因子分析課件因素分析詳解第一頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日一、案例引讀二、基本原理三、歷史淵源四、分析步驟目錄五、案例詳解第二頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日一、案例引讀二、基本原理三、歷史淵源四、分析步驟五、案例詳解因素分析我要定制衣服身高袖長(zhǎng)胸圍腰圍肩寬肩厚顏色我們廠要批量制作衣服SML長(zhǎng)度胖瘦……指標(biāo)一指標(biāo)三指標(biāo)二第三頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日一、案例引讀因素分析身高袖長(zhǎng)胸圍腰圍肩寬肩厚顏色……降維第一主成分第二主成分第三主成分將錯(cuò)綜復(fù)雜的原變量歸結(jié)為少數(shù)幾個(gè)主成分主成分分析二、基本原理三、歷史淵源四、分析步驟五、案例詳解第四頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日主成分分析特點(diǎn)原始變量間相關(guān)性較大幾個(gè)主成分之間相互獨(dú)立主成分信息由大到小身高肩寬袖長(zhǎng)132原始變量數(shù)與主成分?jǐn)?shù)相等5色5變量5色5主成分一、案例引讀因素分析二、基本原理三、歷史淵源四、分析步驟五、案例詳解第五頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日一、案例引讀二、基本原理因素分析

因素分析（FactorAnalysis)就是將錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)測(cè)變量歸結(jié)為少數(shù)幾個(gè)因子的多元統(tǒng)計(jì)分析方法。其目的是揭示變量之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)維數(shù)，便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律或本質(zhì)。

因素分析的基本原理是根據(jù)相關(guān)性大小把變量分組，使得同組變量之間的相關(guān)性較高，不同組變量之間相關(guān)性較低。每組變量代表一個(gè)基本結(jié)構(gòu)，這個(gè)結(jié)構(gòu)用公共因子來(lái)進(jìn)行解釋。三、歷史淵源四、分析步驟五、案例詳解第六頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日一、案例引讀二、基本原理因素分析

因子負(fù)荷量是指因素結(jié)構(gòu)中原始實(shí)測(cè)變量與因素分析時(shí)抽取出共同因素的相關(guān)程度。在因素分析中，用兩個(gè)重要指標(biāo)“共同度”和“特殊因子”描述。

特征值是每個(gè)變量在某一共同因素之因素負(fù)荷量的平方總和（一直行所有因素負(fù)荷量的平方和）。方差貢獻(xiàn)率----指公共因子對(duì)實(shí)測(cè)變量的貢獻(xiàn)，又稱(chēng)變異量。

共同度是每個(gè)變量在每個(gè)共同因素之負(fù)荷量的平方總和（一橫列中所有因素負(fù)荷量的平方和）。從共同性的大小可以判斷這個(gè)原始實(shí)測(cè)變量與共同因素間之關(guān)系程度。三、歷史淵源四、分析步驟五、案例詳解第七頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日二、基本原理三、歷史淵源一、案例引讀CharlesSpearman1904年對(duì)智力測(cè)驗(yàn)得分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析古典語(yǔ)（C）法語(yǔ)（F）英語(yǔ)（E）音樂(lè)（Mu）數(shù)學(xué)（M）判別（D）R因素分析四、分析步驟五、案例詳解第八頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日二、基本原理三、歷史淵源一、案例引讀古典語(yǔ)（C）法語(yǔ)（F）英語(yǔ)（E）音樂(lè)（Mu）數(shù)學(xué)（M）判別（D）R4個(gè)假設(shè)：已知21xi=aiF+ei因素分析四、分析步驟五、案例詳解第九頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日二、基本原理三、歷史淵源一、案例引讀x1=a11F1+a12F2+…+a1mFm+a1?1x2=a21F1+a22F2+…+a2mFm+a2?2……xp=ap1F1+ap2F2+…+apmFm+ap?p

因素分析把每個(gè)原始變量分解成兩部分：一部分由所有變量共同具有的少數(shù)幾個(gè)因子構(gòu)成，即所謂公共因素部分；另一部分是每個(gè)變量獨(dú)自具有的因素，即所謂獨(dú)特因子部分。其中，F(xiàn)1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m叫做公共因子，它們是在各個(gè)變量中共同出現(xiàn)的因子。?i（i=1,2，…，p）表示影響xi的獨(dú)特因子，指原有變量不能被因子變量所解釋的部分，相當(dāng)于回歸分析中的殘差部分。aij叫做因子負(fù)荷（載荷），它是第i個(gè)變量在第j個(gè)主因子上的負(fù)荷，它反映了第i個(gè)變量在第j個(gè)主因素的相對(duì)重要性。xp

為第p個(gè)變量的標(biāo)準(zhǔn)化分?jǐn)?shù)；m為所有變量共同因素的數(shù)目；F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m彼此獨(dú)立（轉(zhuǎn)軸方法問(wèn)題）數(shù)學(xué)模型因素分析四、分析步驟五、案例詳解第十頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日四、分析步驟樣本的優(yōu)劣因子得分xi=aiF+ei因子負(fù)荷主成分法因子旋轉(zhuǎn)F→F’便于解釋因素分析二、基本原理一、案例引讀五、案例詳解三、歷史淵源第十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日四、分析步驟因素分析二、基本原理一、案例引讀五、案例詳解三、歷史淵源因子負(fù)荷主成分法因子旋轉(zhuǎn)F→F’利用主成分分析把前幾個(gè)主成分作為未旋轉(zhuǎn)的公共因子。F’=DF共同度不變每個(gè)因子的貢獻(xiàn)度變化因子載荷矩陣變化第十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日四、分析步驟因素分析二、基本原理一、案例引讀五、案例詳解三、歷史淵源因子旋轉(zhuǎn)F’=DF保持F’間相互獨(dú)立斜交旋轉(zhuǎn)正交旋轉(zhuǎn)不是很容易解釋因子放棄F’間相互獨(dú)立容易解釋因子第十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日五、案例詳解二、基本原理一、案例引讀五、分析步驟三、歷史淵源案例一案例二詳見(jiàn)《問(wèn)卷統(tǒng)計(jì)與分析實(shí)務(wù)》吳明隆著；因素分析章節(jié)北京中等職業(yè)教育發(fā)展水平分析第十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)北京18個(gè)區(qū)縣中等職業(yè)教育發(fā)展水平的9個(gè)指標(biāo)進(jìn)行因子分析，然后進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。x1：每萬(wàn)人中等職業(yè)教育在校生數(shù)

x2：每萬(wàn)人中等職業(yè)教育招生數(shù)

x3：每萬(wàn)人中等職業(yè)教育畢業(yè)生數(shù)

x4：每萬(wàn)人中等職業(yè)教育專(zhuān)任教師數(shù)

x5：本科以上學(xué)校教師占專(zhuān)任教師的比例

x6：高級(jí)教師占專(zhuān)任教師的比例

x7：學(xué)校平均在校生人數(shù)

x8：國(guó)家財(cái)政預(yù)算中等職業(yè)教育經(jīng)費(fèi)占國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的比例

x9：生均教育經(jīng)費(fèi)案例1第十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日（1）選擇“Analyze（分析）——DataReduction（數(shù)據(jù)縮減）——Factor（因子）…”命令，彈出“FactorAnalyze（因子分析）”對(duì)話(huà)框，將變量“x1”到“x9”選入“Variables（變量）”框中。圖1-1FactorAnalyze對(duì)話(huà)框案例1描述性統(tǒng)計(jì)量分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)軸法萃取選項(xiàng)操作過(guò)程第十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日案例1（2）設(shè)置描述性統(tǒng)計(jì)量：?jiǎn)螕魣D1-1對(duì)話(huà)框中的“Descriptives…”按鈕，彈出“FactorAnalyze:Descriptives”（因素分析：描述性統(tǒng)計(jì)量）對(duì)話(huà)框。單變量描述性統(tǒng)計(jì)量未轉(zhuǎn)軸之統(tǒng)計(jì)量系數(shù)

倒數(shù)模式顯著水平重制的行列式反映像KMO與Bartlett球形檢驗(yàn)①“Statistics”（統(tǒng)計(jì)量）對(duì)話(huà)框

A“Univariatedescriptives”（單變量描述性統(tǒng)計(jì)量）：顯示每一題項(xiàng)的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差。B“Initialsolution”（未轉(zhuǎn)軸之統(tǒng)計(jì)量）：顯示因素分析未轉(zhuǎn)軸前之共同性、特征值、變異數(shù)百分比及累積百分比。②“CorrelationMatric”（相關(guān)矩陣）選項(xiàng)框A“Coefficients”（系數(shù)）：顯示題項(xiàng)的相關(guān)矩陣B“Significancelevels”（顯著水準(zhǔn)）：求出前述相關(guān)矩陣地顯著水準(zhǔn)。C“Determinant”（行列式）：求出前述相關(guān)矩陣地行列式值。D“KMOandBartlett’stestofsphericity”（KMO與Bartlett的球形檢定）：顯示KMO抽樣適當(dāng)性參數(shù)與Bartlett’s的球形檢定。E“Inverse”（倒數(shù)模式）：求相關(guān)矩陣的反矩陣。F“Reproduced”（重制的）：顯示重制相關(guān)矩陣，上三角形矩陣代表殘差值；而主對(duì)角線及下三角形代表相關(guān)系數(shù)。G“Anti-image”（反映像）：求出反映像的共變量及相關(guān)矩陣。圖1-2FactorAnalyze：Descriptives對(duì)話(huà)框操作過(guò)程第十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日案例1（3）設(shè)置對(duì)因素的抽取選項(xiàng)：?jiǎn)螕魣D1-1對(duì)話(huà)框中的“Extraction…”按鈕，彈出“FactorAnalyze:Extraction”（因素分析：萃?。?duì)話(huà)框。①“Method”（方法）選項(xiàng)框：下拉式選項(xiàng)內(nèi)有其中抽取因素的方法：

A“Principalcomponents”法：主成份分析法抽取因素，此為SPSS默認(rèn)方法。

B“Unweightedleastsquares”法：未加權(quán)最小平方法。

C“Generalizedleastsquare”法：一般化最小平方法。

D“Maximumlikelihood”法：最大概似法。

E“Principal-axisfactoring”法：主軸法。

F“Alphafactoring”法：α因素抽取法。

G“Imagefactoring”法：映像因素抽取法。②“Analyze”（分析）選項(xiàng)框

A“Correlationmatrix”（相關(guān)矩陣）：以相關(guān)矩陣來(lái)抽取因素。B“Covariancematrix”（共變異數(shù)矩陣）：以共變量矩陣來(lái)抽取因素。③“Display”（顯示）選項(xiàng)框A“Unrotatedfactorsolution”（未旋轉(zhuǎn)因子解）：顯示未轉(zhuǎn)軸時(shí)因素負(fù)荷量、特征值及共同性。B“Screeplot”（陡坡圖）：陡坡圖。④“Extract”（抽?。┻x項(xiàng)框

A“Eigenvaluesover”（特征值）：后面的空格默認(rèn)為1，表示因素抽取時(shí)，只抽取特征值大于1者，使用者可隨意輸入0至變量總數(shù)之間的值。

B“Numberoffactors”（因子個(gè)數(shù)）：選取此項(xiàng)時(shí)，后面的空格內(nèi)輸入限定的因素個(gè)數(shù)。

相關(guān)矩陣共變異數(shù)矩陣未旋轉(zhuǎn)因子解陡坡圖特征值因子個(gè)數(shù)圖1-3FactorAnalyze：Extraction對(duì)話(huà)框操作過(guò)程第十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日案例1（4）設(shè)置因素轉(zhuǎn)軸：?jiǎn)螕魣D1-1對(duì)話(huà)框中的“Rotation…”按鈕，彈出“FactorAnalyze:Rotation”（因素分析：旋轉(zhuǎn)）對(duì)話(huà)框。②“Display”（顯示）選項(xiàng)框：

A“Rotatedsolution”（轉(zhuǎn)軸后的解）：顯示轉(zhuǎn)軸后的相關(guān)信息，正交轉(zhuǎn)軸顯示因素組型矩陣及因素轉(zhuǎn)換矩陣；斜交轉(zhuǎn)軸則顯示因素組型、因素結(jié)構(gòu)矩陣與因素相關(guān)矩陣。

B“Loadingplots”（因子負(fù)荷量）：繪出因素的散步圖。③“MaximumIterationsforConvergence”：（收斂最大迭代）：轉(zhuǎn)軸時(shí)執(zhí)行的迭代最多次數(shù)，后面默認(rèn)數(shù)字為25，表示算法執(zhí)行轉(zhuǎn)軸時(shí)，執(zhí)行步驟的次數(shù)上限。①“Method”（方法）選項(xiàng)方框內(nèi)六種因素轉(zhuǎn)軸方法：

A“None”：不需要轉(zhuǎn)軸。

B“Varimax”：最大變異法。

C“Quartimax”：四次方最大值法。

D“Equamax”：相等最大值法。

E“DirectOblimin”：直接斜交轉(zhuǎn)軸法。

F“Promax”：Promax轉(zhuǎn)軸法。正交旋轉(zhuǎn)斜交旋轉(zhuǎn)不轉(zhuǎn)軸最大變異法四次方最大值法相等最大值法直接斜交轉(zhuǎn)軸法Promax轉(zhuǎn)軸法轉(zhuǎn)軸后的解因子負(fù)荷量收斂最大迭代圖1-4FactorAnalyze：Rotation對(duì)話(huà)框操作過(guò)程第十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日案例1（5）設(shè)置因素分?jǐn)?shù)：?jiǎn)螕魣D1-1對(duì)話(huà)框中的“Scores…”按鈕，彈出“FactorAnalyze:Scores”（因素分析：因素分?jǐn)?shù)）對(duì)話(huà)框。①“Saveasvariable”（因素存儲(chǔ)變量）選項(xiàng)框：

勾選時(shí)可將新建立的因素分?jǐn)?shù)存儲(chǔ)至數(shù)據(jù)文件中，并產(chǎn)生新的變量名稱(chēng)（默認(rèn)為fact_1、fact_2、fact_3、fact_4等）。在“Method”（方法）框中表示計(jì)算因素分?jǐn)?shù)的方法有三種：

A“Regression”：使用回歸法。

B“Bartlett”：使用Bartlette法。

C“Anderson-Robin”：使用Anderson-Robin法。

②“Displayfactorcoefficientmatrix”（顯示因素分?jǐn)?shù)系數(shù)矩陣）選項(xiàng)：

勾選時(shí)可顯示因素分?jǐn)?shù)系數(shù)矩陣。因素存儲(chǔ)變量方法使用回歸法使用Bartlette法使用Anderson-Robin法顯示因素分?jǐn)?shù)系數(shù)矩陣圖1-5FactorAnalyze：Scores對(duì)話(huà)框操作過(guò)程第二十頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日案例1（6）設(shè)置因素分析的選項(xiàng)：?jiǎn)螕魣D1-1對(duì)話(huà)框中的“Options…”按鈕，彈出“FactorAnalyze:Options”（因素分析：選項(xiàng)）對(duì)話(huà)框。①“MissingValues”（缺失值）選項(xiàng)框：缺失值的處理方式。

A“Excludecaseslistwise”（完全排除缺失值）：觀察值在所有變量中沒(méi)有缺失值后才加以分析。

B“Excludecasespairwise”（成對(duì)排除觀察值）：在成對(duì)相關(guān)分析中出現(xiàn)缺失值的觀察值舍棄。C“Replacewithmean”（用平均數(shù)置換）：以變量平均值取代缺失值。②“CoefficientDisplayFormat”（系數(shù)顯示格式）選項(xiàng)框：因素負(fù)荷量出現(xiàn)的格式。

A“Sortedbysize”（依據(jù)因素負(fù)荷量排序）：根據(jù)每一因素層面的因素負(fù)荷量的大小排序。B“Suppressabsolutevalueslessthan”（絕對(duì)值舍棄的下限）：因素負(fù)荷量小于后面數(shù)字者不被顯示，默認(rèn)的值為0.1。圖1-6FactorAnalyze：Options對(duì)話(huà)框操作過(guò)程完全排除缺失值用平均數(shù)置換依據(jù)因素負(fù)荷量排序絕對(duì)值舍棄的下限成對(duì)排除觀察值第二十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日SPSS正在吭哧吭哧地為我們計(jì)算結(jié)果，請(qǐng)大家耐心等待哦！案例1（7）設(shè)置完所有的選項(xiàng)后，單擊“OK”按鈕，輸出結(jié)果。經(jīng)過(guò)千辛萬(wàn)苦的努力，我們終于可以看到結(jié)果數(shù)據(jù)了，大家有沒(méi)有很興奮呢？第二十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日案例1結(jié)果分析（1）相關(guān)系數(shù)矩陣及其檢驗(yàn)結(jié)果相關(guān)矩陣表1-7相關(guān)系數(shù)矩陣及其檢驗(yàn)結(jié)果

表1-7是原有變量的相關(guān)系數(shù)矩陣及其檢驗(yàn)?？梢钥吹?，大部分的相關(guān)系數(shù)都較高，各變量呈較強(qiáng)的線性關(guān)系，能夠從中提取公共因子，初步判定適合進(jìn)行因素分析。第二十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)果分析案例1KMO是Kaiser-Meyer-Olkin的取樣適當(dāng)性量數(shù)，用于比較變量間簡(jiǎn)單相關(guān)和偏相關(guān)系數(shù)。

KMO的取值范圍在0-1之間。當(dāng)KMO值越大時(shí)，表示變量間的共同因素越多，越適合進(jìn)行因素分析。

Kaiser（1974）給出一個(gè)KMO的選取適合做因子分析的標(biāo)準(zhǔn)：KMO>0.9非常適合0.8<KMO<0.9適合0.7<KMO<0.8一般0.6<KMO<0.7不太適合0.5<KMO<0.6不適合KMO<0.5非常不適合進(jìn)行因素分析的普通準(zhǔn)則至少要在0.6以上此處的KMO值為0.762，表示適合因素分析。KMO取樣適切性量數(shù)Bartlett球形檢驗(yàn)近似卡方分布自由度顯著性Bartlett’s球形檢驗(yàn)是以變量的相關(guān)系數(shù)矩陣為出發(fā)點(diǎn)，零假設(shè)相關(guān)矩陣是一個(gè)單位陣。（即sig.值小于0.05時(shí)，適合做因子分析。）此題中，Bartlett’s球形檢驗(yàn)的2值為131.281，自由度為36，sig.值為0.000，達(dá)到顯著，適合進(jìn)行因素分析。表1-8KMO及Bartlett檢驗(yàn)結(jié)果（2）KMO及Bartlett檢驗(yàn)結(jié)果具體標(biāo)準(zhǔn)第二十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)果分析案例1（3）共同性表1-9因素間共同性結(jié)果共同性初始萃取萃取法：主成分分析法

表1-3為每個(gè)變量的初始共同性以及主成分分析法抽取主成分后的共同性。共同性越低，表示該變量不適合投入主成分分析中；共同性越高，表示該變量與其他變量可測(cè)量的共同特質(zhì)越多，即該變量越有影響力。采用主成分分析法抽取共同因素時(shí)，初步的共同性估計(jì)值均為1。

此題中，所有變量的共同性均較高，各個(gè)變量信息丟失較少。因此本次因子提取的總體效果較理想。

我們所選的3個(gè)主成分反映了x1（在校生數(shù)）的信息程度。X1的共同度第二十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)果分析案例1（4）解釋總變異量表1-10解釋總變異量

表1-10分三大部分，①初始特征值（初步抽取共同因素的結(jié)果）。Total（總和）直列的數(shù)字為每一因子的特征值，特征值越大表示因子在解釋9個(gè)變量的變異量時(shí)越重要；第二直列“%ofVariance”（方差的%）為每一個(gè)抽取因素可解釋變量的百分比；第三直列“Cumulative%”（累計(jì)%）為解釋變量的變異量的累計(jì)百分比。②平方和負(fù)荷量萃取（轉(zhuǎn)軸前的特征值、解釋變異量和累計(jì)解釋變異量）將左邊9個(gè)成份中抽取3個(gè)特征值最大的列于右邊。

③轉(zhuǎn)軸平方和負(fù)荷量（轉(zhuǎn)軸后的特征值、解釋變異量及累計(jì)解釋變異量）。解釋總變異量初始特征值平方和負(fù)荷量萃取轉(zhuǎn)軸平方和負(fù)荷量累計(jì)%方差的%總和成分萃取法：主成分分析法②③①

第一個(gè)因子的特征值為4.987，解釋原有9個(gè)變量總方差的55.415%（4.9879100%），累計(jì)方差貢獻(xiàn)率55.275%；其余數(shù)據(jù)含義類(lèi)似。由于特征值是由大到小排列，所以第一個(gè)因子的解釋變異量通常是最大者，它解釋了總變異量的55.415%，其次是第二個(gè)1.868，再是第三個(gè)0.740。指定提取三個(gè)因子后，三個(gè)因子共解釋了原有變量總方差的84.390%?？傮w上，三個(gè)因子反映了原有變量的大部分信息，因子分析效果理想。

轉(zhuǎn)軸前三個(gè)因子的特征值分別為4.987，1.868，0.740，特征值總和為7.595；轉(zhuǎn)軸后為3.709，2.085，1.202，特征值總和為6.996。???

轉(zhuǎn)軸后，個(gè)別因子的特征值會(huì)改變，但所有因子的總特征值不變，轉(zhuǎn)軸后三個(gè)因子的特征值間差異較小。轉(zhuǎn)軸后四個(gè)因子可以解釋的總變異量不變，仍然是84.390。第二十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日特征值碎石圖因子數(shù)目結(jié)果分析案例1（5）碎石圖圖1-11因素間共同性結(jié)果

碎石圖（陡坡圖）檢驗(yàn)的判斷準(zhǔn)則是取坡線突然劇升的因素，刪除坡線平坦的因素。圖1-11中我們可以看出，第三個(gè)因素以后，坡線甚為平坦，因而保留2個(gè)因素較為適宜。此題中我們保留了3個(gè)因子，其實(shí)第3個(gè)因子似乎可以刪除。

第二十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日成分矩陣（a）成分轉(zhuǎn)軸后的成分矩陣（a）成分結(jié)果分析案例1（5）成分矩陣表1-12成分矩陣表1-13轉(zhuǎn)軸后的成分矩陣

表1-12顯示了因子負(fù)荷矩陣，是因子分析的核心內(nèi)容?？梢钥闯觯?個(gè)變量在第1個(gè)因子上的負(fù)荷都很高，意味著它們與第1個(gè)因子的相關(guān)程度高，其余2個(gè)因子與9個(gè)變量的相關(guān)性較小。另外還可以看到，這三個(gè)因子的實(shí)際含義比較模糊。

表1-12顯示了旋轉(zhuǎn)后的成分矩陣。招生數(shù)、在校生數(shù)、畢業(yè)生數(shù)、專(zhuān)任教師數(shù)和經(jīng)費(fèi)比例4個(gè)變量在第1個(gè)因子上有較高的負(fù)荷，第1個(gè)因子主要解釋這4個(gè)變量，其意義代表中等職業(yè)教育的相對(duì)規(guī)模大小，可解釋為發(fā)展規(guī)模；生均教育經(jīng)費(fèi)、高級(jí)教師比例、本科教師比例3個(gè)變量在第2個(gè)因子上有較高的負(fù)荷，第2個(gè)因子主要解釋這3個(gè)變量，其意義代表中等職業(yè)教育的辦學(xué)條件（師資、經(jīng)費(fèi)），可解釋為辦學(xué)條件；第3個(gè)因子主要解釋學(xué)校平均在校生人數(shù)這個(gè)原有變量，其意義可表示中等職業(yè)教育的學(xué)校規(guī)模，可解釋為學(xué)校規(guī)模效益。與轉(zhuǎn)軸前相比，因子含義較為清晰。每變量在三個(gè)因子上的相關(guān)系數(shù)。第二十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日成分矩陣（a）成分轉(zhuǎn)軸后的成分矩陣（a）成分結(jié)果分析案例1（5）成分矩陣表1-12成分矩陣表1-13轉(zhuǎn)軸后的成分矩陣

轉(zhuǎn)軸的目的在于獲得簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)（simplestructure），使一個(gè)共同因素很清楚的被一組變量數(shù)所界定，使每一個(gè)變量能歸屬于一個(gè)明確的主因素（homefactor）（Spicer，2005）。

因素負(fù)荷量的選取標(biāo)準(zhǔn)一般以0.4來(lái)檢驗(yàn)。（即3個(gè)因素負(fù)荷量中只能有一個(gè)的絕對(duì)值大于0.4。）“經(jīng)費(fèi)比例”這一變量與共同因素二的因素負(fù)荷量為0.586，表示該變量雖然歸屬于共同因素一，但其與共同因素二仍有很密切的關(guān)聯(lián)。“本科教師比例”這一變量也類(lèi)似。這種結(jié)果顯示，以直交轉(zhuǎn)軸的最大變異法來(lái)進(jìn)行因素轉(zhuǎn)軸，并未完全符合簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)的要求。

第二十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日轉(zhuǎn)軸后的成分矩陣（a）成分結(jié)果分析案例1（5）成分矩陣表1-13轉(zhuǎn)軸后的成分矩陣

根據(jù)該表可以寫(xiě)出本例的因子分析模型：招生數(shù)=0.937F1+0.142F2+0.202F3在校生數(shù)=0.909F1+0.328F2+0.205F3……平均人數(shù)=0.151F1+0.331F2+0.811F30.9372+0.1422+0.2022=0.976共同性為每個(gè)變量在各主成分上的負(fù)荷量的平方和。第三十頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)果分析案例1（6）因素轉(zhuǎn)換矩陣表1-14成分轉(zhuǎn)換矩陣

表1-14為因素轉(zhuǎn)換矩陣，利用轉(zhuǎn)軸前的因素矩陣乘以此處的因素轉(zhuǎn)換矩陣可得轉(zhuǎn)軸后的因素矩陣。第三十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)果分析案例1成分2轉(zhuǎn)軸后空間中的成分圖成分1成分3圖1-15負(fù)荷散點(diǎn)圖

圖1-15為根據(jù)表1-13“轉(zhuǎn)軸后的成分矩陣”所繪出的負(fù)荷散點(diǎn)圖，這里為3個(gè)因子的三維因子負(fù)荷散點(diǎn)圖，以3個(gè)因子為坐標(biāo)，給出各原始變量在該坐標(biāo)中的負(fù)荷散點(diǎn)圖。（7）負(fù)荷散點(diǎn)圖第三十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)果分析案例1（8）因子得分矩陣表1-16因子得分矩陣

表1-16為因子得分矩陣，這是根據(jù)回歸算法計(jì)算出來(lái)的因子得分函數(shù)的系數(shù)，根據(jù)該表可以得到下面的因子得分函數(shù)。

F1=0.247在校生數(shù)+0.287招生數(shù)+0.275畢業(yè)生數(shù)+0.277專(zhuān)任教師數(shù)-0.081本科教師比例-0.111高級(jí)教師比例-0.031平均人數(shù)+0.124經(jīng)費(fèi)比例-0.090生均教育經(jīng)費(fèi)；

F2=-0.036在校生數(shù)-0.151招生數(shù)-0.196畢業(yè)生數(shù)+0.050專(zhuān)任教師數(shù)-0.239本科教師比例+0.405高級(jí)教師比例-0.141平均人數(shù)+0.228經(jīng)費(fèi)比例-0.489生均教育經(jīng)費(fèi)；

F3=在校生數(shù)+0.287招生數(shù)+0.275畢業(yè)生數(shù)+0.277專(zhuān)任教師數(shù)-0.081本科教師比例-0.111高級(jí)教師比例-0.031平均人數(shù)+0.124經(jīng)費(fèi)比例-0.090生均教育經(jīng)費(fèi)；

據(jù)這3個(gè)因子得分函數(shù)自動(dòng)計(jì)算18個(gè)樣本的3個(gè)因子得分，并且將3個(gè)因子得分作為新變量，保存在數(shù)據(jù)編輯窗口中（分別為fac_1、fac_2、fac_3，如圖1-17所示）。第三十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D1-17因子得分結(jié)果分析案例1（9）因子得分第三十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日表1-18因子的協(xié)方差矩陣結(jié)果分析案例1（9）因子的協(xié)方差矩陣

表1-18顯示了3個(gè)因子的協(xié)方差矩陣?？芍?，3個(gè)因子沒(méi)有線性相關(guān)性，實(shí)現(xiàn)了因子分析的設(shè)計(jì)目標(biāo)。第三十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D1-19綜合評(píng)價(jià)結(jié)果分析案例1（9）綜合評(píng)價(jià)

我們可根據(jù)上述分析結(jié)果對(duì)18個(gè)區(qū)縣的中等職業(yè)教育發(fā)展水平進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。首先，根據(jù)3個(gè)因子的方差貢獻(xiàn)率確定權(quán)重。由于3個(gè)因子在較大程度上反映了原變量的大部分信息，其累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)84.390%，因子可用因子的方差貢獻(xiàn)率作為綜合評(píng)價(jià)的權(quán)重，于是3個(gè)因子按各自的方差貢獻(xiàn)率加權(quán)相加為綜合評(píng)價(jià)得分，其計(jì)算公式為F=0.41F1+0.3F2+0.13F3，由綜合評(píng)價(jià)得分值的大小確定某一區(qū)縣中等職業(yè)教育發(fā)展的綜合水平。其次，根據(jù)F值的大小分類(lèi)。計(jì)算結(jié)果如圖1-19中的“綜合”列。根據(jù)F值的大小可分為如下幾類(lèi)：第一類(lèi)，綜合發(fā)展水平好（綜合≥0.5）：朝陽(yáng)、崇文、大興；第二類(lèi)，綜合發(fā)展水平一般