≥9.跟蹤訓(xùn)練2.(1)在△ABC中，“sinB＝1”是“△ABC為直角三角形”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：由sinB＝1且B為內(nèi)角，得B＝90°由△ABC為直角三角形，可得出△ABC有一個(gè)內(nèi)角為90°，但不一定是∠B＝90°.故選A.答案：A(2)設(shè)p：eq\r(2x－1)≤1，q：(x－a)·[x－(a－1)]≤0，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))C．(－∞，1)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))D．(－∞，1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))解析：由p得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,2x－1≤1))?eq\f(1,2)≤x≤1.由q得a－1≤x≤a.若p是q的充分不必要條件，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≤\f(1,2)，,a≥1))?1≤a≤eq\f(3,2)，故選A.答案：A類型三含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的判斷題型特點(diǎn)以高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)為依托，考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用．高考中主要以選擇題和填空題的形式考查．方法歸納判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假：(1)先判斷簡(jiǎn)單命題p，q的真假．(2)根據(jù)“p且q”“p或q”“非p”的含義及其真假判斷規(guī)律，即對(duì)于“p且q”有一假即為假；對(duì)于“p或q”有一真即為真；對(duì)于“非p”真假與p相反進(jìn)行判斷．[例3](1)設(shè)a，b，c是非零向量．已知命題p：若a·b＝0，b·c＝0，則a·c＝0；命題q：若a∥b，b∥c，則a∥c.則下列命題中真命題是()A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)[解析]取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，顯然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，所以p是假命題．a(chǎn)，b，c是非零向量，由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝y(tǒng)c，所以a＝xyc，所以a∥c，所以q是真命題．綜上知p∨q是真命題，p∧q是假命題．因?yàn)榻恜為真命題，綈q為假命題，所以(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命題．[答案]A(2)已知命題p：?x0∈R，x0－1≥lgx0，命題q：?x∈(0，π)，sinx＋eq\f(1,sinx)>2，則下列判斷正確的是()A．p∨q是假命題B．p∧q是真命題C．p∨(綈q)是假命題D．p∧(綈q)是真命題[解析]當(dāng)x0＝1時(shí)，x0－1≥lgx0，所以命題p：?x0∈R，x0－1≥lgx0為真；?x∈(0，π)，sinx>0，sinx＋eq\f(1,sinx)≥2eq\r(sinx·\f(1,sinx))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)sinx＝1時(shí)取等號(hào)，所以命題q：?x∈(0，π)，sinx＋eq\f(1,sinx)>2為假．因此p∨q是真命題，p∧q是假命題，p∨(綈q)是真命題，p∧(綈q)是真命題，選D.[答案]D跟蹤訓(xùn)練3.已知p：函數(shù)y＝sineq\f(1,2)x的最小正周期是π，q：函數(shù)y＝tanx的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對(duì)稱，則下列判斷正確的是()A．p為真 B．綈q為假C．p∧q為假 D．p∨q為真解析：很明顯p和q均是假命題，所以綈q為真，p∧q為假，p∨q為假，故選C.答案：C類型四全稱命題與特稱命題題型特點(diǎn)高考中主要考查全稱命題、特稱命題的真假判斷，以及全稱命題、特稱命題的否定，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)．方法歸納(1)全稱命題與特稱命題的判斷：全稱命題要對(duì)一個(gè)范圍內(nèi)的所有對(duì)象成立，要否定一個(gè)全稱命題，只要找到一個(gè)反例就行．特稱命題只要在給定范圍內(nèi)找到一個(gè)滿足條件的對(duì)象即可．(2)含一個(gè)量詞的命題的否定：全稱命題的否定是特稱命題，應(yīng)含存在量詞．特稱命題的否定是全稱命題，應(yīng)含全稱量詞．[例4]已知命題p：?a∈(0，＋∞)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－alog3x在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則綈p為()A．綈p：?a0∈(0，＋∞)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－a0log3x在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)B．綈p：?a0∈(0，＋∞)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－a0log3x在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)C．綈p：?a0∈(－∞，0)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－a0log3x在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)D．綈p：?a∈(－∞，0)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－alog3x在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)[解析]由全稱命題的否定可得綈p為“?a0∈(0，＋∞)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－a0log3x在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)”．[答案]A跟蹤訓(xùn)練4.(1)已知命題p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－3x0＋2＝0，則綈p為()A．?x0?R，xeq\o\al(2,0)－3x0＋2＝0B．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－3x0＋2≠0C．?x∈R，x2－3x＋2＝0D．?x∈R，x2－3x＋2≠0解析：由特稱命題否定的定義知選D.答案：D(2)下列命題中的假命題是()A．?x∈R,2x－1>0B．?x∈N*，(x－1)2>0C．?x0∈R，lgx0<1D．?x0∈R，tanx0＝2解析：對(duì)于A，?x∈R,2x－1>0恒成立，真命題．對(duì)于B，?x∈N*，(x－1)2≥0，假命題．對(duì)于C，?x0∈R，lgx0<1.例x0＝1時(shí)lgx0＝0<1，∴真命題．對(duì)于D，?x0∈R，tanx0＝2，真命題．故選B.答案：B授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第19頁(yè)1．(2022·高考天津卷)設(shè)θ∈R，則“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))<eq\f(π,12)”是“sinθ<eq\f(1,2)”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))<eq\f(π,12)得0<θ<eq\f(π,6)，0<sinθ<eq\f(1,2)，由sinθ<eq\f(1,2)得－eq\f(7π,6)＋2kπ<θ<2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z.故選A.答案：A2．(2022·高考全