湖南師大附中2020-2021學(xué)年度高一第二學(xué)期入學(xué)自主檢測數(shù)學(xué)時量：20分鐘滿分：50分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.3.函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.34.已知函數(shù)，且，則的值為（）A. B.1 C.3 D.5.關(guān)于的方程，有下列四個命題：甲：是該方程的根；乙：是該方程的根；丙：該方程兩根之和為2；?。涸摲匠虄筛愄?如果只有一個假命題，則該命題是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁6.若實數(shù)，滿足，則的最小值為（）A. B.2 C. D.47.若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)的定義域為，則“無最大值”的一個充分條件是（）A.為偶函數(shù)且關(guān)于直線對稱B.為偶函數(shù)且關(guān)于點對稱C.為奇函數(shù)且關(guān)于直線對稱D.為奇函數(shù)且關(guān)于點對稱二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，，且.則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.10.下列幾個說法中，正確的是（）A.已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是B.命題“，”的否定為：“，”C若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是D.若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為和，則11.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.若，則的最小值為D.函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象12.已知，，.則的值可能是（）A. B. C.1 D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，則.1.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，.則時，.15.已知函數(shù)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則.16.設(shè)函數(shù)①若，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是；②若函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是.四、解答題：本題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知函數(shù).（1）求使的最小值；（2）若對任意，有意義，求實數(shù)的取值范圍.18.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求的最大值及取得最大值時的值；（2）若方程在上的解為，，而，求的值.19.（本小題滿分12分）設(shè)，是上的偶函數(shù).（1）求的值；（2）判斷在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論.20.（本小題滿分12分）倡導(dǎo)環(huán)保意識、生態(tài)意識，構(gòu)建全社會共同參與的環(huán)境治理體系，讓生態(tài)環(huán)保思想成為社會生活中的主流文化.某化工企業(yè)探索改良工藝，使排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢氣中含有污染物數(shù)量為，第次改良后所排放的廢氣中的污染物數(shù)量可由函數(shù)模型給出，其中是指改良工藝的次數(shù).（1）試求改良后的函數(shù)模型；（2）依據(jù)國家環(huán)保要求，企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量不能超過.試問：至少進行多少次改良工藝后才能使企業(yè)所排放的廢氣中含有污染物數(shù)量達標(biāo)？（參考數(shù)據(jù)：?。?1.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，且函數(shù)的最大值為2.（i）求函數(shù)的解析式；（ii）證明：存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得.22.（本小題滿分12分）已知，.（1）若，且，求的取值范圍；（2）若，且方程在上有兩個解，，求的取值范圍，并證明.湖南師大附中2020-2021學(xué)年度高一第二學(xué)期入學(xué)自主檢測數(shù)學(xué)參考答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.題號12345678答案CDBDACDD二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.題號9101112答案ABACDACBCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.14.【解析】當(dāng)時，，因為是奇函數(shù)，所以.所以.15.2【解析】∵在上單調(diào)遞減，且，∴，∵，∴，∴，，又由，，得，∴.16.① ②四、解答題：本題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.【解析】（1）即，所以，即，所以的最小值為7.（2）方法一：對任意，有意義在區(qū)間上，恒成立恒成立.設(shè)，，遞增，所以當(dāng)時，，于是當(dāng)且僅當(dāng)時，在上有意義，故.所以的取值范圍是.方法二：對任意，有意義在區(qū)間上，恒成立恒成立恒成立，①設(shè)，，則①，因為，故當(dāng)時取得最大值，所以，即的取值范圍是.18.【解析】（1）.當(dāng)，即時，函數(shù)取最大值，且最大值為1.（2）由（1）知，函數(shù)圖象的對稱軸為，∴當(dāng)時，對稱軸為或.又方程在上的解為，.結(jié)合圖象知點與點關(guān)于對稱.∴，則，∴，又，故.19.【解析】（1）因為是上的偶函數(shù)，所以，，即，亦即，又不可能恒為“0”，所以，而，故.（2）在上是增函數(shù).證明如下：在上任取，.因為，所以由得，從而，所以，即，所以在上是增函數(shù).20.【解析】（1）由題意得，，所以當(dāng)時，，即，解得，所以，故改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量的函數(shù)模型.（2）由題意可得，，整理得，即，兩邊同時取常用對數(shù)，得，整理得，取代入，得，又因為，所以.綜上，至少進行6次改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達標(biāo).21.【解析】（1）因為.所以函數(shù)的最小正周期.（2）（i）將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，再向下平移個單位長度后得到的圖象.又已知函數(shù)的最大值為2，所以，解得.所以.（ii）要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得，就是要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得，即.由知，存在，使得.由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，均有.因為的周期為，所以當(dāng)時，均有.因為對任意的整數(shù)，，所以對任意的正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得.即存在無窮多個互不相同的正