2023屆高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式

【考點預(yù)測】

知識點一:三角函數(shù)基本概念

1.角的概念

(1)任意角:①定義:角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形；

②分類:角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角.

(2)所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S={6l￡=-360°+a,k€Z}.

(3)象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與立軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限,就說這

個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限.

(4)象限角的集合表示方法：

第一象限甭：［a\2kir<a<2k,n+^-,k^7J}

象

限

第二象限甭：{al2A-TT+1<a<2A-Ir+ir,AeZ)

角

的

集第三象限角：{al2AF+F<a<2LT+竽#GZ}

合

：［a\2k<a<2kTT+2,kE.Z］

2.弧度制

(1)定義:把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度.正角的弧度

數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.

(2)角度制和弧度制的互化：180°=兀rad,l°=合■rad,lrad=嗒.

(3)扇形的弧長公式：Z=扇形的面積公式：S=-^-Zr=-y|ff|-r1.

3.任意角的三角函數(shù)

(1)定義:任意角a的終邊與單位圓交于點P(x,y)時，則sina=y,cosa=x,tana=!■(￡#0).

(2)推廣:三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點PPQ,y)是角a終邊上異于頂點的任一點，設(shè)點P到原點。的

距離為r■，則sina=—,cosa=—,tanc?=—(x#0)

rrx

三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：

三角函數(shù)定義域第一象第二象限第三象第四象

限符號符號限符號限符號

sinaR++——

cosaR+——+

tana+—+—

,

記憶口訣:三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.

4.三角函數(shù)線

如下圖，設(shè)角a的終邊與單位圓交于點P,過P作c軸,垂足為過4(1,0)作單位圓的切線與a的

終邊或終邊的反向延長線相交于點T.

知識點二:同角三角函數(shù)基本關(guān)系

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin%+cos2a=1.

(2)商數(shù)關(guān)系：.g；：=tana(aW￡+k兀)；

知識點三;三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

公式—?二三四五六

角2kn+a(keZ)兀+a-a兀一a717U.

萬一4~2+a

正弦sina—sina—sinasinacosacosa

余弦cosa—cosacosa-cosasina—sina

正切tanatana一tana—tana

口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限

【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：(1)先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作九■士(2)無論

有多大，一律視為銳角，判斷九a所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；(3)當(dāng)"為奇數(shù)是,

“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)n為偶數(shù)時，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可.

【方法技巧與總結(jié)】

1.利用SE2a+COS2a=1可以實現(xiàn)角a的正弦、余弦的互化,利用!^=tana可以實現(xiàn)角”的弦切互化.

2."sina+cosa,sinacosa,sina-cosa”方程思想知一求二.

（sina+cosa）2=sin2a+cos2a+2sinacosa=1+sin2a（sina—cosa）2=sin2a+cos2a—2sinacosa=1—

sin2a

（sina+cosc?）2+（sina—cost?）2=2

【題型歸納目錄】

題型一:終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別

題型二:等分角的象限問題

題型三:弧長與扇形面積公式的計算

題型四:三角函數(shù)定義題

題型五:象限符號與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值

題型六:同角求值一條件中出現(xiàn)的角和結(jié)論中出現(xiàn)的角是相同的

題型七，誘導(dǎo)求值與變形

【典例例題】

題型一:終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別

例L（2022?全國?高三專題練習(xí)）與角等的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（）

A.2A：7i+45o,keZB.fc-3600+-^r，keZ

4

C.k-360°—315°,keZD.kn+^,k&Z

4

例2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若角a的終邊在直線夕=一2上，則角a的取值集合為（）

A.{a[a=2A：7t—■^-,fceZj-B.|rz|a'=2A：7r+-^-,A：eZ^

C.{a|a=/OT—D.{a|a=far—jkez}

例3.（2022?上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)集合A={a|a=45°+A:-180°#eZ}U

{a\a=135°+fc-180°&eZ},集合B=仍忸=45°+fc-90°,fceZ},則（）

A.AC\B=0B.4CBC.BD.A=B

例4.（多選題）（2022.全國?高三專題練習(xí)）如果角a與角T+45°的終邊相同，角￡與7-45°的終邊相同,那么

a—P的可能值為（）

A.90°B.360°C.450°D.23300

例5.（多選題）（2022?全國?高三專題練習(xí)）下列條件中，能使a和6的終邊關(guān)于y軸對稱的是（）

A.a+6=90°B.a+0=180°

C.a+￡=小360°+90°(fceZ)D.a+^=(2A:+1)-180°(fceZ)

例6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）寫出兩個與一手乃終邊相同的角.

【方法技巧與總結(jié)】

（1）終邊相同的角的集合的表示與識別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決.

（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標(biāo)軸角；銳角是正角，

也是第一象限角，第一象限角不包含坐標(biāo)軸角.

題型二:等分角的象限問題

例7.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）若a=a180°+45°,標(biāo)2,則a的終邊在（）

A.第一、三象限B.第一、二象限C.第二、四象限D(zhuǎn).第三、四象限

例8.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））角a的終邊屬于第一象限，那么號的終邊不可能屬于的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

例9.（2022.全國.高三專題練習(xí)）。是第二象限角，則下列選項中一定為負(fù)值的是（）

A.sin-yB.cos-yC.sin20D.cos28

例10.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知角a第二象限角，且即用=-cosg則角5是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【方法技巧與總結(jié)】

先從a的范圍出發(fā)，利用不等式性質(zhì)，具體有：（1）雙向等差數(shù)列法；（2）蟲的象限分布圖示.

n

題型三:弧長與扇形面積公式的計算

例II.（2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》章給出了弧田面積的計

算公式.如圖所示,弧田是由圓弧及其所對弦43圍成的圖形.若弧田的弦長是2,弧所在圓心角

的弧度數(shù)也是2,則弧田的弧A3長為，弧田的面積為.

例12.（2022.全國.高考真題（理））沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的

“會圓術(shù)”，如圖，南是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，。是4B的中點，。在油上，“會圓

術(shù)”給出旗的弧長的近似值s的計算公式：s=A3+^^.當(dāng)。力=2,乙403=60°時，s=（）

11-3V311-4四

2

9—3V39—4V3

22

例13.（2022?全國?高三專題練習(xí)）中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊.按如下方法剪裁,扇面形狀較為美觀.

從半徑為r的圓面中剪下扇形OA3,使剪下扇形043后所剩扇形的弧長與圓周長的比值為嗎口?，再

從扇形。力B中剪下扇環(huán)形ABDC制作扇面，使扇環(huán)形4BDC的面積與扇形0AB的面積比值為百」.

則一個按上述方法制作的扇環(huán)形裝飾品（如圖）的面積與圓面積的比值為（）

D.V5-2

例14.（2022.浙江.赫威斯育才高中模擬預(yù)測）“圓材埋壁”是我國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題,

現(xiàn)有一個“圓材埋壁”的模型，其截面如圖所示,若圓柱形材料的底面半徑為1,截面廣----、

圓圓心為O,墻壁截面ABCD為矩形，且AD=1,則扇形O4D的面積是/\

A'D

BC

例15.（2022.全國.模擬預(yù)測）炎炎夏日，在古代人們乘涼時習(xí)慣用的紙疊扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形

加工制作而成.如圖，扇形紙疊扇完全展開后，扇形4BC的面積S為

225兀2cm2,若BD=2D4,則當(dāng)該紙疊扇的周長。最小時，BD的長度為_

例16.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知扇形的周長為4cm,當(dāng)它的半徑為cm和圓心角為一

弧度時，扇形面積最大，這個最大面積是cm2.

【方法技巧與總結(jié)】

（1）熟記弧長公式：Z=|a|r,扇形面積公式:S扇形=方"=畀|/（弧度制ae（0,2和）

（2）掌握簡單三角形，特別是直角三角形的解法

題型四:三角函數(shù)定雙

例17.（2022?廣東?深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）己知角J的終邊過點4-1,1）,則sin信-9）=（）

AV2+A/6R—y2+V6小V2—V6p.-V2—V6

A.u.J44-

例18.（2022?河北衡水高三階段練習(xí)）己知角a的終邊經(jīng)過點（一1,網(wǎng)，則tan（a+￡）+sin（2a-3TT）=

（）

A330瓜5V3

RnD

A.B.-TC,--g-—

例19.（2022?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知角a的始邊與力軸非負(fù)半軸重合，終邊上一點P（sin3,cos3），若

2兀，則a=（）

A.3B.y-3C.萼-3D.3-y

例20.（2022.北京.二模）已知角a的終邊經(jīng)過點P（T，。）,則sin2a=（）

A247724

A--25RB--25rC-25nD-25

【方法技巧與總結(jié)】

⑴任意角的正弦、余弦、正切的定義；

題型五:象限符號與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值

例21（2022.全國?高三專題練習(xí)）如果cos0Vo，且tan。V0,則|sin〃—cos例+cos0的化簡為

例22（2022?河北?石家莊二中模擬預(yù)測）若角a滿足sine?,cosa<0,cosa—sinaV0,則a在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

例23（2022?浙江?模擬預(yù)測）已知JeR,則“cosJ>0”是“角。為第一或第四象限角”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要

例24（2022?重慶?高三開學(xué)考試）若tan，>0,則下列三角函數(shù)值為正值的是（）

A.sin。B.cosOC.sin2。D.cos2。

例25（2022.全國?高三專題練習(xí)（理））我們知道，在直角坐標(biāo)系中，角的終邊在第幾象限,這個角就是第幾象限

角.已知點尸（cosa,tana）在第三象限，則角。的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

例26（2022.全國?高三專題練習(xí)（理））已知sina>0,cosa<0,則（）

A.sin2a>0B.cos2a<0C.tan-^->0D.sin受<0

例27（2022?江西南昌?三模（文））若角a的終邊不在坐標(biāo)軸上，且sina+2cosa=2,則tana=（）

A.4B.4C.4D.4

J4JZ

例28（2022.全國.高三專題練習(xí)（理））若a是第二象限角，則下列不等式正確的是（）

A.cos（-6?）>0B.tan-^->0C.sin2a>0D.sin（—a）>0

【方法技巧與總結(jié)】

正弦函數(shù)值在第一、二象限為正，第三、四象限為負(fù)；.

余弦函數(shù)值在第一、四象限為正，第二、三象限為負(fù)；.

正切函數(shù)值在第一、三象限為正，第二、四象限為負(fù).

題型六，同角求值一條件中出現(xiàn)的角和結(jié)論中出現(xiàn)的角是相同的

例29（2022?安徽?合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（文））若tanJ=-2,則一噌7的值為.

例30（2022?河北?滄縣中學(xué)模擬預(yù)測）已知tana=3,則期華二組嚶=.

例31（2022?廣東惠州?一模）已知tana=2,■兀，則cosa-sina=（）

A.咯B.-咯375八3北

J---u.---------

O055

例32(2022?全國?模擬預(yù)測)己知0V4＜兀，sinA+cosA=《，則為叫號=()

O1?COS/A

A

-32B.專C49D49

1832

例33(2022.海南?模擬預(yù)測)已知角a為第二象限角，tana=—3,則cosa=()

A「嚅B.嚅c3VI0「3V10

c-ioD-10

例34（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知■君），且12sin2a—5cosa=9,則cos2a=（）

A1B-~ic--jD-1

例35（2022?全國?高三階段練習(xí)（理））若s嗎+吃=2,則sin。（廣sin%）=

sin?！猚os夕sin6+cosJ

A.-4B.-4C.-p-D.4

5555

例36（2022?廣東廣州?三模）已知sinx+cos%=*~，若（O,TT）,則cos2i的值為（）

A.B.C.—'D?一"^2

例37（2022?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知sinO+cosO=―。W（0,兀），則sin?！猚os。=（）

A.-I-B.—p-C.D.—

5555

例38（2022?山西晉中?模擬預(yù)測（理））若tan。=-1,則二：［二鬻）等于（）

A.JB.2C.-1D.—z-

/?5

例39（2022?湖北?模擬預(yù)測）己知cos（*+a）+3cos（a-兀）=0,則生絲二皿

)

以11傳+&）

A旦RB..-虧「C.而3TDA「而3

【方法技巧與總結(jié)】

(1)若已知角的象限條件，先確定所求三角函數(shù)的符號,再利用三角形三角函數(shù)定義求未知三角函數(shù)值.

(2)若無象限條件，一般“弦化切”.

題型七:誘導(dǎo)求值與變形

例40(2022.貴州.貴陽一中高三階段練習(xí)(理))若sin(a-專)=^■，則cos(2"+爭)=()

ABc

1-iD,一卷

例41(2022.貴州.貴陽一中模擬預(yù)測(文))若sin(a+,)=9,則cos(a+芋)=()

A.'B.—C.孑D.—.

例42(2022?青海?海東市教育研究室一模(理))tan(—165°)=()

A.-2—V3B.—2+V3C.2—V3D.2+V3

例43(2022.安徽?合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(文))已知2cos信一Q)+sin(專+。)=0,則tan(7r—a)=()

A.2B.-2C.D.—

【方法技巧與總結(jié)】

(1)誘導(dǎo)公式用于角的變換，凡遇到與與整數(shù)倍角的和差問題可用誘導(dǎo)公式，用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三

角函數(shù)化成銳角三角函數(shù).

(2)通過±2兀，土兀，土等等誘導(dǎo)變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù).

⑶a±￡=±2兀,±兀,土與等可利用誘導(dǎo)公式把a,￡的三角函數(shù)化

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2022.寧夏?銀川一中模擬預(yù)測（理））中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體,

該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）現(xiàn)有一個如圖所示的曲池,

垂直于底面，441=3,底面扇環(huán)所對的圓心角為奇，弧長度是弧BC長度的3倍，8=2,則該曲

池的體積為（）

A.近2B.57r

C117c

c?>D.6兀

2.（2022?海南中學(xué)高三階段練習(xí)）二十四節(jié)氣是中華民族上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物,是中國農(nóng)歷中表示季節(jié)變遷

的24個特定節(jié)令.如圖，每個節(jié)氣對應(yīng)地球在黃道上運動15°所到達(dá)的一個位置.根據(jù)描述，從立冬到立

春對應(yīng)地球在黃道上運動所對圓心角的弧度數(shù)為（）

D—

3

3.（2022.河北.模擬預(yù)測）已知圓錐的母線長為2,其側(cè)面展開圖是圓心角等于空的扇形，則該圓錐的體積為

（）

A16，^兀口167r八16，^兀n16兀

B?斤C.一^D--8F

4.（2022?福建省福州格致中學(xué)模擬預(yù)測）已知角。的大小如圖所示，則上在嘿=（）

COSZC7

A.—5B.5C.—z-

5

5.(2022?江西.臨川一中模擬預(yù)測(文))tanl95°=()

A.-2—A/3B.-2+V3

C.2—A/3D.2+V3

6.(2022?江蘇?南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測)若)+；嗎=5,則tana=()

1—2sina

A.-4B.-4C.4D.4

oZJ/

7.(2022?四川成都.模擬預(yù)測(文))已知向量a=(3cos2a,sina),b=(2,cosa+5sina),(0匿)，若4_Lb,

則tana=()

A.2B.-2C.3D.4

4

8.（2022.黑龍江.哈九中模擬預(yù)測（文））數(shù)學(xué)家華羅庚倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在各領(lǐng)域都應(yīng)用廣泛，0.618就是

黃金分割比館=達(dá)尹的近似值,黃金分割比還可以表示成2所18。,則舞黜（）.

A.4B.V5+1C.2D.V5—1

二、多選題

9.（2022?全國?高三專題練習(xí)）下列說法正確的有（）

A.經(jīng)過30分鐘，鐘表的分針轉(zhuǎn)過?；《菳.1°=—rad

71

.若。為第二象限角，則與為第一或第三象限角

C.若sin9>0,cos6Vo，則。為第二象限角D

10.（2022.全國.高三專題練習(xí)）中國傳統(tǒng)折扇文化有著極其深厚的底蘊，一般情況下，折扇可看作是從一個圓

面中剪下的扇形制作而成,設(shè)扇形（如圖）的面積為圓心角為七，圓面中剩余部分的面積為S2,圓心角

為a2,當(dāng)Si與S2的比值為達(dá)尹紀(jì)0.618（黃金分割比）時,折扇看上去較為美觀，那么（）

A.?=127.5°B.s=137.5°

C.^=(V5-1)7TD琮=嗎"

11.（2022?江蘇?高三專題練習(xí)）已知一<0V號,且sin。+cos。=。,其中a￡（0,1）,則關(guān)于tan。的值，在以

下四個答案中，不可能是（）

A.—3B.3或]C.—I-D.-3或—/

OOO

12.（2022?全國?高三專題練習(xí)）（多選）給出下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）

A.sin（7：+a）=—sina成立的條件是角a是銳角

B.若cos（n7U—a）=-1-（nwZ）,貝!Jcosa=[

oo

c.若”號（kez）,則tan傳+a）=W^

D.若sine?+cosa=1,貝！JsirFa+cos%=1

三、填空題

13.（2022?山東?德州市教育科學(xué)研究院二模）已知角個的終邊過點4（3,?）,且sin（K+9）=《』iJtan6=___

O

14.（2022?福建?莆田二中模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系忒四中，圓。與c軸的正半軸交于點A,點在圓。

上,若射線OB平分乙40。,B（春,卷）,則點C的橫坐標(biāo)為.

sin（a+皆）

]5.（2。22,全國?模擬預(yù)測）已知0為第三象限角，且12招=2,則7^^

16.（2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)/3）=*p點O為坐標(biāo)原點，點向量f=

COS^2COS02O22

（0,1）?是向量CM”與，的夾角，則丁+----------------1-???-j--------------------的值為

sint/1sin^2---------------sin<?2022

四、解答題

17.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）某企業(yè)欲做一個介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)

面（由扇形。4D挖去扇形OBC后構(gòu)成的）.已知。4=10,。3=工（0<2；<10）,線段氏4,。。與電,

忿的長度之和為30,圓心角為夕弧度.

(1)求。關(guān)于，的函數(shù)表達(dá)式；

(2)記銘牌的截面面積為沙，試問c取何值時，y的值最大？并

求出最大值.

18.(2022?江西南昌?一模(理))已知圓心在坐標(biāo)原點的兩個同心圓的半徑分別為1和2,點4和點8分別從初

始位置(1,0)和(2,0)處，按逆時針方向以相同速率同時作圓周運動.

(1)當(dāng)點A運動的路程為筌時，求線段43的長度：

⑵記4跖2),夙切如，求g+他的最大值.

19.(2022?全國?高三專題練習(xí))己知角a=-920°.

(I)把角a寫成2版+6(0=6<2兀,keZ)的形式，并確定角a所在的象限;

(II)若角y與a的終邊相同，且ye(―4兀,一3兀)，求角/.

20.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖所示，已知圓錐SO中，底面半徑r=1,母線長I=4,M為母線SA上的一

個點，且SM=x,仄點、M拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點4.求:

(1)繩子的最短長度的平方/(/).

(2)繩子最短時，頂點到繩子的最短距離.

(3)/3)的最大值.

sin(3n—a)cos(a+-^-)cos(—ar—兀)

21.(2022?浙江?高三專題練習(xí))己知/(a)=

sin(a+7r)tan(—a+兀)

(1)化簡f(a);

⑵若角a的終邊經(jīng)過點P(—6,—8),求/(a).

22.(2022?全國?高三專題練習(xí))⑴已知。(一1,2蓼)是角。終邊上一點，求sin。，cos。，tan。的值:

(2)己知Jana=一1,求下列各式的值:

tana—1

①sina-3cosa

sina+cosa'

②sin%+sina?cost?+2cos2a.

23.(2022?安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(理))已知角a的始邊與力軸的非負(fù)半軸重合,終邊與單位圓。交

于點4孫幼),將射線CM按逆時針方向旋轉(zhuǎn)與后與單位圓O交于點B(x2fy2)，fM=為一x2.

(1)若角a為銳角，求的取值范圍;

(2)在A4BC中，a,b,c分別是角ABC的對邊，若/(⑷=棄=3,AABC的面積為3，5,求a的值.

三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式

【考點9(測】

知火點一:三角函數(shù)基本概念

1.角的概念

(1)任意角:①定義:角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形；

②分類:角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角.

(2)所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S={6|￡=Q360°+a,A;€Z}.

(3)象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與立軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限,就說這

個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限.

(4)象限角的集合表示方法：

第一象限甭：［a\2kir<a<2k,n+^-,k^7J}

象

限

第二象限甭：{al2A-TT+1<a<2A-Ir+ir,AeZ)

角

的

集第三象限角：{al2AF+F<a<2LT+竽#GZ}

合

：［a\2k<a<2kTT+2,kE.Z］

2.弧度制

(1)定義:把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度.正角的弧度

數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.

(2)角度制和弧度制的互化：180°=兀rad,l°=合■rad,lrad=嗒.

(3)扇形的弧長公式：Z=扇形的面積公式：S=-^-Zr=-y|ff|-r1.

3.任意角的三角函數(shù)

(1)定義:任意角a的終邊與單位圓交于點P(x,y)時，則sina=y,cosa=x,tana=!■(￡#0).

(2)推廣:三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點PPQ,y)是角a終邊上異于頂點的任一點，設(shè)點P到原點。的

距離為r■，則sina=—,cosa=—,tanc?=—(x#0)

rrx

三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：

三角函數(shù)定義域第一象第二象限第三象第四象

限符號符號限符號限符號

sinaR++——

cosaR+——+

tana+—+—

,

記憶口訣:三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.

4.三角函數(shù)線

如下圖，設(shè)角a的終邊與單位圓交于點P,過P作c軸,垂足為過4(1,0)作單位圓的切線與a的

終邊或終邊的反向延長線相交于點T.

知識點二:同角三角函數(shù)基本關(guān)系

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin%+cos2a=1.

(2)商數(shù)關(guān)系：.g；：=tana(aW￡+k兀)；

知識點三;三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

公式—?二三四五六

角2kn+a(keZ)兀+a-a兀一a717U.

萬一4~2+a

正弦sina—sina—sinasinacosacosa

余弦cosa—cosacosa-cosasina—sina

正切tanatana一tana—tana

口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限

【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：(1)先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作九■士(2)無論

有多大，一律視為銳角，判斷九a所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；(3)當(dāng)"為奇數(shù)是,

“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)n為偶數(shù)時，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可.

【方法技巧與總結(jié)】

1.利用sin%+cos%=1可以實現(xiàn)角a的正弦、余弦的互化，利用型也=tana可以實現(xiàn)角a的弦切互化.

cosa

2."sina+cosa,sinacosa,sina-cosa”方程思想知一求二.

(sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2sinacosa=1+sin2a(sina—cosa)2=sin2a+cos2a—2sinacosa=1—

sin2a

(sina+cosc?)2+(sina—cost?)2=2

【題型歸納目錄】

題型一:終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別

題型二:等分角的象限問題

題型三:弧長與扇形面積公式的計算

題型四:三角函數(shù)定義題

題型五:象限符號與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值

題型六:同角求值一條件中出現(xiàn)的角和結(jié)論中出現(xiàn)的角是相同的

題型七，誘導(dǎo)求值與變形

【典例例題】

題型一:終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別

例L(2022?全國?高三專題練習(xí))與角等的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是()

A.2A：7i+45o,keZB.fc-3600+-^r，keZ

4

C.k-360°—315°,keZD.kn+^,k&Z

4

【答案】c

【解析】要寫出與等的終邊相同的角，只要在該角上加27r的整數(shù)倍即可.

【詳解】

首先角度制與弧度制不能混用，所以選項4B錯誤；

又與竽的終邊相同的角可以寫成2%兀+?兀(keZ),

所以。正確.

故選：。.

例2.(2022?全國?高三專題練習(xí))若角a的終邊在直線夕=一，上，則角a的取值集合為()

A,{“a=2/c兀一^j,fceZJ-B.{a[a=2A;兀+

C.{a[a=k兀一■^■,keZ}D.{a|a=k兀一￡,A：eZ}

【答案】D

【解析】根據(jù)若a，B終邊相同，則6=2k兀+a,k6Z求解.、，

【詳解】\L

解：由圖知，----QK2一；

角&的取值集合為：

|a|a=2/CTT+U{a卜=2k?！?/p>

={a[a=（2k+1）?！?#ez}U{a|a=2kn—jkez}

={a[a=麻--不keZ}

故選：D

【點睛】本題主要考查終邊相同的角，還考查了集合的運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

例3.（2022?上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)集合力={a|a=45°+M180°,A：eZ}U

{a\a=135°+fc-180o,fceZ},集合B={B\B=45°+fc?90°,keZ},則（）

A.AHB=0B.A￡BC.B^AD.A=B

【答案】D

【解析】考慮A中角的終邊的位置,再考慮3中角的終邊的位置,從而可得兩個集合的關(guān)系.

【詳解】

.a=45°+kT80°,keZ表示終邊在直線y=/上的角，

a=135°+拈?180°,fceZ表示終邊在直線y=—x上的角，

而0=45°+Q9O°,keZ表示終邊在四條射線上的角，

四條射線分別是射線y=x,x>0-,y=—x,x<0;y=x,x<0;y=-x,x>0,

它們構(gòu)成直線,=工、直線y=—c,故A=3.

故選：D.

【點睛】本題考查終邊相同的角，注意k-180°+a的終邊與a的終邊的關(guān)系是重合或互為反向延長線，而上

900+a的終邊與a的終邊的關(guān)系是重合或互為反向延長線或相互垂直，本題屬于中檔題.

例4.（多選題）（2022.全國.高三專題練習(xí)）如果角a與角7+45°的終邊相同，角3與7-45°的終邊相同，那么

的可能值為（）

A.90°B.360°C.450°D.2330°

【答案】力。

【解析】根據(jù)終邊相同可得角與角之間的關(guān)系，從而可得a—6的代數(shù)形式,故可得正確的選項.

【詳解】

因為角a與角7+45°的終邊相同，故a=y+45°+k?360°,其中

同理。=7—45°+/c「360°,其中fcjCZ,

故&一￡=90°+71?360°,其中打€2,

當(dāng)?1=0或n=l時，&-心=90°或a—8=450°,故AC正確，

令360°=90°+n-360°,此方程無整數(shù)解"；

令2330°=90°+n,360°即56=9?,此方程無整數(shù)解n；

故BD錯誤.

故選：47.

例5.（多選題）（2022?全國?高三專題練習(xí)）下列條件中，能使a和￡的終邊關(guān)于沙軸對稱的是（）

A.a+$=90°B.a+0=180°

C.a+6=k,360°+90°（keZ）D.a+^=（2fc+1）-180°（fceZ）

【答案】BO

【解析】根據(jù)a和6的終邊關(guān)于y軸對稱時a+6=180°+360%（k€Z）,逐一判斷正誤即可.

【詳解】

根據(jù)a和0的終邊關(guān)于y軸對稱時a+6=180°+360%（keZ）可知，

選項B中，&+￡=180°符合題意；選項。中，戊+0=（2卜+1》180°依€2）符合題意；

選項AC中，可取a=0°,0=90°時顯然可見a和自的終邊不關(guān)于沙軸對稱.

故選：BD

例6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）寫出兩個與一可兀終邊相同的角.