數(shù)學發(fā)展概述第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日最喜歡的外語20%、數(shù)學17%、體育、信息技術(shù)最不喜歡的政治、物理、數(shù)學、外語壓力很大的數(shù)學、物理、外語、化學實用性最差的政治、歷史、美術(shù)、數(shù)學內(nèi)容偏多的數(shù)學、物理、政治、歷史內(nèi)容太難的物理、數(shù)學、化學、外語第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日數(shù)學的公眾形象是怎樣的？數(shù)學---是一些居心叵測的成年人為青年人挖的陷井？數(shù)學問題---是那些頻頻出現(xiàn)在試卷或書本上，讓某些老師看著學生崴腳而感到竊喜的東西？中學生對數(shù)學課的態(tài)度:“又愛又恨”---又喜歡又討厭,或者是有的喜歡,有的討厭.數(shù)學在大多數(shù)公眾的心目中是一堆數(shù)字和公式，抽象、深奧甚至神秘，對數(shù)學的應(yīng)用價值也不甚了解。第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日學習數(shù)學二個原則：實用與審美。數(shù)學美：簡單、對稱、完備、統(tǒng)一、和諧與奇異。數(shù)學的特點：抽象性、精確性、應(yīng)用廣泛性。數(shù)學思維方式：抽象化、符號化、公理化、最優(yōu)化和數(shù)學模型。數(shù)學教育中的弊?。褐v演繹不講發(fā)現(xiàn)；講結(jié)果不講探索；講細節(jié)不講思想。第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日數(shù)學對象的產(chǎn)生與演化活動觀念數(shù)學概念收集集體集合數(shù)數(shù)下一個后繼、次序、序數(shù)比較計數(shù)一一對應(yīng)、基數(shù)計算數(shù)的結(jié)合加數(shù)、乘法規(guī)則計時先后線性順序觀察對稱變換群測量距離、廣度度量空間移動變化變化率估計逼近、附近連續(xù)性、極限挑選部分子集論證證明邏輯連詞選擇機會概率第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日數(shù)學教學的主要任務(wù)：1）發(fā)展符號意識；2）實現(xiàn)從直觀描述到嚴格證明的轉(zhuǎn)變，培養(yǎng)邏輯思維能力；4）實現(xiàn)從常量數(shù)學到變量數(shù)學的轉(zhuǎn)變。學好數(shù)學的五個怎樣：怎樣（發(fā)現(xiàn)、證明、理解、應(yīng)用、推廣）定理。第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日數(shù)學與人文科學1、宗教：三種信仰的基石：絕對真理、永恒的東西、超感官世界。2、政治：意識起源于物質(zhì)，物質(zhì)世界有自然規(guī)律，則人類社會也有自然規(guī)律，可用數(shù)學刻畫，《幾何原本》（算術(shù)－〉數(shù)學：科學體系、公理方法、演繹推理、嚴密科學）是政治學研究范式。如邊沁《道德與立法原理引論》的如下五條公理創(chuàng)建倫理學理論：（1）人生而平等；（2）知識和信仰來自感覺經(jīng)驗；（3）人人都趨利避害；（4）人人都根據(jù)個人利益行動；（5）最大多數(shù)人的最大利益是衡量是非的標準。他得出政治學基本公理“政府應(yīng)當絕大多數(shù)人的最大幸?！奔奥蹇说摹疤熨x人權(quán)”公理?！叭切蔚娜我鈨蛇呏痛笥诘谌叀保?gt;三權(quán)分立中權(quán)利分配原則。美國《獨立宣言》借助了歐氏幾何的模型，如“所有的直角都相等－>所有的人生來都平等”。（邊沁的情書）第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日3、數(shù)學與人口論：馬爾薩斯人口論兩個公理：“食物是人類生存所必須的”，“性愛也是人類生存所必須的類”引出了達爾文的公理“物競天擇，適者生存”4、統(tǒng)計與社會學：統(tǒng)計學誕生（英國格蘭特1662《關(guān)于死亡公報的自然和政治觀察》）：死亡率是常數(shù)、性別比是1所以一夫一妻制合理。正態(tài)曲線證明“天才稀少，美人難得”?；貧w效應(yīng)證明了“父智兒庸，父庸兒智”。5、數(shù)學與經(jīng)濟學：現(xiàn)代經(jīng)濟學以數(shù)學為基礎(chǔ)：提高推理的可靠性、抵制先入為主、定量分析和決策（博弈論）。獲得經(jīng)濟學諾貝爾獎的一半是數(shù)學家，如納什的博弈論（1994）囚徒困境（納什均衡”首先對亞當·斯密的“看不見的手”的原理提出挑戰(zhàn)：按照斯密的理論，在市場經(jīng)濟中，每一個人都從利己的目的出發(fā)，而最終全社會達到利他的效果。但是我們可以從“納什均衡”中引出“看不見的手”原理的一個悖論：從利己目的出發(fā)，結(jié)果損人不利己，既不利己也不利他。）。第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日

數(shù)學發(fā)展史分為四個階段：第一個時期：數(shù)學形成時期，這是人類建立最基本的數(shù)學概念的時期．人類從數(shù)數(shù)開始逐漸建立了自然數(shù)的概念，簡單的計算法，并認識了最簡單的幾何形式，算術(shù)與幾何還沒有分開．第二個時期稱為初等數(shù)學，即常量數(shù)學時期，這個時期的基本的、最簡單的成果構(gòu)成現(xiàn)在中學數(shù)學的主要內(nèi)容．這個時期從公元前5世紀開始直到17世紀．這個時期逐漸形成了初等數(shù)學的主要分支：算術(shù)、幾何、代數(shù)、三角．第三個時期是變量數(shù)學時期．第四個時期是現(xiàn)代數(shù)學．

第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日一、數(shù)學文明的發(fā)祥埃及—幾何的故鄉(xiāng)已掌握了加、減、乘、除四種運算．會算一些平面圖形的面積及一些立體的體積．巴比倫—代數(shù)的源頭會開平方、開立方，并有平方、平方根、立方和立方根表．知道二次方程的求根公式．印度—阿拉伯數(shù)字的誕生地阿拉伯數(shù)字是印度人的發(fā)現(xiàn)，他們大約在公元前4世紀就開始使用這種數(shù)字，直到公元8世紀才傳入阿拉伯國家，后經(jīng)阿拉伯人傳入歐洲．用符號“0”表示零是印度人的一大發(fā)明．第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日二、現(xiàn)代文明的發(fā)祥地—希臘世界上曾經(jīng)存在21種文明，但只有希臘文化轉(zhuǎn)變成了今天的工業(yè)文明，究其原因，乃是數(shù)學在希臘文明中提供了工業(yè)文明的要素．歐幾里得（Euclid,約公元前300年）是古代最杰出的數(shù)學家之一，歐幾里得的《幾何原本》的出現(xiàn)是數(shù)學史上的一個偉大的里程碑．算術(shù)－〉數(shù)學原型（歐幾里得《幾何原本》：科學體系、公理方法、演繹推理、嚴密科學）第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日變量數(shù)學產(chǎn)生于17世紀，大體上經(jīng)歷了兩個決定性的重大步驟：第一步是解析幾何的產(chǎn)生；第二步是微積分的創(chuàng)立。對各種變化過程和各種變化著的量之間的依賴關(guān)系的研究，在數(shù)學中產(chǎn)生了變量和函數(shù)的概念，數(shù)學對象的這種根本擴展決定了數(shù)學向新的階段，即向變量數(shù)學時期的過渡．1637年笛卡兒的著作《幾何學》，這本書奠定了解析幾何的基礎(chǔ)，從而變量進入了，運動進入了數(shù)學．牛頓和萊布尼茨在17世紀后半葉建立了微積分．微積分的誕生具有劃時代的意義，是數(shù)學史上的分水嶺和轉(zhuǎn)折點。近代數(shù)學與古代數(shù)學區(qū)別：（1）符號化（1591年韋達《解析法入門》）（2）解析幾何（笛卡爾）（3）有窮數(shù)學到無窮數(shù)學（牛頓、萊布尼茨的微積分）三、變量數(shù)學時期第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日數(shù)學發(fā)展第一時期與第二時期的主要成果，即初等數(shù)學中的主要內(nèi)容已經(jīng)成為中小學教育的內(nèi)容．第三個時期的基本結(jié)果，如解析幾何（部分已放入中學）、微積分（部分已放入中學）、微分方程、高等代數(shù)、概率論（部分已放入中學）等已成為高等學校理工科教育的主要內(nèi)容．現(xiàn)代數(shù)學時期，大致從19世紀上半葉開始．數(shù)學發(fā)展的現(xiàn)代階段的開端，以其所有的基礎(chǔ)—代數(shù)、幾何、分析—中的深刻變化為特征．四、現(xiàn)代數(shù)學第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日1、幾何學的質(zhì)變

歐氏幾何到非歐幾何，現(xiàn)實空間到抽象空間歐氏幾何的第五公設(shè)為：過直線外一點，有且僅有一條直線與已知直線平行．否定它，得到新的公設(shè)：⑴過直線外一點，至少可以作兩條直線和已知直線平行。（羅氏幾何）⑵過直線外一點，不能作直線和已知直線平行.（黎曼幾何）第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日2、代數(shù)的質(zhì)變：法國數(shù)學家伽羅華公元（1811-1832）的建立群論－抽象代數(shù)。3、分析的質(zhì)變：首先，它的基礎(chǔ)得到了精確化，并產(chǎn)生了一系列新的分支，如實變函數(shù)、復變函數(shù)論、泛函分析等．進入20世紀以來，數(shù)學的研究對象，數(shù)學的應(yīng)用范圍大大擴展，特別是計算機的出現(xiàn)．產(chǎn)生了眾多新而又新的數(shù)學分支．第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日19世紀數(shù)學三大成就：非歐幾何的建立、群論的產(chǎn)生與數(shù)學分析的嚴格化。數(shù)的擴張是貫穿數(shù)學歷史中一條明顯的紅線。數(shù)學結(jié)構(gòu)：對于集合S，又賦予結(jié)構(gòu)S。即（M,S）。三大結(jié)構(gòu)：序結(jié)構(gòu)（大小）、代數(shù)結(jié)構(gòu)（運算）、拓撲結(jié)構(gòu)（親疏遠近）20世紀四大抽象學科：實變函數(shù)、泛函分析、抽象代數(shù)和拓撲學。抽象引起分析、代數(shù)和幾何概念上的變革：長度概念－測試－〉實變函數(shù)論，泛函分析數(shù)概念－代數(shù)結(jié)構(gòu)－〉抽象代數(shù)空間概念－彎曲性－〉非歐幾何連續(xù)性（拓撲學）函數(shù)概念－對應(yīng)與映射第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日無窮與數(shù)學危機數(shù)學史上有過三次數(shù)學危機，它們都與無窮有關(guān)。

第一次數(shù)學危機的要害是不認識無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)

第二次數(shù)學危機的要害，是極限理論的邏輯基礎(chǔ)不完善，而極限正是“有窮過渡到無窮”的重要手段。例如他指責牛頓，為計算比如說x^2的導數(shù)，先將x取一個不為0的增量Δx，由(x+Δx)^2-x^2，得到2xΔx+(Δx^2)，后再被Δx除，得到2x+Δx，最后突然令Δx=0，求得導數(shù)為2x。這是“依靠雙重錯誤得到了不科學卻正確的結(jié)果”。因為無窮小量在牛頓的理論中一會兒說是零，一會兒又說不是零。即“貝克萊悖論”。第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日第三次數(shù)學危機：羅素悖論是：以表示“是其本身成員的所有集合的集合”（所有異常集合的集合），而以表示“不是它本身成員的所有集合的集合”（所有正常集合的集合），于是任一集合或者屬于，或者屬于，兩者必居其一，且只居其一。然后問：集合是否是它本身的成員？（集合是否是異常集合？）第二十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日

二、無限與有限的區(qū)別和聯(lián)系

1.區(qū)別

1）在無限集中，“部分可以等于全體”（這是無限的本質(zhì)），而在有限的情況下，部分總是小于全體。2.）“有限”時成立的許多命題，對“無限”不再成立

（1）實數(shù)加法的結(jié)合律在“有限”的情況下，加法結(jié)合律成立。在“無限”的情況下，加法結(jié)合律不再成立。如第二十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日（2）有限級數(shù)一定有“和”?！?/p>

是個確定的數(shù)