2020-2022年中考數(shù)學真題分類匯編

幾何題翻折類

一、選擇題

1.（2022?浙江省湖州市）如圖,已知8D是矩形4BCD的對角線,4B=6,BC=8,點E,

F分別在邊40,BC上,連結(jié)BE,OF.將AABE沿BE翻折，將AOCF沿。尸翻折，若

翻折后，點A,C分別落在對角線BD上的點G,H處，連結(jié)GF.則下列結(jié)論不正確的

是（）

A.BD=10B.HG=2C.EG//FHD.GF1BC

2.（2022西藏）如圖，在菱形紙片ABCD中，E是BC邊

上一點，將仆ABE沿直線AE翻折，使點B落在夕上，

連接DB'.已知4c=120°,Z.BAE=50°,則乙48'。的

度數(shù)為（）

A.50°B.60°C.80°D.90°

3.（2022?四川省達州市）如圖，點E在矩形4BC。的48邊上,

將△4DE沿DE翻折，點4恰好落在BC邊上的點F處，若

CD=3BF,BE=4,則力。的長為（）

AEB

等AD;（3）GE=V6DF:④OC=2&0F;⑤△COFs^CEG.其中正確的是（）

A.①②③B.①③④C.①④⑤D.②③④

5.（2022?黑龍江省牡丹江市）下列圖形是黃金矩形的折疊過程：

第一步，如圖（1）,在一張矩形紙片一端折出一個正方形，然后把紙片展平;

M

圖⑴圖⑵

第二步，如圖（2）,把正方形折成兩個相等的矩形再把紙片展平;

第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線2B,并把AB折到圖（3）中所示的4。處;

第四步，如圖（4）,展平紙片，折出矩形BCDE就是黃金矩形.

則下列線段的比中：①黑，②器，③霹，④親比值為與1的是（）

A.①②B.①③C.②④D.②③

6.（2022?臺灣?。┤鐖D1為一張正三角形紙片4BC,其中。點在4B上，E點在BC上.今

以。E為折線將B點往右折后，BD、BE分別與4c相交于尸點、G點,如圖2所示.若

AD=10,AF=16,DF=14,BF=8,則CG的長度為多少？（）

A.7B.8C.9D.10

7.（2021?四川省涼山彝族自治州）如圖，△力BC中，

Z.ACB=90。，AC=8,BC=6,將A4DE沿DE翻

折，使點4與點B重合，貝ICE的長為（）

A19

A-T

B.2

7

D.

4

8.（2021?四川省遂寧市）如圖，在矩形4BCD中，48=

AD=3,點E為BC上一點，把4CDE沿。E翻折，

點C恰好落在4B邊上的F處，則CE的長是（）

A.1B.iC.jD1

9.（2021?浙江省麗水市）如圖，在Rt△4BC紙片中，Z.ACB=

90°,AC=4,BC=3,點D,E分別在AB,4C上，連結(jié)

DE,將AADE沿CE翻折，使點4的對應點F落在BC的延

長線上，若FD平分NEFB,則4D的長為（）

10.（2020?重慶A卷）如圖，三角形紙片4BC,點。是BC邊上一

點，連接4D,把△力BD沿著4D翻折，得到△4ED,DE與

AC交于點G,連接BE交AD于點F.若DG=GE,AF=3,

BF=2,△AOG的面積為2,則點F到BC的距離為（）

A匹B.越C.越

555

11.（2020?重慶市B卷）如圖，在△力BC中,AC=2?乙ABC=

45°,ABAC=15°,將A/ICB沿直線AC翻折至△4BC所在

的平面內(nèi)，得△4C。.過點4作4E,使N￡ME=ND4C,與

CD的延長線交于點E,連接BE,則線段BE的長為（）

A.V6B.3C.2V3D.4

12.（2020?江蘇省無錫市）如圖,在四邊形ABC。中（AB>CD）,

/.ABC=乙BCD=90°,AB=3,BC=V5,把Rt△4BC沿

著4c翻折得到RM4EC,若tan乙4ED=@,則線段DE的

2

長度（）

13.（2020?四川省資陽市）如圖，在邊長為4的正方形

4BCD中，點E是CD邊上的一點，將AADE沿2E翻

折得到△力FE,連接BF,使tan乙4BF=2,則DE的

長是（）

A.1

Di

二、填空題

14.（2022?遼寧省盤錦市）如圖，四邊形4BCD為矩形，4B=或,力。=3，點E為邊BC上

一點，將4DCE沿DE翻折，點C的對應點為點F,過點F作DE的平行線交4。于點G,

交直線BC于點H.若點G是邊4。的三等分點，則FG的長是.

15.（2022.江蘇省蘇州市）如圖，在矩形ABCD中，黑=弓.動點M從點A出發(fā)，沿邊40向

點。勻速運動，動點N從點B出發(fā)，沿邊BC向點C勻速運動，連接MN.動點M,N同

時出發(fā)，點M運動的速度為打，點N運動的速度為以，且/<方?當點N到達點C時，

M,N兩點同時停止運動.在運動過程中，將四邊形M4BN沿MN翻折，得到四邊形

MA'B'N.若在某一時刻，點B的對應點B,恰好與8的中點重合，則寰值為一

16.（2022?廣西壯族自治區(qū)南寧市）如圖，在正方形ZBCD

中，AB=4V2,對角線AC,BD相交于點。.點E是對

角線4c上一點，連接BE,過點E作EF1BE,分別交

CD,BD于點F,G,連接BF,交AC于點H,將△EFH

沿EF翻折，點”的對應點H'恰好落在BD上，得到△

EFH'.若點F為CD的中點，則4EG”'的周長是.

17.（2022?貴州省銅仁市）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中,

點E為力。的中點，將ACDE沿CE翻折得ACME,點M落在

四邊形4BCE內(nèi).點N為線段CE上的動點，過點N作

NP//EM交MC于HP,則MN+NP的最小值為.

18.（2022?遼寧省）如圖，正方形

力BCD的邊長為10,點G是邊

CD的中點，點E是邊4。上一

動點，連接BE,將AABE沿BE

翻折得到^FBE,連接GF,當

GF最小時，4E的長是.

19.（2022.甘肅省蘭州市）如圖，在矩形紙片4BCD中，點E在BC邊上，將△CDE沿DE翻

折得到△FDE,點F落在4E上.若CE=3cm,AF=2EF,則4B=cm.

20.（2021.遼寧省盤錦市）如圖，四邊形4BCD為矩形，

AB=2V3,AD=2或，點P為邊4B上一點，以DP為

折痕將△ZMP翻折，點4的對應點為點4,連接44',

44'交PD于點M,點Q為線段BC上一點，連接AQ,

MQ,則AQ+MQ的最小值是.

21.（2021?四川省成都市）如圖,在矩形ABCD中,AB=4,40=8,點E,F分別在邊4D,

BC上，且4E=3,按以下步驟操作:

第一步，沿直線EF翻折，點4的對應點4'恰好落在對角線4c上，點8的對應點為B',

則線段BF的長為；

第二步，分別在EF,4'B'上取點M,N,沿直線MN繼續(xù)翻折，使點F與點E重合,

則線段MN的長為.

22.（2021?江蘇省無錫市）如圖，在RtAABC中，^BAC=90°,4B=2e，4c=6,點

E在線段4c上，且4E=1,D是線段BC上的一點，連接DE,將四邊形4BDE沿直線

OE翻折，得到四邊形尸GDE,當點G恰好落在線段4C上時，AF=

23.（2021?遼寧省大連市）如圖，在菱形4BCD中，

乙BAD=60。，點E在邊BC上，將△ABE沿直線AE翻

折180。，得到AAB'E,點B的對應點是點B'.若4B'1

BD,BE=2,則BB'的長是.

24.（2021.遼寧省大連市）如圖，在菱形4BCD中，

/.BAD=60°,點E在邊BC上，將△ABE沿直線4E翻

折180。，得到AAB'E,點B的對應點是點B'.若AB'1

BD,BE=2,則BB'的長是—.

25.（2021?重慶市）如圖，三角形紙片4BC中,點。，E,

F分別在邊AB,AC,BC上,BF=4,CF=6,將這張紙片沿直線DE翻折，點4與

點尸重合.若OE〃BC,AF=EF,則四邊形4DFE的面積為

26.（2020?黑龍江省牡丹江市）如圖，在Rt△力BC中，4c=90。，點E

在4c邊上.將44沿直線BE翻折，點4落在點4'處，連接AB,

交4c于點尸.若AE_L4E,cos4=：,則黑=______.

5BF

27.（2020?遼寧省盤錦市）如圖，在矩形ABCD中，4B=1,BC=2,點E和點尸分別為AD,

上的點，將△DEF沿E尸翻折，使點。落在BC上的點M處，過點E作交BC

于點H,過點F作FG〃B。交于點G.若四邊形與四邊形BCFG的面積相等，

則CF的長為.

BHC

三、解答題

28.(2022?重慶市A卷汝口圖，在銳角△ABC中，41=60。，點D,E分別是邊AB,4c上

一動點，連接BE交直線CD于點口

(1)如圖1,^AB>AC,且BD=CE,乙BCD=〃CBE,求4CFE的度數(shù)；

(2)如圖2,若AB=AC,且BD=AE,在平面內(nèi)將線段AC繞點(?順時針方向旋轉(zhuǎn)60。

得到線段CM,連接MF,點N是MF的中點，連接CN.在點D,E運動過程中，猜想線

段BF,CF,CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)若48=AC,且BD=AE,將44BC沿直線翻折至△力BC所在平面內(nèi)得到小

ABP,點”是AP的中點，點K是線段PF上一點，將△PHK沿直線HK翻折至△PHK所

在平面內(nèi)得到AQ/ZK,連接PQ.在點。，E運動過程中，當線段PF取得最小值，且

QKJ.PF時，請直接寫出登的值.

圖2備用圖

29.(2022?黑龍江省齊齊哈爾市)綜合與實踐

數(shù)學是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對象的科學，數(shù)學實踐活動有利于我們在

圖形運動變化的過程中去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們在學習與探索中

發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美，體會數(shù)學實踐活動帶給我們的樂趣.

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：如圖①，在矩形中，點E、八G分別為邊BC、AB,4。的中點，連

接EF、DF,H為DF的中點，連接GH.將△BE尸繞點B旋轉(zhuǎn)，線段Z)F、GH和CE的位

置和長度也隨之變化.

當4BEF繞點8順時針旋轉(zhuǎn)90。時，請解決下列問題：

(1)圖②中，AB=BC,此時點E落在48的延長線上，點F落在線段BC上，連接4口

猜想G"與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(2)圖③中，AB=2,BC=3,則皆=；

(3)當=BC=n時，詈=.

剪一剪、折一折：(4)在(2)的條件下，連接圖③中矩形的對角線AC,并沿對角線AC

剪開，得△ABC(如圖④),點M、N分別在ZC、BC上，連接MN,將△CMN沿MN翻

折，使點C的對應點P落在4B的延長線上，若PM平分N4PN,則CM長為.

30.(2022?廣東省深圳市)(1)發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形4BCO中，E為40邊上一點,

將AAEB沿BE翻折到ABEF處，延長EF交CC邊于G點.求證：&BFG沿&BCG；

(2)探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為4。邊上一點，且AD=8,=6,將△AEB

沿BE翻折到△BEF處，延長EF交BC邊于G點，延長BF交CD邊于點H,月=CH,

求4E的長.

(3)拓展：如圖③，在菱形4BCD中，力B=6,E為CD邊上的三等分點，4。=60。.將

△ADE沿AE翻折得至IbAFE,直線EF交BC于點P,求PC的長.

圖①圖②

31.(2022?貴州省貴陽市)小紅根據(jù)學習軸對稱的經(jīng)驗，對線段之間、角之間的關(guān)系進行

了拓展探究.如圖，在W1BCD中，AN為BC邊上的高，黑=小，點時在4。邊上,

且B4=BM,點E是線段4M上任意一點，連接BE,將△ABE沿BE翻折得△FBE.

(1)問題解決：如圖①，當NB4D=60°,將△ABE沿8E翻折后，使點尸與點M重合，

(2)問題探究：

如圖②，當NBAD=45。，將△ABE沿BE翻折后，使EF〃BM,求乙4BE的度數(shù)，

并求出此時m的最小值：

(3)拓展延伸：

當NBAD=30。，將AABE沿BE翻折后，若EF1AZ),且AE=MD,根據(jù)題意在備

用圖中畫出圖形，并求出ni的值.

32.(2022?重慶市B卷)在AABC中，4BAC=90°,AB=AC=2VLD為BC的中點，E,

戶分別為4C,4。上任意一點，連接EF,將線段EF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段EG,

連接FG,AG.

(1)如圖1,點E與點C重合，且GF的延長線過點B,若點P為FG的中點，連接PD,

求PD的長：

(2)如圖2,E尸的延長線交4B于點M,點N在4c上，AAGN=AAEG^GN=MF,

求證：AM+AF=V2AE;

(3)如圖3,尸為線段4。上一動點，E為4c的中點，連接BE,H為直線BC上一動點，

連接EH,將△BE"沿EH翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△B'EH,連接B'G,直接

寫出線段B'G的長度的最小值.

33.（2022?江蘇省無錫市）如圖，已知四邊形ABCD為矩形，AB=2近,BC=4,點E在

BC上，CE=AE,將△ABC沿AC翻折至ijAAFC,連接EF.

（1）求EF的長；

（2）求sin/CEF的值.

34.（2022?浙江省紹興市）如圖，在△力BC中，/-ABC=40°,Z.ACB=90°,4E平分NB4C

交BC于點E.P是邊BC上的動點（不與B,C重合），連結(jié)AP,將AAPC沿4P翻折得△

APD,連結(jié)DC,記ZBC。=a.

(1)如圖，當P與E重合時，求a的度數(shù).

(2)當P與E不重合時，記探究a與夕的數(shù)量關(guān)系.

35.(2021?湖南省湘潭市)如圖，矩形力BCD中，E為邊BC上一點，將△ABE沿4E翻折后,

點8恰好落在對角線4c的中點F上.

(1)證明：△4EFgACEF；

(2)若48=百，求折痕4E的長度.

36.(2021.四川省達州市)某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直

的線段做了如下探究：

E

E

B?-?

圖1圖2

【觀察與猜想】

(1)如圖1,在正方形4BCD中，點E,尸分別是4B,4。上的兩點，連接OE,CF,DE，CF,

則等的值為______;

CF

(2)如圖2,在矩形48C0中，4。=7,CO=4,點E是4。上的一點，連接CE,BD,

且CE1B。，則器的值為；

【類比探究】

(3)如圖3,在四邊形中，44=48=90。，點E為4B上一點，連接DE,過點C

作DE的垂線交ED的延長線于點G,交4。的延長線于點F,求證：DE-AB=CF-AD；

圖3圖4

【拓展延伸】

(4)如圖4,在RtAAB。中，/.BAD=90°,AD=9,tanz/lDB=將△ABO沿B。

翻折，點4落在點C處得△CBD,點E,F分別在邊力B,力。上，連接DE,CF,DE1CF.

①樽的值；

②連接BF,若AE=1,直接寫出BF的長度.

37.(2021?湖北省荊州市)在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,F是對角線4c上不與點4,

C重合的一點，過F作FEL4D于E,將AAEF沿EF翻折得到△GEF,點G在射線AD

上，連接CG.

(1)如圖1,若點4的對稱點G落在4。上，ZFGC=90°,延長GF交AB于H,連接CH.

①求證：bCDGs^GAH；

②求tanz_GHC.

(2)如圖2,若點4的對稱點G落在4D延長線上，乙GCF=90°,判斷△GCF與△4EF是

否全等，并說明理由.

圖1

38.(2021?黑龍江省齊齊哈爾市)綜合與實踐

數(shù)學實踐活動，是一種非常有效的學習方式，通過活動可以激發(fā)我們的學習興趣，

提高動手動腦能力，拓展思維空間，豐富數(shù)學體驗，讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)

一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣.

折一折:將正方形紙片F(xiàn)BCD折疊，使邊都落在對角線AC上，展開得折痕AE、

AF,連接EF,如圖1.

(1”瓦4?=°,寫出圖中兩個等腰三角形：(不需要添加字母)；

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的4E4F繞點4旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點P、Q,連

接PQ,如圖2.

(2)線段BP、PQ、DQ之間的數(shù)量關(guān)系為；

(3)連接正方形對角線BD,若圖2中的"AQ的邊力P、AQ分別交對角線BD于點M、

點N,如圖3,則咎=；

剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線BD剪開，如圖4.

(4)求證：BM2+DN2=MN2.

39.(2020?湖北省宜昌市)菱形ABC。的對角線AC,8。相交于點。，0°<AABO<60°,

點G是射線0。上一個動點，過點G作GE〃DC交射線OC于點E,以。E,OG為鄰邊作

矩形EOGF.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當點F在線段。C上時，求證：DF=FC；

(2)若延長4。與邊GF交于點H,將4GDH沿直線4D翻折180。得到△MDH.

①如圖2,當點M在EG上時，求證：四邊形EOG尸為正方形；

②如圖3,當tan乙4BO為定值m時，設DG=k-DO,k為大于0的常數(shù),當且僅當k>2

時，點M在矩形EOGF的外部，求小的值.

40.(2022?四川省成都市)在矩形ABCD的CD邊上取一點E,將4BCE沿BE翻折，使點C恰

好落在AC邊上點尸處.

(1)如圖1,若BC=2BA,求心CBE的度數(shù)；

(2)如圖2,當48=5,且4F-FD=10時，求BC的長；

(3)如圖3,延長EF,與乙4BF的角平分線交于點M,BM交AD于點N,當NF=4N+

F。時，求線的值.

41.(2020?四川省資陽市)在矩形ABCD中，點E是對角線4c上一動點，連接DE,過點E作

EF1DE交AB于點F.

(1)如圖1,當CE=D4時，求證：AF=EF；

(2)如圖2,點E在運動過程中裝的值是否發(fā)生變化？請說明理由；

Er

(3)如圖3,若點F為4B的中點，連接OF交4c于點G,將^GEF沿EF翻折得至必HEF,

連接?！敖籈F于點K,當4。=2,CD=2g時，求KH的長.

42.（2020?湖南省長沙市）在矩形4BCD中，E為DC邊上一點，把AADE沿4E翻折，使點

D恰好落在BC邊上的點F.

(1)求證：△ABFS^FCE；

(2)若AB=2遮，AD=4,求EC的長；

(3)若4E—DE=2EC,?記Z_BAF=a,乙FAE=8，求tana+tan0的值.

l.D

2.C

3.C

4.8

5.B

6.C

7.D

8.D

9.D

10.B

ll.C

\2.B

13.C

14手喈

15.|

16.5+V5

18.5V5-5

19.3近

20.4夜

21.1；V5

22.獨

3

23.2V2

24.2加

25.5V3

26t

27(

28.解：（1）如圖1中，在射線CD上取一點K,使得CK=8E,

A

在△BCE和△CBK中，

BC=CB

乙BCK=乙CBE,

BE=CK

?MBCEdCBK(SAS),

[BK=CE,乙BEC=LBKD,

???CE=BD,

??.BD=BK,

???乙BKD=Z.BDK=乙ADC=乙CEB,

vZ-BEC4-Z-AEF=180°,

???/.ADF+/.AEF=180°,

:.LA+乙EFD=180°,

v乙4=60°,

:.乙EFD=120°,

:.Z.CFE=180°-120°=60°；

(2)結(jié)論：BF+CF=2CN.

理由：如圖2中，-AB=ACf乙4=60。,

??.△ABC是等邊三角形，

???AB=CB.Z.A=乙CBD=60°,

vAE=BD,

?SABE^ABCD(SAS),

AZ-BCF=乙ABE,

:?乙FBC+乙BCF=60°,

???乙BFC=120°,

如圖2-1中，延長CN到Q,使得NQ=CN,連接FQ,

pM

5

BC

圖2/

,:NM=NF,乙CNM=(FNQ,CN=NQ,

,MCNMdQNF(SAS),

:.FQ=CM=BC,

延長CF到P,使得PF=BF,則aPBF是等邊三角形,

:.乙PBC+乙PCB=乙PCB+ZFCM=120°,

:.乙PFQ=/.FCM=乙PBC,

???PB=PF,

??△PFQ咨APBC(SAS),

???PQ=PC,乙CPB=Z.QPF=60°,

??.△PCQ是等邊三角形，

???BF+CF=PC=QC=2CN.

(3)由(2)可知ZBFC=120°,

???點產(chǎn)的運動軌跡為紅色圓弧(如圖3-1中)，

:?P，F(xiàn),。三點共線時，P尸的值最小，

此時tanzAPK=*=磊，

APV3

???乙HPK>45°,

vQK1PF,

:.乙PKH=Z.QKH=45°,

如圖3-2中，過點”作HL1PK于點、L,設PQ交K”題意點/,設HL=LK=2,PL=遮,

PH=近，KH=2V2,

■■S^PHI<=1-PK-HL=^KH-PJ,

：.PQ=2PJ=2x=2V2+V6

2Q--3Vn

32n5

30.(1)證明：???將△AE8沿BE翻折到△8EF處，四邊形48CD是正方形,

AAB=BF,(BFE==90°,

??.乙BFG=90°=ZC,

?.?AB=BC=BF,BG=BG,

:.RtABFGSBCG(HL)；

(2)解：延長8",4。交于Q,如圖：

設FU="C=%,

在RMBC”中，BC2+CH2=BH2,

???824-%2=(64-%)2,

解得％=p

???DH=DC-HC=—,

3

???乙BFG=(BCH=90°,Z-HBC=乙FBG,

???△BFGs&BCH,

6

BFBGFGHn_BG_PG

???一=-=—，即&-TT7--,

BCBHHC86+--

2，7

???BG=—,FG=￡

44

vEQ//GB,DQ//CB,

???△EFQs&GFB,△DHQs〉CHB,

DQ=y,

設AE=EF=m,則DE=8—m,

88144.

???EQ=OE+DQ=8—+芋=手-m,

EFQs工GFB,

...絲=竺，即宣二=:，

BGFGT?

解得m=I，

AE的長為*

(3)解：(1)當DE==2時，延長FE交AD于Q,過Q作Q”_LC。于H,如圖:

??.△CPEs〉QDE,

CPCE)

???一=——=

DQDE2,

:.CP=2%,

???△ADE7AAE翻折得到^AFE,

??.EF=DE=2,AF—AD=6,/-QAE—Z.FAE,

???4E是△4QF的角平分線，

嘮哼，即等田①，

vZ.D=60°,

DH=1DQ=|x,HE=DE-DH=2-^x,HQ=>/3DH=-x，

在Rt△”(?￡1中，HE2+HQ2=EQ2,

(1-|x)2+(yx)2=y2@>

聯(lián)立①②可解得X=

3

CP=2x=-；

2

(H)當CE=[DC=2時，延長FE交4。延長線于。，過。作DN14B交84延長線于N,

如圖：

二險=%即叱==

AFEF64

由股」+HD2=Q，02得：(苧%)2+(|x+4)2=y2,

可解得X=y,

??CP=-x=

25

綜上所述，CP的長為|或也

31%

3

32.(1)解：如圖1,連接CP,

由旋轉(zhuǎn)知，CF=CG,Z.FCG=90°,

??.AFCG為等腰直角三角形，

???點P是FG的中點，

???CP1.FG,

???點。是BC的中點，

???DP=-BC,

2

在Rt△ABC中，AB=AC=2V2,

???BC=V2AB=4.

???DP=2；

(2)證明：如圖2,

過點E作EH14E交4。的延長線于”,

???AAEH=90°,

由旋轉(zhuǎn)知，EG=EF,NFEG=90。，

???乙FEG=AAEH,

A/.AEG=Z.HEF,

???4B=4C,點。是BC的中點，

???/.BAD=4CAD=-^BAC=45°,

2

:.Z.H=90°-4CAD=45°=/.CAD,

???4E=HE,

???△EGA2"H(S4S),

???AG=FH,Z.EAG=Z.H=45°,

：?^EAG=乙BAD=45°,

???4AMF=180°-乙BAD-Z-AFM=135°-Z-AFM.

???4AFM=乙EFH,

???Z,AMF=135°-ZEFH,

???乙HEF=180°-乙EFH一乙H=135°-乙EFH,

???乙AMF=乙HEF,

???△EGA^LEFH,

???Z.AEG=CHEF,

???乙AGN=UEG,

???乙AGN=乙HEF,

:.乙AGN="MF,

vGN=MF,

.'.AAGN^AAMF(AAS)f

:.AG=AM,

-AG=FH,

???AM=FH,

AF+AM=AF+FH=AH=&AE;

(3)解：?.?點E是4c的中點,

他="C=&，

根據(jù)勾股定理得，BE=yjAE2+AB2=同,

由折疊直，BE=B'E=ViO,

二點B'是以點E為圓心，"U為半徑的圓上，

由旋轉(zhuǎn)知，EF=EG,

???點G是以點E為圓心，EG為半徑的圓上，

B'G的最小值為B'E-EG,

要B'G最小，則EG最大，即EF最大，

???點尸在上，

???點在點4或點。時，EF最大，最大值為企，

???線段B'G的長度的最小值g-V2.

33.解：(1)CE=AE,

**.￡.ECA=Z-EAC,

根據(jù)翻折可得：/-ECA=Z.FCA,Z.BAC=Z.CAF,

???四邊形ABC。是矩形，

???DA//CB,

-Z.ECA=Z.CAD,

:.Z-EAC=Z.CAD,

???Z.DAF=Z.BAE,

???Z.BAD=90°,

???/.EAF=90°,

設CE=4E=x,貝ljBE=4-%,

在ABZE中，根據(jù)勾股定理可得：

BA2+BE2=AE2,

即：(2夜)2+(4-x)2=x2，

解得：x=3,

在Rt△EAF中，EF=\IAF2+AE2=V17.

(2)過點F作FG1BC交BC于點G,

設CG=X,貝ijGB=3-x,

vFC=4,FE=V17>

???FG2=FC2-CG2=FE2-EG2,

B

即：16—/=17-(3-x)2,

解得：x=p

???FG=y/FC2-CG2=—,

3

sinzCFF=竺=逅.

EF51

34.解：⑴???NB=40°,4ACB=90°,

Z.BAC=50°,

???4E平分4B4C,P與E重合，

???D在AB邊上，AC^AD,

乙ACD=/.ADC=(180°-乙BAC)+2=65°,

???a=^.ACB-/-ACD=25°；

答:a的度數(shù)為25。；

(2)①當點P在線段BE上時，如圖：

???將△APC沿AP翻折得△APD,

???AC=AD,

???/.BCD=a,Z.ACB=90°,

???Z.ADC=Z.ACD=90°-a,

又???Z.ADC+Z,BAD=+乙BCD,乙BAD=p,Z.B=40°,

???(90。-a)+夕=40°+a,

???2a一夕=50°,

②如圖2,當點P在線段CE上時，延長4。交BC于點尸，如圖:

A

???將△4PC沿4P翻折得△APDf

???AC—AD,

???乙BCD=a,乙ACB=90°,

?，?Z.ADC=Z-ACD=90°-a,

又???Z.ADC=/.AFC+乙BCD,/.AFC=/ABC+乙BAD,

??.LADC=/.ABC+ABAD+(BCD=40。+夕+a,

???90°—a=40°+a+0,

:.2a+￡=50°；

綜上所述，當點P在線段BE上時，2a-/?=50°；當點P在線段CE上時，2a+/?=50。.

35.(1)證明一?四邊形488是矩形，

???乙B=90°,

??,將△48E沿4E翻折后，點B恰好落在對角線4c的中點尸上，

:.Z-AFE=Z.B=90°,AF=CF,

???Z.AFE+乙CFE=180°,

???乙CFE=180°-Z.AFE=90°,

在△4￡T和aCEF中，

AF=CF

LAFE=乙CFE，

(EF=EF

???△4￡7售△CEF(S4S).

(2)由(1)知，AAEF'CEF,

???Z.EAF=(ECF,

由折疊性質(zhì)得，4BAE=4EAF,

???乙BAE—Z.EAF=乙ECF,

v乙B=90°,

???484。+48。4=90。，

???3Z.BAE=90°,

/.BAE=30°,

在Rt△力BE中，AB=痘，NB=90。，

?AE----2

"A'-COs30--更一々

2

36.解：(1)如圖1,設DE與CF交于點G,

,:四邊形/BCO是正方形，

:.4/=乙FDC=90°,AD=CD,

vDE1CF,

??.乙DGF=90°,

???^ADE+乙CFD=90°,Z.ADE+Z.AED=90°,

?，?Z.CFD=Z-AED,

在△AED和ADFC中，

(44=AFDC

ZCFD=Z.AED,

VAD=CD

???△AEDADFCOMS),

:.DE=CF,

DE《

(2)如圖2,設DB與CE交于點G,

圖2

???四邊形4BCD是矩形,

???Z-A=乙EDC=90°,

vCEtBD,

???Z,DGC=90°,

???Z,CDG+乙ECD=90°,乙ADB+乙CDG=90°,

:.乙ECD=Z-ADB,

vZ.CDE=心力，

???△DECsxABD,

.CE_DC_4

,?BD~AD~7’

故答案為:三

(3)證明：如圖3,過點C作CH_LAF交AF的延長線于點H,

圖3

,:CG-LEG,

???Z.G=Z.H=Z.A=Z.B=90°,

，四邊形48cH為矩形，

???AB=CH,乙FCH+Z.CFH=乙DFG+乙FDG=90°,

???乙FCH=乙FDG=〃DE,=Z.H=90°,

???△DEA^LCFH,

DE_AD

**CF~~CH9

DE_AD

**CF~AB'

??.DE?AB=CFAD；

(4)①如圖4,過點C作CG1AD于點G,連接4c交BD于點H,CG與DE相交于點0,

圖4

vCF1DE,GC1AD,

AZFCG+乙CFG=乙CFG+Z-ADE=90°,

???乙FCG=Z-ADE,4BAD=乙CGF=90°,

???△DEAs&CFG,

.DEAD

**?-=---?

CFCG

在RtZkZBD中,tanZ.ADB=pAD=9,

-AB=3,

在RMAD”中，tanz.ADH=

aAH_1

??DH-3f

設AH=Q,則D4=3a,

VAH2+DH2=AD2,

:.a2+(3a)2=92,

a=負值舍去)，

x//=—VTo,ow=—VTo,

1010

■■■AC=2AH=1VT6,

11

■■ShADC=-ACDH=\ADCG,

.-.ix-V10x—V10=ix9CG,

25102

/.CG=y,

DE_AD_9_5

J方=法=互=彳

5

(2)vAC=^V10,CG=y,￡AGC=90°,

???AG=>JAC2-CG2=J(1<10)2-(y)2=|,

由①得：ADEAs〉CFG,

CF_FG

??—，

DEAE

又喑?謖=1，

：.FG=I，

936

AF=AG-FG

555

:.BF=7AB2+川2=/32+(|)2=|V29.

37.(1)如圖1,

①證明：???四邊形/BCD是矩形,

??.乙D=AGAH=90°,

AZDCG4-ZDGC=9O°,

???Z.FGC=90°,圖1

???Z,AGH+Z.DGC=90°,

???Z.DCG=乙4GH,

???△CDGsAGAH.

②由翻折得NEGF=^EAF,

???^AGH="AC=乙DCG,

???CD=AB=2,AD=4,

DG_AH21

CD-AG—=tanZ.DAC4-5'

??.DG=Q=*=1,

???GA=4—1=3,

CDGs〉GAH,

CG_CD

GH~GA9

CG_CD2

???tanZ-GHC=

GH-GA3

(2)不全等，理由如下:

vAD=4,CD—2,

??.AC=V42+22=2岳,

???Z.GCF=90°,

???—=tanz.D>4C=工，圖2

AC2

CG=|/lC=ix2V5=V5,

???AG=J(2石7+(6/=5，

EA=-AG=

22

EF=EA-tan^DAC=-x-=

224

V/.GCF=/.AEF=90°,而CGRE4,CF豐EF,

???AGCF與ZMEF不全等.

38.(1)解：如圖1中，

圖1

???四邊形4BCC是正方形，

AB=AD=BC=CD,/.BAD=90°,

-.ABC,△ADC都是等腰三角形，

v乙BAE=Z.CAE,Z.DAF=Z.CAF,

:./-EAF=^{Z-BAC4-乙DAC)=45°,

???乙BAE=Z.DAF=22.5°,=90°,AB=AD,

絲△ZMFQ4S/),

???BE=DF,AE=AFy

vCB=CD,

CE=CF,

：.^AEF,ZkCEF都是等腰三角形，

故答案為：45；i^AEF,&EFC,4ABC,△4DC(任寫2個即可).

(2)解：結(jié)論：PQ=BP+DQ.

理由：如圖2中，延長CB到7,使得Br=CQ.

圖2

-AD=AB,Z.ADQ=4ABT=90°,DQ=BT,

???△ADQgZkABT(SAS),

:.AT=AQ?乙DAQ=4BAT,

???乙PAQ=45°,

:.Z-PAT=4BAP+Z-BAT=乙BAP+乙DAQ=45°,

:.Z-PAT=4PAQ=45°,

vAP=AP,

???△PATg△P4Q(SAS),

???PQ=PT,

?：PT=PB+BT=PB+DQ,

???PQ=BP+DQ.

故答案為：PQ=BP+DQ.

(3)解:如圖3中,

???四邊形/BCD是正方形，

:.Z.ABM=Z-ACQ—Z.BAC=45°,AC=yj2ABy

vZ-BAC=乙PAQ=45°,

:.匕BAM=4CAQ,

CAQs〉BAM,

???絲=些=/，

BMAB

故答案為：V2.

(4)證明：如圖4中，將A/WN繞點4順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△力BR,連接RM.

D

???^BAD=90°,4MAN=45°,

???4DAN+NB4M=45。，

v乙DAN=乙BAR,

???乙BAM+Z.BAR=45°,

:./-MAR=Z.MAN=45°,

-AR=AN,AM=AMf

??.△AMR絲△4MN(S4S),

???RM=MN,

???乙D=乙ABR=4ABD=45°,

:.乙RBM=90°,

/.RM2=BR2+BM2,

。:DN=BR,MN=RM,

:.BM2+DN2=MN2

39.證明⑴???四邊形EOGF是矩形，

AEO//GF,GO//EF,

???GE//DC,

???四邊形GEFD是平行四邊形，四邊形GEC尸是平行四邊形，

:?GE=DF,GE=CF,

:.DF=FC；

(2)①如圖1,由折疊的性質(zhì)知，(GDH=(MDH,DH1GM,

vGE//CD,

??Z-DGM=乙BDC,

???四邊形4BCD是菱形，

???(ADB=乙BDC,Z.COD=90°,

vZ.ADB=乙GDH,

???乙DGM=乙GDH,

???DH1GM,

:."GM=45°,

???Z,OEG=45°,

OE—OG,

,??四邊形E0GF是矩形，

???四邊形EOGF是正方形;

②如圖2,：四邊形4BCD是菱形,

???Z-ABD=Z.CBD=乙4DB,

???GE//CD,

:.乙DGE=乙CDB,

???Z.ABD=Z.CBD=Z-ADB=Z.DGE=乙CDB,

???Z,GDM=2乙ABD,

■:tan乙48。=m(?n為定值)，

???點M始終在固定射線。M上并隨k的增大向上運動，

???當且僅當k>2時，M點在矩形EOGF的外部，

???上=2時，M點在矩形EOGF上，即點M在EF上，

設。8=b,則，0A=0C=mb,DG=DM=kb=2b,OG=(k+l)h=3b,OE=

m(k+1)/?=3mb,GH=HM=mkb=2mb,

???FH=OE-GH=m(k+l)b—mkb=mb,

過點。作。N1EF于點N,

乙FHM+乙FMH=Z.FMH+乙DMN,

???乙FHM="MN,

???乙F=乙DNM=90°,

AMFHSADNM,

FH_MH

"MN-OM'

.mb_2mb

**MN-2b9

??.MN=b,

???DM2=D/V2+M/V2,

A(2b)2=(3mb)2+h2,

解得，m=—，或m=—@(舍)，

33v

故m=-?

3

40.解：⑴???將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在4D邊上點F處,

：?BC=BF,乙FBE=CEBC,

???BC=2AB,

:.BF=2AB,

:.乙AFB=30°,

,:四邊形ABCD是矩形，

???4D〃BC,

???乙AFB=Z-CBF=30°,

???乙CBE=^FBC=15°；

⑵???將△8CE沿BE翻折，使點C恰好落在/D邊上點尸處，

???乙BFE=ZC=90°,CE=EF,

又?矩形ABCD中，乙4=乙。=90。，

:.Z-AFB+(DFE=90°,Z.DEF+乙DFE=90°,

???乙AFB=乙DEF,

二△FAB^h.EDF,

...竺=竺，

DEDF

：?AF?DF=AB?DE，

-AF-DF=10,AB=5,

:.DE=2,

:?CE=DC—DE=S—2=3,

???EF=3,

DF=VFF2-DE2=V32-22=近，

AF=親=2V5,

:.BC=AD=AF+DF=2V5+V5=3>/5-

(