彈性力學(xué)一徐芝綸一課后習(xí)題及答案第一*錯(cuò)論本章學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)一、彈性力學(xué)的內(nèi)容:彈性力學(xué)的研究對(duì)象、內(nèi)容和范圍,注意與其它力學(xué)在任孫，研究對(duì)鼠和研究方法上的相同點(diǎn)及不同點(diǎn)，二■.蟀性力學(xué)的基本假定、基本史和笠標(biāo)系.為簡(jiǎn)化心，彈性力學(xué)嘏定所研究的物體處于連續(xù)的、完全彈性的、均勻的、群同何性的/、變形的狀態(tài)，.各種熱*量的正質(zhì)號(hào)規(guī)定B注意彈性力學(xué)中班為針就的正負(fù)號(hào)規(guī)定與材料力學(xué)中的正負(fù)號(hào)稅定有柯柯同點(diǎn)和不同點(diǎn)。外力（陣力、面力）均以沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?面力的正負(fù)號(hào)與所處的面無(wú)關(guān)￡只與坐標(biāo)系有關(guān)3注意與應(yīng)力分討正面IE向、曲回負(fù)向州定的區(qū)別.工五個(gè)基本假定在建立彈力力學(xué)基率方程時(shí)的用途.難點(diǎn)建立正面、負(fù)面的慨念，琉立憚性力學(xué)中應(yīng)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)定.典空例題講解創(chuàng)17試分別根據(jù)在財(cái)料力學(xué)中，和彈性力學(xué)中符號(hào)的規(guī)定，確定圖也所示的切應(yīng)力-jiFj.rH的符號(hào).例I-1I相拜悟力學(xué)陽(yáng)明孰猊（第二版）仝根冬季及勺舞全解【解答】《1）在材料力學(xué)中規(guī)定，凡企圖使單元或其局部順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的切應(yīng)力為正,反之為仇.所以，L，C為正"7,L為負(fù).（2）在彈性力學(xué)中規(guī)定?作用于正坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以正坐標(biāo)軸方向?yàn)檎饔糜谪?fù)坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以負(fù)坐標(biāo)軸方向?yàn)檎?相反的方向均為負(fù)，所以,q.j,口,人均為負(fù)。習(xí)題全解1-1試舉例說(shuō)明,什么是均勻的各向異性體，什么是非均勻的各向同性體?什么是非均勻的各向異性體.1篇答】木材,竹材是均勻的各向異性體；混合材料通常稱為非均勻的存向同性體，如沙石源凝土構(gòu)件，為非均勻的各向同性體，有生物組織如長(zhǎng)骨，為林均勻的各向異性體C1-2一般的混凝土構(gòu)件和索筋溫靜土構(gòu)件能否作為理想彈性體？一般的巖質(zhì)地基和土質(zhì)地基能否作為理想彈性體？【解答】?般的混疑上構(gòu)件可以作為理想的彈性體,而鋼筋混於土構(gòu)件不可以作為理想的彈性體:一般的巖質(zhì)地基不可以作為理想彈性體，面土質(zhì)地基可以作為理想的彈性體.1-3五個(gè)基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時(shí)有什么用途？【解答】（D連續(xù)性假定:引用這假定以后，物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理量就可看成是連續(xù)的?因此，建立并性力學(xué)的基本方程時(shí)就可以用坐標(biāo)的連續(xù)的數(shù)來(lái)表示它們的變化規(guī)律.（2）完全彈性假定:引用這完全酉性的假定還包含形變與形變引起的正應(yīng)力成正比的含義，亦即二者成線性的關(guān)系，服從胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程。（3）均勻性假定;在該根定下，所研究的物體內(nèi)部各點(diǎn)的物理性質(zhì)顯然都是相同的,因此，反映這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)（如彈性模量E和泊松比/!等）就不隨位置坐標(biāo)而變化。（4）各向同性假定，所謂“各向同性”是指物體的物理性質(zhì)在各個(gè)方向上都是相同的。進(jìn)一步地說(shuō),就是物體的彈性常數(shù)也不隨方向而變化.（5）小變形假定:我們研究物體受力后的平衡問(wèn)題時(shí)，不用考慮物體尺寸的改變.而仍然按照際來(lái)的尺寸和形狀進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)，在研究物體的變形和位移時(shí)，可以將它們的二次事或疣積略去不計(jì)?使得彈性力學(xué)中的微分方程都簡(jiǎn)化為線性微分方程。在上述這再假定下，彈性力學(xué)問(wèn)題而化為線性問(wèn)題，從而可以應(yīng)用登加原理。1-4應(yīng)力和武力的符號(hào)規(guī)定有件么區(qū)別"城分別庖出正面和負(fù)面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向。

算一章【解答】應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定是:當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的正方向時(shí)（即正面時(shí)）,這個(gè)面上的應(yīng)力（不論是正應(yīng)力或切應(yīng)力）以沿坐標(biāo)軸的正力晌為正,沿坐標(biāo)珀的負(fù)方向?yàn)轸~.與此相反?當(dāng)作用血的外法線指向坐標(biāo)軸的位方向時(shí)（即負(fù)面時(shí)）.這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎?沿坐標(biāo)怙的正方向?yàn)樨?fù).面力的符號(hào)規(guī)定是：當(dāng)面力的指向沿生忻軸的正方向時(shí)為正，沿坐標(biāo)他的負(fù)方向時(shí)為負(fù)?1-5試比較彈性力學(xué)和材料力學(xué)中關(guān)于切應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定”【解答】在彈性力學(xué)和材料力學(xué)中切應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定不盡相同:材料力學(xué)中規(guī)定，凡企圖使微段順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的切應(yīng)力為正；在彈性力學(xué)中規(guī)定，作用于正坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?作用F負(fù)坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸倒方向?yàn)檎?相反的方向均為負(fù)。1-6試舉例說(shuō)明正的應(yīng)力對(duì)應(yīng)于正的形變?！窘獯稹咳缌菏芾鞎r(shí),其形狀發(fā)生改變，正的應(yīng)力（拉應(yīng)力）對(duì)應(yīng)于正的形變。1-7試畫H假1?7圖中的矩形薄板的正的體力,面力和應(yīng)力的方向。注意：《1》無(wú)論在哪一個(gè)位置的體力，在邨一個(gè)邊界面上的面力，均以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，反之為?fù)。（2）邊界面上的應(yīng)力應(yīng)是以在正坐標(biāo)聞上?方向沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，?即1?，圖

彈性力般抱陰敕"I第三JWU金戲名景及習(xí)現(xiàn)金解解1?7國(guó)《■）體力和面力.（b）體力和應(yīng)力之為負(fù):在負(fù)坐標(biāo)面上，方向沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎?反之為負(fù)。1-8試畫出題1-8圖中的三角形薄板的正的面力和體力的方向.解1-8困第二才華而冏甄的去座理裕本章學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)?點(diǎn)一、兩類平面向MS的概念名稱平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變何題未知量已知量未知量已知量位移U，引w#0…w=0應(yīng)變?■?￡v?！?y? 一°C<=一F（6.FT，Ej十,，7H -卻=0應(yīng)力，，9%?Tjfr”-r“=<yt=0?j9,,T〃r”=r?=0,<7?=〃（%+〃）外力體力、面力的作用面平行于KV平面，外力沿板厚均勻分布.體力、面力的作用面平行于上y平面,外力沿Z軸無(wú)變化.形狀物體在一個(gè)方向的幾何尺寸遠(yuǎn)小于其它兩個(gè)方向的幾何尺寸（等厚度薄板）.沿一個(gè)方向（通常取為之軸）很長(zhǎng)的等祗面核柱體（等截面長(zhǎng)柱體）。二,平面問(wèn)題的基本方程平面問(wèn)題的基本方程共有八個(gè)，見(jiàn)下表。其中止?…C分別是強(qiáng)性模貿(mào)、泊松比和切變模%,G=57是1?4（1十六，名稱基本方程表達(dá)式應(yīng)用基本假定平衡微分方程爭(zhēng)十堂+人=0,學(xué)+孕十/廣0.djrdy dx J了八連埃性，小變形,均勻性幾何方程du Jv 2u.dv一=而，，產(chǎn)后”=蘇十/連續(xù)性，小變形.均勻性8怛力學(xué)藺明心枇（第三瓶?金校導(dǎo)艙及911全”續(xù)表名稱基本方程發(fā)達(dá)式應(yīng)用基本枳定物理方程平面應(yīng)力向翅€r=i＜（7r-必）'1《.九廣作一平面應(yīng)變問(wèn)眶€,=1￡'[Oj-—E（力If?>~~ *y?連續(xù)性,小叁形.均勻性，完全彈性，各向同性三、平面問(wèn)題的邊界條件彈性力學(xué)平面向題的邊界條件有三類.如卜表，其中5. 分別表示面力、位移已知的邊畀"和，〃則是邊界面的方向余弦.位移邊界條件應(yīng)力邊界條件混合邊界條件仁汴上“6+析77=。飛上Urx>4-wy=/yo*tf=u.v-v.S.上仔一加乙〉=7，?5上Ur^y+次；，=fJ?四、平面問(wèn)腦的兩條求解途徑L處理平面問(wèn)題時(shí)，常用技位移求解和按應(yīng)力求解這兩條途役.在滿足相應(yīng)的求解方程和邊界條件之后，前者先求出位移再用幾何方程、物理方程分別求出應(yīng)變和應(yīng)力;后者先求出應(yīng)力再由物理方程、幾何方程分別求出應(yīng)變和位移..按位移求解平面問(wèn)班,歸結(jié)為在給定邊界條件下，求解以位移表示的平衡徵分方程（平面應(yīng)力情改），（上一代卜』立+L±j￡k）-o,1一1"工2「2少十2My}'苫?（嘉十與衛(wèi)非十*懸卜°。.故應(yīng)力求解平面間圖,除再用平衡微分方程外?還需補(bǔ)充應(yīng)變相容方程，該方程可用應(yīng)變或應(yīng)力分量表示.用應(yīng)力表示的相容方程：一般情況下2+6）=-（14Q（普+某）.平面應(yīng)力問(wèn)驗(yàn)十%）=一（七）（養(yǎng)+為）。平面應(yīng)變問(wèn)題第二辜平面間然的不本理定常體力情配卜\6+外）=0。用應(yīng)變表示的相容方程：'工+乜=乜dy2以2-dxdy0接應(yīng)力求軸常體力情況卜的兩類平面問(wèn)題,歸結(jié)為在檢定邊界條件下,求解如下的偏微分方程組，若是多連通（開孔）物體，相應(yīng)的位移分量需滿足位移單值條件：［箏十宇十九二0，J工”“”呢,Jr小_W r- FA=0>Uy￡ '▽'Qjlq）=0。五、關(guān)于位移解法、應(yīng)力解法及應(yīng)變相容方程.彈性力學(xué)問(wèn)題接位移求解（或按位移、應(yīng)變、應(yīng)力同時(shí)求解）時(shí)，應(yīng)變相容方程能自行滿足。按應(yīng)力求解時(shí).為保證從幾何方程求得連續(xù)的位移分量，需補(bǔ)充應(yīng)變相容方程，是保證物體（單連體）連續(xù)的充分和必要條件,對(duì)于多連體，只有在加上自秣單值條件，才能使物體變形后仍保持為連續(xù)體。.按位移求聃時(shí)需聯(lián)立求解二階偏微分方程,雖在理論上講適用于各類邊界條件,但實(shí)際運(yùn)用時(shí)較難得到精確滿足位移邊界條件的解析解。因此，使其在尋找精確解時(shí)受到了限制。然而,這一方法在數(shù)值翎法中得到了廣泛應(yīng)用。.應(yīng)力解法通常適用于應(yīng)力邊界條件或僅在局部給定位移的混合邊界條件。由于可引入應(yīng)力函數(shù)求解,故在尋找平面問(wèn)題的解析解時(shí),用此法求解比按位移求解容易。.在技應(yīng)力解法求解的方程組中并不隱含彈性常數(shù)，因比，按應(yīng)力求解單連通平面彈性體的應(yīng)力邊界問(wèn)題時(shí),耳應(yīng)力解答與Ef.G無(wú)關(guān)（但應(yīng)變、位移分量與彈性常數(shù)有關(guān)），即應(yīng)力與材料性質(zhì)無(wú)關(guān)，這意味著不同彈性材料的物體（不論是屬于平面應(yīng)力問(wèn)題，還是屬了平面應(yīng)變問(wèn)題），只要在二二平面內(nèi)具有相同的形狀、約束和荷載?那么的分布情況就相同（不考慮體力）?？梢宰C明：對(duì)于多連通（開孔）物體，若作用在同一邊界上外力的主矢為零?上述結(jié)淪也成立。難點(diǎn)一、兩類平面問(wèn)題的異同點(diǎn)。二、圣維南賒理的適用范圍?對(duì)其定義的把指L在利用條維南總理在小邊界（次要邊界）上局部放松,使應(yīng)力邊界條件近似滿足時(shí)，注,意主矢（主矩）的正負(fù)號(hào)規(guī)定:應(yīng)力合成的主矢（主矩）與外力主矢（主矩〉方向一致時(shí)取正號(hào),反之取負(fù)號(hào)。三、列出應(yīng)力邊界條件.

力字藺叫敷極；豪三版）全枉仔竽及習(xí)麴食*典型例題講解例2-1已知薄板有下列形空關(guān)系：￡,=Ao7￡y=6/?！?（：一。/,式中A.B.C,D皆為常數(shù),試檢2t在形變過(guò)程中是否符合連續(xù)條件，若滿足并列出應(yīng)力分量表達(dá)式.【解】（D相容條件：將形變分俄代人形變協(xié)調(diào)方程（相容方程）其中其中所以滿足相容方程，符合連續(xù)性條件。（2）在平面應(yīng)力問(wèn)題中.用形變分量表示的應(yīng)力分量為—=1*（（-+產(chǎn),）二廠J（Ar3+〃Bj?1-p 1―y6>=Y^7（-+/*）= （M祇+的3）?5=3"=G<C-2/）。（3）平衡微分方程重斗黑”=。,?圻愛(ài)+”。，其中 養(yǎng)=老再，符=而<38八八人若滿足平衡微分方程?必須有點(diǎn)｝第—2GDy+/,=0,+人）+八=0。分析:用形變分蛾表示的應(yīng)力分量，滿足了相容方程和平衡微分方程條件,若要求出常數(shù)A,B,C.D坯需應(yīng)力邊界條件.例2-2如圖所示為一矩形截面水壩.其右例面受涉水壓力（水的密度為0），頂部受集中力P作用.成寫出水壩的應(yīng)力邊界條件，【解】根據(jù)在邊界上應(yīng)力與聞力的關(guān)系左例面；。/〉—「=A<y>=0,《e”〉i=f、6）=Oi右健面：<力的m=A<y）=一由y，（rzv>x=-a=7> ）=0,上下端而為小邊界面.庖用圣維南原理，可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。上湍面的面力向截面形心。簡(jiǎn)化，得面力的主矢量和主矩分別為心，兒?：”，F(xiàn)y=Psina,F，=-P8Sa,M“=粵sina.y=0坐標(biāo)面，應(yīng)力主欠量符號(hào)與面力主矢量符號(hào)相反，應(yīng)力主矩與面力主矩的轉(zhuǎn)向相反，所以）￥=ndr=—Fn——Psina?J-Ay=oxdj——Me=-4-PAsina.

J—4 4fc（r>〃=o"=—Fs=Pcosa.下端面的面力向截而形心。簡(jiǎn)化，得到主矢爆和主矩為Fn=Pdna.Fs=Pcc^a一工猴、“p/PR「Md=rIcosa^-Sina-pg.y=l坐標(biāo)面，應(yīng)力主矢址?主矩的符號(hào)與面力主失量、主矩的符號(hào)相同。所以卜〈外）戶,<Lr=F、=-Psin。，1 >?=/X<Lr=Mp=P/cosayFAsina-與M，r> /Ja《，河）N1業(yè)~Fs=Pcosa-彳解.分析：（1）與坐標(biāo)箱平行的主要邊界只能建立兩個(gè)等式，而且與邊界平行的應(yīng)力分量不會(huì)出現(xiàn).如在左、右側(cè)面,不要加入Qv）,i=?；颉?=>（2）在大邊界上必須精旗滿足應(yīng)力邊界條件，當(dāng)在小邊界（次要邊界）上無(wú)法精確滿足時(shí).可以應(yīng)用圣維南原理使應(yīng)力邊界條件近似滿足,使問(wèn)題的求解大為荷化.應(yīng)力合成的主矢（主矩）符號(hào)的取法亦可用外力主矢（主矩）的方向判斷，二者方向一致時(shí)取正號(hào),反之取負(fù)號(hào)。習(xí)題全解21如果某一向題中.*= =仁，=0,只存在平面應(yīng)力分量靄.，明.fr，且它們不沿之方向變化，儀為的函數(shù)?試考慮此何地是否就是平面應(yīng)力問(wèn)肱？

10現(xiàn)10現(xiàn)tx力學(xué)簡(jiǎn)明我雙；弟三標(biāo)I空板導(dǎo)學(xué)及9底女解【解答】平面應(yīng)力問(wèn)題.就是作用在物體上的外力，約束抬Z向均不變化，只有平面應(yīng)力分量（L?%?r〃）?目?jī)H為了r的函數(shù)的錚性力學(xué)問(wèn)題.所以此向即是平面應(yīng)力問(wèn)題。，2-2如果某一問(wèn)題中,J=Yu=7”="。9只存在平面應(yīng)變分昆￡j.€,，九,?且它們不沿z方向變化.僅為工.y的函數(shù).試考慮此問(wèn)題是否就是平面應(yīng)變問(wèn)題？【解答】平面應(yīng)變問(wèn)題，就是物體豉面形狀、體力、而力及約束沿N向均不變,只有平面應(yīng)變分fitMr. 目?jī)H為I…的函數(shù)的彈性力學(xué)問(wèn)題，所以此問(wèn)題是平面應(yīng)變問(wèn)題”2-3試分析說(shuō)明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中，題2?3困?其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力的情況,【集答】在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中?可以認(rèn)為在該薄層的上下表面都無(wú)面力?且在薄層內(nèi)所有各點(diǎn)都有久=,==一，=0,只存在平面應(yīng)力分員叫，力，吟,，旦它們不沿N向變化，僅為工，了的函數(shù)?？烧J(rèn)定此問(wèn)題是平面應(yīng)力問(wèn)題.2-4試分析說(shuō)明，在板面上處處受法向約束巨不受切向面力作用的等厚度薄板中，題2，4圖，當(dāng)板上只受向的面力或約束，且不沿厚度變化時(shí)?其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況.題2?3圖 1?24圖【解答】板上處處受法向約束時(shí)卻=0,且不受切向面力作用,則丫口=九,=0（相應(yīng)Ttr一0）；板邊上只愛(ài).一了向的而力或約束?所以僅存在一，%，八》且不沿厚度變化，所以其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況。2-5ft?2-5圖的微分體中?若將對(duì)形心的力矩平衡條件XMc=0.改為對(duì)11角點(diǎn)的力矩平、衡條件，試問(wèn)將導(dǎo)出H么形式的力.程?鹿2?5圖【解】將對(duì)形心的力矩平新條件EM,=0?改為分別對(duì)四個(gè)角點(diǎn)A,b.D.E的平衡條件，為計(jì)算方便,在之方向的尺寸取為一個(gè)單位。%cLrX1X當(dāng)+(*+券dr)dyX1X當(dāng)一卜~+^2dr)dyX1Xdr+(匕“+-p￡dy)drXIXdy~(外+爭(zhēng)dyjdrXIX號(hào)一〃djfX1X~(a)+A山辦X1X當(dāng)一f.cbdyX1X學(xué)=0。=U,I。+%dr)dyXIXy-+(產(chǎn)戶 X1Xdy+JTOC\o"1-5"\h\zE+￡dy)ArX1X—-rz/djXIXdLr-a")乂】乂9一 (0)CXIX孚+￡&dyXlX學(xué)+/\chdyXlX堂.0.4 4 4XJMV-0?\(iy+~d.y)dxXIXy--r^djXIX(Lz十%d?XI 十yt^cLtXIXdy一或匕XI-(/+^_dr)dyXIX學(xué)一 (c)/；drdyX1X字+fMdyX1乂字=0,M LLMt=0,一(%+學(xué)1d9)drX1 +/d>X1X +c>rArXIXdy+b》drXIX

12勢(shì)松力中簡(jiǎn)明族12勢(shì)松力中簡(jiǎn)明族UU第三代）全桎導(dǎo)學(xué)及習(xí)H會(huì)解華一（明十誓業(yè)）dyXIX學(xué)一（r十穿業(yè)加X(jué)IXdz-AdrdjXlX學(xué)十八業(yè)右XIX享=0。 （d）G 4略去式（a）、（b）、（c）和式（d）中三階小裁I亦即d2丁心.drd，都趨十零），并將各式都除以dzdy后合并同類項(xiàng)，分別得到“一2-6在題2?5圖的微分體中,若考慮每一面上的應(yīng)力分量不是均勺分布的,試問(wèn)將導(dǎo)出什么形式的平衡微分方程？【解】微分單元體八BC。的邊Kdx,d3都是微量，因此可以假?zèng)]在單元體各面上所受的應(yīng)力如圖（a）示，忽略了二階以上的高階微員，而看作是線性分布的.如圖（b）示.為計(jì)算方便,單元體在z方向的尺寸取為一個(gè)單位.各點(diǎn)正應(yīng)力：%)，(</1),<rTFFtff%)，(</1),<rTFFtfffnIl(5%S，3<bi

<bi第二/ 平面內(nèi)麴的墓本理論13第二/ 平面內(nèi)麴的墓本理論13）c=-+-^rdr （t*＞c=Q,+^＞業(yè)+^^心。由微分單元體的平衡條件￡F,=0,2凡=0得{-玨,+伍+符心）］卜，斗信［（%+/&）十（%+姜業(yè)+含打）］的一抬"+（〃十笠"）］屜十|y［（r-+巖dy）+（J+巖改+煞3）］向+f^dy=0,{7［*+（。，+符也）］}二十圉（叫十色力）+（。,+整加+—山）］辰T知”十小卜笨如）?+［9［（”+和北）+卜〃+*右+上dr），dy+f,&dy=0。以上二式分別展開并約簡(jiǎn),再分別除以drd），就得到平面問(wèn)題中的平衡微分方程養(yǎng)+警+/*-%■卷十一。?2-7在導(dǎo)出平面問(wèn)題的三套基本方程時(shí)，分別應(yīng)用了哪些基本假定？這些方理的適用條件是什么？【解答】（1）在導(dǎo)出平面問(wèn)題的平衡微分方程和幾何方程時(shí)應(yīng)用的基本假定是:物體的連續(xù)性，小變形和均勻性.在兩種平面向SS（平面應(yīng)力.平面應(yīng)變向即）中.平衡微分方程和幾何方程都適用。（2）在導(dǎo)出平面問(wèn)題的物理方程時(shí)應(yīng)用的基本假定是:物體的連續(xù)性,完全彈性.均勻性，小變形和各向同性,即物體為小彼形的理想彈性體.在兩種￥面問(wèn)題《平面應(yīng)力、平面應(yīng)變問(wèn)題）中的物理方程不一樣.如果將平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程中的E換為送1％換為七，就得到平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程。2-?試列出題2-8圖（a）.翅2-8圖（b）所示問(wèn)題的全部邊界條件.&式端部邊界上,應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件.【解】＜1）對(duì)于圖（a）的問(wèn)題

14彈柱刀竽期明衣松（第二機(jī)?金拉導(dǎo)學(xué)及刁正文斛14彈柱刀竽期明衣松（第二機(jī)?金拉導(dǎo)學(xué)及刁正文斛在主要邊界z=0門=。上.應(yīng)梢瑜滿足下列邊界條件:（6）.。=pgy. （x"）一=0：《乙》ji=m， <rr> =°?在小邊界（次要邊界）.V=0上?能精瓶滿足下列邊界條件:（0）,-0=一科M, （ry,）=。.在小邊界《次要邊界））?兒上?彳j位移邊界條件：（Gy”=0,（Gy,勾=0。這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來(lái)代替，當(dāng)板厚3=1時(shí).題2?8-（2）對(duì)于圖（楊所示問(wèn)題在主要邊界丫=士力/2I■.應(yīng)精確滿足下列邊界條件： 'Qy>y-0，Z=0， （丁3）y/2=—'（0v〉y-f，2——q? <Xw）V=T”=0o在次要邊界丁=0上?應(yīng)用圣堆南猊埋列出二個(gè)枳分的通力邊界條件?當(dāng)板厚d=l時(shí).Jt? 兀idy=F、，pz“ （。，）p°ydy=M,Jf2|*A.ZL?（5）…心'=一%.在次紀(jì)邊界r=/上?有位移邊界條件，（〃Lr=0.《”），n=D.這兩個(gè)位移邊界條件可以改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來(lái)代替

第二套中面向您的圣*江關(guān)15第二套中面向您的圣*江關(guān)15=q[i-?「（。，〉/卬心=竽-M—FJ-%J—L /J匕丫）…山=-yZ-FSo2-9試應(yīng)用至淮南原理，列出題2?9圖所示的兩個(gè)問(wèn)題中0A邊的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件.并比較兩者的面力是否靜力等效？股2-9圖【解】（1）對(duì)于圖（a）,上端面的面力向截面形心簡(jiǎn)化.得主矢和王矩分別為Fn=q6/2.Fs=0,M=『等（與-T）dr=-qV/12,應(yīng)用圣維南原理,列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，.當(dāng)板厚3-1時(shí)，[=—皿/29（*）v=o/dr=qt）7T2,「*（tyr>>-.）clr—0。Jf2（2）對(duì)于圖（b）?應(yīng)用圣維南原理?列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，當(dāng)板厚6=1時(shí).[（<Tj）jid了=一效/2,Jo（r“）$.=odr=Oe所以?在小邊界oa邊上.兩個(gè)問(wèn)題的「?jìng)€(gè)積分的應(yīng)力邊界條件相同.這兩個(gè)問(wèn)強(qiáng)性力學(xué)蘆明數(shù)棧（第三賬）會(huì)依導(dǎo)學(xué)展習(xí)現(xiàn)全JH題為靜力等效的。210檢驗(yàn)平面問(wèn)題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？【解】（D用位移表示的平衡微分方程，苦7弟+中票+*懸）+“心‘合俳+寧常+寺懸）乜=。,（2）用位移表示的應(yīng)力邊界條件<±山（黑+嗡）+加〒煨+并］,=r&’告能（含+〃含）+”〒您嚙）］,=/"（?）位移邊界條件<u）,ktf?（v）9?切?（在L上）2-11椅驗(yàn)平面問(wèn)題中的應(yīng)力分手是否為正確解答的條件是什么？【解】（D平衡微分方程驍+髡+/，=。，（2）相容方程5*+%）=一<"“）（青+粉）-（3）應(yīng)力邊界條件（假定仝部為應(yīng)力邊畀條件,$=s>《/*+mq）,一乙，（在3“）若為多連體，還須確足位移單值條件“2-12檢驗(yàn)平面問(wèn)題中的應(yīng)力函數(shù)6是否為正確解答的條件是什么？【解】應(yīng)力函數(shù)須滿足以下條件（1）相容方程▽十一0.（2）應(yīng)力邊界條件（假定全部為應(yīng)力邊界條件.5=>>產(chǎn)十mR.=;,（在,=」）【<加力+/丁與）.=幾。（3）若為多連體，還須滿足位移單值條件。求出應(yīng)力函數(shù)。后.nf以按下式求出應(yīng)力分量.。?=標(biāo)一人八％二斤一fQ?武石。

第二京平擊間18第二京平擊間18的乂本觀論172-13檢驗(yàn)下列應(yīng)力分居是否是圖示同地的解答:（a）題2-13圖3）,。,=*qw?=r”—00（b）題2?13圖（b）,由材料力學(xué)公式,/=筆中，產(chǎn)帶（取梁的厚度6=1）,得出所示問(wèn)題的解答：6=-2q舒.J,=一^T（*z—4：/）。又根據(jù)平衡微分方程和邊界條件得出試導(dǎo)出上述公式，并檢驗(yàn)解答的正確性c（MJ接應(yīng)力求篇時(shí)（本期體力不計(jì)）.在單連體中應(yīng)力分量。??%門”必須滿足;平奏微分方程、相容方程、應(yīng)力邊界條件（假設(shè)$=s0）。（1）題2-13圖（a）,%='g,"=r”=0o①相容條件:將應(yīng)力分量代入相容方程，教材中式（2?23）（系一系）64少=用±。?不滿足相容方程，②平衡條件:將應(yīng)力分量代入平所微分方程顯然滿足。③應(yīng)力邊界條件:在工一土。邊界上,在、=±6邊界上.滿足應(yīng)力邊界條件,⑵題2-13圖⑹，由材料力學(xué)公式必。鳧,匕=皆（取梁的厚度5=1），得出所示問(wèn)題的解答M=-2q奈,r~=一手貴（產(chǎn)一4戶。又根據(jù)平衡微分方程和邊界條件得出分=當(dāng)娶一2。第一器.試導(dǎo)出上述公式,并檢驗(yàn)解答的w in 乙m正確性.

18彈快力辨川力欣桎（第三版）公把導(dǎo)學(xué)及習(xí)題金解18彈快力辨川力欣桎（第三版）公把導(dǎo)學(xué)及習(xí)題金解①推導(dǎo)公式；在分布荷我的作用下，梁發(fā)生彎曲變形,梁橫截面是寬度為1，高為人的矩形?其對(duì)N軸（中性軸）的慣性矩為。一金，應(yīng)用截面法可求出任意截面的彎矩方程和剪力方程分別為MQ）=一缸，，F(xiàn)s?）=一當(dāng).所以破01內(nèi)任意點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為—MG——/一_7—-2°於=一迎互《昭一4/）4h=一迎互《昭一4/）4h”3Fs”根據(jù)平衡微分方程的第二式《體力不計(jì)）徐十全=。,得到*=.*_2啼+人?根據(jù)邊界條件《%）jf2=0，A=_",

t2/'所以3?zyn,所以3?zyn,q了%=彳而_2。臚_斤②相容條件：將應(yīng)力分量代入相容方程（券+畀）十不）1一筆*?！恪２粷M足相容方程。⑶平衡條件：將應(yīng)力分量代入平衡微分方程顯然滿足“④應(yīng)力邊界條件；在主要邊界,y=±hf2上,應(yīng)精確滿足下列邊界條件:自然滿足，在的次要邊界上，外力的主天員，王施都為零。有三個(gè)積分的應(yīng)力邊界（巴），?ody=0. （%ydj=D.在z=/次要邊界上，(““一=0,(0),_=0。這兩個(gè)位移邊界條件可以改用二個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來(lái)代替。-2。系d.y=0,一2。裙"d?=一春?一彳方W—4》z〉dy=一竽。所以，滿足應(yīng)力的邊界條件。雖然上網(wǎng)圖中的應(yīng)力分員都演足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件，但郃不滿足相容方程,所以兩題的解答都不是何題的解.2-14試證明;在發(fā)生最大與最小切應(yīng)力的面上,正應(yīng)力的數(shù)值都等于兩個(gè)主應(yīng)力的平均值?【證明】任意券截向上的切應(yīng)力為L(zhǎng)=用《。2—6),其中為，6為兩個(gè)主應(yīng)力。用關(guān)系式〃42-1消去小■得rn=±/J】一產(chǎn)(八—%)=± 一八一色)=±Jq-(；—產(chǎn))<6—5).由上式可見(jiàn)，當(dāng)4T=。時(shí)，j為最大和最小,于是得I-土f。而。R=〃5-8)十6，得到外一力去”?2-15設(shè)已求得一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，試求6，。入?：(a)心=100,o=50,3=10/50i(b)%=200,a,=0.rfy——400；20典殖力舉第"做秋（草三壇）會(huì)機(jī)參*及習(xí)用金X(c"』=-2003,%=1000, -400.<d)20典殖力舉第"做秋（草三壇）會(huì)機(jī)參*及習(xí)用金X(c"』=-2003,%=1000, -400.<d)心——1000,<7y——1500.Fry=500a(Ml方向：

(a)根據(jù)教材中式（2-6）和tana>=6二區(qū)可分別求出主應(yīng)力和主應(yīng)力的

r~“=10750；O\出/士心/y+%。兩匕iana得<b)or=200?:卜tanai=■0?a】=35T6'.oy得<b)or=200?:卜tanai=■0?a】=35T6'.oy=0，j—400j中土"中）卞400）"-呢_512—200400=-0.78。得(c)512.%=—2000■5=-312.a\=-37°57'.6y=1000.rx/=-400；久卜.一？。-2七!卿9±/（二2即9尸熟丫十一400?,得 0]-1052,。2一-2052,打---82°32\（d） %=-1000,h=-1500.r”=500；:卜二丹產(chǎn)土爐警I叼耳嬴;，tana,==淮需媽=0.618.得 c=-691,八二一1809,a1=31°43\2?16設(shè)有任意形狀的等厚度薄板，體力可以不計(jì),在全部邊界上（包括孔口邊界匕）受有均勻壓力。.試證。，=%=一<7及T0=0能清足平衡微分方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件,也能滿足位移單值條件?因而就是正確的解答，

第二*半面同AIM鼻本理論第二*半面同AIM鼻本理論21解2-16附【證明】（1）將應(yīng)力分量力一力一一9,一。和3 -0分別代入平衡微分方程、相容方程TOC\o"1-5"\h\z用+符+"。. ’、E+頭乜* a（白+給5+為）-<1+〃）（菱+家）-。? ⑹顯然式（a>、（b）是滴足的。（2）對(duì)于微小的三角板A.dr.dy都為正值.斜邊上的方向余弦Z=oos（n<r）.加=cos（*y）,將〃=0〉=-q,13=0代入平面問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件的興達(dá)式（〈以+WTy<X=/l<§>， ，、1（，肛+，「”）?=『，（$）.則有%8,（〃，n）-qccw<n?x>,

?,co$（〃,?）=-geos（ruy）.所以A=-q，%=-q?對(duì)于單連體，上述條件就是確定應(yīng)力的全部條件.（3）對(duì)于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足，該期為平面應(yīng)力的情況?首先.將應(yīng)力分征/=%=『及乙，=0代人物理方程，教材中式（2.12）,得形變分量（幺-1） 〈叢 A /1、J=-￡~q，€y=-￡-4,Yp=。。 （d>然后，將式（d）的形變分成代入幾何方程，教材中式（2-8）,得22 %性力堂兩叫做權(quán)；第三府L；仝設(shè)與學(xué)及習(xí)題仝解前二式的積分得到“一十/i《y>,"= .1%y十，(上). (f)其中的人種人分別是v和Z的待定函數(shù)."I以通過(guò)幾何方程的第三式求出，將式(D代人式蜂)的第三式，得d，!(y) d/\<.r>dy <Lz等式左邊只是了的函數(shù)?而等式右邊只是上的函數(shù)。因比，只可能兩邊郵等「同?個(gè)常數(shù)%于是有dfi(j) d八(彳)F-=—3F-=以積分以后得f\《？> ”+?0?/2〈/)=3十%,代人式(f)得位移分量(〃一1)w=1—三 qx-3y十a(chǎn)o,其中〃。,5),3為表示剛體位移量的營(yíng)數(shù),須由約束條件求得，從式(g)可見(jiàn).件稱是坐標(biāo)的單.值連續(xù)函數(shù).滿足位移單值條件.因而?應(yīng)力分量是正確的解答，2-17設(shè)有矩形截面的懸臂梁，在白由瑞爻仃集中荷載尸.如題217圖所示,jaz-17m體力可以不計(jì)。試根據(jù)材料力學(xué)公式.寫出彎應(yīng)力。,和切應(yīng)力r。的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力％=0,然后證明,這些表達(dá)式滴足平衡微分方程和相容方程，再說(shuō)明.這些表達(dá)式是否就&示止椅的解答?【解】(1)矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的彎龍方程為M(r>=F”，橫截面對(duì)z軸(中性軸)的慣性矩為L(zhǎng)-3，根據(jù)材料力學(xué)公式，彎應(yīng)力

累二緊 平面向咫的晏本性詫23累二緊 平面向咫的晏本性詫23,=一祟/y；該做陶上的智力為八（3=-F.必應(yīng)力乙，=?華2?- fl 乙〃（■誓）=一第（午一川;并取擠抵應(yīng)力%=。?（2）經(jīng)臉證?上述表達(dá)式能滿足平衡微分方程也能滿足相容方程（券+3）5+”=一〈1+川（驍+粉）=。?再考察邊界條件，在y=士4/2的E嚶邊界上.應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件:（外,yT0“=0，勿 =。1{0,）》=f.?2=0' ＜丁"=。?能滿足。在次隹邊界萬(wàn)=。卜.?列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，2（，/）,rT,d5?—0.J…（*，…了內(nèi)=0.滿足應(yīng)力邊界條件.在次要邊界a=1上，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件I滿足應(yīng)力邊界條件,因此,它們是該問(wèn)題的正踴解答。2-18試證明,如果體力雖然不是常做,但卻是有勢(shì)的力.即體力分量訂以表示為,, ＜）V /c?V八一五，八一一歹其中v足勢(shì)函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可以表示為

24力學(xué)演明敏板:第三版》金境導(dǎo)學(xué)及習(xí)知全解24力學(xué)演明敏板:第三版》金境導(dǎo)學(xué)及習(xí)知全解試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程，【解】⑴將八，八代人平衡微分方程，教材中式（2-2）,得9（%—）+笫=0,V右％―6+左=0.為了滿足式3）,可以取。，.舞十V，展邛，。，.舞十V，展邛，F(xiàn)丁。VW+V，j臚?SjrSy^一礪x。（2）對(duì)體力.應(yīng)力分量§八人，6八6,求偏導(dǎo)數(shù)，得[Vx ”,32VH=F'方=一歹ha.ay左后十萬(wàn)'ha.ay左后十萬(wàn)'(b)也=打十也，如=上區(qū)+2

[dx2dr'3jfSy2dx2dy2dy2.將式（b）代入敕材中式（2?21J得平面應(yīng)力情況卜的相容萬(wàn)行：奈+2翡+祭…2弟+部—（1-"）bv.將式（h）代人教材中式（2-22）得平面應(yīng)在情況下的相容方程：嘗+2+券=-（號(hào)啰+歙嘗+2+券=-（號(hào)啰+歙力―（甘）2注:將式（C）中的〃替換為這不也可以導(dǎo)出式（d）.2?19試證明?教材§2?4中所述的剛體位移分量〃。.ToAs實(shí)際1?就是彈性體中坐標(biāo)原點(diǎn)的位移分量和轉(zhuǎn)動(dòng)角度?！咀C明】根據(jù)教材中式（2-9）,得任一點(diǎn)FCc.y）的位移分量表達(dá)式為w=w0一”?，=&o+sr.將原點(diǎn)的坐標(biāo)上-0~■。代人上式?得（U）?=6.y=,-“Cl.（T/）,，0.>=0-Re.所以，剛體位移分量是彈性體中坐標(biāo)原點(diǎn)的位移分量.更中，P為P點(diǎn)至。軸的垂直距陶，合成位移3P的方向與徑向線段OP垂直,也就是沿著切向。OF級(jí)上的所有各點(diǎn)移動(dòng)的方向都是沿著切向，而且移動(dòng)的距離

算二章平面用變的a算二章平面用變的a本理論25等于徑向距隅Q乘以3.3代表物體繞N軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng),各點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度相同,所以也是坐標(biāo)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度。第三章中面向我的直角皮粽解答本章學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)一、按應(yīng)力函數(shù)。(才?y)求解平面問(wèn)題用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分出通第J-一歹—"八一&L/>?"一石引同時(shí)應(yīng)力函數(shù)。(工，))需滿足雙調(diào)和方程,即相容方程：石^+2技討y+萬(wàn)一仇二、逆解法、半逆策法的基本步裳.逆解法，首先設(shè)定各種形式的應(yīng)力函數(shù)G(ny),使之滿足相容方程?然后.再求出應(yīng)力分量;最后來(lái)考察這些應(yīng)力分員適用于何種邊界問(wèn)題,從而得知該應(yīng)力函數(shù)能解決什么問(wèn)題、逆解法的另一種含義是通過(guò)材料力學(xué)或其它途徑得知某些問(wèn)跑的可能解答，然后檢衣它是否滿足全部方程和邊界條件.,半逆解法:根據(jù)彈性力學(xué)的具體幾何形狀和受力特征或某種問(wèn)題的解答，湊出應(yīng)力函數(shù)GCr.y)的形式，然后再根據(jù)基本方程和邊界條件確定該函數(shù)。若不能滿足或出現(xiàn)矛盾.則須修改試選的函數(shù).并重新臉香,直到瞞足為止。三、多項(xiàng)式解答1.-。"，浦二。+必+cy°不論系數(shù)取任何值.相容力程怠能滿足,且對(duì)應(yīng)的應(yīng)力均為零.線性應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)于無(wú)面力、無(wú)應(yīng)力狀態(tài)?多項(xiàng)式的應(yīng)力函數(shù)加上或減去一個(gè)線性應(yīng)力函數(shù)?不影響應(yīng)力的大小.Z.二次式G(k.V)+ftry十c/。上式恒能滿足相容方程,且可得到;4=2「.外=%,：?“=一人這一結(jié)果代表均勻應(yīng)力狀態(tài)。3.三次式0(.r,y)=""+&r'y+eV+dy".上式恒就滿足相容方程.ft可得到!%=2cr+6d>,Oy=6ar+2by^Tjy——2(&r+少九這是一個(gè)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，又能由性加原理分解為筒單應(yīng)力狀意。若a=A=c=0.dKO.則%=6dy?，y =。能解決矩形截面梁的純彎曲27向題：注意坐標(biāo)系變換?所能解決的問(wèn)題也要變化LL四次或四次以上的多頊?zhǔn)?，其各?xiàng)系數(shù)之間需滿足一定的關(guān)系時(shí),才能滿足相容方程，各項(xiàng)代表的應(yīng)力分布呈一種曲線分右.四、設(shè)黃應(yīng)力函數(shù)L由多項(xiàng)式登加湊出。當(dāng)物體受力僧況并不復(fù)雜時(shí)，可用此法。2,從帝綱分忻法得出。此法適用于快形體、三角形懸臂梁等以無(wú)量綱的角度來(lái)描述幾何形狀的物體..由材料力學(xué)解答導(dǎo)出〉此法可適用于已發(fā)該物體的材料力學(xué)解答的情況.但用此方法得到的應(yīng)力函數(shù)往往不能滿足雙調(diào)合方程，必須加以修正才得以滿足，育時(shí)需經(jīng)過(guò)多次試算才能使應(yīng)力函數(shù)定型..根楙邊界上的受力性質(zhì)推洱制K所用應(yīng)力函數(shù).難點(diǎn)一、應(yīng)用逆懈法、半逆第法求解平面問(wèn)題。，如何設(shè)置應(yīng)力雨散.典型例題講解例3?1如圖不短影截面簡(jiǎn)支梁受三角形分布荷載作用.試取應(yīng)力函數(shù)G=Ar，/+Br>J 4Er—求簡(jiǎn)支梁的應(yīng)力分量（體力不計(jì)）.例3?1圖【解】門）相容條件：日："匯少十"一°，代人應(yīng)力函數(shù),得72Azy+120RT?=0,由此得A=一4乩于是,應(yīng)力由數(shù)可以改寫為<P=_.ftrV+取一+O+皿，十攻十Fry.285t住力駐尚明att（*三AM）全枉導(dǎo)岸及習(xí)質(zhì)全X28（2）應(yīng)力分量表達(dá)式%=勢(shì)=-10B^+20B”1+6D.T）,=lOBxv34-6Cxy+6Ejt.= =15必y_5gy<-3Ci-3D/-F.（3）考察邊界條件：確定應(yīng)力分量中的各系數(shù)TOC\o"1-5"\h\z（呢）沖_和2=—華工，得子BA"-3Ch+6E=~y; （a）（R,_i=O，得（3C-?BA》2十信期4+3觥+「）=0；（b）（*）iL。，得一春W”-35+6E=0； （c）CR,=a"=O,得（3C一?B昭"十信前.相，+F）=Oe（d）若式（b）恒成立，必須滿足3C-vBA2=0： （e）4汨肥+4■云+f=0. S10 4聯(lián)立求解以上各式?得人S'' 0 夕。 9。匚外八?一以'8"防9'°=4從'E=_12Z-再根據(jù)簡(jiǎn)支梁的端面條件確定常數(shù)D,f\由圣維南原理?得「“2,5）…必=0，/A/jj可得D=一嬴十弟；再代人式⑴得尸=一器十給。（4）應(yīng)力分量表達(dá)式八一養(yǎng)、（2/一］2”一融），'外?翁工（3"、一4/一“3『，，=第"一心（3"一/一尸十酚。分析:在工=0處“，能精謙滿足?由此可得若在簡(jiǎn)支梁左端為精成解;應(yīng)力函數(shù)含有四階或四階以上的項(xiàng)時(shí).英滿足相容方程是有條件的，如式（e）、（.D.例3?2圖示懸骨梁，梁的橫截面為矩形，其寬度取為1,右端固定、左端自由,荷載分布在自右端上，其合力為P（不計(jì)體力），求梁的應(yīng)力分昆：

離三綠平定周口的五勉坐林解答29離三綠平定周口的五勉坐林解答29例3-2圖【解】這是一個(gè)平面應(yīng)力問(wèn)題,采用半逆解法求解。（1）選取應(yīng)力函數(shù)由材料力學(xué)可知,懸臂梁任一截面上的彎矩方程MG）與截面位置坐標(biāo)r成正比.而該截面上某點(diǎn)處的正應(yīng)力又與該點(diǎn)的坐標(biāo)？成正比，因此可設(shè)力=G|Ny, （a）式中的?為待定常數(shù).將式B）對(duì)y積分兩次?用(b)式中的人（%），幾（7）為^的待定函數(shù).可由相容方程確定“將式（b）代入相容方程力。=0,力。=0,d4/i(r),d/Cr)=0.上式是3的一次方程，梁內(nèi)所有的>值都應(yīng)滿足它,可見(jiàn)它的系數(shù)和自由項(xiàng)都必須為零，即dr4=0,d"，工）dr4=0,d"，工）dz4=0o積分上二式.得fj（a）=azx}+4312+44工八<工）一"工'+G*+0”+。90式中a：一公為待定的積分常數(shù)。格fla1.人（工）代入式（b）,得應(yīng)力函數(shù)為<P=—ry3+ +%.產(chǎn)+aa-f-a；）y+ +&，+aiM+&）.（c）o（2）應(yīng)力分量:的表達(dá)式\ax-,外?6〈。B4a6<-2<aj,y+a7>t與。爐-3q2M-2a-04（3）考察應(yīng)力邊界條件:以確定各系數(shù)，自由端無(wú)水平力；上、下部無(wú)荷教；自由端的剪力之和為P,得邊界條件（6）-。=0,自然滿足：（?”）5=。，得一。1〃/2-3。2#2-211—&=0?30獷魅力學(xué)箱朝散根（第三豚）余棧與*息勺災(zāi)金鰭30獷魅力學(xué)箱朝散根（第三豚）余棧與*息勺災(zāi)金鰭上式對(duì)上的任何值均應(yīng)滿足,因此得?：=m=0.一明川/2—%=0?即（明=。，得G〃fN+2a；=0;丁取任何值均應(yīng)滿足.因此得④="：=＜）.6C…心=jt（一/"，-J心=-P：將式“）代人上式積分，得（久（y?i52一/a/?”＞，=P°其中LTX（2A＞/12-2公其中LTX（2A＞/12-2公/3,橫截面對(duì)z軸的慣性也最后得應(yīng)力分母為分析：（1）半逆解法是針對(duì)實(shí)際問(wèn)題來(lái)求解的.根據(jù)邦性休受力情況和邊界條件,假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)賬式;由應(yīng)力推出應(yīng)力函數(shù)。的形式，（2）本題中a為應(yīng)力函數(shù)中找性項(xiàng)的系數(shù)，對(duì)應(yīng)無(wú)體力、無(wú)面力、無(wú)應(yīng)力的狀態(tài)?所以對(duì)應(yīng)力的分布沒(méi)有影響?不需求出.習(xí)題全解3-1試寫察應(yīng)力函數(shù)。=，，y在題31圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問(wèn)題（體力不計(jì)八第3?1圖第二*平面問(wèn)般的直奔主標(biāo)沖著31第二*平面問(wèn)般的直奔主標(biāo)沖著31【解】（1）相容條件：不論條數(shù)a取何值.應(yīng)力附數(shù)。=33總能滿足相容方程，<2）當(dāng)體力不計(jì)時(shí)，將。代人應(yīng)力分量公式，得，⑦ , J'cD d”Q> 八%=Y-?=呢）'?%=T-7=0，r八=下必二一T"HT=?！?yz <）j- cijcdy當(dāng)a>0時(shí),考察左右兩端的相分布情況：左端 （九）/x=D.yatn=。, （吟》.i.,—a =6H?，（七=）*~U =。］右端 （%）j=/.y=0=。9 （%）/―/?》■A =6（4/l， （ ）1=,=：°。應(yīng)力分布如解31圖（a）所示‘當(dāng)/》/!時(shí)應(yīng)用圣維由原理可以解決各種偏心拉伸的問(wèn)題”因?yàn)樵贏點(diǎn)的應(yīng)力為零。設(shè)扳寬為A?集中荷載P的偏心距為,、P(%%=bh所以e=A/6.如解37圖（b）所示，同理⑴知.當(dāng)。<（）時(shí).可以解決偏心壓縮問(wèn)題，3-2取滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)為:⑴《>=。1），（2）4>=包>,⑶3==y試求出應(yīng)力分員（不計(jì)體力），畫出題3-2圖所示彈性體邊界上的面力分布，并在次要邊界上衣示出面力的主矢域和主*,解？?2圖【解】《D應(yīng)力函數(shù)中=ar），得應(yīng)力分置表達(dá)式a,-2ay.rAV= =-2ar.在主要邊界y=±A/'2上，即上、下邊,面力為<%3一土S=土必，（T“〉y一土"，一

在次要邊界Z=D.Z=/匕面力的主矢M和主矩為

“住刀竽而明效杈(第三叔)全桎寫字及習(xí)風(fēng)金M廣J??A,2(/).ody=0,rjf〃(*)小心=0,rJft2<叫),?oydy=0,v匚《%)g，yd，=o,rJ—4;2心=0?”，z(rJV>r=/dy=— Zaldy=-2alh9J^*A/2憚性體邊界上的面力分布及在次要邊界Z=01=1上面力的主矢量和主矩如32解3?2圖(a)所示.32(2)應(yīng)力函數(shù)。-&r/，得應(yīng)力分量表達(dá)式aK=26工，=0,v=tx=-2"。在主要邊界y-土八/2上，即上、下邊，面力為(外)>一士az=0.Cr>, =干朋.在次要邊界上一0，1—/上.面力的主矢量和主矩為pva<ar).ody=0>J-AjZ" ㈤)小ydy=o,J-AjZp/sUf2"G…心=—Lj"dy=0°fhfZ p/:(ar=Zbldv—2blh9WT；2 JT/2p'z rt/2(s),o，d)=2blydy=0.Jf2 J72產(chǎn) r4/2(下汗).=/<13，=—Zbydy=-0oJ-Jb/2 J-4/2彈性體邊界匕的面力分布及在次要邊界*=。立=2上面力的主矢量和主矩如解3?2圖(b)所示°(3)應(yīng)力函數(shù)9="」,得應(yīng)力分量表達(dá)式*=6gty,8—0? =-在主要邊界y=±"2上,即上■下邊,面力為(%),?￥“=±3c/lT. (7尸),~上、/3在次要邊界M=0，N=Z上，面力的主矢量和主矩為產(chǎn)<ax),=ody=0,JTG33以〈心="=必6心曲=。，＜?。ń?=1"6c/^dv=等?JT/2 Jfl 4J二2（「n〉??，dy=一，二,3~'"=一%.彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界工=0.7=2上面力的主矢量和主短如解3?2圖（c）所示。3-3成考察應(yīng)力函數(shù)9一親工八3〃一4/）能滿足相容方程'并求出應(yīng)力分會(huì)（不計(jì)體力）,畫出題3-2圖所示矩形體邊界上的面力分布（在次要邊界上表示出面力的主矢中和主矩）,指出該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問(wèn)》（.解3-3困【解】（1）相容條件：將S代人相容方程翳十2 十察二0,顯然滿足。（2）應(yīng)力分量表達(dá)式%=-瞥2,力=0，^〃=一翔】一爺），（3）邊界條件:在y=￡A/2的主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件（%％=b門=0, =一蕓（1一條）=°。在次要邊界上=0々=/上，應(yīng)用圣維南原理,可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件fA.2TOC\o"1-5"\h\z（乙）」-0."3?=0, （a）A/2 fh：2（右）.0?心=0, L-yd?=—FZ. （b）J JT/2fA/21 （"〃=。前=-F. （c）J-A/3對(duì)于如圖所示短形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)?由應(yīng)力邊界條件式（d）、（b）、（c）可知上邊、下邊無(wú)面力；而左邊界上受有鉛直力3右邊界上有按線性變

34彈性力竽就叫我34彈性力竽就叫我.MU第三A&）金松導(dǎo)學(xué)及習(xí)及色制化的水平面力合成為??力偶?和鉛直面力.所以?能解決愿曾聚在自由端受集中〃作用的問(wèn)題.37試正中=*（一48十3點(diǎn)一】）十%（2為一子）能滿足相容方程，并考察它在即3-2圖所示矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問(wèn)題（及矩形板的長(zhǎng)度為/.深度為人體力不計(jì)）.【解】（D相容條件；將0代人相容方程曹+2苴券+*=0,顯然滿足。（2）應(yīng)力分量表達(dá)式,=_52￡^+如'一型】ng/-4V十32一】】■r=_艇（式一y）%心MM,%2\S3bdAI"， /14yh上述應(yīng)力分吊可以寫成力=^2七看（珠一看）,%=一和+。）（1一字）.=笠莊.其中,S為靜矩,"（七>=一:”"FsG）=qx9（3）考察邊界條件：主要邊界y=±4/2上,應(yīng)精瑞滿足應(yīng)力邊界條件（力）尸T〃n—</，e,）,i2-0， =L。，在:次要邊界廠=01二.應(yīng)用圣堆南原理,可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件匚“…曲=匚（￥-等）dy=。,J二（。-y-J二（誓-菊加=0， ⑴p/2Uf“《”）-Qdj=。。在次要邊界工=/上，應(yīng)用圣堆南原理，可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件匚?…力=匚（一小+誓-督加?。,J二2a）?-"=匚（-空+察一票"=-與.（b）J二d?一匚等件-力力=一小對(duì)F如圖所示矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)士上述應(yīng)力時(shí),由應(yīng)力邊界條件式（a）、（b）可知左邊，下邊無(wú)面力,而上邊界上受有向下的均布?jí)毫?；右邊界上有按線性變化的水平面力合成為一力偶?和鉛卉Ifil力。所以能箭決右端為固定端約束的總臂梁在上邊界受均布荷載q的間翅.3-5設(shè)有矩形截面的長(zhǎng)豎住，彎度為外在一邊側(cè)面上受均布狎力”如題3-5圖所示，試求應(yīng)力分敏。

第三? 平面同題的JL向生林解音35（Ml采用半逆解法求解.因?yàn)樵诓牧狭W(xué)西南的基本公式中，假設(shè)材料是符合簡(jiǎn)單的胡克定律,所以可以認(rèn)為矩形截面豎柱的縱向纖維間無(wú)擠壓，即％=0，假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式，i=0.第三? 平面同題的JL向生林解音35（Ml采用半逆解法求解.因?yàn)樵诓牧狭W(xué)西南的基本公式中，假設(shè)材料是符合簡(jiǎn)單的胡克定律,所以可以認(rèn)為矩形截面豎柱的縱向纖維間無(wú)擠壓，即％=0，假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式，i=0.（2）推求應(yīng)力函數(shù)的形式。此時(shí)，體力為，rO，/j=pg0籽=0代人應(yīng)力公式，教材中式（2-24）有券=。，題2-5困對(duì)丁積分.得?＞=”（n）+AO （b）其中/a）,R（工）都是1的待定函數(shù)。（3｝由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)。將式（b）代入相容方程，教材中式（2-25）,得才/Q),d"tQ) dr1=0.這是了的一次方程，相容方程要求它有無(wú)數(shù)多的根（全豎柱內(nèi)的）俯都應(yīng)該滿足它），可見(jiàn)它的系數(shù)卻自由項(xiàng)都必須等于零。_0_0廿，一①=0。兩個(gè)方程要求“工〉="+Bz?+C,f|S=K?+F“。八/）中的常數(shù)項(xiàng)JNr）中的常數(shù)只!和一次項(xiàng)巳被略去?囚為這三項(xiàng)在。的(d)表達(dá)式中成為3的一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng),不影響應(yīng)力分量.得應(yīng)力函數(shù)(d)0-y〈Ax1+Bx2+Cx）+（Er，+Fx2）o（4）由成力函數(shù)求應(yīng)力分fib將式〈d）代入教材中式（224）,得應(yīng)力分發(fā)"翳一匕=。，叫==6Atn+2Bn+6Ez+2F一網(wǎng)v,dXr3=：?=-3AM-2Bt-Codxdy?）考察邊界條件.利用邊界條件確定待定系數(shù)先來(lái)考察左右兩邊x-0,6的主要邊界條件：=0, …=0，＜2…=9。將應(yīng)力分量式（e）和式（G代人?這些邊界條件要求＜。.）1—0田=。，白然滿足，

36舛快刀崢雨明軟極(第36舛快刀崢雨明軟極(第一M)金杈導(dǎo)學(xué)及習(xí)觀仝解TOC\o"1-5"\h\z(仁)…=—C=0： (h)<rry>t=6——3例'—2B6一C—q。 <i)現(xiàn)在來(lái)考慮次要邊界y=0的邊界條件,應(yīng)用圣維南原理，三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件為C(辦)"=f(6Dx+2E)dx=3D62+2Eb=0； (j)|(外)3=0(#-y)dr=￡C6Dr4-2E*)(一"1-)dr=-i/J>5=0| (k)「y-dr=￡(-347-2Br-C)dr=一般一盼一。=0. (I)由式(h).q)<j)<k)<D聯(lián)立求解得C-D-E-0,8=9A=一言.b b，可得應(yīng)力分量為C.=0.6,=2<?y(1-3y)-p/?y>r-=。亍(3于一2)。下部分的邊界條件，由圣堆南原理可知滿足平衡條件.3-6如題36圖所示的墻.而股為人寬度為6,〃》。，在兩側(cè)面上受到均布剪刀g的作用，試用應(yīng)力函數(shù)9=Aq+Bt、求解應(yīng)力分量，【解】(1)相容條件：將應(yīng)力函數(shù)?代入相容方程力6=。，其中獷。 『心 Af=。，*=。，冊(cè)=。。很顯然滿足相容方程.(2)應(yīng)力分量表達(dá)式八一票?0，力H黎=6%,“一端(3)考察邊界條件:在主要邊界x--Lb/Z上，各有兩個(gè)應(yīng)精確滿足的邊界條件和(，*)*=上“n=。，(Txy"?±piZ=-Q。在次要邊界y—0上，《外》尸0-0,而《Ir為-=0的條件不可能精確滿足(否則只有A=B=0)，可用積分的應(yīng)力邊界條件代替(4)把各應(yīng)力分同代入邊界條件,得應(yīng)力分量為第三/平面間"的JL應(yīng)力分量為第三/平面間"的JL用生林M曾37蕓】一】2葡。3-7設(shè)單位厚度的層件梁在左端受到集中力和力矩作用,體力可以不計(jì),2》人如題3-7圖所示.試用應(yīng)力函數(shù)0=Ary+Hy2++加力求解應(yīng)力分量.KS3KS3-7|?(Ml(D相容條件：將<D=Aq+的*+Cy3+出爐代人相容方程?顯然滿足.(2)應(yīng)力分髭表達(dá)式■券.2BT-6C?+6Dry,外=疆=0,=-^；=-<A+3Dy2>.(3)考察邊界條件:主要邊界y=±/"2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條竹,(Oy)y_?f2=。.滿足：3=0,得4+卷源=。.在次要邊界”一。上，只給出了面力的主矢量和主矩,應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替.注意N=0是負(fù)］面，由此得(*Midjy=—F(*Midjy=—FN.htZ(a.)“=oydy=M.T，Z「A/2得6=一鬃;Zn廠2M

得C=一tt;1Tz?仁)一。力=一人.由式(a)、(b)解出(b)最后一個(gè)次要邊界條件J3上)，在平衡微分方程和上述邊界條件均已輛足的條件下，是必然滿足的，故不必再校核0代人應(yīng)力公式，得

38 %在力舉葡函致杈（草三版）全核導(dǎo)■學(xué)及習(xí)題全贓12M 12F.力7一萬(wàn)-y-一黨（I方）。題33圖3-8設(shè)題3?8圖中的三角形懸臂梁只受武力作用.而梁的密度為p，題33圖【解】（1）相容條件￡設(shè)G=A/+BzF+Gy+Dy\不論卜.式中的系數(shù)取何值?純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)總能滿足相容方程.（2）體力分量/；=0.九=解,由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分盤的表達(dá)式<b)(d)_J=2Cr46Dv,<b)(d)%=券-fyy=6A/+2By一陣八

「"二一黑=一2比一26。（3）考察邊界條件:利用邊界條件確定特定系數(shù)先芍察t要邊界上邊界y=0的邊界條件，<av>y-o=°，<r>?>r=o-0。將應(yīng)力分14式（h）和式（c）代人.這些邊界條件要求（%）,7=6Ar=0. =-2Rr=0。得A=0,B—0o式（b）、（0Jd）成為TOC\o"1-5"\h\za,=2Cr4-6Dy9 （c）*=一掰）， （f）3=—2C）。 （8）根據(jù)斜邊界的邊界條件,它的邊界戲方程是）一Stan0,在斜面上沒(méi)有任何面力,即九=九=。?按照,般的應(yīng)力邊界條件教材中式（2?15）,有jZ“x〉y■了5.+（丫刀>3=22=°，r?M."*'I1”>"niMa-°。將式（e）<D、（g）代入?得I<2Cx+6Dx-tana>4-m（-2Crtan?）=0. （h）m<—p^xtana>+Z<-ZCj'lana)=L <i)

3939由圖可見(jiàn).I-roe(〃?1)=nos(g+c)=sino?w=cos(〃.J)=cosa?代入式小八⑴求解C和D,即得C-^coia9D=~^cotJaa

乙 J將這些系數(shù)代入式(b)、(c),(d)得應(yīng)力分量的表達(dá)式：,=pgrcata_2pggFa,?力 皿.Tt>=-pRKCOt*3-9設(shè)題？?9圖中的荷支梁只受全力作用.而梁的密度為。.試用教材§?4中的應(yīng)力函數(shù)(c)求解應(yīng)力分量?并畫出截面上的應(yīng)力分布圖?！窘狻?D應(yīng)力函數(shù)為【解】(D應(yīng)力函數(shù)為TOC\o"1-5"\h\z中=十5)，+Cy^D》十］〈卬+F/+Gy1前’一為"十的十Ky2?！?AVv(a)(2)應(yīng)力分量的表達(dá)式二曰(6AyT?2N>+j(6E)+2F)-2Ay'-2By+6Hy+2K,(b)ay=Ay*+By-+Cj$D-PQ? (c)rfy=-j(3Ay-+2Bv+C)—UEy2+2尸y+G)° (d)這些應(yīng)力分址她滿足半所微分萬(wàn)程和相容方程的“因此.如果能夠選擇適當(dāng)?shù)某?shù)八I,….K,使所有的邊畀條件都滿足，則應(yīng)力分量式(卜>、8人(<1)就足正確的解答。(3)考慮時(shí)稱性。因?yàn)?、之面是梁和簡(jiǎn)載的對(duì)稱的,所以應(yīng)力分布應(yīng)當(dāng)對(duì)稱于面。這樣打和外是工的偶函數(shù),而r〃是”的奇函數(shù)?于是由式(卜)和式⑷)可見(jiàn)EkF=G=0。(4)考察邊界條件：在主要邊界y=±h/Z匕應(yīng)精璃滿足應(yīng)力邊界條件y--H/：=0,，y>>=上"2y--H/：=0,，y>>=上"2(6)405t405t性力學(xué)藺，然枚(第三后)全姓導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全就將應(yīng)力分量式(。)和式(d)代人,并注茸到前面已有E=F=G=0,可見(jiàn)這些邊界條件要求(A十9C+D-粵=0,3 4 2 2一5八十46一去(：+D+碑=0：8 4 2 2r信h：A+AB+C)=O即V從A+hB+C=0；-i《h2A-AH+C：)=0即jA2A-hB4-C=0.糕立求解得到Aa— ,B=OfC=?；?D=0oTOC\o"1-5"\h\zA u將以上已確定的常數(shù)代入式(b)，式(。和式(d)，得乙=一警1白+誓/+6H)+2K. (f)力 A力=一靠/+俁y， (g)5=普高一3"。 <h)考慮左右兩邊的次要邊界條件，由于問(wèn)題的對(duì)稱性，只符考慮其中的一邊，例如右邊.梁的右邊沒(méi)有水平面力?N=/時(shí).不論y取任何值(一人/2￡39/2).都有%=?！阌墒舰趴梢?jiàn)，這是不可能滿足的，除非是F，H,K均為零.因此，用多項(xiàng)式求解.只能要求4在這部分邊界上合成的主矢最和主矩均為零，也就是要求I Gr?九=』dy=O. ⑴將式(f)代人式(i)?得J (一然")，普"，，"，+2K)dy=0,積分以后得K=0。將式(D代人式(j),得/…(-誓工"+簧，'+6Hy)3dly-0。積分以后得”=4(一—卷)。

41將K.H的值代入式（f）,得力=一臀八4警?"6圓色一吉卜. 3）另一方面，梁右邊的切應(yīng)力J,應(yīng)當(dāng)合成為反力.〃,，匚（瞽秒‘一等一）必=一"如積分以后，可見(jiàn)這一條件是滿足的。將式（GJh）Jk）略加整理，得應(yīng)力分量的身后解答九一膂工"+警力+6.管一告）y，題3?10題3?10圖注盒梁截間的確度取為一個(gè)單位，可見(jiàn)慣性矩是1=修靜矩是S=^一^根據(jù)材料力學(xué)應(yīng)用截面法求砥截面的內(nèi)力.可求得里任意截面卜的既知方程和剪力方程分別為M（a）=附9尹＜F,Cr）=-p衣-式⑴可以寫成力=郛（1-帚,r_F502g□一bl。3-10如題3?10圖所示的懸臂梁,歸度為，?高度為3/AA,在上邊界受均布荷載？,試檢驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)0—/\y5+Bjc1y3A-Cy34Dxz+Ex2y能否成為此問(wèn)題的解？如可以，試求出應(yīng)力分成?！窘狻浚↙相容條件：將力=Ay+Bx:j3+（y+Di+E13代入相容方程，得120A），+24B?=0,若滴足相容方程，有八二一々兒V（2）應(yīng)力分量表達(dá)式=2CAyi—30Axzy+6Cy,=>—10/1/-1-2D+2Ey9

42“快刀竽州陰奴報(bào)(第三版)全桎導(dǎo)學(xué)及習(xí)我全精42“快刀竽州陰奴報(bào)(第三版)全桎導(dǎo)學(xué)及習(xí)我全精、=一第=3。4?一2兄TOC\o"1-5"\h\z(3)考察邊界條件！主要邊界N=±A/Z上.應(yīng)精盛滿足應(yīng)力邊界條件(%)l/2=0.得一￥八公+2/)+9=0： (h)O(aY)y—g=—q?得9AAs42D—Eft=-q、 (c)oCf3=0.得E-竽AS?=0. (d)在次要邊界/=0上，主矢和主理都為軍，應(yīng)用圣維南原理.用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替滿足條件；得竽十CT=0；滿足。(c)Jt滿足條件；得竽十CT=0；滿足。(c)仇)，=。了dy=0,J-4/2[.“九fd》=0,J-A,2聯(lián)業(yè)求解式(8八3)、(。、《山和"》,得q喬'D=-4q喬'D=-4海各系數(shù)代人應(yīng)力分量表達(dá)式.得明—m海各系數(shù)代人應(yīng)力分量表達(dá)式.得明—m一卷一6吉卜?%一的一3菅+4營(yíng))，

%=一:充(一序).3-11擋水端的密度為外，厚度為6,如圖3-11圖所示,水的密度為行,試求應(yīng)力分量。【解】(D假設(shè)應(yīng)力分聯(lián)的函數(shù)形式。因?yàn)樵诹?一〃2邊界上?力=。~=〃2邊界上?吟=一。20r.所以可假設(shè)在區(qū)域內(nèi)。y為*=N，(y)。(2)推求應(yīng)力函數(shù)的形式，由外推求少的形式.o=衿="(y)，題371圖第三章平面同劃的金角史標(biāo)解召43第三章平面同劃的金角史標(biāo)解召436=,，（，>+才兒（3）由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。將G代人力4>=0,得8五+”亞十聲十2工商=。0遇使上式在任意的工處都成立，必須=。，得/=Ay34By2+Cy+D<=。,得/i=一副，一表"+G/+H『十爪=0<得九=切+BA代人。即得應(yīng)力函數(shù)的解答.其中已略去了與應(yīng)力無(wú)關(guān)的一次!^?Q）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量，將?代入教材中式（2?24）,注意體力Ar】g,fy=O?求得應(yīng)力分垃表達(dá)式*=冷一?=工33+號(hào)）4h（_2AJ-2By2+6Cy+2H）+J<6E.、+2F）—pigs9力=守一/>=x（Ay;+8爐+J十。），

CKv=— =—^-<3Ay:+2By+C）+（毋V+穹3’-3Q/-2Hy—，）.TOC\o"1-5"\h\zazd.V乙 '6o f?）考察邊界條件，在主要邊界y-±b/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件（力）…八=—得1（八&+5（+。爭(zhēng)+。）=-pwn<a）=—pg,得m（—A々十64一C，十D）-0； <b）（下產(chǎn)），nH八=0?得一^（A學(xué)士&+C）+（4苴上B1—G字干H6T）=0。由上式得到A孥±B6+C=O, （c,d>qA:±B%-G彳干"A—7v0。 （cj>求解各系數(shù)，由（a）十（b）得 B%+D=一十代g?

(a)一(b)得A8+C2=~-加g，(c)+(d)得B=0.AD=-作g."）一⑻得A等+C=0.由此得A-親P2g，C-一%g。又有（e）一⑴得H=0.(c)+(f)得A6,,3b2A變一G『-1=0。A代入，得7bI=16。逐36VTCa在次要邊界工=0上?列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件44勢(shì)區(qū)力爭(zhēng)折明效槿《第三44勢(shì)區(qū)力爭(zhēng)折明效槿《第三MU全極導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全就得F得F=0;得E=0,(%"_。辦=0,-A/2L”（F）…辦=0,得I=&：8-號(hào)G0 （h）由式（g）、（h）解出1r一就g，G=y^p?g。洛存系數(shù)代人應(yīng)力分量的表達(dá)式，得%一^一。9,力=。：/（2發(fā)燃一丹L-"2#（3［得）一。必（一1十蓋"80?）'3-12為什么在主要邊界（占邊界絕大部分）上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條件.教材中式（2-15）,而在次要邊界（占邊界很小部分）上可以應(yīng)用圣維南原理.用三個(gè)根分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件＞來(lái)代替？如果在主要邊界上用三個(gè)枳分的應(yīng)力邊界條件代替教材中式（2?15）,格會(huì)發(fā)生什么問(wèn)題？【解答】彈性力學(xué)問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值向麴，而要使邊界條件完全得到滿足，往往遇到很大的困難。這時(shí),圣維南原理可為簡(jiǎn)化局部邊界上的應(yīng)力

第三*平面總題的五拿出標(biāo)解答45第三*平面總題的五拿出標(biāo)解答45邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同,但靜力等效的面力（由矢、主矩均相同），只影響近處的應(yīng)力分布,對(duì)遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計(jì).如果在占邊界的大部分的主要邊界上用三個(gè)應(yīng)力邊界條件來(lái)代替精確的邊界條件.教材中式（2-】5）,就會(huì)影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會(huì)使問(wèn)題的解答具有更大的近似性。373如果某一個(gè)應(yīng)力邊界問(wèn)題中右加個(gè)主要邊界和n個(gè)次要邊界，道何在主、次要邊界上各應(yīng)滿足什么類型的應(yīng)力邊界條件，各有幾個(gè)條件？【解答】在相個(gè)主要的邊界上，每個(gè)邊界應(yīng)有兩個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件，如數(shù)材中式（2?15）。在，個(gè)次要邊界上?每邊的應(yīng)力邊界條件若不能滿足，可以用三個(gè)靜力等效的積分邊界條件來(lái)替代兩個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件,3-14如果某一個(gè)應(yīng)力邊界問(wèn)題中.除了一個(gè)次要邊界外，所有的方程和邊界條件都已痛足，試證:在最后的這個(gè)小邊界上,三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件必然是自然滿足的?因而可以不必校核?！窘獯稹繀^(qū)域內(nèi)的每一微小單元體均已滿足平衡條件?其余邊界上的應(yīng)力邊界條件（平衡條件）也已滿足，那么在最后的這個(gè)次要邊界上，三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件自然是滿足的，囚而可以不必校核。3-15試分析簡(jiǎn)支架受均布荷載時(shí),平面截向假設(shè)是否成立？【解答】彈性力學(xué)解答和材料力學(xué)解答的差別，是由于各自解法不同.簡(jiǎn)言之，彈性力學(xué)的解法，是嚴(yán)格考慮區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程、幾何方程和物理方程，以及在邊界上的邊界條件而求解的，囚而得出的解答是比較精確的G而在材料力學(xué)中沒(méi)有嚴(yán)格考慮上述條件?因而得出的是近姒解答.例如，材料力學(xué)中引用了平面假設(shè)而簡(jiǎn)化了幾何關(guān)系，但這個(gè)假設(shè)對(duì)一般的梁是近似的。所以，嚴(yán)格地說(shuō)，不成立。第四章平而同履的極空禰斛答本章學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)一、基本方程和基本未知量對(duì)于圓域,圓環(huán)域及模形體等具布?弧形邊界的彈性體,宜采用極坐標(biāo)求解。極坐標(biāo)形式的基本方程和基本未知及各有/、個(gè)。軸對(duì)稱問(wèn)題的基本方程，可由極坐標(biāo)系中的一般方程蒲化得到C基本方程、基本未知量、相容方程名稱一般情況軸對(duì)稱情況平衡微分方程(3產(chǎn)+上當(dāng)+^^+/;=。,RP% PL華十爭(zhēng)+邑+人=0。J遍dp p 」,"十號(hào)”幾何方程1肛 1肛1一萬(wàn)，一一萬(wàn)一萬(wàn)而，yJ乜+%_Ay”p的如P-〈一年物理方程（平面應(yīng)力）R=/(分—必).<j=*<%-M)'=1 =2(1“1z、—二后（?！感。?v1z、J ―/”，必本未知出。/Be，￡,?￡八〃夕相容方程（券+晟+小給7二《（看十標(biāo)）%=。47二、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分■的坐標(biāo)孌換式五角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)■'。產(chǎn)=6&msc<f+usin2a+2r-siny)rosq?o早一Ojsin2<p4-0,co9~-2rjysinyjcosy?rz=(%-6r>sin^cosg+ro(cos:3-sin",)?極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)■rgx一%8斗2勺+%4n:夕~2r“sinwcos26y=%,sin'4十a(chǎn)§cos2<p+2rsin§ocosg?r”=Q0—<r?)sincos夕十七片(cos??—sin2^)9三、軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移將相容方程化成十料機(jī)即凱甯)]｝一。，逐次秘分，得到軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力函數(shù)的通解0=Alnp+8p：lnp十G)'十D,代人教材中式(4-9)得應(yīng)力分量%=4+B(l+2ln0)+2CP ?%=-/+8(3+21np)+2C,上式所示的應(yīng)力分量與「無(wú)關(guān)，因而稱為平面軸對(duì)成應(yīng)力分布,適用于兩類平面問(wèn)髓.對(duì)應(yīng)的位移分域14P0 |—(1 +2CI"*ju>13p〈Inp—】)+(1—3人)Bp+， 2<1—g)CpJ-i-/coj>9+Ksinp.八=十Hp一/sinf+Kcos3c上式所示的位移分量?jī)H適用于平面應(yīng)力問(wèn)題(對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題可將E換為E/(l—/)/渙為〃/(I"))，式中的〃?1,K是剛體位移。