第三章相似圖形1．成比例線段一、目標導(dǎo)航1．了解兩條線段的比的概念；※上如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB,CD的長度分別是m、n,那么就說這兩條線段的比AB：CD=m：n,或?qū)懗?.若線段a：b=c:d,則線段a,b,c,d叫做成比例線段(或比例線段)；.及ad=bc在指定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，即比例式及等積式可以互相轉(zhuǎn)化．二、基礎(chǔ)過關(guān).若2x—5y=0，則Uy:x=，=..如果一_1，那么a=.b5 b.若@=石，b=3，c=34，則a、b、c的第四比例項d為..若土=Z=I，則^^^^^=.357 %+y—z.在一張地圖上，甲、乙兩地的圖上距離是3cm，而兩地的實際距離為1500m，那么這張地圖的比例尺為.三、能力提升.若，且AB=12，AC=3，AD=5，則AE=..已知O點是正方形ABCD的兩條對角線的交點，則AO:AB:AC= ..已知3二2,那么下列式子成立的是()%y

A．3x=2yB．xy=69.把ab=A．3x=2yB．xy=69.把ab=1cd寫成比例式C.二=2D.2=2y3 %3不正確的寫法是()2adc2b10.已知線段x,a__d_2cb2a_d D.cby滿足(x+y)：(x—y)=3：1,c_2abd那么x：y等于()A.3：1 B.2：3C.2：1 D.3：2.已知直角三角形的兩條直角邊長的比為a：b=1：2,其斜邊長為4,：5cm,那么這個三角形的面積是()cm2.A.32 B.16 C.8 D.4.等腰梯形ABCD的周長是104cm,AD〃BC,且AD：AB：BC=2：3：5,則這個梯形的中位線的長是()cm.A.72.8 B.51 C.36.4 D.28.已知四條線段a、b、c、d的長度，試判斷它們是否成比例？(1)a=16cmb=8cmc=5cmd=10cm(2)a=8cmb=5cmc=6cmd=10cm四、聚沙成塔在4ABC中，D是BC上一點，若AB=15cm,AC=10cm,且BD：DC=AB：AC,BD—DC=2cm,求BC的長.4．1線段的比(2)一、目標導(dǎo)航1．合比性質(zhì)：如果，那么；2.等比性質(zhì)：如果仆dn0),那么.二、基礎(chǔ)過關(guān).若3￡=3(b+d于0),貝U-= .bd bd.已知8+￡于0),貝舊..已知，土二.y三、能力提升4．已知,貝下列式子中正確的是()A.a：b=C2：dzB.a:d=c:bC.a：b=(a+c)：(b+d)D.a：b=(a-d)：(b-d).若ac=bdQc0),則下列各式一定成立的是()A.B.C.D..已知,貝的值為()TOC\o"1-5"\h\zA.4B.5 C.2 D.15 4 27.若ab&,且3a-2b+c=3,貝U2a+4b-3c的值是()5 78A.14B.42C.7D.143.若，設(shè)A=,B=,C=，則A,B,C的大小順序為()

A.A>B>CB.A<B<CC.C>A>A.A>B>CB.A<B<CC.C>A>D.A<C<B.若點P在線段AB上，點Q在線段AB的延長線上，AB=10,.求線段PQ的長..已知：用上J求：⑴的值；⑵的值.357.已知：X：y：Z=2：3：4.求：(1)；(2)；(3)..若￡±^.=2=￡±2,且2a—b+3c=21.試求a：b：c.3 4 6

四、聚沙成塔.已知實數(shù)a,b,c滿足b1C=-="b，求"的值.abc a.平行線分線段成比例(1)如圖，任意畫兩條直線ljl2,再畫三條及l(fā)jl2相交的平行線l3、l4、l5，分別量度l3、l4、l5在、上截得的兩條線段AB、BC和在l2上截得的兩條線段DE、EF的長度，AB：BC及DE：EF相等嗎?任意平移15,再量度AB、BC、DE、EF的長度，AB：BC及DE：EF相等嗎?(2)問題，AB：AC=DE：(),BC：AC=()：DF.(3)歸納總結(jié)：平行線分線段成比例定理三條 截兩條直線，所得的線段的比 /_例1如圖，若AB=3cm,BC=5cm,EK=4cm,寫出ek_= ~~=、=。求FK的長？ 一ZA一平行線分線段成比例定理推論尊思考：1、如果把圖中\(zhòng)、12兩條直線相交，交點A剛好落到13上，如圖⑴，所得的對應(yīng)線段的比會相等嗎？尊⑴2、如果把圖中l(wèi)jL兩條直線相交，交點A剛好落到l4上，如圖(2)，所得的對應(yīng)線段的比會相等嗎？3、歸納總結(jié)：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊延長線)，所得的線段的比.相似多邊形圖形的相似例1如圖，下面右邊的四個圖形中，及左邊的圖形相似的是()例2一張桌面的長。=m，寬6=山，那么長及寬的比是多少？(1)如果a=125cm,b=75cm,那么長及寬的比是多少？(2)如果a=1250mm,b=750mm,那么長及寬的比是多少?小結(jié)：上面分別采用m、cm、mm三種不同的長度單位，求得的a的b

值是的，所以說，兩條線段的比及所采用的長度單位，但求比時兩條線段的長度單位必須.例3已知：一張地圖的比例尺是1：32000000,量得北京到上海的圖上距離大約為cm,求北京到上海的實際距離大約是多少km?分析：根據(jù)比例尺二，可求出北京到上海的實際距離.【鞏固練習】1、如圖，從放大鏡里看到的三角尺和原來的三角尺相似口2.如圖，圖形a?f中，哪些是及圖形⑴或（2）相似的?3、下列說法正確的是（）A.小明上幼兒園時的照片和初中畢業(yè)時的照片相似.B.商店新買來的一副三角板是相似的.C.所有的課本都是相似的. D.國旗的五角星都是相似的.【能力提升】1、如圖，請測量出右圖中兩個形似的長方形的長和寬，（1）（?。╅L是cm,寬是cm；（大）長是cm,寬是cm；

⑵（小）寬一；（大）寬一 , .長 長 ⑶你由上述的計算，能得到什么結(jié)論嗎？一 2、在比例尺是1：8000000的“中國政區(qū)”地圖上，量得福州及上海之間的距離是cm，那么福州及上海之間的實際距離是多少？3、AB兩地的實際距離為2500m，在一張平面圖上的距離是5cm，那么這張平面地圖的比例尺是多少？相似多邊形如圖的左邊格點圖中有一個四邊形，請在右邊的格點圖中畫出一個及該四邊形相似的圖形.問題：對于圖中兩個相似的四邊形，它們的對應(yīng)角，對應(yīng)邊的比是否相等.【結(jié)論】：⑴相似多邊形的特征：相似多邊形的對應(yīng)角，對應(yīng)邊的比■反之，如果兩個多邊形的對應(yīng)角，對應(yīng)邊的比，那么這兩個多邊形.

幾何語言：在AABC和△A1B1C1中若/A=/A1;/B=/B1;/C=/C1?則AABC和AA1B1C1相彳以(2)相似比：相似多邊形的比稱為相似比.問題：相似比為1時，相似的兩個圖形有什么關(guān)系?結(jié)論：相似比為1時，相似的兩個圖形例1下列說法正確的是()A.所有的平行四邊形都相似A.所有的平行四邊形都相似B.所有的矩形都相似C.所有的菱形都相似 D.所有的正方形都相似例2、如圖，四邊形ABCD和EFGH相似，求角a和^的大小和EH的長度E產(chǎn)一.一x? ■.11'aP」TOC\o"1-5"\h\zI曲m I \!I/ ]\o"CurrentDocument"正用 中c ft 3d【鞏固練習】1.在比例尺為1：10000000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是30cm,求兩地的實際距離..如圖所示的兩個直角三角形相似嗎？為什么？/.1G 10.如圖所示的兩個五邊形相似，求未知邊a、b、c、d的長度.7J【能力提升】.△ABC及ADEF相似，且相似比是2，則ADEF及4ABC及的相似比3是（）A.2B.3C.2D.43 2 5 9.下列所給的條件中，能確定相似的有（）（1）兩個半徑不相等的圓；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等邊三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六邊形.A.3個 B.4個 C.5個 D.6個.已知四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1相似，四邊形ABCD的最長邊和最短邊的長分別是10cm和4cm,如果四邊形A1B1C1D1的最短邊的長是6cm,那么四邊形A1B1C1D1中最長的邊長是多少？.如圖，AB〃EF〃CD,CD=4,AB=9,若梯形CDEF及梯形EFAB相似，求EF的長.4．探索三角形相似的條件四.相似三角形※上在相似多邊形中，最為簡簡單的就是相似三角形.X2.對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比.X3.全等三角形是相似三角的特例，這時相似比等于1.注意:證兩個相似三角形，及證兩個全等三角形一樣，應(yīng)把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上.※生相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比及對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.X5.相似三角形周長的比等于相似比.X6.相似三角形面積的比等于相似比的平方.五.探索三角形相似的條件※上相似三角形的判定方法：一般三角形 直角三角形基本定理:平行于三角形的一邊且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形及原三角形相似.①兩角對應(yīng)相等; |①一個銳角對應(yīng)相等;②兩邊對應(yīng)成比例，且夾角②兩條邊對應(yīng)成比例：相等；③三邊對應(yīng)成比例.a.相等；③三邊對應(yīng)成比例.例；b.斜邊和一直角邊對應(yīng)成比例.相似三角形在相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形.在4ABC及△A，B，C，中，如果NA=NA,,NB=NB,,NC=NC,, 且絲=型=CA_=k.AB'B，CC'A我們就說^ABC及△A‘B‘C/相似，記作△ABCs^A,B’C‘'k就是它們的相似比.反之如果△ABCs^A‘B’C',則有NA=，/B=，/C=,且.問題：如果k=1,這兩個三角形有怎樣的關(guān)系？【鞏固練習】如圖，在4ABC中，DE〃BC,AC=4,AB=3,EC=1.求AD和BD.【能力提升】.如圖，△ABCs^AED,其中DE〃BC,找出對應(yīng)角并寫出對應(yīng)邊的比例式..如圖，△ABCs^AED,其中NADE=NB,找出對應(yīng)角并寫出對應(yīng)邊的比例式．【反思歸納】?“三角形相似的預(yù)備定理”.這個定理揭示了有三角形一邊的平行線，必構(gòu)成相似三角形，因此在三角形相似的解題中，常作平行線構(gòu)造三角形及已知三角形相似．?相似比是帶有順序性和對應(yīng)性的：如△ABCs^A'B'C’的相似比AB_二型二￡A二k,那么△A‘B’C's^ABC的相似比就是A'B'BCCA'AB二BC=CA：=1,它們的關(guān)系是互為倒數(shù).ABBCCAk思考：如圖，在^ABC中，DE〃BC,DE分別交AB,AC于點D,E。問題：⑴由“DE〃BC”的條件可得到哪些線段的比相等？⑵根據(jù)以前學習的知識如何把DE移到BC上去？（作輔助線EF〃AB）你能證明AE：AC=DE：BC嗎?⑶寫出△ABCs^ADE的證明過程。歸納總結(jié)：判定三角形相似的(預(yù)備)定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所成的三角形及原來三角形相似。例1如圖，在4ABC中，DE〃BC,AD=EC,DB=1cm,AE=4cm,BC=5cm,求DE的長.分析：由DE〃BC,可得△ADEsAABC,再由相似三角形的性質(zhì)，有，又由AD二EC可求出AD的長，再根據(jù)求出DE的長.【鞏固練習】1．下列各組三角形一定相似的是()A.兩個直角三角形B.兩個鈍角三角形 C.兩個等腰三角形D.兩個等邊三角形2.如圖，DE〃BC,EF〃AB,則圖中相似三角形一共有()A.1對B.2對C.3對D.4對3、如圖，AB〃EF〃CD,圖中共有對相似三角形，寫出來并說明理由。4.如圖，在ABCD中，EF〃AB,DE：EA=2：3,EF=4,求CD的長.【能力提升】1.如圖，DE〃BC,（1）如果AD=2,DB=3,求口￡：BC的值；（2）如果AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,求AE和BC的長.2、如圖，小明在打網(wǎng)球時，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)5米的位置上，求球拍擊球的高度h位置上，求球拍擊球的高度h.（設(shè)網(wǎng)球是直線運動）相似三角形一、選擇題1.如圖所示，在4ABC中，DE〃BC,若AD=1,DB=2,則DE的值為（ ）BC

232.如圖所示，14△ABC中DE232.如圖所示，14△ABC中DE〃BC,若AD：DB=1：2,則下列結(jié)論中正確的是（）A.de二1 B.BC2C.=1 D.=13 3.如圖所示，在^ABC中NBAC=90°,D是BC中點，AE^AD交CBA延長線于E點，則下列結(jié)論正確的是（）A.^AEDs^ACB B.^AEBs^ACdL ‘?；□△BAE□△BAEs^ACE□.△AECs^dac.如圖所示，在4ABC中D為AC邊上一點，若NDBC=NA,bc-6，AC=3,則CD長為（）TOC\o"1-5"\h\zA.1B.3 C.2 D.52 2.若P是Rt△ABC的斜邊BC上異于B,C的一點，過點P作直線截^ABC,截得的三角形及原4ABC相似，滿足這樣條件的直線共有（）A.1條B.2條C.3條D.4條 :.如圖所示，4ABC中若DE〃BC,EF〃AB,則下列比例式正確的是（） /?//;A.AD=de B. "產(chǎn)DBBCC.AEBF D.EFDEEC—FC AB—BC.如圖所示，4ABC中，ADLBC于D,對于下列中的每一個條件：①NB+NDAC=90°；②NB=NDAC；③CD：AD=AC：AB；@AB2^BD?BC

其中一定能判定4ABC是直角三角形的共有()人?3個B.2個C.1個口.0個二、填空題.如圖9所示，身高的小華站在距路燈桿5m的C點處，測得她在燈光下的影長CD為，則路燈的高度AB為..如圖所示，4ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上一點，且，射線CF交AB于E點，則竺等于.FD.如圖所示，4ABC中，DE〃BC,AE：EB=2：3,若4AED的面積是則四邊形DEBC的面積為.若兩個相似多邊形的對應(yīng)邊的比是5：4,則這兩個多邊形的周長比是.三、解答題.已知，如圖，ZABC中，AB=2,BC=4,D為BC邊上一點，BD=1.⑴求證：△ABDs^CBA；(2)作DE〃AB交AC于點E,請再寫出另一個及4ABD相似的三角形，并直接寫出DE的長.15.如圖所示，在由邊長為1的25個小正方形組成的正方形網(wǎng)格上有一個^ABC,試在這個網(wǎng)格上畫一個及4ABC相似，且面積最大的△ARCJAjB1,1三點都在格點上），并求出這個三角形的面積..已知：如圖，4ABC中，NBAC=90°,AB=AC=1,點D是BC邊上的一個動點（不及B,C點重合），NADE=45°. ；、⑴求證：△ABDs^DCE； /；/'、E⑵設(shè)BD=x,AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；“'I——一，⑶當4ADE是等腰三角形時，求AE的長..已知：如圖，4ABC中，AB=4,D是AB邊上的一個動點，DE〃BC,連結(jié)DC,設(shè)4ABC的面積為S,4DCE的面積為S’.⑴當D為AB邊的中點時，求S,：S的值；⑵若設(shè)試求y及x之間的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍..相似三角形判定定理的證明.黃金分割2黃金分割一、目標導(dǎo)航.黃金分割定義:點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果AC:AB=BC:AC,那么稱線段AB被點C黃金分割.點C叫做線段AB的黃金分割點，AC及AB的比叫做黃金比.2..二、基礎(chǔ)過關(guān).若點P是AB的黃金分割點，則線段AP、PB、AB滿足關(guān)系式..黃金矩形的寬及長的比大約為（精確到0.001）..電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時，站在舞臺的黃二金分割點處最自然得體，若舞臺AB長為20m, §試計算主持人應(yīng)走到離A點至少m處？如果他向B點再走m,也處在比較得體的位置.(結(jié)果精確到0.1m)三、能力提升.有以下命題：①如果線段d是線段a,b,c的第四比例項，則有a二工：②如果點C是線段AB的中點，那么AC是AB、BC的比bd例中項；