關(guān)于大數(shù)定律與中心極限定理PPT第1頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三字母使用頻率

大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性

大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率生產(chǎn)過(guò)程中的廢品率……闡明大量的隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱為大數(shù)定律。第2頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三依概率收斂

與微積分學(xué)中的收斂性的概念類似,在概率論中,我們要考慮隨機(jī)變量序列的收斂性.的概率幾乎等于1，即則稱隨機(jī)變量序列{Xn}依概率收斂于記作當(dāng)n充分大時(shí)，事件定義1

如果對(duì)于任意第3頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三切比雪夫不等式.則對(duì)于任給>0,有設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)和方差存在，由切比雪夫不等式可以看出,若越小,則事件的概率越大,即,隨機(jī)變量集中在期望附近的可能性越大.由此可見(jiàn)方差刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度.第4頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1已知正常男性成人血液中,每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300,均方差是700.利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率.解

設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為

依題意,所求概率為由切比雪夫不等式即每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率不小于8/9.第5頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定律定理1（Chebyshev切比雪夫大數(shù)定律）切比雪夫

設(shè){Xn}是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，存在，其方差一致有界，即D(Xi)≤L，i=1,2,…，則對(duì)任意的ε>0，依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望.定理表明:當(dāng)很大時(shí),隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值第6頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三隨機(jī)的了，取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于1.即當(dāng)n充分大時(shí)，差不多不再是

切比雪夫大數(shù)定律表明，獨(dú)立隨機(jī)變

偏差很小的概率接近于1.量序列{Xn}，如果方差一致有界，則與其數(shù)學(xué)期望切比雪夫大數(shù)定律給出了平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述第7頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三推論設(shè)隨機(jī)變量序列{Xn

}獨(dú)立且都服從某則對(duì)于任意恒有個(gè)分布，它們的數(shù)學(xué)期望及方差均存在，即第8頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三[注]一般地，我們要求出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期來(lái)估計(jì)EX。當(dāng)n充分大時(shí)，偏差不會(huì)太大。機(jī)變量X的分布時(shí)求EX的方法，即用知道EX，上述的推論告訴了我們,在不知隨我們往往在不知隨機(jī)變量X的分布時(shí)，希望望，必須知道隨機(jī)變量X的分布。但實(shí)際中，這一點(diǎn)我們將會(huì)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中看到。第9頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

定理2(伯努利大數(shù)定律)設(shè)是重伯努利試

驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù),又A在每次試驗(yàn)中出即頻率依概率收斂于概率即則對(duì)于任意的現(xiàn)的概率為有[注]貝努里大數(shù)定律從理論上證明了頻率的穩(wěn)定性第10頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在.

設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…獨(dú)立同分布，且數(shù)學(xué)期望E(Xi)=μ,i=1,2,…，則對(duì)任給ε>0，定理3（辛欽大數(shù)定律）辛欽第11頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三[注]（1）辛欽大數(shù)定律與定理1的推論的區(qū)別在，辛欽大數(shù)定律與方差無(wú)關(guān)。（3）貝努里大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特例,而辛欽大數(shù)定律在應(yīng)用中是非常重要的。（2）由于證明辛欽大數(shù)定律要用特征函數(shù)的知識(shí)，故證明略。第12頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、中心極限定理

中心極限定理的客觀背景

在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.第13頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對(duì)我們來(lái)說(shuō)重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等.第14頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.

自從高斯指出測(cè)量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見(jiàn).第15頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

現(xiàn)在我們就來(lái)研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問(wèn)題.

在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.

中心極限定理回答了大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的近似分布問(wèn)題,其結(jié)論表明:當(dāng)一個(gè)量受許多隨機(jī)因素(主導(dǎo)因素除外)的共同影響而隨機(jī)取值,則它的分布就近似服從正態(tài)分布.第16頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理1

李雅普諾夫定理

設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,它們具有數(shù)學(xué)期望和方差:

，記

若存在正數(shù)

使得當(dāng)時(shí),則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量:的分布函數(shù)對(duì)于任意,滿足第17頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三注：定理1表明,在定理的條件下,隨機(jī)變量當(dāng)很大時(shí),近似地服從正態(tài)分布由此,當(dāng)很大時(shí),近似地服從正態(tài)分布

這就是說(shuō),無(wú)論各個(gè)隨機(jī)變量服從什么分布,只要.

滿足定理的條件,那么它們的和當(dāng)很大時(shí),就近似地服從正態(tài)分布.

第18頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理2（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）設(shè)X1,X2,…,Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…,n，則[注]1）證明所需要的知識(shí)已超出范圍，證明略。列維一林德伯格（Levy－Lindberg）定理.第19頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三獨(dú)立同分布，且它們的數(shù)學(xué)期2）中心極限定理表明，若隨機(jī)變量序列都近似服從正態(tài)分布.(注意:不一定是即望及方差存在，則當(dāng)n充分大時(shí)，其和的分布,3）中心定理還表明：無(wú)論每一個(gè)隨機(jī)變量在和的分布中起的作用很微服從什么分布，只要每一個(gè)隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布。小，則標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）第20頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1

根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布.現(xiàn)隨機(jī)地取

16只,設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的.求這16

只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率.由題給條件知，諸Xi獨(dú)立，16只元件的壽命的總和為解:設(shè)第i只元件的壽命為Xi,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y>1920)第21頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由題給條件知,諸Xi獨(dú)立,16只元件的壽命的總和為解:設(shè)第i只元件的壽命為Xi,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y>1920)由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心極限定理,近似N(0,1)P(Y>1920)=1-P(Y1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119第22頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

定理3(棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理)

設(shè)是重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù),

又A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)有:第23頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三[注]1）德莫佛—拉普拉斯定理表明:二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限;3）設(shè)隨機(jī)變量X～當(dāng)n充分大時(shí),2)棣莫佛－拉普拉斯定理是中心極限定理的特殊情況.第24頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三設(shè)為重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率,

p為每次試驗(yàn)用頻率估計(jì)概率的誤差

這個(gè)關(guān)系式可用來(lái)解決頻率估計(jì)概率的計(jì)算問(wèn)題:中事件A發(fā)生的概率,由棣莫佛—拉普拉斯定理,有第25頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三部數(shù)解設(shè)表示某一時(shí)刻機(jī)器開(kāi)動(dòng)的臺(tái)數(shù),則設(shè)電廠至少要供應(yīng)個(gè)單位的電能,則由題意,有由棣莫弗-拉普拉斯定理,有

例2

某車間有同型號(hào)的機(jī)床200部,每部機(jī)器開(kāi)動(dòng)概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn)?少要供應(yīng)該車間多少單位電能,才能以95%的開(kāi)動(dòng)時(shí)每部機(jī)器要耗電能15個(gè)單位,問(wèn)電廠最

的概率為0.7,假定各機(jī)床開(kāi)關(guān)是相互獨(dú)立的,第26頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三查表得,應(yīng)有

故至少須向該車間供應(yīng)2261個(gè)單位的電能,才能以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).第27頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解設(shè)

是裝運(yùn)的第箱的重量,看作是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,而總重量是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和.

例3

一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重多少箱，才能保障不超載的概率大于0.997.

試?yán)弥行臉O限定理說(shuō)明每輛車最多可以裝差5千克。若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn)，量是隨機(jī)的，假設(shè)每箱的平均重50千克,標(biāo)準(zhǔn)是所求得箱數(shù),由條件可以把第28頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由林德伯格-列維定理由題意知并且要求滿足即必須滿足即最多可以裝98箱。第29頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例4

對(duì)敵人的防御工事用炮火進(jìn)行100次轟擊,

設(shè)每次轟擊命中的炮彈數(shù)服從同一分布,其數(shù)學(xué)期望為2,均方差為1.5.如果各次轟擊命中的炮彈數(shù)是相互獨(dú)立的,求100次轟擊

(1)至少命中180發(fā)炮彈的概率;(2)命中的炮彈數(shù)不到200發(fā)的概率.解設(shè)Xk

表示第

k次轟擊命中的炮彈數(shù)相互獨(dú)立，第30頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

設(shè)X表示100次轟擊命中的炮彈數(shù),則(1)(2)第31頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例5

售報(bào)員在報(bào)攤上賣報(bào),已知每個(gè)過(guò)路人在報(bào)攤上買報(bào)的概率為1/3.令X

是出售了100份報(bào)時(shí)過(guò)路人的數(shù)目，求P(280X320).解令Xi