備戰(zhàn)2018中考系列：檄等2耳中考1耳演枇

第四篇圖形的性質(zhì)

專題22圓的有關(guān)性質(zhì)

b斛侯老點

矢口識點名師點晴

垂徑定1.垂徑定理能運用垂徑定理解決有關(guān)問題.

理

2.垂徑定理逆定理能運用垂徑定理的逆定理解決有關(guān)問題.

圓心

角、弧、1.圓心角了解圓心角的概念

弦之間

相等關(guān)

2.圓心角、弧、弦之間相等關(guān)

系的定應(yīng)用弧、弦、圓心角的關(guān)系進行證明和計算.

系的定理

理

1.圓周角了解圓周角的概念

圓周角理解圓周角定理及其推論，熟練掌握圓周角的定理及其推理

2.圓周角的定理

的靈活運用.

寸2年中存

[2017年題組】

一、選擇題

1.（2017廣西貴港市）如圖，A,B,C,。是。O上的四個點，3是AC的中點，M是半徑OQ上任意一

點.若N8DC=40°,則N4M3的度數(shù)不可能是（)

A

D

A.45°B.60°C.75°D.85°

【答案】D.

【解析】

試題分析：是怒的中點，.?.403=2/50080°,又：山是OD上一點，.../JM3WNJO3=80°.則

不符合條件的只有85。.故選D.

考點：1.圓周角定理；2.圓心角、弧、弦的關(guān)系.

2.（2017江蘇省蘇州市）如圖，在心Z\ABC中，/ACB=90°,乙4=56°.以BC為直徑的。。交AB于點

D.E是。。上一點，且CE=CD,連接OE.過點E作收，OE,交AC的延長線于點F,則NF的度數(shù)

C.112°D.124°

【答案】C.

【解析】

試題分析：；/ACB=90",乙4=56°,二/ABC=34°,VCE=CD,.?.2/ABC=/COE=68",又

OCF=ZOEF=90Q,AZF=3600-90°-90°-68°=112°.故選C.

考點：1.圓心角、弧、弦的關(guān)系；2.多邊形內(nèi)角與外角.學(xué)~網(wǎng)

3.（2017云南?。┤鐖D，B、C是。A上的兩點，AB的垂直平分線與。A交于E、尸兩點，與線段4c交于

。點.若N8尸020°,則/O8C=()

A.30°B.29°C.28°D.20°

【答案】A.

【解析】

試題分析：,.?/5尸020°,：.ZBAC=2ZBFC=40°,\\4B=AC,：.Z-4BC=Z.4CB=(180°-40,)-v-2=70°.

又EF是線段.45的垂直平分線，....QBD,...乙4=乙18氏40°,...ND5U/.45C-5D=70°-

40。=30。.故選A.

考點：1.圓周角定理；2.線段垂直平分線的性質(zhì).

4.（2017山東省煙臺市）如圖，皿2。中，ZB=70°,BC=f>,以A。為直徑的。0交CD于點E,則OE

的長為（）

C

12

A.—7C—71

3

【答案】B.

【解析】

試題分析：連接0區(qū)如圖所示:

?四邊形A8CO是平行四邊形，NZ>/8=70°,A￡）=8C=6,，。4=0。=3,：0/>0E,，/。現(xiàn)>=/。=70°,

x32

/.ZDO￡=180°-2X70°=40°,；.OE的長=------二一萬；故選B.

1803

考點：1.弧長的計算；2.平行四邊形的性質(zhì)；3.圓周角定理.

5.（2017山東省青島市）如圖，AB是。0的直徑，點C,D,E在。。上，若/AEZA20。，則/8C。的度

數(shù)為（）

B.110°C.115°D.120°

【答案】B.

【解析】

試題分析：連接?.15為。。的直徑，?C3=90。，?..4結(jié)氏20°,.,.N4CA20°,

乙4CB+乙4a4110°,故選B.

6.（2017廣西賀州市）如圖，在。。中，AB是。。的直徑，AB=10,AC=CD=08,點E是點。關(guān)于

AB的對稱點，M是AB上的一動點，下列結(jié)論：①NBOE=60°；②/CE￡>=LZDOB；③。MJ_CE；?CM+DM

2

的最小值是10,上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（)

E

A.1B.2C.3D.4

【答案】C.

【解析】

試題分析：：KC=CD=DB,點E是點。關(guān)于.4B的對稱點.BD=BE,：."0B=以0E=2C0A-

3

X180°=60°,...①正確j

/CED=LNCOD=L義60°=30°=：/。。凡...②正確：

222

...盛的度數(shù)是60°?.冠的度數(shù)是120。，，只有當(dāng)M和▲重合時，Z-V/D￡=60°,-：ZC￡D=30°,

二.只有M和/重合時，DM1CE,.?.③錯誤;

做C關(guān)于A8的對稱點F,連接CF,交AB于N,連接CF交AB于M,此時CM+OM的值最短，等于。F

長，連接CO,VAC=CD=DBAF,并且弧的度數(shù)都是60°,.?./￡>='X120°=60°,ZCFD^-X

22

60°=30°,，//8=180°-60°-30°=90°,二。尸是。。的直徑，即0F=A8=10,，CM+DW的最小

值是10,...④正確；

故選C.

考點：1.圓周角定理；2.軸對稱-最短路線問題：3.最值問題.

7.（2017江蘇省南通市）已知/AO8,作圖.

步驟1：在。8上任取一點M,以點M為圓心，M。長為半徑畫半圓，分別交OA、。8于點P、Q；

步驟2：過點M作尸。的垂線交PQ于點C；

步驟3：畫射線OC.

則下列判斷：①PC=CQ；②MC〃Q4；?OP=PQ；④OC平分乙4。8,其中正確的個數(shù)為（)

c

oMQB

A.1B.2C.3D.4

【答案】C.

【解析】

試題分析：為直徑，,0A1PQ.

■：X/C1PQ,J.OAllMC,結(jié)論②正確；

①??OAHMC,：.NR40=/CMQ.

,.,ZCA/O=2ZCO0,：.￡CO（>^Z.POO=Z.BOO>：.PC=CQ,。。平分乙4。5,結(jié)論①④正確；

?.N4O5的度數(shù)未知，/尸。。和NP。?；ビ啵?NP。。不一定等于NP。。，「QP不一定等于P。，結(jié)論

③錯誤.

綜上所述：正確的結(jié)論有①②④.故選C.

考點：1.作圖一復(fù)雜作圖；2.圓周角定理.

8.（2017遼寧省錦州市）如圖，四邊形A8C。是。。的內(nèi)接四邊形，AO與8c的延長線交于點E,BA與

CD的延長線交于點凡ZDCE=80°,ZF=25°,則NE的度數(shù)為（）

A.55°B.50°C.45°D.40°

【答案】C.

【解析】

試題分析：N8=/OCE-NF=55°,.四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，...NEDC=/8=55°,二/￡=180°

-ZDCE-ZEDC=45°,故選C.學(xué)！網(wǎng)

考點：1.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：2.圓周角定理.

9.（2017四川省樂山市）如圖是“明清影視城”的一扇圓弧形門，小紅到影視城游玩，他了解到這扇門的

相關(guān)數(shù)據(jù)：這扇圓弧形門所在的圓與水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，8￡>=1.5米，且48.CO與水平

地面都是垂直的.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請你幫小紅計算出這扇圓弧形門的最高點離地面的距離是（）

C.2.4米D.2.1米

【答案】B.

【解析】

試題分析：連接。尸，交.4C于點是。。的切線，,。尸15。，?.?四邊形.45。。是矩形，

BD,J.OELAC,EF=AB,設(shè)圓。的半徑為五，在&AW緲中，米，OE=R-AB=R

-0.25,.\0.752+（JZ-0.25）2=/P,解得五=1.25.1.25X2=2.5《米》.故這扇圓弧形門

的最高點離地面的距離是2.5米.故選B.

考點：垂徑定理的應(yīng)用.

10.（2017四川省瀘州市）如圖，48是。。的直徑，弦COJ_AB于點E.若AB=8,AE=\,則弦8的長是

()

A.幣B.2sC.6D.8

【答案】B.

【解析】

試題分析：由題意，得：0E=08-AE=4-1=3,CE=CD=^OC2-OE2=y/l,CD=2CE=2不，故選B.

考點：1.垂徑定理；2.勾股定理.

11.（2017四川省阿壩州）如圖將半徑為2c〃?的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O,則折痕的長為

【答案】D.

【解析】

試題分析:過點。作81/5交.45于點D,連接OA,OA=2OD=lcm,：.AD=JOA2-OD1=y/l2-12=

(cm),\'OD1AB,：.AB=2.4D=2y/3cm.故選D.

考點：1.垂徑定理；2.翻折變換（折疊問題）.

12.（2017新疆）如圖，00的半徑。。垂直于弦AB,垂足為點C,連接AO并延長交。O于點E,連接

BE,CE.若AB=8,CD=2,則△BCE的面積為（）

【答案】A.

【解析】

試題分析：：。。的半徑。。垂直于弦AB,垂足為點C,AB-8,：.AOBa-AB=4.

2

設(shè)OA=r,則OC=r-2,在Rt/^AOC中，VACi+OC^OA2,即42+(r-2)2=r2,解得r=5,：.AE=\0,：.

BE^ylAE2-AB2->/102-82=6,.?.△3CE的面積X4X6=12.故選A.

22

考點：1.圓周角定理；2.垂徑定理.學(xué)#網(wǎng)

13.（2017湖南省永州市）小紅不小心把家里的一塊圓形玻璃打碎了，需要配制一塊同樣大小的玻璃鏡，工

人師傅在一塊如圖所示的玻璃鏡殘片的邊緣描出了點A,B,C,給出三角形ABC,則這塊玻璃鏡的圓心是

A.AB,AC邊上的中線的交點B.AB,AC邊上的垂直平分線的交點

C.AB,AC邊上的高所在直線的交點D.與N48C的角平分線的交點

【答案】B.

【解析】

試題分析：由題意可得，所求的圓形玻璃是AWBC的外接圓，，這塊玻璃鏡的圓心是三邊垂直平分

線的交點，故選B.

考點：垂徑定理的應(yīng)用.

14.（2017青海省西寧市）如圖，AB是。。的直徑，弦CO交A8于點P,AP=2,BP=6,ZAPC=30°,則

CQ的長為（）

C.2715D.8

【答案】C.

【解析】

試題分析：作于”,連結(jié)。C,如圖，；AP=2,BP=6,：.AB=S,：,OA=4,

：.OP=OA-AP=2,在RfAOPH中,；NOPH=30°,AZPOH=3>0°,：.OH=-OP=\,在心△O〃C中，：

2

OC=4,OH=l,：.CH^>JOC2-OH2-V15,CD=2CH-2A/15.故選C.

D

考點：1.垂徑定理；2.含30度角的直角三角形；3.勾股定理.

二、填空題

15.（2017黑龍江省大慶市）如圖，點M,N在半圓的直徑AB上，點尸，。在上，四邊形MNP0為正

方形.若半圓的半徑為石，則正方形的邊長為

【答案】2.

【解析】

試題分析：連接OP,設(shè)正方形的邊長為a,則O*,PN=a,在&△O2V中，O^+P^=OP-,即

考點：1.正方形的性質(zhì)；2.勾股定理；3.圓的認(rèn)識.

16.（2017內(nèi)蒙古包頭市）如圖，點A、8、C為。。上的三個點，ZBOC=2ZAOB,ZBAC=40°,則NACB=

度.

【答案】20.

【解析】

試題分析：'：^BAC=-Z.BOC,44c3=144。5,'：Z^OC=2^4OB,：.Z,4CB=-/1BA02Q0.故答案

222

為：20.

考點：圓周角定理.

17.（2017北京市）如圖，AB為。。的直徑，C、D為。O上的點，AD=CD.若/C4B=40°,則/

CAD=.

【答案】25°.

【解析】

試題分析：二AD=QD.為。O的直徑，ZCAB=40°,ABC=80",AAC=180°-

80°=100°,：.AD^CD=50a,：.ZCAD=25a.故答案為：25°.

考點：圓周角定理.

18.（2017山東省威海市）如圖，/MBC為等邊三角形，AB=2.若P為△A8C內(nèi)一動點，且滿足

ACP,則線段PB長度的最小值為.

【答案］—,

3

【解析】

試題分析：是等邊三角形，.?.NzlBC=NB.4C=60°,/C=HB=2,,.?/加5=44cP,

ACP=60Q,.-.Z.4P01200,當(dāng)PB1.4C時，長度最小，設(shè)垂足為D,如圖所示：

此時R4=PC,貝ijAD=CD=-AC=1,ZPAC=ZACP=30°,ZABD=-Z.450300,/.

/3

P氏AD"on300=y—AD=—,5Z)=73-W=73,：.PB=BD-PD=43-.故答案為：—

333

考點：1.點與圓的位置關(guān)系；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.最值問題：4.圓周角定理；5.動點型.

19.（2017南京）如圖，四邊形A8CD是菱形，。0經(jīng)過點A、C、D,與8c相交于點E,連接AC、AE.若

ZD=78°,則NE4C=°.

B"-----飛

【答案】27.

【解析】

試題分析：,??四邊形A8CD是菱形，ZD=78°,：.ZACB=-ZDCB=-（180°-N。）=51°,；四邊形

22

4ECO是圓內(nèi)接四邊形，.,.NAEB=/O=78°,：.ZEAC=ZAEB-ZACE=2T>,故答案為：27.

考點：1.圓周角定理；2.菱形的性質(zhì).

20.（2017海南?。┤鐖D，AB是00的弦，AB=5,點C是。。上的一個動點，且NACB=45°,若點、M、N

分別是AB、AC的中點，則MN長的最大值是—.

【答案目

【解析】

試題分析：如圖，???點”，N分別是."，的中點，.FggBC,.?.當(dāng)5c取得最大值時，MV就取得

最大值，當(dāng)BC是直徑時，BC最大,連接5。并延長交。。于點C',連接.4C'，?:BC'是。。的直徑,

：*4BAC,=90°.?/4C5=45°,AB=S,5=45°,：.BC=-”-=3=5萬，：.MN田

sin45sV2

T

當(dāng)故答案為專

考點：1.三角形中位線定理；2.圓周角定理；3.最值問題.

21.（2017湖北省十堰市）如圖，入48。內(nèi)接于00,NACB=90°,NACB的角平分線交。。于D若AC=6,

BD=5立,則BC的長為

【答案】8.

【解析】

試題分析：連接84，；NAC8=90°,是。。的直徑.；NACB的角平分線交。。于。，；.NACZ>

ZBCD=45°,:.AD=BD=5立.是。。的直徑，二△48。是等腰直角三角形，:.AB=JAD?+BD。

-J(5⑸+(5近＞=10.-：AC=6,：.BC-yjAB2-AC27102-62-8.故答案為：8.

c

■w

D

考點：1.圓周角定理；2.勾股定理.

22.（2017四川省廣元市）已知。。的半徑為10,弦AB〃CD,AB=12,CD=[6,貝I]A8和CQ的距離為.

【答案】14或2.

【解析】

試題分析：分兩種情況：

①當(dāng)AB、CD在圓口O的兩側(cè)時，如圖1,過。作OE1CD于E,延長EO將.45于尸，連接OD、OB,?:

ABHCD,：.EFlAB：.ED=-CD,BF=-.4B,\\4B=12,CD=16,.\￡￡）=-X16=8,BF=-X12=6,由

f2222

222222

勾股定理得：OE=J。。?-ED'=也0-8=6,OF=y/OB-BF=V10-6=8,：.EF=OE+OF=6+S=14}

②當(dāng)48、CD在圓心。的同側(cè)時，如圖2,同理得：E4OF-OE=8-6=2.

考點：1.垂徑定理；2.平行線之間的距離；3.分類討論.

23.（2017四川省眉山市）如圖,48是。O的弦，半徑OC_LAB于點。，且AB=8CH,0c=2c7〃，則OC=,

【答案】5.

【解析】

試題分析：連接。4,「OCl48,.?空氏!兒5=枇加，設(shè)。。的半徑為五，由勾股定理得，。4七0+四,

...次=42+（及-2）2,解得五=5,二。05sl.故答案為:5.

C

考點：1.垂徑定理：2.勾股定理.

24.（2017浙江省嘉興市）如圖，小明自制一塊乒乓球拍，正面是半徑為8c7〃的。。，AB=90°,弓形

ACB（陰影部分）粘貼膠皮，則膠皮面積為.

【答案】32+48n.

【解析】

試題分析：連接。A、OB,,：AB=90°,：.ZAOB=90°,ASAXOB=-X8X8=32,扇形AC8（陰影部分）

2

27（）口x8?

=----------------=48”,則弓形AC8膠皮面積為（32+48"）cnT,故答案為：（32+48”）cm2.

考點：1.垂徑定理的應(yīng)用；2.扇形面積的計算.

25.（2017湖北省襄陽市）在半徑為1的。O中，弦AB,AC的長分別為1和JL則/84C的度數(shù)

為

【答案】15°或105°.

【解析】

i心0

試題分析：分別作。。1巨3,OE1AC,垂足分別是D.E.-：OE1AC,OD1AB,：..4E=------9

22

AD=—AB=—,.'.sinZAOE=:^-=--,sinA-4OI>=^^-=—,.'.Z^4OE=45°,zS4OD=30°,.'.ZJBAO=60o,

22AO2AO2

ZCAO=90°-45°=45°,：.ZBAC=45°+60°=105°,或NA4C'=600-45°=15°,：.ZBAC=150或

105°.故答案為：15°或105°.

考點：I.垂徑定理；2.解直角三角形；3.分類討論.

26.（2017貴州省遵義市）如圖，A8是。。的直徑，AB=4,點M是OA的中點，過點例的直線與。。交于

C,￡＞兩點.若NCMA=45°,則弦CO的長為.

【答案】V14.

【解析】

試題分析：連接。。，作OE1CD于E,如圖所示：

則CE=DE,-：AB是。。的直徑，.45=4,點5/是OA的中點，.?.02X04=2,O.V=1,'：Z.OS/E=ACM4=45°,

J2J2

「.△OEM是等腰直角三角形，.?。￡'=一。廿三，在MODE中，由勾股定理得:

坐―舊；故答案為：岳.

考點：1.垂徑定理；2.勾股定理；3.等腰直角三角形.

三、解答題

27.（2017四川省樂山市）如圖，以AB邊為直徑的。O經(jīng)過點P,C是。O上一點，連結(jié)PC交4B于點E,

且NACP=60°,PA=PD.

（1）試判斷PD與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若點C是弧AB的中點，已知AB=4,求C&CP的值.

【答案】（1）PO是。。的切線；（2）8.

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)OP,根據(jù)圓周角定理可得/AOP=2/ACP=120°,然后計算出/以。和/。的度數(shù)，

進而可得/OPD=90°,從而證明PD是。。的切線；

（2）連結(jié)8C,首先求出NCAB二NABC=NAPC45°,然后可得AC長，再證明△CAEsac%,進而可得

CF

—=—，然后可得CE?CP的值.

CPCA

試題解析：（1）如圖，是。。的切線.

證明如下：

連結(jié)OP,；NACP=60°,，NAOP=I20°,VOA=OP,，NOA尸=/。用=30°,,：PA^PD,：.ZPAO=Z

D=30°,：.ZOPD=90°,...PO是。。的切線.

（2）連結(jié)BC,是。。的直徑，...NACBMgO。，又；C為弧AB的中點，,NCAB=NABC=/A尸045°,

I-CACE

?.?AB=4,AOAbsi，745°=2“2.；NC=NC,ZCAB^ZAPC,：.^CAE^^CPA,：.一=一,ACP.CE=CA2=

CPCA

(2V2)2=8.

P

AD

考點：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.圓心角、弧、弦的關(guān)系；3.直線與圓的位置關(guān)系；4.探究型.

28.（2017四川省綿陽市）如圖，已知是圓。的直徑，弦垂足為“，與AC平行的圓。的一

條切線交。。的延長線于點M,交A3的延長線于點E,切點為F,連接AF交CZ）于點N.

（1）求證：CA-CN；

（2）連接OF,若cos/。以=1,AN=2M,求圓。的直徑的長度.

【答案】（1）證明見解析；（2）—.

3

【解析】

試題分析：（1）連接。尺根據(jù)切線的性質(zhì)結(jié)合四邊形內(nèi)角和為360°,即可得出NM+NFCW=180°,由三

角形外角結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得出/M=/L2N0A凡再通過互余利用角的計算即可得出NCAN=90°-

ZOAF=ZANC,由此即可證出CA=CN；

（2）連接OC,由圓周角定理結(jié)合=ANCA,即可求出C”、A4的長度，設(shè)圓的半徑為廣,

則O”=r-6,根據(jù)勾股定理即可得出關(guān)于r的一元一次方程，解之即可得出r,再乘以2即可求出圓。直徑

的長度.

試題解析：（1）證明：連接。凡則/O4F=/?；?，如圖所示.

與00相切，AOFVME.'.'CDLAB,；.NM+NF0H=180°.

；NBOF=NOAF+NOFA=2NOAF,ZFOH+ZBOF=\SOa,：.ZM=2ZOAF.

'：ME//AC,：.ZM=ZC=2Z0AF.

CDLAB,：.ZANC+ZOAF=ZBAC+ZC=90°,/.ZAJVC=90°-AOAF,N8AC=90°-ZC=90°-2Z

OAF,：.ZCAN=ZOAF+ZBAC=90Q-NOAF=NANC,：.CA=CN.

(2)連接0C,如圖2所示.

4CH4”

'：cosZDFA=-,ZDFA=ZACH,：.——=—.設(shè)CH=4a,則AC=5a,AH=3a,'：CA=CN,：.NH=a,：.

5AC5

AN=VAH2+NH2-yl(3a)2+a2=V10a=25/10,；.a=2,AH=3a=6,CW=4?=8.

設(shè)圓的半徑為r,則OH=”6,在RdOCH中，OC=r,CH=8,OH=r-6,：.OC2=CH2+OH2,r2=82+(r-6)

2,解得：尸竺，，圓。的直徑的長度為2尸型.

33

29.（2017北京市）如圖，A8是。。的一條弦，E是AB的中點，過點￡作ECLOA于點C,過點B作。O

的切線交CE的延長線于點D.

（1）求證：DB=DE；

（2）若AB=12,BD=5,求。O的半徑.

【答案】（1）證明見解析；（2）—.

2

【解析】

試題分析：（1）欲證明只要證明號

JF4

（2）作D尸1/5于尸，連接OE.只要證明41OE=NDEF,可得5加加/4OE=——=一，由此求

AO5

出.4E即可解決問題.

試題解析：（1）證明：（40=08,.,.NOQNO&4,是切線，二OB_LB￡>,二/。8￡）=90°,，/0跖+

ZEBD=90°,'：ECLOA,：.ZCAE+ZCEA=90<,,:NCEA=NDEB,:.NEBD=NBED,:.DB=DE.

(2)作OFJ_A3于尸，連接OE.

'：DB=DE,AE=EB=6,：.EF=-8E=3,OE±AB,在RfAEDF中,DE=BD=5,EF=3,：.DF=y]52-32=4,

2

。o4

?.,NAOE+NA=90°,NDEF+NA=90°,；.NAOE=NDEF,：.sinZDEF=sinZAOE=——=一，'：AE=6,

AO5

."。=”，，。0的半徑為”.

22

考點：1.切線的性質(zhì)；2.勾股定理；3.垂徑定理.

30.（2017廣東?。┤鐖D，AB是。。的直徑，AB=4g,點E為線段08上一點（不與0,B重合），作CE

-LOB,交。。于點C,垂足為點E,作直徑CD,過點C的切線交力8的延長線于點P,AFLPC于點凡

連接CB.

（1）求證：C8是NECP的平分線；

（2）求證：CF=CE；

（3）當(dāng)空=」時，求劣弧的長度（結(jié)果保留貝）

CP4

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）巫冗.

3

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)等角的余角相等證明即可；

(2)欲證明6CE,只要證明ZUC&AJCE即可；

(3)作3Mlp尸于M.則CE=C^CF,設(shè)CE=C-a>PC=4a,P—,利用相似三角形的性質(zhì)求出

BM,求出rw/BCW的值即可解決問題；

試題解析：(1)證明：：OC=OB,.,.N0C8=/0BC,：PF是O。的切線，CE1AB,：.ZOCP=ZCEB=90Q,

：.ZPCB+ZOCB=W',NBCE+NOBC=90°,:.NBCE=/BCP,：.BCZPCE.

(2)證明：連接AC.

是直徑，.*.NACBu，)。，.?.N8CP+N4CF=90°,NACE+NBCE=9Q°，?:NBCP=NBCE,：.NACF=

NACE,尸NAEC=90°,AOAC,；.△ACF也△ACE,CF=CE.

(3)解：作8MLp尸于M.則CE=CM=C尸，設(shè)CE=CM=CF=4a,PC=4a,PM=a,

BMCM2,r-BM6。

——=——，：.BM-=CM'PM^3a2,；.8M=j3“，：.f刖NBCM=——=—,：.ZBCM=30°,：.NOCB二

PMBMCM3

。c-,60萬x2百26

ZOBC=ZBOC=60°,；.BC的長二-------二一兀.

1803

考點：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.垂徑定理；3.切線的性質(zhì)；4.弧長的計算.

31.（2017湖南省株洲市）如圖示AB為。。的一條弦，點C為劣弧AB的中點，E為優(yōu)弧A3上一點，點尸

在AE的延長線上，且BE=EF,線段CE交弦A8于點D

①求證：CE//BF-,

②若BD=2,且E4：EB-.EC=3：1：、萬，求△8CC的面積（注：根據(jù)圓的對稱性可知OC_L4B）.

A

D

【答案】①證明見解析；②2.

【解析】

試題分析：①連接由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得出/后！乙的,由圓周角定理得

2

比/AEO/BEC,證出乙1EC=N尸，即可得出結(jié)論j

②證明△XMSZkCBE,得出衛(wèi)=:=,證明△CBEsACDS,得出些=匹，求出CB=245,得出

CB#CBCE

AD=6,.45=8,由垂徑定理得出0C_U3,AG=BG=-AB=4,由勾股定理求出CG=-3G’=2,即可得

2

出的面積.

試題解析：①證明；連接AC,BE,作直線0C,如圖所示：

■:BE二EF,；.NF=NEBF.；NAEB=NEBF+NF,：.ZF=-ZAEB,：C是AB的中點，ACBC,：.

2

NAECNBEC,'：ZAEB=ZAEC+ZBEC,：.ZAEC^-ZAEB,：.ZAEC=ZF,：.CE//BF；

2

AOAEAD3

②解：VZDAE=ZDCB,ZAED=ZCEB,：.AAD￡^ACB￡,——=—,即——,?:NCBD=

CBCECB75

BDBE2i

NCEB,NBCD=NECB,：./\CBEs/\CDB,：.—?=—?,即一=—j=,：.CB=2y/5,：.AD=6,：.AB=S,

CBCECB百

?點C為劣弧AB的中點，OCLAB,AG=8Gh；A8=4,；.CG^>]CB2-BG2-2,；./XBCD的面積

11

二-BD?CG=-X2X2=2.

考點：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.垂徑定理.

[2016年題組】

一、選擇題

1.（2016內(nèi)蒙古赤峰市）如圖，。。的半徑為1,分別以。。的直徑AB上的兩個四等分點。”。2為圓心,

L為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積為（）

11

一乃C.-71D.2n

24

【答案】B.

【解析】

試題分析：^xl2xl=-^.故圖中陰影部分的面積為!萬

故選B.

222

考點：圓的認(rèn)識.

2.（2016山東省聊城市）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。0,F是CO上一點，且。尸=,連接CF并延

長交AO的延長線于點E,連接AC.若NABO105°,N8AC=25°,則NE的度數(shù)為（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

【答案】B.

【解析】

試題分析：，.,四邊形4BCD內(nèi)接于。。，Z.4501050,/.Z.4ZX>180°-445cM80°-105°=75；

\DF=BC,Z5.40250,：.ZDCE=ZBAO25°,：.NE=ZADC-/DCE=75°-25°=50°.古嬤B.

考點：1.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：2.圓心角、弧、弦的關(guān)系；3.圓周角定理.

3.（2016浙江省舟山市）把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開，圖中的虛線表示折痕，則

的度數(shù)是（）

D.165°

【答案】C.

【解析】

試題分析:如圖所示:連接BO,過點。作OEL4B于點E,由題意可得:EO=LBO,AB〃DC,可得/E8O=30°,

2

故N3O￡>=30°,則2800150°,故BC的度數(shù)是150°.故選C.

考點：1.圓心角、弧、弦的關(guān)系；2.翻折變換（折疊問題）.

4.（2016甘肅省蘭州市）如圖，在。O中，若點C是AB的中點，ZA=50°，則NBOC=（）

C.50D.60

【答案】A.

【解析】

試題分析：,.?//=50°,OA=OB,ZOBA=ZOAB=50°,/.Z.4OB=180°-50°-

1

50°=80°,?.?點C是AB的中點，。。過。，，。4=。5,-乙4。5=40°，故選A.

2

考點：圓心角、弧、弦的關(guān)系.

5.（2016湖南省永州市）對下列生活現(xiàn)象的解釋其數(shù)學(xué)原理運用錯誤的是（）

A.把一條彎曲的道路改成直道可以縮短路程是運用了“兩點之間線段最短”的原理

B.木匠師傅在刨平的木板上任選兩個點就能畫出一條筆直的墨線是運用了“直線外一點與直線上各點連接

的所有線段中，垂線段最短”的原理

C.將自行車的車架設(shè)計為三角形形狀是運用了“三角形的穩(wěn)定性”的原理

D.將車輪設(shè)計為圓形是運用了“圓的旋轉(zhuǎn)對稱性”的原理

【答案】B.

【解析】

試題分析：A.把一條彎曲的道路改成直道可以縮短路程是運用了“兩點之間線段最短”的原理，正確；

B.木匠師傅在刨平的木板上任選兩個點就能畫出一條筆直的墨線是運用了“兩點確定一條直線”的原理，

故錯誤；

C.將自行車的車架設(shè)計為三角形形狀是運用了“三角形的穩(wěn)定性”的原理，正確；

D.將車輪設(shè)計為圓形是運用了“圓的旋轉(zhuǎn)對稱性”的原理，正確.

故選B.

考點：1.圓的認(rèn)識；2.線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短：3.垂線段最短；4.三角形的穩(wěn)定性.

6.（2016內(nèi)蒙古巴彥淖爾市）如圖，線段4B是。。的直徑，弦NC4B=40°,則乙4BO與N4OD

分別等于（）

B.50°，100°C.50°,80°D.40°,100°

【答案】B.

【解析】

試題分析：’「CDlAS,...4￡O90°,'：ZC4B=40o,/.ZO50°,：.Z^4BD=ZO50Q,\'OB=OD,

:.乙IBD=4)DB=5O°，:.ZAOD=ZABI^/ODB=10Q°,故選B.

考點：1.圓周角定理；2.垂徑定理.

7.（2016陜西?。┤鐖D，。。的半徑為4,△ABC是。。的內(nèi)接三角形，連接。8、OC,若NABC和NBOC

互補，則弦BC的長度為（)

C.573D.673

【答案】B.

【解析】

試題分析：過點。作?！?gt;_L3C于O,則BC=28D,=△ABC內(nèi)接于。O,NBAC與28OC互補，

：.ZBOC=2ZA,ZB(?C+ZA=180°,AZBOC=120°,VOB=OC,：.ZOBC=ZOCB=-(1800-NBOC)

2

=30°,的半徑為4,.”"OBFOS/OBCMX立=2j§,；.BC=4百.故選B.

2

考點：1.垂徑定理；2.圓周角定理：3.解直角三角形.

8.（2016貴州省黔南州）如圖，AB是。。的直徑，弦CO_LA8于點E,ZCDB=30°,。。的半徑為5CTH,

則圓心。到弦CO的距離為（）

5

A.—cmB.3cmC.3A/3cmD.6cm

2

【答案】A.

【解析】

試題分析：連接CB.W4B是。。的直徑，弦CD1.4B于點號，圓^。到弦CD的距離為0E/：/C0B=2

NCD3（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半"NCD扉30。，，/（7。3=60。：在放△OCE中,。。=55b

5

u

OE=OCcos/LCOB>：.OE=cm.故選A.

2

考點：垂徑定理.

9.（2016黑龍江省牡丹江市）如圖，在半徑為5的。。中，弦AB=6,OPLAB,垂足為點尸，則OP的長

為（）

A.3B.2.5C.