單元04萬有引力與航天

?知識梳理.構(gòu)建體系_C

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萬有引力與航天是萬有引力定律、牛頓運動定律和圓周運動相結(jié)合的重要應(yīng)用。通過人造飛行器繞地

球、火星等天體做圓周運動或橢圓形運動為背景，由萬有引力提供向心力，分析判斷人造天體的周期、速

度、角速度和向心加速度及其軌道的變化問題。萬有引力與航天是高考每年必考內(nèi)容，多以選擇題出現(xiàn)。

1.估算天體質(zhì)量的常見模型

使用方法已知量利用公式表達(dá)式

Mm4n2M—"

八TG-T=m1—rM-GT

質(zhì)利用運行Mmvrv

八V(72=nr~M--「

量天體rr(.T

的MmvMm4nJ

八TG-2="-=加「再M

rrrI~23tG

計

利用天體

算

GMm

表面重力、?M—

gR=mgur

加速度

2.估算天體質(zhì)量和密度的解題技巧

(1)利用萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運動的向心力估算天體質(zhì)量時，估算的只是中心天體的質(zhì)量，并非環(huán)繞

衛(wèi)星的質(zhì)量。

4

(2)區(qū)別天體半徑〃和衛(wèi)星軌道半徑八只有在天體表面附近運動的衛(wèi)星才有K"；計算天體密度V^-Ji

川時，其中的火只能是中心天體的半徑。

(3)在考慮中心天體自轉(zhuǎn)問題時，只有在兩極處才有華=mg。

3.衛(wèi)星的勻速圓周運動常見的模型

同步衛(wèi)星，源高空衛(wèi)星衛(wèi)星的運行軌道行星沖日問題雙星問題

4.人造衛(wèi)星問題的解題技巧

(1)利用萬有引力提供向心加速度的不同表述形式。

Mmv,,2Jt.,,

G-z=ni3r—nir^r)r=/(2貝f)r。

（2）第一宇宙速度是人造衛(wèi)星環(huán)繞地球表面運行的最大速度，軌道半徑r近似等于地球半徑

7.9km/s

2

萬有引力近似等于衛(wèi)星的重力，即儂=4,v=y[gR=7.9km/s?

（3）同步衛(wèi)星：①具有特定的線速度、角速度和周期；②具有特定的位置高度和軌道半徑；③運行軌道平

面必須處于地球赤道平面上，只能靜止在赤道上方特定的點上。

5.衛(wèi)星的橢圓形運動及變軌運動模型

開普勒行星運動定律發(fā)射與回收空間站對接

6.航天器變軌問題的解題技巧

（1）航天器變軌時半徑（半長軸）的變化，根據(jù)萬有引力和所需向心力的大小關(guān)系判斷；穩(wěn)定在新圓軌道上

的運行速度變化由判斷。兩個不同軌道的“切點”處線速度不相等，同一橢圓上近地點的線速

度大于遠(yuǎn)地點的線速度。

（2）航天器在不同軌道上運行時機(jī)械能不同，軌道半徑（半長軸）越大，機(jī)械能越大。

從遠(yuǎn)地點到近地點，萬有引力對航天器做正功，動能笈增大，引力勢能減小。

⑶兩個不同軌道的“切點”處加速度a相同。

曾亮點講

【典例11（開普勒第三定律）2021年2月，執(zhí)行我國火星探測任務(wù)的“天間一號”探測器在成功實施三次

近火制動后，進(jìn)入與火星表面的最近距離約為2.8乂1。5小，最遠(yuǎn)距離為5.9xlfTm的橢圓形停泊軌道，探

5

測器在該軌道運行周期與半徑3.3x1077n為圓形軌道的周期相同，約為1.8x10s,已知火星半徑約為3.4x

106m，則火星表面處自由落體的加速度大小約為

A.0.37m/s2B.3.7m/s2C.S.9m/s2D.89m/s2

【答案】B

【解析】設(shè)“天問一號”探測器在火星表面圓形軌道運行周期為7,軌道半徑為r,根據(jù)萬有引力提供向心

力得：嬰=加等，橢圓軌道運行燈為軌道離火星表面的最近距離，電為橢圓離火星表面的最遠(yuǎn)距，由

開普勒第三定律知：二巴在火星表面有：誓=mg'，

代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：g'=3.7m/s2,故8正確，ACZ）錯誤。故選：B。

【典例2]（萬有引力公式的基本計算）2020年12月3日，嫦娥五號上升器攜帶月壤樣品成功回到預(yù)定環(huán)月

軌道，這是我國首次實現(xiàn)地外天體起飛。環(huán)月軌道可以近似為圓軌道，已知軌道半徑近似為月球半徑R,

環(huán)繞月球的周期為7,月球質(zhì)量為M,引力常量為G,則

A.上升器在環(huán)月軌道上的向心加速度大小近似為空

T2

B.上升器在環(huán)月軌道上的線速度大小近似為巨

YGM

C.月球表面的重力加速度大小近似為懸

uK

D.月球的平均密度近似為券

【答案】D

【解析】人根據(jù)a=R（9）2=等，故A錯誤；8在環(huán)月軌道上萬有引力提供向心力，即察=巾1,可

得線速度近似為u=舟，故8錯誤；C在月球表面萬有引力提供重力，即繁=mg,可得月球表面的重

力加速度大小近似為g=答，故C錯誤；D在環(huán)月軌道上萬有引力提供向心力，即要=^1/?（9）2,可得

月球質(zhì)量〃=器，則月球的平均密度為：0=?=券，故。正確。故選2）。

【典例3】（星球表面重力加速度）某天體可視為質(zhì)量均勻分布的球體，自轉(zhuǎn)周期為7,“北極點”處的重

力加速度是“赤道”處重力加速度的k倍（k>1）。若該天體有一顆近地環(huán)繞衛(wèi)星，則近地環(huán)繞衛(wèi)星的周期

為

A.g.TB.底.7C?信D.月

【答案】D

【解析】在北極點：=mg在赤道處：=mg，+mR（與）,g=kg，對于近地衛(wèi)星：=m（蔣）R

解得：〃=芹T

【典例4］（衛(wèi)星或天體中的相遇問題）太陽系中某行星4運行的軌道半徑為R,周期為T,但科學(xué)家在觀測

中發(fā)現(xiàn)其實際運行的軌道與圓軌道存在一些偏離，且每隔時間t發(fā)生一次最大的偏離.天文學(xué)家認(rèn)為形成

這種現(xiàn)象的原因可能是4外側(cè)還存在著一顆未知行星B，它對4的萬有引力引起4行星軌道的偏離，假設(shè)其

運行軌道與A在同一平面內(nèi)，且與4的繞行方向相同，由此可推測未知行星B繞太陽運行的圓軌道半徑為

A-RJ小2B.爭C.RJ（?）2D.R后

【答案】A

【解析】由題意可知：4、B相距最近時，B對4的影響最大，且每隔時間t發(fā)生一次最大的偏離，說明A、B相

距最近，設(shè)B行星的周期為廣，則有：仔-票）”2兀，解得：T，=￡,

根據(jù)開普勒第三定律，有：9=9,解得：R'=R氾了，故8co錯誤，A正確。

【典例5】（衛(wèi)星的變軌問題）2020年11月24日4時30分，長征五號遙五運載火箭在中國海南文昌航天發(fā)射

場成功發(fā)射，飛行約2200s后，順利將探月工程“嫦娥五號”探測器送入預(yù)定軌道，開啟中國首次地外天

體采樣返回之旅。如圖所示為“嫦娥五號”運行的示意圖，“嫦娥五號”首先進(jìn)入近地圓軌道I,在P點

進(jìn)入橢圓軌道II,到達(dá)遠(yuǎn)地點Q后進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道，到達(dá)月球附近后，經(jīng)過一系列變軌進(jìn)入環(huán)月軌道。

近地圓軌道I的半徑為一，“嫦娥五號”在該軌道上的運行周期為71；橢圓軌道H的半長軸為a,“嫦娥

五號”在該軌道上的運行周期為72；環(huán)月軌道III的半徑為小，“嫦娥五號”在該軌道上的運行周期為73。

地球半徑為R,地球表面重力加速度為g?！版隙鹞逄枴痹谲壍繧、II上運行時月球引力的影響不計，忽略

地球自轉(zhuǎn)，忽略太陽引力的影響。下列說法正確的是

B.“嫦娥五號”在軌道I的運行速度等于病

C.“嫦娥五號”在軌道H上運行時，在Q點的速度小于在P點的速度

D.“嫦娥五號”在軌道I上P點的加速度小于在軌道H上P點的加速度

【答案】C

【解析】4、開普勒第三定律適用于同一個中心天體，所以有：§力昌，故A錯誤；8、嫦娥五號在

軌道I上運行速度為力,萬有引力提供向心力可得：=解得：%=屈（7?為地球半徑），故B

錯誤：C、由衛(wèi)星的運動規(guī)律可知，在軌道H上運行時機(jī)械能守恒，山Q向P運動時重力做正功，重力勢能

減小動能增大，故嫦娥五號在橢圓軌道I［的Q點運行速度小于在橢圓軌道的P點運行速度，故C正確；D,

嫦娥五號在橢圓軌道II的P點和I軌道的P點都只受地球的萬有引力，所以加速度相同，故D錯誤；故選C。

【典例6】（雙星系統(tǒng)問題）我國發(fā)射的“悟空”探測衛(wèi)星，對暗物質(zhì)的觀測研究已處于世界領(lǐng)先地位.宇

宙空間中兩顆質(zhì)量均為僧的星球繞其連線中心轉(zhuǎn)動，理論計算的周期為30天，實際觀測周期為20天，科學(xué)

家認(rèn)為在兩星球之間存在暗物質(zhì).若以兩星球球心連線為直徑的球體空間中均勻分布著暗物質(zhì)（已知質(zhì)量

分布均勻的球體對外部質(zhì)點的作用等效于質(zhì)量集中在球心處對質(zhì)點的作用），則暗物質(zhì)量為

A.—mB.-mC.-mD.-m

164169

【答案】c

【解析】雙星繞它們的連線的中點做圓周運動，設(shè)它們之間的距離為3萬有引力提供向心力得：G^=

篝，計算得出：%=喘L根據(jù)觀測結(jié)果星體的運動周期為丁砂這種差異是由雙星內(nèi)均勻分布的

暗物偵引起的，均勻分布在兩星球間的暗物質(zhì)，對雙星系統(tǒng)的作用，與位于中點0處質(zhì)量等于暗物質(zhì)的總

質(zhì)量M的質(zhì)點的作用相同，G/+G器=誓，計算得出：=六痣，兩式之比為空絲=槳,

L（2）/雙觀G（m+4M）m2Q2

解得：M=2?n,故C正確，ABZ）錯誤。故選C。

【典例7】（天體密度）中國科學(xué)院國家天文臺發(fā)布消息說，位于貴州的我國自主研制的500米口徑球面射

電望遠(yuǎn)鏡（FAST）首次發(fā)現(xiàn)的一顆毫秒脈沖星已得到國際認(rèn)證。脈沖星自轉(zhuǎn)周期7=5.19ms,假設(shè)脈沖星為

2

質(zhì)量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為6.67X10-"N-m7kg0以周期7■穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的脈沖星的密度最

小值約為

A.5X10°kg/m3B.5X10"kg/m3C.5X101kg/m'D.5X101kg/m3

【答案】B

【解析】設(shè)脈沖星質(zhì)量為機(jī)密度為夕，半徑為此星體表面一物塊質(zhì)量為如根據(jù)天體運動規(guī)律知：華

（彳■）■/?,P—，代入可得：P^5X10l!kg/m\故B正確。

1r4obl

【典例8】（用割補法求萬有引力）（多選）《流浪地球》中描述，地球在逃亡中其表面溫度會降至很低，

人類住進(jìn)了地下深H處的城市中.設(shè)地球是半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體.已知對質(zhì)量分布均勻的球體

來說，處于其內(nèi)部的物體所受外部球殼的萬有引力大小為零，地球表面處重力加速度為g.如圖所示，若逃

亡前地球自轉(zhuǎn)的角速度大小不變，質(zhì)量為m的人從地球表面進(jìn)入地下城市中，則人

地面

2

A.所受重力減小了mg（1—*）B.所受重力減小了手

C.隨地球自轉(zhuǎn)的線速度變大D.隨地球自轉(zhuǎn)的線速度變小

【答案】BD

【解析】根據(jù)題意知，地面與地下城市之間的環(huán)形部分對處于地下城市內(nèi)部的物體的萬有引力為零.地面

處的重力加速度為0地球的質(zhì)量為M,在地球表面的質(zhì)量為m的人受到的重力近似等于地球?qū)θ说娜f有引

力，故mg=^：設(shè)地下城市內(nèi)部的重力加速度為g',等效“地球”的質(zhì)量為M',其半徑r=R—〃，則

地下城市內(nèi)部的人受到的重力為mg'=差了，又"=pV=p《兀&，w==p-7T（R-"）3,聯(lián)立解

得“=g（1—5），人所受到的重力的減小量為』G=mg—m。'=噌，故選項A錯誤，8正確；根據(jù)地球

自轉(zhuǎn)角速度不變和"=3r可知，選項C錯誤，。正確.

【典例9】（星球表面的拋體問題）（多選）為了探知未知天體，假如宇航員乘坐宇宙飛船到達(dá)某星球，測

得飛船在該星球表面附近做圓周運動的周期為7。飛船降落到該星球表面后，宇航員將小球從“高處以初速

度％水平拋出，落地時水平位移為x,忽略空氣阻力和該星球的自轉(zhuǎn)，已知引力常量為G,將該星球視為質(zhì)

量分布均勻的球體，則以下說法正確的是

A.該星球的半徑為嚶B.該星球的半徑為嚕

2n2x24n2x2

C.該星球的質(zhì)量為竽嗎D.該星球的質(zhì)量為啜警

2G7T4%6Gn4x6

【答案】AC

【解析】AB,設(shè)該星球的質(zhì)量為M,半徑為R,表面的重力加速度大小為g,匕船繞星球表面《行，重力

提供向心力，mg=m當(dāng)R小球做平拋運動，則H=ggt?,》=t聯(lián)立解得星球的半徑：氏二噌「故斗

正確，8錯誤；CD、物體在星球表面受到的重力等于萬有引力，血匕=竿解得星球質(zhì)量：”=翳巳,

故C正確，。錯誤。

【典例10］（宇宙速度）（多選）我國宇航員王躍與俄羅斯宇航員一起進(jìn)行“模擬登火星”實驗活動。近似

認(rèn)為火星的質(zhì)量是地球質(zhì)量的1/9,半徑是地球半徑的1/2,地球表面重