第三章函數(shù)及其表示方法第2課時(shí)函數(shù)的表示方法學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.了解函數(shù)的三種表示法及各自的優(yōu)缺點(diǎn)，會(huì)根據(jù)不同需要選擇恰當(dāng)

的方法表示函數(shù).2.掌握求函數(shù)解析式的常用方法.3.會(huì)作函數(shù)的圖像并從圖像上獲取有用信息.內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的表示方法思考函數(shù)三種表示法的優(yōu)缺點(diǎn)各有哪些？答案1.任何一個(gè)函數(shù)都可以用解析法表示.(

)2.任何一個(gè)函數(shù)都可以用圖像法表示.(

)3.函數(shù)f(x)＝2x＋1不能用列表法表示.(

)4.函數(shù)的圖像一定是定義區(qū)間上一條連續(xù)不斷的曲線.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√××2題型探究PARTTWO例1某商場(chǎng)新進(jìn)了10臺(tái)4K高清電視，每臺(tái)售價(jià)3000元，試求售出臺(tái)數(shù)x(x為正整數(shù))與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖像法、解析法表示出來(lái).一、函數(shù)的三種表示方法解

(1)列表法：x/臺(tái)12345678910y/元30006000900012000150001800021000240002700030000(2)圖像法：如圖所示.(3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}.反思感悟應(yīng)用函數(shù)三種表示方法應(yīng)注意以下兩點(diǎn)(1)解析法必須注明函數(shù)的定義域.(2)列表法必須羅列出所有的自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系.(3)圖像法要注意是否連續(xù).跟蹤訓(xùn)練1某問(wèn)答游戲的規(guī)則是：共5道選擇題，基礎(chǔ)分為50分，每答錯(cuò)一道題扣10分，答對(duì)不扣分，試分別用列表法、圖像法、解析法表示一個(gè)參與者的得分y與答錯(cuò)題目道數(shù)x(x∈{0,1,2,3,4,5})之間的函數(shù)關(guān)系.解

(1)該函數(shù)關(guān)系用列表法表示為：x/道012345y/分50403020100(2)該函數(shù)關(guān)系用圖像法表示，如圖.(3)該函數(shù)關(guān)系用解析法表示為y＝50－10x(x∈{0,1,2,3,4,5}).二、求函數(shù)的解析式例2

(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式；解

設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，則f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4.∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.解

方法一(配湊法)∴f(x)＝x2－1(x≥1).方法二(換元法)∴f(x)＝x2－1(x≥1).反思感悟求函數(shù)解析式的常用方法(1)換元法(有時(shí)可用“配湊法”)：已知函數(shù)f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式可用換元法(或“配湊法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，從而求出f(x).(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法求解，即由函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件列方程(組)，通過(guò)解方程(組)求出待定系數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式.(3)消元法(或解方程組法)：在已知式子中，含有關(guān)于兩個(gè)不同變量的函數(shù)，而這兩個(gè)變量有著某種關(guān)系，這時(shí)就要依據(jù)兩個(gè)變量的關(guān)系，建立一個(gè)新的關(guān)于這兩個(gè)變量的式子，由兩個(gè)式子建立方程組，通過(guò)解方程組消去一個(gè)變量，得到目標(biāo)變量的解析式.跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x＋2，求f(x)；解

(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).∵f(0)＝1，∴c＝1.又∵f(x＋1)－f(x)＝2x＋2，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x＋2，整理，得2ax＋(a＋b)＝2x＋2.由恒等式的性質(zhì)，知上式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，∴f(x)＝x2＋x＋1.∴f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16(t≥4)，即f(x)＝x2－16(x≥4).∴f(x2)＝x4－16(x≥2或x≤－2).解方法一(配湊法)∴f(x)＝x2－16(x≥4).∴f(x2)＝x4－16(x≥2或x≤－2).方法二(換元法)例3作出下列函數(shù)的圖像并求出其值域：(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；三、函數(shù)圖像的作法及應(yīng)用解當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，圖像是直線y＝2x＋1的一部分，如圖，觀察圖像可知，其值域?yàn)閇1,5].解當(dāng)x∈[2，＋∞)時(shí)，圖像是反比例函數(shù)y＝

的一部分，如圖，觀察圖像可知其值域?yàn)?0,1].(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2].解當(dāng)－2≤x≤2時(shí)，圖像是拋物線y＝x2＋2x的一部分，如圖，由圖可得函數(shù)的值域是[－1,8].反思感悟函數(shù)y＝f(x)圖像的畫(huà)法(1)若y＝f(x)是已學(xué)過(guò)的基本初等函數(shù)，則描出圖像上的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，直接畫(huà)出圖像即可，有時(shí)需要根據(jù)定義域進(jìn)行取舍.(2)若y＝f(x)不是所學(xué)過(guò)的基本初等函數(shù)之一，則要按：①列表；②描點(diǎn)；③連線三個(gè)基本步驟作出y＝f(x)的圖像.跟蹤訓(xùn)練3

作出下列函數(shù)的圖像：(1)y＝x＋2，|x|≤3；解

因?yàn)閨x|≤3，所以函數(shù)的圖像為線段，而不是直線，如圖(1).(2)y＝x2－2，x∈Z且|x|≤2.解

因?yàn)閤∈Z且|x|≤2，所以函數(shù)的圖像是五個(gè)孤立的點(diǎn)，如圖(2).核心素養(yǎng)之直觀想象HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG函數(shù)圖像的應(yīng)用典例

(1)已知f(x)的圖像如圖所示，則f(x)的定義域?yàn)開(kāi)____________，值域?yàn)開(kāi)______.[－2,4]∪[5,8][－4,3]解析函數(shù)的定義域?qū)?yīng)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值集合，值域?qū)?yīng)縱坐標(biāo)的取值集合.(2)若函數(shù)f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的圖像與y＝m有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解

f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的圖像如圖，f(x)的圖像與直線y＝m有2個(gè)不同交點(diǎn)，由圖易知－1<m≤3.素養(yǎng)提升(1)畫(huà)函數(shù)圖像可以依托已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)圖像以及圖像的對(duì)稱、翻折變換等方法.(2)函數(shù)圖像很直觀，在解題過(guò)程中常用來(lái)幫助理解問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，依托函數(shù)圖像可以更直觀地尋求問(wèn)題的解決思路和要點(diǎn).(3)借助幾何直觀認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系，形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，是直觀想象的核心內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).3隨堂演練PARTTHREE1.若f(x)＝3x－4，g(x－1)＝f(x)，則g(x)等于x－3x－5x－1x＋412345解析

∵g(x－1)＝3x－4＝3(x－1)－1，∴g(x)＝3x－1.√x123f(x)2112.已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出.12345x123g(x)321則f(g(1))的值為_(kāi)_；當(dāng)g(f(x))＝2時(shí)，x＝__.11解析由給出函數(shù)關(guān)系的表格，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.123453.已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且其圖像過(guò)A(－2,0)，B(1,5)兩點(diǎn)，則f(x)的12345解析式為_(kāi)___________.解析

設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，123454.已知函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，其中點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(0,3)，(3,0)，則f(f(0))＝__.解析

結(jié)合題圖可得f(0)＝3，則f(f(0))＝f(3)＝0.0123455.函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，則f(x)的定義域是____________，值域是_______.[－1,0)∪(0,2][－1,1)課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE1.知識(shí)清單：(1)函數(shù)的三種表示方法.(2)函數(shù)解析式的求法.(3)函數(shù)圖像的畫(huà)法和應(yīng)用.2.方法歸納：配湊法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見(jiàn)誤區(qū)：求函數(shù)解析式時(shí)易忽視定義域.4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR1.下表表示y是x的函數(shù)，則函數(shù)的值域是基礎(chǔ)鞏固1345678910111213141516A.[2,5]

B.{2,3,4,5}C.(0,20] D.N＋2x0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y2345√解析

由表格可知，y的值為2,3,4,5.故函數(shù)的值域?yàn)閧2,3,4,5}.2.已知函數(shù)y＝f(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表，函數(shù)y＝g(x)的圖像是如圖的曲線ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，則f(g(2))的值為1345678910111213141516A.3√2x123f(x)230解析由函數(shù)g(x)的圖像知，g(2)＝1，則f(g(2))＝f(1)＝2.1345678910111213141516A.12√4.(多選)若一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,6)和B(2,8)，則該函數(shù)的圖像還可能經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)為1345678910111213141516解析

設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，√2√所以此函數(shù)的解析式為y＝2x＋4，故A，C選項(xiàng)的坐標(biāo)符合此函數(shù)的解析式.134567891011121314151625.當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，有f(x)＋2f(－x)＝2x＋6，則f(x)為x＋1 x＋2C.－2x＋1 D.－2x＋2√解析

∵x∈R，f(x)＋2f(－x)＝2x＋6，

①∴f(－x)＋2f(x)＝－2x＋6，

②由②×2－①，得3f(x)＝－6x＋6，∴f(x)＝－2x＋2.134567891011121314151626.已知函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，則此函數(shù)的定義域是_______，值域是_______.[－3,3][－2,2]解析結(jié)合圖像，知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－3,3]，值域?yàn)閇－2,2].134567891011121314151627.已知函數(shù)f(x)＝x－

，且此函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)(5,4)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_.5解析將點(diǎn)(5,4)代入f(x)＝x－

，得m＝5.13456789101112131415168.已知f(x)是一次函數(shù)，若f(0)＝1且f(2x)＝f(x)＋x，則f(x)的解析式為_(kāi)__________.解析設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，∵f(0)＝1，∴b＝1.∴f(2x)＝2kx＋1.又f(2x)＝f(x)＋x，∴2kx＋1＝kx＋x＋1，解得k＝1，∴f(x)＝x＋1.2f(x)＝x＋113456789101112131415169.已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)的解析式.

解

設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又f(f(x))＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，2134567891011121314151610.畫(huà)出函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3的圖像，并根據(jù)圖像回答下列問(wèn)題：(1)比較f(0)，f(1)，f(3)的大??；解因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝－x2＋2x＋3的定義域?yàn)镽，列表：2x－1013y0340描點(diǎn)，連線，得函數(shù)圖像如圖：因?yàn)閒(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(3)<f(0)<f(1).13456789101112131415162(2)若x1<x2<1，比較f(x1)與f(x2)的大小；解根據(jù)圖像，容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)x1<x2<1時(shí)，有f(x1)<f(x2).13456789101112131415162(3)求函數(shù)f(x)的值域.解根據(jù)圖像，可以看出函數(shù)的圖像是以(1,4)為頂點(diǎn)，開(kāi)口向下的拋物線，因此，函數(shù)的值域?yàn)?－∞，4].11.小明騎車(chē)上學(xué)，開(kāi)始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后，為了趕時(shí)間加快速度行駛.與以上事件吻合得最好的圖像是綜合運(yùn)用13456789101112131415162√134567891011121314151612.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c滿足a>b>c且a＋b＋c＝0，那么它的圖像是圖中的解析∵a>b>c且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0，且f(1)＝0.2√134567891011121314151613.已知a，b為常數(shù)，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，則5a－b＝__.解析

由f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，得(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝x2＋10x＋24，即a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3＝x2＋10x＋24，22解得a＝－1，b＝－7或a＝1，b＝3，則5a－b＝2.1345678910111213141516214.一個(gè)彈簧不掛物體時(shí)長(zhǎng)12cm，掛上物體后會(huì)伸長(zhǎng)，伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度與所掛物體的質(zhì)量成正比.如果掛上3kg物體后彈簧總長(zhǎng)是13.5cm，則彈簧總長(zhǎng)y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)解析式為_(kāi)______________