.z."平面向量"測(cè)試題一、選擇題1.假設(shè)三點(diǎn)P〔1，1〕，A〔2，-4〕，B〔*,-9〕共線，則〔〕A.*=-1 B.*=3 C.*=D.*=512.與向量a=(-5,4)平行的向量是〔〕A.〔-5k,4k〕 B.(-,-) C.(-10,2) D.(5k,4k)3.假設(shè)點(diǎn)P分所成的比為，則A分所成的比是〔〕A.B.C.-D.-4.向量a、b，a·b=-40，|a|=10,|b|=8，則向量a與b的夾角為〔〕A.60°B.-60°C.120°D.-120°5.假設(shè)|a-b|=,|a|=4,|b|=5，則向量a·b=〔〕A.10 B.-10C.10D.106．()向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．假設(shè)向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(7,9)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))7.向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量〔a+*〕·b與b垂直，則*的值為〔〕A.B.C.2 D.-8.設(shè)點(diǎn)P分有向線段的比是λ，且點(diǎn)P在有向線段的延長(zhǎng)線上，則λ的取值范圍是〔〕A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-)9.設(shè)四邊形ABCD中，有=，且||=||，則這個(gè)四邊形是〔〕A.平行四邊形B.矩形C.等腰梯形D.菱形10.將y=*+2的圖像C按a=(6,-2)平移后得C′的解析式為〔〕A.y=*+10 B.y=*-6 C.y=*+6 D.y=*-1011.將函數(shù)y=*2+4*+5的圖像按向量a經(jīng)過一次平移后，得到y(tǒng)=*2的圖像，則a等于〔〕A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)12.平行四邊形的3個(gè)頂點(diǎn)為A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，則它的第4個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是〔〕A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a)二、填空題13.設(shè)向量a=(2,-1)，向量b與a共線且b與a同向，b的模為2，則b=。14.：|a|=2,|b|=,a與b的夾角為45°，要使λb-a垂直，則λ=。15.|a|=3,|b|=5，如果a∥b，則a·b=。16.在菱形ABCD中，〔+〕·〔-〕=。三、解答題17.如圖，ABCD是一個(gè)梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分別是DC、AB的中點(diǎn)，=a,=b,試用a、b分別表示、、。18．設(shè)a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)，(1)求證a與b不共線，并求a與b的夾角的余弦值；(2)求c在a方向上的投影；(3)求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b19.設(shè)e1與e2是兩個(gè)單位向量，其夾角為60°，試求向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夾角θ。20.以原點(diǎn)O和A〔4，2〕為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，∠B=90°，求點(diǎn)B的坐標(biāo)和。21.,的夾角為60o,,,當(dāng)當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，⑴∥⑵22.△ABC頂點(diǎn)A〔0，0〕，B〔4，8〕，C〔6，-4〕，點(diǎn)M內(nèi)分所成的比為3，N是AC邊上的一點(diǎn)，且△AMN的面積等于△ABC面積的一半，求N點(diǎn)的坐標(biāo)。文科數(shù)學(xué)[平面向量]單元練習(xí)題一、選擇題1．(全國(guó)Ⅰ)設(shè)非零向量a、b、c、滿足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，則〈a，b〉＝()A．150B．120°C．60°D．30°2．(四川高考)設(shè)平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，則a－2b等于()A．(7,3)B．(7,7)C．(1,7)D．(1,3)3．如圖，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A．a(chǎn)＋eq\f(3,4)bB.eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)bC.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)bD.eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b4．()向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．假設(shè)向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(7,9)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))5．(啟東)向量p＝(2，*－1)，q＝(*，－3)，且p⊥q，假設(shè)由*的值構(gòu)成的集合A滿足A?{*|a*＝2}，則實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合是()A．{0}B．{eq\f(2,3)}C．?D．{0，eq\f(2,3)}6．在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對(duì)邊，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面積為eq\f(3,2)，則b等于()A.eq\f(1＋\r(3),2)B．1＋eq\r(3)C.eq\f(2＋\r(3),2)D．2＋eq\r(3)7．(銀川模擬)兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與B的距離為()A．2akmB．a(chǎn)kmC.eq\r(3)akmD.eq\r(2)akm8．在△ABC中，假設(shè)eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))，則△ABC是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形9．等腰△ABC的腰為底的2倍，則頂角A的正切值是()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\r(3)C.eq\f(\r(15),8)D.eq\f(\r(15),7)10．D為△ABC的邊BC的中點(diǎn)，在△ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝0，設(shè)eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))|,|\o(PD,\s\up6(→))|)＝λ，則λ的值為()A．1B.eq\f(1,2)C．2D.eq\f(1,4)二、填空題11．設(shè)向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，假設(shè)向量λa＋b與向量c＝(－4，－7)共線，則λ________.12．(皖南八校聯(lián)考)向量a與b的夾角為120°，假設(shè)向量c＝a＋b，且c⊥a，則eq\f(|a|,|b|)＝________.13．向量a＝(tanα，1)，b＝(eq\r(3)，1)，α∈(0，π)，且a∥b，則α的值為________．14．(煙臺(tái)模擬)輪船A和輪船B在中午12時(shí)同時(shí)離開海港O，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25nmile/h、15nmile/h，則下午2時(shí)兩船之間的距離是________nmile.15．(江蘇高考)滿足條件AB＝2，AC＝eq\r(2)BC的三角形ABC的面積的最大值是________．三、解答題16．設(shè)a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)，(1)求證a與b不共線，并求a與b的夾角的余弦值；(2)求c在a方向上的投影；(3)求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b17．如圖，A(2,3)，B(0,1)，C(3,0)，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，DE∥BC，且DE平分△ABC的面積，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．18．(廈門模擬)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,0)、B(0,3)、C(cosα，sinα)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3,2)π)).(1)假設(shè)|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，求角α的值；(2)假設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－1，求eq\f(2sin2α＋sin2α,1＋tanα)的值．19．(南充模擬)在△ABC中，內(nèi)角A＝eq\f(π,3)，邊BC＝2eq\r(3)，設(shè)內(nèi)角B＝*，周長(zhǎng)為y.(1)求函數(shù)y＝f(*)的解析式和定義域；(2)求y的最大值及取得最大值時(shí)△ABC的形狀．20．(福建高考)向量m＝(sinA，cosA)，n＝(eq\r(3)，－1)，m·n＝1，且A為銳角．(1)求角A的大??；(2)求函數(shù)f(*)＝cos2*＋4cosAsin*(*∈R)的值域．21．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC.(1)假設(shè)a＝3，b＝4，求|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|的值；(2)假設(shè)C＝eq\f(π,3)，△ABC的面積是eq\r(3)，求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值．"平面向量"測(cè)試題參考答案1.B2.A3.C4.C5.A6.D7.D8.A9.C10.B11.A12.C13.(4,-2)14.215.±1516.017.[解]連結(jié)AC==a,……=+=b+a,……=-=b+a-a=b-a,……=+=++=b-a,……=-=a-b?！?8．【解析】(1)∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a與b不共線．又a·b＝－1×4＋1×3＝－1，|a|＝eq\r(2)，|b|＝5，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1,5\r(2))＝－eq\f(\r(2),10).(2)∵a·c＝－1×5＋1×(－2)＝－7∴c在a方向上的投影為eq\f(a·c,|a|)＝eq\f(－7,\r(2))＝－eq\f(7,2)eq\r(2).(3)∵c＝λ1a＋λ2b∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3)＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4λ2－λ1＝5,λ1＋3λ2＝－2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－\f(23,7),λ2＝\f(3,7))).19.[解]∵a=2e1+e2,∴|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1·e2+e22=7,∴|a|=。同理得|b|=。又a·b==〔2e1+e2〕·(-3e1+2e2,)=-6e12+e1·e2+2e22=-，∴cosθ===-,∴θ=120°.20.[解]如圖8，設(shè)B(*,y),則=(*,y),=(*-4,y-2)?！摺螧=90°，∴⊥，∴*(*-4)+y(y-2)=0，即*2+y2=4*+2y。①設(shè)OA的中點(diǎn)為C，則C(2,1),=〔2，1〕，=(*-2,y-1)∵△ABO為等腰直角三角形，∴⊥，∴2(*-2)+y-1=0，即2*+y=5。②解得①、②得或∴B(1,3)或B(3,-1)，從而=(-3,1)或=〔-1,-3〕21.⑴假設(shè)∥得⑵假設(shè)得22.[解]如圖10，==?！進(jìn)分的比為3，∴=，則由題設(shè)條件得=，∴=，∴=2。由定比分點(diǎn)公式得∴N(4,-)。文科數(shù)學(xué)[平面向量]單元練習(xí)題答案一、選擇題1．B【解析】∵(a＋b)2＝c2，∴a·b＝－eq\f(c2,2)，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(1,2)，〈a，b〉＝120°.應(yīng)選B.2．A【解析】a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．3．B【解析】eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝a＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝a＋eq\f(3,4)(b－a)＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b.4．D【解析】設(shè)c＝(*，y)，則c＋a＝(*＋1，y＋2)，a＋b＝(3，－1)．∵(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，∴2(y＋2)＝－3(*＋1),3*－y＝0.∴*＝－eq\f(7,9)，y＝－eq\f(7,3)，應(yīng)選D.5．D【解析】∵p⊥q，∴2*－3(*－1)＝0，即*＝3，∴A＝{3}．又{*|a*＝2}?A，∴{*|a*＝2}＝?或{*|a*＝2}＝{3}，∴a＝0或a＝eq\f(2,3)，∴實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合為{0，eq\f(2,3)}．6．B【解析】由eq\f(1,2)acsin30°＝eq\f(3,2)得ac＝6，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2ac即b2＝4＋2eq\r(3)，∴b＝eq\r(3)＋1.7．C【解析】如圖，△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°.由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC＝a2＋a2－2a2×(－eq\f(1,2))＝3a2，∴AB＝eq\r(3)a.8．B【解析】∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＋eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))2－eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，∴∠B＝eq\f(π,2)，∴△ABC為直角三角形．9．D【解析】設(shè)底邊長(zhǎng)為a，則腰長(zhǎng)為2a∴cosA＝eq\f(4a2＋4a2－a2,2×2a×2a)＝eq\f(7,8)?sinA＝eq\f(\r(15),8).∴tanA＝eq\f(\r(15),7)，應(yīng)選D.10．C【解析】∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝0，即eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝0，即eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝0，故四邊形PCAB是平行四邊形，∴eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))|,|\o(PD,\s\up6(→))|)＝2.二、填空題11．【解析】∵a＝(1,2)，b＝(2,3)，∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．∵向量λa＋b與向量c＝(－4，－7)共線，∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0，∴λ＝2.【答案】212．【解析】由題意知a·b＝|a||b|cos120°＝－eq\f(1,2)|a||b|.又∵c⊥a，∴(a＋b)·a＝0，∴a2＋a·b＝0，即|a|2＝－a·b＝eq\f(1,2)|a||b|，∴eq\f(|a|,|b|)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)13．【解析】∵a∥b，∴tanα－eq\r(3)＝0，即tanα＝eq\r(3)，又α∈(0，π)，∴α＝eq\f(π,3).【答案】eq\f(π,3)14.【解析】如圖，由題意可得OA=50，OB=30.而AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos120°=502+302-2×50×30×(-eq\f(1,2))=2500+900+1500=4900，∴AB=70.【答案】7015．【解析】設(shè)BC＝*，則AC＝eq\r(2)*，根據(jù)面積公式得S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BCsinB＝eq\f(1,2)×2*eq\r(1－cos2B)，根據(jù)余弦定理得cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(4＋*2－(\r(2)*)2,4*)＝eq\f(4－*2,4*)，代入上式得S△ABC＝*eq\r(1－(\f(4－*2,4*))2)＝eq\r(\f(128－(*2－12)2,16))，由三角形三邊關(guān)系有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)*＋*>2,*＋2>\r(2)*))，解得2eq\r(2)－2<*<2eq\r(2)＋2.故當(dāng)*＝2eq\r(3)時(shí)，S△ABC取得最大值2eq\r(2).【答案】2eq\r(2)三、解答題16．【解析】(1)∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a與b不共線．又a·b＝－1×4＋1×3＝－1，|a|＝eq\r(2)，|b|＝5，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1,5\r(2))＝－eq\f(\r(2),10).(2)∵a·c＝－1×5＋1×(－2)＝－7，∴c在a方向上的投影為eq\f(a·c,|a|)＝eq\f(－7,\r(2))＝－eq\f(7,2)eq\r(2).(3)∵c＝λ1a＋λ2b∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3)＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4λ2－λ1＝5,λ1＋3λ2＝－2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－\f(23,7),λ2＝\f(3,7))).17．【解析】要求點(diǎn)D坐標(biāo)，關(guān)鍵是求得點(diǎn)D分eq\o(AB,\s\up6(→))所成比λ的值，求λ值可由條件△ADE是△ABC面積一半入手，利用三角形面積比等于三角形相似比的平方關(guān)系求得．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AD,AB)))2.由，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AD,AB)))2＝eq\f(1,2)，即eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,\r(2)).設(shè)點(diǎn)D分eq\o(AB,\s\up6(→))所成的比為λ，利用分點(diǎn)定義，得λ＝eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\r(2)＋1.∴得點(diǎn)D的橫、縱坐標(biāo)為*＝eq\f(2,1＋\r(2)＋1)＝2－eq\r(2)，y＝eq\f(3＋\r(2)＋1,1＋\r(2)＋1)＝3－eq\r(2).則點(diǎn)D坐標(biāo)為(2－eq\r(2)，3－eq\r(2))．18．【解析】(1)∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝(cosα－3，sinα)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(cosα，sinα－3)且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，∴(cosα－3)2＋sin2α＝cos2α＋(sinα－3)2，整理，得sinα＝cosα，∴tanα＝1.又eq\f(π,2)<α<eq\f(3,2)π，∴α＝eq\f(5,4)π.(2)∵eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝cosα(cosα－3)＋sinα(sinα－3)＝－1，∴cos2α－3cosα＋sin2α－3sinα＝－1，即sinα＋cosα＝eq\f(2,3)，∴2sinαcosα＝－eq\f(5,9)，∴eq\f(2sin2α＋sin2α,1＋tanα)＝eq\f(2sin2α＋2sinαcosα,1＋\f(sinα,cosα))＝2sinαcosα＝－eq\f(5,9).19．【解析】(1)△ABC的內(nèi)角和A＋B＋C＝π，由A＝eq\f(π,3)，B>0，C>0得0<B<eq\f(2,3)π，應(yīng)用正弦定理知AC＝eq\f(BC,sinA)sinB＝eq\f(2\r(3),sin\f(π,3))sin*＝4sin*.AB＝eq\f(BC,sinA)sinC＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π－*))，∵y＝AC＋AB＋BC，∴y＝4sin*＋4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π－*))＋2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<*<\f(2,3)π)).(2)∵y＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin*＋\f(\r(3),2)cos*＋\f(1,2)sin*))＋2eq\r(3)＝4eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(*＋\f(π,6)))＋2eq\r(3)，且eq\f(π,6)<*＋eq\f(π,6)<eq\f(5,6)π，∴當(dāng)*＋eq\f(π