13.3.2等腰三角形的判定典型例題精析

例1如圖13-3-21，BD是△ABC的角平分線，交AC于點D，DE∥BC，交AB于點E，試說明△BED是等腰三角形．證明：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠1=∠2．∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴DE=BE．即△EBD是等腰三角形．1．如圖13-3-22，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為BC上一點，AB=BD，DE⊥BC交AC于點E，則圖中的等腰三角形的個數(shù)有( ) A．3個 B．4個 C．5個 D．6個變式練習(xí)B2．如圖13-3-23，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3cm，則CD=

．3cm3．如圖13-3-24，在△ABC中，點E在AB邊上，點D在BC邊上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD與CE相交于點F，試判斷△AFC的形狀，并說明理由．解：△AFC是等腰三角形．理由如下：在△BAD與△BCE中，∵∠B=∠B，∠BAD=∠BCE，BD=BE，∴△BAD≌△BCE(A.A.S.)，∴BA=BC，∴∠BAC=∠BCA，∴∠BAC-∠BAD=∠BCA-∠BCE，即∠FAC=∠FCA，∴AF=CF，∴△AFC是等腰三角形．例2如圖13-3-25，AB=AC，點D是BC邊上的中點，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足為點E．若BE∥AC，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．典型例題精析解：△ABC是等邊三角形．理由如下：∵AB平分∠DAE，∴∠1=∠2．∵AB=AC，點D是BC的中點，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3．∵AE⊥BE，∴∠E=90°．又∵BE∥AC，∴∠EAC=90°，∴∠1+∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2=∠3=30°，∴∠BAC=∠1+∠3=60°，∴△ABC是等邊三角形．變式練習(xí)4．下列說法不正確的是( ) A．有兩個角為60°的三角形是等邊三角形 B．有一個外角是120°的等腰三角形是等邊三角形 C．有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形 D．三個外角都相等的三角形是等邊三角形C5．如圖13-3-26，在△ABC中，∠ACB=120°，CD平分∠ACB，AE∥DC且交BC的延長線于點E，試證明△ACE是等邊三角形.證明：∵∠ACB=120°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=60°,又∵AE∥DC，∴∠CAE=∠ACD=60°又∵∠ACE=180°-∠ACB=60°，∴∠CAE=∠ACE=∠E=60°，∴△ACE是等邊三角形1．如果三角形一邊的中線和這邊上的高重合，那么這個三角形是( ) A．等邊三角形

B．等腰三角形 C．銳角三角形

D．鈍角三角形基礎(chǔ)過關(guān)精練B2．下列判斷不正確的是( ) A．有兩個角相等的三角形是等腰三角形 B．等腰三角形的兩底角相等 C．有兩個內(nèi)角是60°的三角形是等邊三角形 D．有兩個內(nèi)角分別為120°、40°的三角形是等腰三角

形D3．如圖13-3-27，點E是等邊△ABC中AC邊上的點，∠1=∠2，BE=CD，則△ADE的形狀是( ) A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．不等邊三角形 D．不能確定B4．在△ABC中：(1)若∠B=50°，∠C=65°，則△ABC的形狀

是

； (2)若∠ADK∶∠BDK∶∠C=1∶1∶2，則△ABC的形狀是

； (3)若∠B=∠C=60°，AB=5，則BC=

.等腰三角形等腰直角三角形55．如圖13-3-28，在△ABC中，CD平分∠ACB，且CD⊥AB于點D，DE∥BC交AC于點E，AE=1.5cm，AB=2cm，則△ADE的周長為

cm．6．如圖13-3-29，△ABC為等邊三角形，∠1=∠2=∠3，則∠BEC的度數(shù)為

．4120°7．如圖13-3-30，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC.求證：△BDE是等腰三角形．證明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD.∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠EAD=∠ADE，∵BD⊥AD，∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠B=90°，∴∠BDE=∠B，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形.8．如圖13-3-31，在△ABC中，D是BC邊上的一點，DE⊥BC，交AB邊于點E，DF⊥AC于點F，BE=CD，BD=CF． (1)△ABC是等腰三角形嗎？請說明理由；解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠BDE=90°，∠DFC=90°.在Rt△BDE和Rt△CFD中，∴Rt△BDE≌Rt△CFD，∴∠B=∠C，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形． (2)連結(jié)EF，當(dāng)∠A度數(shù)是多少時，△DEF是等邊三角形？(2)∵Rt△BDE≌Rt△CFD，∴DE=DF，當(dāng)∠EDF=60°時，△DEF是等邊三角形，∴∠FDC=90°-∠EDF=30°，∴∠C=90°-∠FDC=60°，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=180°-∠B-∠C=60°．9．如圖13-3-32，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，那么下列結(jié)論：

①△BDF和△CEF都是等腰三角形；

②DE=BD+CE；

③△ADE的周長等于AB與AC的和；

④BF=CF．

其中正確的有( ) A．①②③B．①②③④C．①②D．①能力提升演練A10．如圖13-3-33，D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD.若AC=8，BC=5，則BD的長為

．1．5【提示】延長BD與AC交于點E．∵∠A=∠ABD，∴BE=AE.∵BD⊥CD，∴BE⊥CD.∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∴∠EBC=∠BEC，∴△BEC為等腰三角形，∴BC=CE.∵BE⊥CD，∴2BD=BE.∵AC=8，BC=5，∴CE=5，∴AE=AC-EC=8-5=3，∴BE=3，∴BD=1．5．11．如圖13-3-34，已知∠AOB=60°，點P在邊OA上，OP=12，點M、N在邊OB上，PM=PN.若MN=2，則OM等于

.5【提示】在OB上取一點C，使得OC=OP，連結(jié)PC，作PD⊥OC于點D.易證△OPC為等邊三角形，則OC=12，OD=OC=6，MD=NM=1，∴OM=OD-MD=5.12．如圖13-3-35，在△ABC中，AB=AC，點D、E分別在邊BC、AC上，AD=AE，∠BAD=30°． (1)求∠EDC的度數(shù)；拓展探究訓(xùn)練解：(1)設(shè)∠EDC=x，∠B=∠C=y，則∠AED=∠EDC+∠C=x+y.∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=x+y，則∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y.又∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴2x+y=y+30，解得x=15.∴∠EDC的度數(shù)是15°. (2)若∠B=30°，請判斷△ADE的形狀，并寫出證明過程；(2)△ADE是等腰直角三角形.理由如下：∵∠BAD=30°，∠B=30°，∴∠ADC=60°.∵∠EDC=15°，∴