/16/16/2020屆上海市高三押題卷二數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由不等式性質(zhì)證明不等式是正確的，舉反例說(shuō)明不等式是錯(cuò)誤的．【詳解】若，則、均錯(cuò)，若，則錯(cuò)，∵，∴，C正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，解題時(shí)一定要注意不等式的性質(zhì)：“不等式兩邊同乘以或除以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，同乘以或除以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變”，這里一定要注意所乘（或除）的數(shù)一定要分正負(fù)，否則易出錯(cuò)．2．無(wú)窮等比數(shù)列的前項(xiàng)的和是，則下列首項(xiàng)中，使得的只可能是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】無(wú)窮等比數(shù)列，，．．．所以選C．3．對(duì)于平面向量和給定的向量，記，若對(duì)任意向量恒成立，則的坐標(biāo)可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】．因?yàn)?，所以．只有選項(xiàng)D的向量的模等于1．所以選D．【點(diǎn)睛】根據(jù)寫出，因?yàn)閷?duì)任意向量恒成立，所以兩式右邊相等，可得，驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)即可．4．如圖，在中，，，，點(diǎn)、分別在軸、軸上，當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)隨之在軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離是（）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)數(shù)形結(jié)合分析可知，根據(jù)的位置關(guān)系求的最大值.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，，,由圖象可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)距離的最大值，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是分析三點(diǎn)的位置關(guān)系.二、填空題5．已知集合，，則________【答案】【解析】根據(jù)交集的定義，寫出A∩B．【詳解】集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，B＝{﹣2，﹣1，0}，則A∩B＝{﹣1，0}．故答案為{﹣1，0}．【點(diǎn)睛】本題考查了交集的定義與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．6．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是__________．【答案】【解析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可直接寫出其焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)閽佄锞€方程為，所以焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查由拋物線的方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型.7．在銳角△中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，若，則角等于________.【答案】【解析】試題分析：利用正弦定理化簡(jiǎn)，得，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉殇J角，所以．【考點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用、以及特殊角的三角函數(shù)值問(wèn)題，其中解答中涉及到解三角形中的邊角互化，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值的應(yīng)用，解答中熟練掌握正弦定理的變形，完成條件的邊角互化是解答的關(guān)鍵，注重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，同時(shí)注意條件中銳角三角形，屬于中檔試題．8．方程的解________【答案】1【解析】因式分解（3x﹣3）（3x+2）＝0，從而求得x＝1．【詳解】∵9x﹣3x﹣6＝0，∴（3x﹣3）（3x+2）＝0，∴3x＝3，∴x＝1，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用及指數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．二項(xiàng)展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)是________【答案】60【解析】利用通項(xiàng)公式寫出展開式的第三項(xiàng)，求出系數(shù)即可．【詳解】∵二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1，所以第三項(xiàng)的系數(shù)為＝60，∴第三項(xiàng)的系數(shù)為：60．故答案為60．【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．10．若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【答案】.【解析】由已知得不等式對(duì)任意恒成立，所以不等式對(duì)任意恒成立，即不等式對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，則不等式對(duì)任意不恒成立，所以．所以，即，所以．解得．【點(diǎn)睛】解對(duì)數(shù)不等式應(yīng)將兩邊都化成同底數(shù)的對(duì)數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較真數(shù)的大?。坏仁綄?duì)任意恒成立，可轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)任意恒成立，分與兩種情況討論．時(shí)結(jié)合二次函數(shù)的圖像得結(jié)論．11．從中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)，從中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)，使得關(guān)于的方程有兩個(gè)虛根，則不同的選取方法有________種【答案】3【解析】關(guān)于x的方程x2+2ax+b2＝0有兩個(gè)虛根，即△＜0，即a＜b．用列舉法求得結(jié)果即可．【詳解】∵關(guān)于x的方程x2+2ax+b2＝0有兩個(gè)虛根，∴△＝4a2﹣4b2＜0，∴a＜b．所有的（a，b）中滿足a＜b的（a，b）共有（1，2）、（1，3）、（2，3），共計(jì)3個(gè)，故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查列舉法表示滿足條件的事件，考查了實(shí)系數(shù)方程虛根的問(wèn)題，屬于中檔題．12．已知，，，則的最小值為________【答案】.【解析】因?yàn)?，所以，．?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，上式取“=”號(hào)，此時(shí)，的最小值為．13．已知數(shù)列首項(xiàng)，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，和已知的式子相減，變形可得，再求，判斷數(shù)列的形式，求通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：得：，即，，數(shù)列是從第二項(xiàng)起的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，.數(shù)列的通項(xiàng)公式是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列已知求，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型，本題的易錯(cuò)點(diǎn)是忽略的取值，從而認(rèn)為數(shù)列是等比數(shù)列.14．如圖直三棱柱ABB1-DCC1中，BB1⊥AB，AB=4，BC=2，CC1=1，DC上有一動(dòng)點(diǎn)P，則△APC1周長(zhǎng)的最小值是.【答案】【解析】試題分析：要求周長(zhǎng)的最小值，因邊為定值，只要求另兩邊之和的最小值，因兩點(diǎn)直線線段最短，所以的最小值為因此△APC1周長(zhǎng)的最小值是．【考點(diǎn)】棱柱的相關(guān)知識(shí).15．已知曲線，直線，若對(duì)于點(diǎn)，存在上的點(diǎn)和上的點(diǎn)，使得，則取值范圍是_________．【答案】【解析】通過(guò)曲線方程判斷曲線特征，通過(guò)，說(shuō)明是的中點(diǎn)，結(jié)合的范圍，求出的范圍即可．【詳解】解：曲線，是以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的半圓（圓的下半部分），并且，，對(duì)于點(diǎn)，存在上的點(diǎn)和上的使得，說(shuō)明是的中點(diǎn)，的縱坐標(biāo)，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，函數(shù)思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想．16．定義在上的函數(shù)，給出下列四個(gè)命題：①若是偶函數(shù)，則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；②若，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③若，且，則的一個(gè)周期為2；④與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；其中正確命題的序號(hào)為________【答案】②③【解析】①若f（x）是偶函數(shù)，則f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，f（x+1）的圖象可由f（x）圖象向左平移1個(gè)單位得到，即可判斷；②由f（x+a）+f（a﹣x）＝2b，則f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱，即可判斷；③由函數(shù)的對(duì)稱性得f（x+6）＝f（﹣x），且f（x+8）＝f（﹣x），即有f（x+2）＝f（x），即可判斷；④令x+3＝t，則x＝t﹣3，則y＝f（t）和y＝f（6﹣t）的圖象關(guān)于t＝3對(duì)稱，即可判斷．【詳解】①若f（x）是偶函數(shù)，則f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，f（x+1）的圖象可由f（x）圖象向左平移1個(gè)單位得到，故圖象關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱，故①錯(cuò)；②若f（x+3）＝﹣f（3﹣x），即f（3+x）+f（3﹣x）＝0，則f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（3，0）對(duì)稱，故②對(duì)；③若f（x+3）＝f（3﹣x），且f（x+4）＝f（4﹣x），則f（x+6）＝f（﹣x），且f（x+8）＝f（﹣x），即有f（x+6）＝f（x+8）即有f（x+2）＝f（x），則f（x）的一個(gè)周期為2，故③對(duì)；④令x+3＝t，則x＝t﹣3，則y＝f（t）和y＝f（6﹣t）的圖象關(guān)于t＝3對(duì)稱，則y＝f（x+3）與y＝f（3﹣x）的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，故④錯(cuò)．故答案為②③．【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的對(duì)稱性和周期性及應(yīng)用，屬于中檔題．17．為等差數(shù)列，則使等式能成立的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n的最大值是_________.【答案】【解析】易得中有正有負(fù),再設(shè)分別為由正變負(fù)或由負(fù)變正的臨界兩項(xiàng),再去絕對(duì)值分析即可.【詳解】易得中有正有負(fù),則數(shù)列中的項(xiàng)一定滿足或,且項(xiàng)數(shù)為偶數(shù).不妨設(shè),設(shè)公差為,則此時(shí),且.又.故.故有.因?yàn)?故.因?yàn)楣?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的求和以及性質(zhì)的分析,需要根據(jù)題意分析出公差滿足的條件,再根據(jù)條件列出對(duì)應(yīng)的表達(dá)式求范圍即可.屬于難題.三、解答題18．如圖所示，在三棱錐中，平面，且垂足在棱上，，，，.（1）證明：△為直角三角形；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法，即可證得為直角三角形；（2）求出平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）由題意，取的中點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是,因?yàn)?，所以，即，所以為直角三角?（2）由（1）可得,于是，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，所以平面的法向量為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，其中解答中建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的夾角公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19．已知的角的對(duì)邊分別為、、，設(shè)向量，，．（1）若，判斷的形狀；（2）若，邊長(zhǎng)，，求的面積．【答案】（1）等腰三角形；（2）.【解析】（1）根據(jù)，利用向量平行的坐標(biāo)表示，可直接根據(jù)邊的關(guān)系，判斷三角形的形狀；（2）根據(jù)向量垂直的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，再根據(jù)余弦定理，兩式聯(lián)立可直接求得，并求得三角形的面積.【詳解】（1）若，則，即，解得：，是等腰三角形.（2）若，則，解得：，根據(jù)余弦定理可得：，即，即解得：（舍）或，，所以的面積是.【點(diǎn)睛】本題考查向量和解三角形的綜合問(wèn)題，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸和計(jì)算能力，屬于中檔題型.20．2016年崇明區(qū)政府投資8千萬(wàn)元啟動(dòng)休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項(xiàng)目．規(guī)劃從2017年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資2千萬(wàn)元用于此項(xiàng)目.2016年該項(xiàng)目的凈收入為5百萬(wàn)元，并預(yù)測(cè)在相當(dāng)長(zhǎng)的年份里，每年的凈收入均為上一年的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)．記2016年為第1年，為第1年至此后第年的累計(jì)利潤(rùn)（注：含第年，累計(jì)利潤(rùn)=累計(jì)凈收入﹣累計(jì)投入，單位：千萬(wàn)元），且當(dāng)為正值時(shí)，認(rèn)為該項(xiàng)目贏利．（1）試求的表達(dá)式；（2）根據(jù)預(yù)測(cè)，該項(xiàng)目將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；（2）.【解析】試題分析：（1）由題意知，第一年至此后第年的累計(jì)投入為（千萬(wàn)元），第年至此后第年的累計(jì)凈收入為，利用等比數(shù)列數(shù)列的求和公式可得；（2）由，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.試題解析：（1）由題意知，第1年至此后第n（n∈N）年的累計(jì)投入為8+2（n﹣1）=2n+6（千萬(wàn)元），第1年至此后第n（n∈N）年的累計(jì)凈收入為+×+×+…+×=（千萬(wàn)元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千萬(wàn)元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，∴當(dāng)n≤3時(shí)，f（n+1）﹣f（n）＜0，故當(dāng)n≤4時(shí)，f（n）遞減；當(dāng)n≥4時(shí)，f（n+1）﹣f（n）＞0，故當(dāng)n≥4時(shí)，f（n）遞增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴該項(xiàng)目將從第8年開始并持續(xù)贏利．答：該項(xiàng)目將從2023年開始并持續(xù)贏利；方法二：設(shè)f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），則f′（x）=，令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．從而當(dāng)x∈[1，4）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)x∈（4，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴該項(xiàng)目將從第8年開始并持續(xù)贏利．答：該項(xiàng)目將從2023年開始并持續(xù)贏利．21．已知過(guò)橢圓方程右焦點(diǎn)、斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn).（1）求橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積；（2）當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，求的面積；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得以、為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）2；（2）；（3）存在，.【解析】（1）根據(jù)題中所給的方程，求得的值，代入菱形面積公式得到答案；（2）右焦點(diǎn)，直線的方程為，設(shè)，，由題設(shè)條件知，，由此可求出的面積；（3）假設(shè)在線段上是否存在點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，由題意知，將中點(diǎn)坐標(biāo)用表示，利用，建立關(guān)于方程，再由方程有解，即可求出的范圍.【詳解】（1）由橢圓方程得，則，所以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積；（2）右焦點(diǎn)，直線的方程為，設(shè)，，由得，解得，所以；（3）假設(shè)在線段上是否存在點(diǎn)，使得以、為鄰邊的平行四邊形是菱形，因?yàn)橹本€與軸不垂直，所以設(shè)直線的方程為，由，可得，所以，設(shè)中點(diǎn)為，則，，即，，整理得，關(guān)于的方程有解，所以，.所以滿足條件的點(diǎn)存在，且的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，利用根與系數(shù)關(guān)系設(shè)而不求是解決相交點(diǎn)坐標(biāo)常用的方法，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.22．我們把定義在上，且滿足（其中常數(shù)，滿足，，）的函數(shù)叫做似周期函數(shù)．（1）若某個(gè)似周期函數(shù)滿足且圖像關(guān)于直線對(duì)稱．求證：函數(shù)是偶函數(shù)；（2）當(dāng)，時(shí)，某個(gè)似周期函數(shù)在時(shí)的解析式為，求函數(shù)，的解析式；（3）對(duì)于確定的且時(shí)，，試研究似周期函數(shù)在區(qū)間上是否可能是單調(diào)函數(shù)？若可能，求出的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2），；（3）的取值范圍為，理由見(jiàn)解析