2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之圓

一、選擇題（共10小題）

1.（2021秋?潼南區(qū)期末）如圖，OO的半徑為6,將劣弧沿弦他翻折，恰好經(jīng)過圓心O,

點(diǎn)C為優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AABC面積的最大值是（）

A.6GB.12x/3C.27>/3D.54如

2.（2021秋?廈門期末）如圖，AA8C內(nèi)接于圓，弦比）交AC于點(diǎn)P,連接AD.下列角中,

是45所對圓周角的是（）

B.ZABDC.ZACBD.ABAC

3.（2021秋?嵐皋縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，O尸的半徑為2,點(diǎn)P的坐標(biāo)

為（0,3）,若將。尸沿y軸向下平移，使得。尸與x軸相切，則OP向下平移的距離為（）

A.1B.5C.3D.1或5

4.（2021秋?萊蕪區(qū)期末）如圖，是半圓的直徑，C、。是半圓上的兩點(diǎn)，ZADC=105°,

則NABC=()

65°C.75°D.85°

5.（2021秋?河?xùn)|區(qū)期末）如圖，PA,PB分別與相切于A、B,ZP=50°,C為

上一點(diǎn)，則NAC8的度數(shù)為（）

A.120°B.115°C.110°D.125°

6.（2021秋?叢臺(tái)區(qū)校級期末）把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖

所示，已知所=CE>=4,則球的半徑長是（）

AD

:?,：

S-------c

A.2B.2.5C.3D.4

7.（2021秋?北侖區(qū)期末）OO的半徑為5,若直線/與該圓相交，則圓心O到直線/的距離

可能是（）

A.3B.5C.6D.10

8.（2021秋?包河區(qū)期末）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=4.點(diǎn)F為

射線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作CM_LAF于交AB于。是4?的中點(diǎn)，則。M長度

的最小值是（）

A

A.6B.夜C.1D.娓-2

9.(2021?臨沂模擬)如圖，43是OO的直徑，Z￡>=40°,則NAOC=()

10.（2021?荊州模擬）如圖，四邊形438內(nèi)接于OO,交CB的延長線于點(diǎn)E,

若BA平■分NDBE,AE=M,CE=J萬，則A￡）等于（）

A.>/35B.6C.3>/2D.2幣

二、填空題（共7小題）

11.（2021秋?云陽縣期末）已知RtAABC中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,以C為

圓心，4.8c〃?長度為半徑畫圓，則直線4?與0O的位置關(guān)系是—.

12.（2021秋?余姚市期末）如圖1,水車又稱孔明車，是我國最古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具，是珍

貴的歷史文化遺產(chǎn).如圖2,圓心O在水面上方，且G）O被水面截得的弦A3長為8米，半

徑為5米，則圓心O到水面AB的距離為米.

圖1圖2

13.（2021秋?斗門區(qū)期末）如圖，點(diǎn)。為邊長是4出的等邊A48C邊左側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，不

與點(diǎn)A,3重合的動(dòng)點(diǎn)。在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持/4￡>3=120。不變，則四邊形4）3。的面

積S的最大值是—.

15.（2021?南崗區(qū)校級模擬）如圖，AABC內(nèi)接于。O,AB=AC=5,BC=8,O<9的半

徑長等于—.

16.（2018秋?南寧期末）已知OO的半徑為5,點(diǎn)P在OO上，若OP=d,則d5（填

“>”或“="或“<”).

17.如圖，在OO中，C是弦AB上一點(diǎn)，AC=2,CB=8.連接OC,過點(diǎn)C作。C_LOC,

與OO交于點(diǎn)。，￡>C的長為.

18.（2021秋?長壽區(qū)期末）如圖，是OO的直徑，3c是弦，OZ5_L8C于點(diǎn)E,交圓于

點(diǎn)D,連接AC>BD.

（1）請寫出五個(gè)不同類型的正確結(jié)論；

（2）若3C=8,ED=2,求OO的半徑.

19.（2021秋?瑞安市期末）如圖，AABC內(nèi)接于OO,AB=AC,。為AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)、B

作應(yīng):〃AD交DC延長線于點(diǎn)￡,連結(jié)如.

(1)求證：ZABD=NCBE.

(2)若4)=12,cos￡=-.求CE的長.

3

20.（2021秋?潛山市期末）如圖，AABC中，NACB=90。，AC=6,3c=8,點(diǎn)O是他

的中點(diǎn).

（1）若以點(diǎn)。為圓心，以R為半徑作。O,且點(diǎn)4,B,C都在OO上，求R的值；

（2）若以點(diǎn)3為圓心，以/?為半徑作08,且點(diǎn)O,A,C中有兩個(gè)點(diǎn)在內(nèi)，有一個(gè)

點(diǎn)在08外，求r的取值范圍.

A。

CB

21.（2021秋?阜陽月考）《九章算術(shù)》是我國古代第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，代表了東方

數(shù)學(xué)的最高成就，它的算法體系至今仍在推動(dòng)著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和應(yīng)用.書中記載：“今有圓

材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”

譯為：“今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這木材，鋸口深1寸（皮＞=1

寸），鋸道長1尺（AB=1尺=10寸）.問這塊圓形木材的直徑（AC）是多少？”如圖所示，請

根據(jù)所學(xué)的知識解答上述問題.

22.（2021秋?常州期末）如圖，是OO的直徑，弦4）平分NBAC,過點(diǎn)。作

垂足為E.

（1）判斷比所在直線與OO的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若隹=4,ED=2,求OO的半徑.

23.（2021秋?濱江區(qū)期末）如圖，在OO中，AB=CD,弦4?與8相交于點(diǎn)M.

(1)求證：AC=BD.

(2)連接AC,AD,若4)是OO的直徑，求證：ZB4C+2ZR4Z)=90°.

24.（2021?思明區(qū)校級二模）如圖，四邊形A8C￡＞內(nèi)接于。0,F是CO上一點(diǎn)，且。F=BC,

連接CF并延長交4）的延長于點(diǎn)E,連接AC.

（1）若NABC=105。，ABAC=25°,求NE■的度數(shù)；

（2）若OO的半徑為4,且NB=2NADC,求AC的長.

25.如圖，43是<30的一條弦，AB=10g,AB=120。，點(diǎn)。在0。上，C￡>_LAB于點(diǎn)C,

BC-AC=n,求CD的長.

2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之圓

參考答案與試題解析

一、選擇題（共10小題）

1.（2021秋?潼南區(qū)期末）如圖，0。的半徑為6,將劣弧沿弦A3翻折，恰好經(jīng)過圓心O,

點(diǎn)C為優(yōu)弧45上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AABC面積的最大值是（）

A.6乖）B.1273C.2773D.54后

【答案】C

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；垂徑定理

【專題】推理能力；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

【分析】過點(diǎn)C作CTL45于點(diǎn)T,過點(diǎn)O作于一點(diǎn)H,交O。于點(diǎn)K,連接AO,

AK.解直角三角形求出求出CT的最大值，可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)T,過點(diǎn)。作于點(diǎn)”，交OO于點(diǎn)K,

連接AO,AK.

K

由題意4?垂直平分線段OK,

AO=AK,

-.OA=OK,

:.OA=OK=AK,

:.ZOAK=ZAOK=60°.

??.AW=OAsin60°=6x—=3^,

2

：.AH=BH,

/.AB=2AH=6y/3,

???OC+OH..CT,

/.CT,,6+3=9,

.?.C7的最大值為9,

「.AABC的面積的最大值為166x9=27石，

2

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查垂徑定理，勾股定理，三角形的面積，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是

求出CT的最大值，屬于中考常考題型.

2.（2021秋?廈門期末）如圖，A4BC內(nèi)接于圓，弦如交AC于點(diǎn)P,連接4）.下列角中，

是A8所對圓周角的是（）

B.ZABDC.ZACBD.ABAC

【答案】C

【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；圓周角定理

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力

【分析】由圓周角定理可求解.

【解答】解：由題意可得：A8所對的圓周角為N4Z）3和NACB,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

3.（2021秋?嵐皋縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，O尸的半徑為2,點(diǎn)P的坐標(biāo)

為（0,3）,若將OP沿y軸向下平移，使得。尸與x軸相切，則0P向下平移的距離為（）

A.1B.5C.3D.1或5

【答案】D

【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形變化-平移

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力

【分析】分圓P在X軸的上方與X軸相切、圓尸在在X軸的下方與*軸相切兩種情況，根據(jù)

切線的判定定理解答.

【解答】解：當(dāng)圓P在X軸的上方與X軸相切時(shí)，平移的距離為3-2=1,

當(dāng)圓P在x軸的下方與x軸相切時(shí)，平移的距離為3+2=5,

綜上所述，QP向下平移的距離為1或5；

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是切線的判定、坐標(biāo)與圖形的變化-平移問題，掌握切線的判定定理是

解題的關(guān)鍵，注意分情況討論.

4.(2021秋?萊蕪區(qū)期末)如圖，是半圓的直徑，C、。是半圓上的兩點(diǎn)，ZAT>C=105°,

則NA3C=()

A.55°B.65°C.75°D.85°

【答案】C

【考點(diǎn)】圓周角定理

【專題】幾何直觀；與圓有關(guān)的計(jì)算

【分析】連接班＞,先根據(jù)圓周角定理得到Z4DB=90。，則可計(jì)算出?C=15。，然后根

據(jù)圓周角定理得到NCAB的度數(shù)進(jìn)而求出答案.

【解答】解：連接班）,如圖，

?.,A8是半圓的直徑，

.-.ZADB=90°，

ZBDC=ZADC-ZADB=105°-90°=15°,

ZCAB=ZBDC=15°.

ZABC=90°-ZCAB=75°.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于

這條弧所對的圓心角的一半.半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦

是直徑.

5.（2021秋?河?xùn)|區(qū)期末）如圖，PA.PB分別與相切于A、B,ZP=50°,C為

上一點(diǎn)，則NAC8的度數(shù)為（）

A.120°B.115°C.110°D.125°

【答案】B

【考點(diǎn)】圓周角定理；切線的性質(zhì)

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力

【分析】連接。4、08,作AB所對的圓周角/位應(yīng)，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到

ZOAP=ZOBP=90°,則利用四邊形的內(nèi)角和計(jì)算出4403=130。，再根據(jù)圓周角定理得

到NAQB=65。，然后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算ZACB的度數(shù).

【解答】解：連接。4、OB,作AB所對的圓周角/4D8,如圖,

?■PA,分別與OO相切于A、B,

:.OA±PA,OBA.PB,

.-.ZOAP=ZOBP=90°,

.-.ZAOB=360o-90o-90o-ZP=180o-50o=130°,

NADB=-ZAOB=65°,

2

■.?ZACB+ZADB=180°,

ZACB=180o-65°=115°.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.也考查了圓周角定理.

6.（2021秋?叢臺(tái)區(qū)校級期末）把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖

所示，已知EF=C￡>=4,則球的半徑長是（）

《EV一~、尸D

?；?,：

B-----------C

A.2B.2.5C.3D.4

【答案】B

【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；

推理能力

【分析】設(shè)球的平面投影圓心為O,過點(diǎn)。作于點(diǎn)N,延長NO交8c于點(diǎn)M,

連接OF,由垂徑定理得：NF=EN」EF=2,設(shè)OF=x,則。M=4—x,然后在RtAMOF

2

中利用勾股定理求得。尸的長即可.

【解答】解：設(shè)球的平面投影圓心為O,過點(diǎn)O作ONJL4）于點(diǎn)N,延長NO交3c于點(diǎn)

連接OP,如圖所示：

則NF=EN=、EF=2,

2

?.?四邊形是矩形，

.?.ZC=ZD=90°,

二.四邊形CCWM是矩形，

:.MN=CD=4,

設(shè)OF=x,plljOM=OF,

,-.ON=MN-OM=4-x,

在RtAONF中，由勾股定理得：ON2+NF2=OF2,

即：（4-X）2+22=X2,

解得：x=2.5,

即球的半徑長是2.5,

故選：B.

W尸p

，N二八

BM。

【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用、矩形的判定與性質(zhì)等知識，正確作

出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

7.（2021秋?北侖區(qū)期末）00的半徑為5,若直線/與該圓相交，則圓心。到直線/的距離

可能是（）

A.3B.5C.6D.10

【答案】A

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系

【專題】推理能力；與圓有關(guān)的位置關(guān)系

【分析】根據(jù)直線/和。0相交?！?lt;廣，即可判斷.

【解答】解：的半徑為5,直線/與相交，

二圓心。到直線/的距離d的取值范圍是0,,d<5,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是記?、僦本€/和OO相交②

直線/和0O相切="=/"③直線/和oo相離

8.（2021秋?包河區(qū)期末）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,3c=4.點(diǎn)/為

射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作于M,交4?于E,。是的中點(diǎn)，則。M長度

的最小值是（）

A.73B.x/2C.1D.76-2

【答案】C

【考點(diǎn)】圓周角定理；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；三角形三邊關(guān)系；直角三角形斜邊上的中線

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)：應(yīng)用意識

【分析】如圖，取AC的中點(diǎn)T,連接07,MT.利用三角形的中位線定理求出07,利

用直角三角形的中線的性質(zhì)求出再根據(jù)可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，取AC的中點(diǎn)T,連接￡>T,MT.

：.DT=-BC=2,

2

■.CEYAF,

:.ZAMC=90°,

:.TM=-AC=3,

2

.?.點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)軌跡是以T為圓心，7M為半徑的圓,

:.DM..TM-DT=3-2=\,

.?.DW的最小值為1,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知

識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線，直角三角形斜邊中線解決問題.

9.（2021?臨沂模擬）如圖，4?是G）O的直徑，ZD=40°,則Z4OC=（）

B.100°C.120°D.140°

【答案】B

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系

【專題】推理能力；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

【分析】根據(jù)圓周角定理求出NBOC,然后由鄰補(bǔ)角的定義即可解決問題.

【解答】解：?.?NE>=40。，

.?.ZB<9C=2ZD=80°.

:.ZAOC=100°.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，鄰補(bǔ)角定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于

中考常考題型.

10.（2021?荊州模擬）如圖，四邊形43co內(nèi)接于OO,交CB的延長線于點(diǎn)￡,

若BA平分/DBE,AE=M,CE=y/V7,則等于()

A.屈B.6C.3>/2D.2用

【答案】B

【考點(diǎn)】勾股定理；圓周角定理；垂徑定理；角平分線的性質(zhì)；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算：應(yīng)用意識

【分析】連接AC,根據(jù)角平分線的定義得到加根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得

到根據(jù)圓周角定理得到NAB￡>=NACD,進(jìn)而證明NAC￡>=NaX,根據(jù)

等腰三角形的判定定理得出AD=AC,根據(jù)勾股定理計(jì)算AC,進(jìn)而得到答案.

【解答】解：如圖，連接AC.

BA平分ZDBE,

:.ZABE=ZABD,

?.?四邊形為圓內(nèi)接四邊形，

:.ZABE=ZADC,

由圓周角定理得：ZABD=ZACD,

:.ZACD=ZCDA,

.\AD=AC，

-.■AEA.CB,AE=M,CE=^Y7,

.-.ZAEC=90°,

：.AC^ylAE2+CE2=6,

:.AD=6.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、圓周角定理、勾股定理、

角平分線定義，熟練掌握圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（共7小題）

11.（2021秋?云陽縣期末）已知RtAABC中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,以C為

圓心，4.8cw長度為半徑畫圓，則直線A3與OO的位置關(guān)系是相切.

【答案】相切，理由見解析.

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系

【專題】推理能力：運(yùn)算能力；等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系

【分析】根據(jù)勾股定理及三角形的面積公式求出三角形邊上的高力，比較r與〃的關(guān)系

即可判斷直線4J與。O的位置關(guān)系.

【解答】解：在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,

AB=-JAC2+BC2=\/62+82=10(cvw),

設(shè)三角形43邊上的高為

ACBC6x8一、

/.h7=-----------=------=4.8(c/n),

AB10

,.T=4.8CZ?Z,

；.d=r,

與OC相切,

故答案為：相切.

【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系，三角形的面積公式，根據(jù)勾股定

理及三角形的面積公式求出三角形他邊上的高是解決問題的關(guān)鍵.

12.（2021秋?余姚市期末）如圖1,水車又稱孔明車，是我國最古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具，是珍

貴的歷史文化遺產(chǎn).如圖2,圓心O在水面上方，且OO被水面截得的弦至長為8米，半

徑為5米，則圓心O到水面AB的距離為3米.

圖1圖2

【答案】3.

【考點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理的應(yīng)用

【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力：應(yīng)用意識

【分析】過O作于。，連接。4,由垂徑定理得AO=8￡）=gA8=4（米），然后

在RtAAOD中，由勾股定理求出8的長即可.

【解答】解：過。作OCJ_AB于。，連接。4,如圖所示：

則===4（米），

2

在RtAAOD中，由勾股定理得：OD=ylOA'-AD2=>/52-42=3（米），

即圓心O到水面的距離為3米，

【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解

題的關(guān)鍵.

13.（2021秋?斗門區(qū)期末）如圖，點(diǎn)。為邊長是4G的等邊AABC邊45左側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，不

與點(diǎn)A,8重合的動(dòng)點(diǎn)。在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持"）3=120。不變，則四邊形AZMC的面

積5的最大值是—16百_.

【答案】16道.

【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)

【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；幾何直觀

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到8=S，ZDAC=^HBC,推出點(diǎn)。，點(diǎn)3,點(diǎn)，三點(diǎn)共

線，得到ADCH是等邊三角形，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：:AWC是等邊三角形，

AB=AC=BC=4>/3,ZACB=ZABC=ZBAC=60°,

?.■ZADB=nO0,

:.ZADB+ZACB=1SO°,

：.四邊形ACM是圓內(nèi)接四邊形，

.-.OA=OB=—AB=—x4y/3=4,

33

G)O直徑為8.

如圖，作四邊形AC8O的外接圓OO,將AAQC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到

H

:.CD=CH,ZDAC=ZHBC,

???四邊形AC8D是圓內(nèi)接四邊形，

/.ZDAC+ZDBC=\S00,

.\ZDBC+ZHBC=l80°,

.?,點(diǎn)。，點(diǎn)3,點(diǎn)H三點(diǎn)共線，

???DC=CH,N8〃=60。，

.?.ADCH是等邊三角形，

?.?四邊形ADBC的面積S=+SMDC=S.DH=與CD?,

.,.當(dāng)CD最大時(shí)，四邊形ADBC的面積最大,

.?.當(dāng)CD為的直徑時(shí)，8的值最大，

即8=8,

四邊形ADBC的面積的最大值為正=16石，

4

故答案為：166-

【點(diǎn)評】本題考查了圓的有關(guān)知識，圓的外接圓與外心，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

軸對稱的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

14.（2021秋?常州期末）如圖，四邊形內(nèi)接于OO,DA=DC,若NCBE=40。,則

ZZXC的度數(shù)是_70。_.

【答案】70。*

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力

【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求出Z4BC,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出N」D+NABC=18O。，

求出ND,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出4MC即可.

【解答】解：?.?NC8E=40。，

ZABC=1800-NCBE=140°,

四邊形ABCQ是的內(nèi)接四邊形，

/.ZD+ZABC=180°,

.?."=40°,

AD=CD,

NDAC=ZDCA=g（180。-ZD）=70°,

故答案為：70°.

【點(diǎn)評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，圓心角、

弧、弦之間的關(guān)系，圓周角定理等知識點(diǎn)，能熟記圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解此題的關(guān)鍵.

15.（2021?南崗區(qū)校級模擬）如圖，AA8C內(nèi)接于AB=AC=5,8c=8,O。的半

徑長等于-.

-6-

A

【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心

【專題】推理能力；運(yùn)算能力；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

【分析】連接根據(jù)M=AC得出AB=AC,再由AO過圓心得出4）垂直并平分BC,

根據(jù)勾股定理求出兌>的長，設(shè)OB=r,則。￡>=-3,在RtABOD中根據(jù)勾股定理可得出

，的值，進(jìn)而得出結(jié)論.

【解答】解：連接AO交BC于。，

-.■AB=AC,

AB=AC,

又「AO過圓心，

垂直并平分8C,

:.BD=CD=4.

?.?AB=5,

AD=7AB2-BD2=>/52-42=3.

設(shè)OB=r,則OO=r-3,

在RtABOD中，OD2+BD2=OB2,即（r-3>+4?=尸,

解得r="，

6

故答案為：—.

6

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓、等腰三角形的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識；熟

練掌握等腰三角形的性質(zhì)和垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

16.（2018秋?南寧期末）已知OO的半徑為5,點(diǎn)P在OO上，若OP=d,貝i]d_=_5（填

“>”或“="或“<”）.

【答案】=.

【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【專題】幾何直觀；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

【分析】根據(jù)4=，?，點(diǎn)Z在圓上解決問題即可.

【解答】解：的半徑為5,點(diǎn)尸在。。上，

.-.d=OP=5,

故答案為：=.

【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是記住：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種.設(shè)。。

的半徑為r,點(diǎn)尸到圓心的距離OP=",則有：

①點(diǎn)P在圓外od>r

②點(diǎn)P在圓上od=r

①點(diǎn)P在圓內(nèi)<=>"<廠

17.如圖，在OO中，C是弦A3上一點(diǎn)，AC=2,CB=8.連接OC,過點(diǎn)C作￡>C_LOC,

與OO交于點(diǎn)。，QC的長為4.

【考點(diǎn)】勾股定理：垂徑定理

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力

【分析】延長。C交。。于點(diǎn)E.由相交弦定理構(gòu)建方程即可解決問題.

【解答】解：延長ZX?交OO于點(diǎn)E.

\OC±DE9

DC=CE，

連接AD、BE,則NADE=NABE,

：ZACD=AECB,

:.AADC^AEBC,

.ACDC

"~CE~~CB'

.ACCB=DCCE,

DC2=2x8=16,

?.DC>0,

:.DC=4,

故答案為4.

【點(diǎn)評】本題考查垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用

輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

三、解答題（共8小題）

18.（2021秋?長壽區(qū)期末）如圖，他是。。的直徑，3c是弦，ODA.BC于點(diǎn)、E,交圓于

點(diǎn)D,連接AC>BD.

（1）請寫出五個(gè)不同類型的正確結(jié)論：

（2）若BC=8,ED=2,求OO的半徑.

D

【答案】（1）CE=BE,CD=BD,OE=-AC,ZC=90°,AC//OD；

2

（2）5.

【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理

【專題】運(yùn)算能力；推理能力；線段、角、相交線與平行線；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；等腰三

角形與直角三角形；三角形

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得出CE=3E,8=80,根據(jù)三角形的中位線求出OE=』AC,

根據(jù)圓周角定理求出NC=90。，根據(jù)平行線的判定得出ACHOD；

（2）根據(jù)垂徑定理求出3E=4,根據(jù)勾股定理得出關(guān)于R的方程，再求出方程的解即可.

【解答】解：（1）正確的結(jié)論有：CE=BE,CD=BD,OE=-AC,NC=90。，AC//OD；

2

（2）-.ODLBC,過圓心O,BC=8,

；.NOEB=90°,BE=CE=4,

設(shè)OO的半徑為A,則OB=O￡>=R,

由勾股定理得：OB2=OE2+BE2,

即/?2=（/?-2）2+42,

解得：R=5,

即OO的半徑是5.

【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的中位線，圓周角定理等知識點(diǎn)，能熟記

垂徑定理是解此題的關(guān)鍵.

19.（2021秋?瑞安市期末）如圖，AABC內(nèi)接于OO,AB=AC,。為AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)8

作BE//AD交"1延長線于點(diǎn)E,連結(jié)比）.

(1)求證：ZABD=NCBE.

(2)若AD=12,cosE=1,求CE的長.

【答案】（1）見解析過程;

（2）8.

【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；解直角三角形；圓周角定理

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；圖形的相似；推理能力

【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理可證Z4BC=NAZ）3=Nr>BE,可得

ZABD=NCBE；

ARAH

（2）通過證明可得土=——，ZE=ZADB,由線段的垂直平分線的性質(zhì)

BCCE

可得BH=CH,AH±BC,即可求解.

【解答】（1）證明：?.?AB=AC,

:.ZABC=ZACB,

-.?BEUAD,

:.ZADB=ZDBE,

?-ZADB=ZACB,

：.ZABC=ZADB=ZDBE,

;.ZABD=NCBE；

(2)解：連接80,CO,AO,延長AO交BC于"，

???四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

.\ZBAD+ZBCD=\SO0,

又???NBCE+/BCD=180°,

：.ZBAD=ZBCE,

又???ZABD=NCBE,

/SABD^/^CBE，

.ABAD

..——=----，ZE=ZADB，

BCCE

:.ZACB=ZADB=NE,

\AB=AC,OB=OC,

二.AO是3C的中垂線，

:.BH=CH,AHLBC,

廠“n1CH

*.*cosE=cosNAC6=-=，

3AC

設(shè)CH=x,AC=3x,

AB=3x,BC=2x，

..—3x=—12,

2xCE

/.CE=8.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，等腰

三角形的性質(zhì)等知識，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

20.（2021秋?潛山市期末）如圖，AABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)O是43

的中點(diǎn).

（1）若以點(diǎn)。為圓心，以R為半徑作OO,且點(diǎn)A,B,C都在0O上，求R的值；

（2）若以點(diǎn)3為圓心，以/■為半徑作08,且點(diǎn)O,A,C中有兩個(gè)點(diǎn)在內(nèi)，有一個(gè)

點(diǎn)在OB外，求r的取值范圍.

一

cB

【答案】（1）R=5;

（2）8<r<10.

【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力

【分析】（1）利用勾股定理以及直角三角形斜邊中線定理求出OC,可得結(jié)論；

（2）根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解即可.

【解答】解：連接比.

CB

vZACB=90°,AC=6,CB=8,

/.AB=ylAC2-^BC2=7624-82=10,

(1)???點(diǎn)A,B,。都在OO上,

/.R=OC=5.

（2）???點(diǎn)O,A,C中有兩個(gè)點(diǎn)在08內(nèi)，有一個(gè)點(diǎn)在外，

.\8<r<10.

【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)

系，屬于中考?？碱}型.

21.（2021秋?阜陽月考■）《九章算術(shù)》是我國古代第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，代表了東方

數(shù)學(xué)的最高成就，它的算法體系至今仍在推動(dòng)著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和應(yīng)用.書中記載：“今有圓

材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”

譯為：”今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這木材，鋸口深1寸（EO=1

寸)，鋸道長1尺(AB=1尺=10寸).問這塊圓形木材的直徑(AC)是多少？”如圖所示，請

根據(jù)所學(xué)的知識解答上述問題.

【答案】26寸.

【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；數(shù)學(xué)常識

【專題】推理能力：運(yùn)算能力；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

【分析】設(shè)OO的半徑為x寸.在RtAADO中，4)=5寸，0。=。一1)寸，。4=苫寸，則

有d=(x-iy+5?,解方程即可.

【解答】解：設(shè)OO的半徑為x寸，

?：OEA-AB,A8=10寸，

AD=BD=-AB=S-A，

2

在RtAAOD中，OA=x,OD=x-\,

由勾股定理得/=(X-爐+5"

解得x=13,

.?.00的直徑47=2*=26(寸)，

答：這塊圓形木材的直徑(AC)是26寸.

【點(diǎn)評】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問

題，屬于中考?？碱}型.

22.(2021秋?常州期末)如圖，他是OO的直徑，弦4)平分44C,過點(diǎn)。作上_LAC,

垂足為E.

(1)判斷小所在直線與OO的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若AE=4,ED=2,求的半徑.

【答案】（1）直線上與OO相切，理由見解析；

⑵-.

2

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；圓周角定理；勾股定理；直線與圓的位置關(guān)系；垂徑定理

【專題】圖形的相似；等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力

【分析】（1）連接8,根據(jù)角平分線的性質(zhì)與角的等量代換易得/0￡>E=90。，而。是圓

上的一點(diǎn)；故可得直線上與。O相切；

（2）連接班），根據(jù)勾股定理得到AD,根據(jù)圓周角定理得到44。8=90。，根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)列方程得到舫=5,根據(jù)切線的性質(zhì)得到8,EF,求得AE//OZ）,根據(jù)相似三

角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）直線與。O相切；

理由：連接on,

?.?NC4B的平分線是4）,

.-.ZCAD^ZDAB.

-.OA=OD,

.■.ZOAD=ZODA.

:.ZEAD=ZADO,

:.AE//OD,

?.?ZAED=90°,

NODE=90°.

?.?8是OO的半徑，

直線。E與OO相切；

（2）連接

?.?￡D=2,<4E=4,

AD=yjAE2+DE2=275,

45是G)O的直徑，

ZADB=90°,

ZEAD=ZBAD，

MDES/SABD，

AEAD

茄一罰’

AB=5，

oo的半徑為：.

【點(diǎn)評】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線

是解題的關(guān)鍵.

23.（2021秋?濱江區(qū)期末）如圖，在°。中，AB=CD,弦AB與CD相交于點(diǎn)

(1)求證：AC=BD.

(2)連接AC,AD,若4)是OO的直徑，求證：ABAC+2ABAD=90°.

【答案】（1）（2）證明見解析部分.

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理

【專題】應(yīng)用意識；與圓有關(guān)的計(jì)算

【分析】（1）利用圓心角，弧，弦之間的關(guān)系解決問題即可；

（2）利用圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)解決問題.

【解答】（1）證明：如圖，.AB=CD,

AB=CD,

/.AC+CB—CB+DB，

AC—BD.

(2)證明：連接4).

AC=BD,

:.ZADC=ABAD,

：.ZAMC=AMAD+AMDA=2NBAD,

AD是直徑，

.-.ZACD=90°,

.-.ZCAB+ZAMC=9(r,

ZCAB+2ZBAD=90°.

【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用

所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

24.(2021?思明區(qū)校級二模)如圖，四邊形/WCD內(nèi)接于OO,尸是8上一點(diǎn)，H.DF=BC,

連接C尸并延長交4)的延長于點(diǎn)E,連接AC.

(1)若Z48C=105。，N84c=25。，求NE的度數(shù)；

(2)若°。的半徑為4,SLZB=2ZADC,求AC的長.

【答案】⑴50。；(2)46

【考點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力

【分析】(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出入4DC的度數(shù)，由圓周角定理得出NDCE的度

數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(2)連接AO,CO,過O作于M,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出的度

數(shù)，由圓周角定理得出NAOC的度數(shù)，求出NO4c=30。，根據(jù)含30。角的直角三角形的性

質(zhì)求出根據(jù)勾股定理求出再根據(jù)垂徑定理求出AM=CM=26，再求出答案

即可.

【解答】解：⑴DF=BC

:.ZDCF=ABAC=25°,

?.?四邊形內(nèi)接于QO,

:.^B+ZADC=180°,

ZADC=180°-ZB=75°.

又YZADCDCE+NE,

ZE=ZADC-ZDCE=50°；

(2)?.?四邊形內(nèi)接于OO,

.-.ZB+ZAZX?=180°,

-.-ZB=2ZADC,

.'.ZB=120°,ZADC=60°,

連接。4、OC,過點(diǎn)。作OA7_LAC于點(diǎn)M,

AC=AC,

:.ZAOD=1ZADC=120°,

■：OA=OC,OM±AC,

：.AM=-AC,ZAOM=60°,

2

AM=OAsinZAOM=4x—=2y/3,

2

AC=2AM=4>/3.

【點(diǎn)評】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，三角形外角性質(zhì)，圓周角定理，直角三角

形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理等知識點(diǎn)，能熟記圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解此

題的關(guān)鍵.

25.如圖，43是<30的一條弦，AB=10>/3,AB=120。，點(diǎn)。在0。上，于點(diǎn)C,

BC-AC=n,求CD的長.

【答案】13.

【考點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系

【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力；應(yīng)用意識

【分析】如圖，連接OA,OB,OD,過點(diǎn)。作于點(diǎn)H,07,8于點(diǎn)7,解直

角三角形求出OH,OB,再求出CH，證明四邊形是矩形，再利用勾股定理求出“，

可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，連接。4,OB,OD,過點(diǎn)。作于點(diǎn)〃，OT_LCD于點(diǎn)T

48=120°,

:.ZAOB^\2Q0,

-.-OH1AB,OA=OB,

/.AH=BH=5y/3fZAOH=ZBOH=60°f

/.ZOB//=30°,OH=8"=5，

tan60°

.?.OB=2OH=U),

???BC-AC=BH+CH-{AH-CH)=2CH=12,

:.CH=6,

???C￡)J_A8,OHLAB,OTLCD.

??.NOHC=ZHCT=NOTC=90。,

四邊形O〃C7是矩形，

:.CT=OH=5,OT=CH=6,

???NOTD=900,

.?.DT=y/oD2-OT2=V102-62=8,

.?.CD=OT+CT=8+5=13.

【點(diǎn)評】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形，直角三角形解決問題.

考點(diǎn)卡片

1.數(shù)學(xué)常識

數(shù)學(xué)常識

此類問題要結(jié)合實(shí)際問題來解決，生活中的一些數(shù)學(xué)常識要了解.比如給出一個(gè)物體的高度

要會(huì)選擇它合適的單位長度等等.

平時(shí)要注意多觀察，留意身邊的小知識.

2.三角形三邊關(guān)系

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，

只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角

形.

（3）三角形的兩邊差小于第三邊.

（4）在涉及三角形的邊長或周長的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏

的定時(shí)炸彈，容易忽略.

3.全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔

助線構(gòu)造三角形.

4.角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相

等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分

線的性質(zhì)語言：如圖，在NA02的平分線上，CDLOA,CEVOB：.CD=CE

5.等邊三角形的性質(zhì)

(1)等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等

腰三角形.

①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系:等邊三角形是等腰三角形的特殊情況.在等邊三角形中，

腰和底、頂角和底角是相對而言的.

(2)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°.

等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊

的垂直平分線是對稱軸.

6.直角三角形斜邊上的中線

(1)性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.(即直角三角形的外心位于斜

邊的中點(diǎn))

(2)定理：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條

邊為斜邊的直角三角形.

該定理可以用來判定直角三角形.

7.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平

方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是小b,斜邊長為c,那么/+/=02.

(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

22,

(3)勾股定理公式/+層=02的變形有：a=7c-bb=*二^及c=席忑.

(4)由于a1+b1=c1>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形

中的每一條直角邊.

8.垂徑定理

(1)垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

(2)垂徑定理的推論

推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

9.垂徑定理的應(yīng)用

垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：

（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問

題.

這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方

法一定要掌握.

10.圓心角、弧、弦的關(guān)系

（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它

們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.

說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”

是指同為優(yōu)弧或劣弧.

（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，

三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心

旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖