數(shù)值分析常微分方程的差分方法第一頁，共四十一頁，2022年，8月28日問題的提出實際中，很多問題的數(shù)學(xué)模型都是微分方程。我們可以研究它們的一些性質(zhì)。但是，只有極少數(shù)特殊的方程有解析解。對于絕大部分的微分方程是沒有解析解的。

常微分方程作為微分方程的基本類型之一，在自然界與工程界有很廣泛的應(yīng)用。很多問題的數(shù)學(xué)表述都可以歸結(jié)為常微分方程的定解問題。很多偏微分方程問題，也可以化為常微分方程問題來近似求解。第二頁，共四十一頁，2022年，8月28日常微分方程的定解問題

考慮一階常微分方程的初值問題只要f(x,y)在[a,b]R1上連續(xù)，且關(guān)于y

滿足

Lipschitz

條件，即存在與x,y無關(guān)的常數(shù)L

使對任意定義在[a,b]上的y1(x)和y2(x)都成立，則上述問題存在唯一解。第三頁，共四十一頁，2022年，8月28日差分方法要計算出解函數(shù)y(x)在一系列節(jié)點a=x0<x1<…<xn=b

處的近似值節(jié)點間距為步長，通常采用等距節(jié)點，即取hi=

h

(常數(shù))。在這些節(jié)點上采用離散化方法，（通常用數(shù)值積分、微分、泰勒展開等）將上述初值問題化成關(guān)于離散變量的相應(yīng)問題。把這個相應(yīng)問題的解yn作為y(xn)的近似值。這樣求得的yn就是上述初值問題在節(jié)點xn上的數(shù)值解。一般說來，不同的離散化導(dǎo)致不同的方法。第四頁，共四十一頁，2022年，8月28日歐拉公式向前差商近似導(dǎo)數(shù)記為x0x1亦稱為歐拉折線法

第五頁，共四十一頁，2022年，8月28日歐拉格式的誤差定義

在假設(shè)

yi=y(xi)，即第i步計算是精確的前提下，考慮的截斷誤差

Ri=y(xi+1)

yi+1

稱為局部截斷誤差定義

若某算法的局部截斷誤差為O(hp+1)，則稱該算法有p

階精度。Ri

的主項

歐拉法的局部截斷誤差：歐拉法具有

1

階精度。第六頁，共四十一頁，2022年，8月28日例題1如何求解此問題？第七頁，共四十一頁，2022年，8月28日隱式歐拉格式向后差商近似導(dǎo)數(shù)))(,()(1101xyxfhyxy+x0x1)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiii由于未知數(shù)

yi+1

同時出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為隱式

/*implicit*/

歐拉公式，而前者稱為顯式/*explicit*/歐拉公式。隱式歐拉格式的代數(shù)精度是幾階的？第八頁，共四十一頁，2022年，8月28日兩步歐拉格式中心差商近似導(dǎo)數(shù)x0x2x1假設(shè)，則可以導(dǎo)出即中點公式具有

2階精度。需要2個初值y0和y1來啟動遞推過程，這樣的算法稱為雙步法/*double-stepmethod*/，而前面的三種算法都是單步法/*single-stepmethod*/。第九頁，共四十一頁，2022年，8月28日初值問題的積分形式一階方程的初值問題與積分方程當(dāng)x=x1時，

借助于數(shù)值積分，求y(x1)的值

用矩形公式是等價的第十頁，共四十一頁，2022年，8月28日梯形公式用梯形公式

同理第十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日方法顯式歐拉隱式歐拉梯形公式中點公式簡單精度低穩(wěn)定性最好精度低,計算量大精度提高計算量大精度提高,顯式多一個初值,可能影響精度各種方法的比較第十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日改進的歐拉格式Step1:

先用顯式歐拉公式作預(yù)測，算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step2:再將代入隱式梯形公式的右邊作校正，得到1+iy)],(),([2111+++++=iiiiiiyxfyxfhyy注：此法亦稱為預(yù)測-校正法/*predictor-correctormethod*/?？梢宰C明該算法具有2階精度，同時可以看到它是個單步遞推格式，比隱式公式的迭代求解過程簡單。后面將看到，它的穩(wěn)定性高于顯式歐拉法。第十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日龍格-庫塔方法龍格-庫塔方法的設(shè)計思想根據(jù)微分中值定理根據(jù)初值條件定義則平均斜率第十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日改進的歐拉格式考察改進的歐拉法，可以將其改寫為：斜率一定取K1K2的平均值嗎？步長一定是一個h

嗎？第十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日二階龍格-庫塔方法首先希望能確定系數(shù)1、2、p，使得到的算法格式有2階精度，即在的前提假設(shè)下，使得

Step1:將K2在(xi,yi)

點作Taylor展開將改進歐拉法推廣為：),(),(][12122111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii++==++=+ll第十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日二階龍格-庫塔方法（續(xù)）Step2:將

K2代入第1式，得到Step3:將yi+1與y(xi+1)在

xi點的泰勒展開作比較第十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日二階龍格-庫塔方法（續(xù)）要求，則必須有：這里有

個未知數(shù)，

個方程。32存在無窮多個解。所有滿足上式的格式統(tǒng)稱為2階龍格-庫塔格式。注意到，就是改進的歐拉法。Q:

為獲得更高的精度，應(yīng)該如何進一步推廣？第十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日龍格-庫塔方法一般推導(dǎo)公式其中i

(i=1,…,m)，i

(i=2,…,m)

和ij

(i=2,…,m;j=1,…,i1

)

均為待定系數(shù)，確定這些系數(shù)的步驟與前面相似。)...,(......),(),(),(]...[1122112321313312122122111--++++++=+++=++==++++=mmmmmmimiiiiiimmiihKhKhKyhxfKhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyybbbabbaballl第十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日龍格-庫塔方法的注意事項注：

龍格-庫塔法的主要運算在于計算

Ki

的值，即計算

f

的值。Butcher于1965年給出了計算量與可達到的最高精度階數(shù)的關(guān)系：753可達到的最高精度642每步須算Ki的個數(shù)

由于龍格-庫塔法的導(dǎo)出基于泰勒展開，故精度主要受解函數(shù)的光滑性影響。對于光滑性不太好的解，最好采用低階算法而將步長h

取小。第二十頁，共四十一頁，2022年，8月28日亞當(dāng)姆斯方法-線性多步法用若干節(jié)點處的y

及y’值的線性組合來近似y(xi+1)。)...(...110111101kikiiikikiiiffffhyyyy--+---+++++++++=bbbbaaa其通式可寫為：當(dāng)10時，為隱式公式;1=0則為顯式公式。線性多步法亞當(dāng)姆斯格式的基本思想利用前面已知點上的斜率的加權(quán)平均來近似平均斜率第二十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日兩種構(gòu)造方法基于泰勒展開的構(gòu)造法)...(...110111101kikiiikikiiiffffhyyyy--+---+++++++++=bbbbaaa將通式中的右端各項yi1,…,yik;fi+1,fi1,…,fik

分別在

xi點作泰勒展開，與精確解y(xi+1)

在xi點的泰勒展開作比較。通過令同類項系數(shù)相等，得到足以確定待定系數(shù)0,…,k;

1,0,…,k

的等式，則可構(gòu)造出線性多步法的公式。第二十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日兩種構(gòu)造方法

基于數(shù)值積分的構(gòu)造法將在上積分，得到只要近似地算出右邊的積分，則可通過近似y(xi+1)

。而選用不同近似式Ik，可得到不同的計算公式。第二十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日泰勒展開方法舉例例：設(shè))(3322110221101-----+++++++=iiiiiiiiyyyyhyyyybbbbaaa確定式中待定系數(shù)0,1,2,

0,1,2,3,

使得公式具有4階精度。解：/*y(xi)=yi*/第二十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日泰勒展開方法舉例75個未知數(shù)個方程此方程的解不唯一，可以根據(jù)自己的需要另設(shè)兩個條件。第二十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日收斂性與穩(wěn)定性

常微分方程的解是一個函數(shù)，但是，計算機沒有辦法對函數(shù)進行運算。因此，常微分方程的數(shù)值解并不是求函數(shù)的近似，而是求解函數(shù)在某些節(jié)點的近似值。為了考察數(shù)值方法提供的數(shù)值解，是否有實用價值，需要知道如下幾個結(jié)論：①步長充分小時，所得到的數(shù)值解能否逼近問題得真解；即收斂性問題②誤差估計（局部截斷誤差和全局誤差）③產(chǎn)生得舍入誤差，在以后得各步計算中，是否會無限制擴大；穩(wěn)定性問題第二十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日收斂性與穩(wěn)定性收斂性對于任意固定的xn=x0+nh，如果數(shù)值解

yn當(dāng)h→0（同時n→∞

）時趨向于準(zhǔn)確解y（xn），則稱該方法是收斂的.歐拉公式的收斂性存在常數(shù)C使得第二十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日收斂性與穩(wěn)定性第二十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日收斂性與穩(wěn)定性稱為整體截斷誤差是1階第二十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日收斂性與穩(wěn)定性第三十頁，共四十一頁，2022年，8月28日收斂性與穩(wěn)定性穩(wěn)定性如果一種差分方法在節(jié)點值yn上大小為δ的擾動，于以后各節(jié)點值ym（m>n）上產(chǎn)生的偏差均不超過δ，則稱該方法是穩(wěn)定的.穩(wěn)定性問題比較復(fù)雜，為簡化討論，我們僅考察下列模型方程

y′=λy，λ<0

第三十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日收斂性與穩(wěn)定性模型的歐拉格式為yn+1=（1+hλ）yn

模型的歐拉格式為則ξn+1=（1+hλ）ξn要使|yn+1|≤|yn|則|1+hλ|≤1穩(wěn)定條件0<h≤-2/λ

第三十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日收斂性與穩(wěn)定性模型的隱式歐拉格式為yn+1=yn+hλyn+1

解出恒成立總有結(jié)論恒穩(wěn)定

|yn+1|≤|yn|第三十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日方程組與高階方程的情形一階方程組的一般形式第三十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日方程組與高階方程的情形化高階方程為一階方程第三十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日方程組與高階方程的情形令則有第三十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日邊值