學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)校2020-2021學(xué)年高二10月月考數(shù)學(xué)（文）試題含解析哈師大青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020-2021學(xué)年度10月份考試高二學(xué)年數(shù)學(xué)（文)試題一?選擇題1.已知,，若,則()A.4 B.3 C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)及、的坐標(biāo)，應(yīng)用坐標(biāo)表示向量垂直即可求參數(shù)【詳解】由，,有解得故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，利用已知向量坐標(biāo)及垂直關(guān)系有求參數(shù)值2.在中,角所對(duì)的邊分別為，若，則（）A.2 B.3 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理求解即可?！驹斀狻坑烧叶ɡ砜芍?，則故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題。3.某簡(jiǎn)單幾何體的三視圖（俯視圖為等邊三角形)如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）為A。18 B. C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】判斷三視圖復(fù)原的幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可?！驹斀狻坑深}意可知幾何體是底面為正三角形的三棱柱，底面邊長(zhǎng)為2，高為3,所以幾何體的體積為,故選:C?！军c(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積，考查轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力．4.已知，且，則的最小值為（）A。8 B。9 C.6 D。7【答案】B【解析】【分析】由題意，根據(jù)，結(jié)合基本不等式，即可求出結(jié)果?！驹斀狻恳?yàn)?，?所以,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查由基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題型。5。如圖所示，三棱臺(tái)中，沿面截去三棱錐,則剩余部分是（)A。三棱錐 B.四棱錐 C。三棱臺(tái) D.四棱臺(tái)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)棱錐的定義和空間結(jié)合體的結(jié)構(gòu)特征,即可求解，得到答案.【詳解】由題意知，三棱臺(tái)中,沿面截去三棱錐，則剩余部分是四棱錐，故選B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了棱錐的定義及其判定，其中解答中熟記棱錐的定義，以及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題。6。設(shè)m，n是兩條不同直線,，是兩個(gè)不同平面，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.若,，則; B。若，，則；C。若,,則; D。若，，則．【答案】C【解析】【分析】直接由直線平面的定理得到選項(xiàng)正確;對(duì)于選項(xiàng)，m，n可能平行、相交或異面,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，與內(nèi)一直線l，所以，因?yàn)閘為內(nèi)一直線，所以．所以該選項(xiàng)正確.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，若，，則，所以該選項(xiàng)正確;對(duì)于選項(xiàng)，若，,則，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，若，，則m，n可能平行、相交或異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，若，，則與內(nèi)一直線l,所以，因?yàn)閘為內(nèi)一直線，所以．所以該選項(xiàng)正確.故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線平面位置關(guān)系的判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.7.如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為（）A。30° B。45° C。60° D.90°【答案】D【解析】【分析】連接，由已知條件可證得平面，從而可得,由此可得答案【詳解】連接，則，因?yàn)槠矫妫谄矫鎯?nèi)，所以,因?yàn)?，所以平面，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以，所以異面直線與所成的角為，故選:D【點(diǎn)睛】此題考查求異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題8.在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊,齊去長(zhǎng)安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里;駑馬初日行九十七里，日減半里;良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢．問(wèn):幾日相逢？（）A。16日 B。12日 C。9日 D.8日【答案】C【解析】【詳解】解：由題可知，良馬每日行程an構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為103,公差13的等差數(shù)列，駑馬每日行程bn構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為97，公差為﹣0。5的等差數(shù)列，則an＝103+13(n﹣1）＝13n+90，bn＝97﹣0。5（n﹣1）＝97。5﹣0。5n，則數(shù)列｛an｝與數(shù)列{bn｝的前n項(xiàng)和為1125×2＝2250，又∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為（103+13n+90)(193+13n）,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為（97+97。5﹣0.5n）(194.5n）,∴（193+13n）（194。5n）＝2250，整理得：25n2+775n﹣9000＝0，即n2+31n﹣360＝0,解得：n＝9或n＝﹣40（舍)，即九日相逢．故選C點(diǎn)睛：本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查等差數(shù)列,考查轉(zhuǎn)化思想，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，注意解題方法的積累,屬于中檔題．9。給出下列命題：①有兩個(gè)面互相平行且是全等的三角形,其余各面都是四邊形，且相鄰兩四邊形的公共邊互相平行，由這些面所圍成的封閉幾何體是三棱柱；②有一個(gè)面是五邊形，其余各面都是有公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的封閉幾何體一定是五棱錐;③有兩個(gè)面是互相平行且相似的矩形（不全等)，其余各面都是梯形，由這些面所圍成的封閉幾何體一定是四棱臺(tái).其中正確的命題是（）A。②③ B。①② C.①③ D。①②③【答案】B【解析】【分析】①根據(jù)棱柱的定義進(jìn)行判斷；②根據(jù)棱錐的定義進(jìn)行判斷；③根據(jù)棱臺(tái)的定義進(jìn)行判斷．【詳解】①由棱柱的定義知①正確;②由棱錐的定義知②正確；③棱臺(tái)是由平行于底面的棱錐所截得的，有兩個(gè)面是互相平行且相似的矩形（不全等），其余各面都是梯形,四條側(cè)棱不一定交于一點(diǎn)，則③不一定是四棱臺(tái)，故③錯(cuò)誤;故正確的是①②；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，結(jié)合棱柱，棱錐，棱臺(tái)的定義是解決本題的關(guān)鍵,比較基礎(chǔ)．10.如圖,在棱長(zhǎng)為的正方體中，為中點(diǎn)，則四面體的體積（)A。 B。 C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】由體積橋可知,求解出和高,代入三棱錐體積公式求得結(jié)果。【詳解】為中點(diǎn)又平面本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用體積橋?qū)⑺笕忮F更換頂點(diǎn)，從而更容易求得幾何體的高和底面積，屬于基礎(chǔ)題。11。魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國(guó)建筑的榫卯結(jié)構(gòu).這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙.魯班鎖類玩具比較多,形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同，一般都是易拆難裝.如圖1,這是一種常見的魯班鎖玩具,圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長(zhǎng)均為2,則該魯班鎖的表面積為（）A。 B。 C。 D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來(lái)的幾何體,然后按照表面積公式計(jì)算即可.【詳解】由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來(lái)的幾何體，且被截去的正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該幾何體的表面積為。故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)文化與簡(jiǎn)單幾何體的表面積,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力。12。在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱、的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn),且，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】由幾何體為正方體，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面D1EF的法向量，結(jié)合向量的點(diǎn)到平面距離公式求得點(diǎn)M到平面D1EF的距離，結(jié)合N為EM中點(diǎn)即可求解【詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸,DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2,0,1)，F(xiàn)（2，2，1），＝(﹣2,0,1),＝（0，2,0）,＝（0，λ，1），設(shè)平面D1EF的法向量＝（x，y,z），則，取x＝1，得＝（1，0,2),∴點(diǎn)M到平面D1EF的距離為：d＝，N為EM中點(diǎn)，所以N到該面的距離為故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查利用向量法求解點(diǎn)到平面距離，建系法與數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵，屬于中檔題二?填空題13.已知直線l的斜率為2,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線l的一般式方程為_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求出之后再化為一般是方程即可得答案.【詳解】解:因?yàn)橹本€l的斜率為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線l的方程為,即．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線的點(diǎn)斜式方程，一般式方程,是基礎(chǔ)題。14。圓的圓心到直線的距離為1，則________【答案】【解析】【分析】求出圓心坐標(biāo)，代入點(diǎn)到直線距離方程，解得答案．【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為：,故圓心到直線的距離，解得：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓的一般方程，點(diǎn)到直線的距離公式．15。已知圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，若該球的表面積為，則圓柱的側(cè)面積為_____．【答案】.【解析】【分析】先由球的表面積為求出球的半徑，然后由圓柱的側(cè)面積公式算出即可【詳解】因?yàn)榍虻谋砻娣e所以所以圓柱的底面直徑與高都為所以圓柱的側(cè)面積:故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是空間幾何體表面積的算法，較簡(jiǎn)單。16。如圖,在長(zhǎng)方體中，，,，E、F分別為棱、的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P在長(zhǎng)方體的表面上，且，則點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為________.【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)平面，使之與直線垂直，則平面與正方體的表面的交線為動(dòng)點(diǎn)的軌跡，則可得到答案.【詳解】過(guò)構(gòu)造一個(gè)平面，使得，當(dāng)點(diǎn)在平面與正方體的表面的交線上時(shí)，就有成立.連接，則在正方體中E、F分別為棱、的中點(diǎn)。則。在側(cè)面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作,交于點(diǎn)。則平面就是需要的平面.則平面截正方體得到截面為矩形.如圖則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為矩形的四條邊組成的圖形。，則.所以所以,則。所以矩形的周長(zhǎng)為:故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查滿足條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡的探索，考查線面垂直，屬于中檔題.三?解答題17。已知圓C過(guò)三點(diǎn)，，，圓C的方程；【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓的對(duì)稱性由兩點(diǎn)，可得圓心在上,從而設(shè)出圓心坐標(biāo),再由，到圓心的距離等于半徑列出等式，得出圓C的方程?！驹斀狻恳?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)，故圓心在上設(shè)圓心坐標(biāo),則,解得.故其半徑。故圓方程為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了由圓上三點(diǎn)求圓的方程,屬于中檔題.18.已知,，.(1）求與的夾角；(2）求?！敬鸢浮浚?）（2）【解析】【分析】(1）由已知可以求出的值,進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的夾角公式，求出，進(jìn)而得到向量與的夾角；（2）要求，我們可以根據(jù)（1）中結(jié)論，先求出的值,然后開方求出答案．【詳解】（1），，，，∴,∴，∴向量與的夾角。（2），。【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積表示兩個(gè)向量夾角、向量的模，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力．19.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知．（1）求角C的大?。?）若，的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】（Ⅰ)．（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ)利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得值,結(jié)合范圍，即可得解的值．(Ⅱ）利用正弦定理及面積公式可得，再利用余弦定理化簡(jiǎn)可得值，聯(lián)立得從而解得周長(zhǎng)．詳解】(Ⅰ）由正弦定理，得,在中，因?yàn)?，所以故，又因?yàn)?＜C＜，所以．(Ⅱ）由已知，得.又，所以。由已知及余弦定理，得,所以,從而。即又，所以的周長(zhǎng)為?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．20.在四棱錐中，底面是正方形，與交于點(diǎn)，底面,為的中點(diǎn)．（1）求證：∥平面；(2）若，求三棱錐F-ABC的體積?！敬鸢浮浚?）見解析；(2）【解析】【分析】（1)連接OF，證明，結(jié)合線面平行的判定定理證明即可．(2）由底面，知F到平面ABC的距離為,再由三棱錐體積公式可以算出答案．【詳解】（1)連接．由是正方形可知,點(diǎn)為中點(diǎn)．又為的中點(diǎn),所以∥又平面平面所以∥平面（2）取BC的中點(diǎn)為H,連結(jié)FH，∴，，【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行，以及三棱錐的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．21.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列,且,．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），；(2)【解析】【分析】（1）由已知利用遞推公式,

可得，代入分別可求數(shù)列的首項(xiàng)，公比,從而可求。

（2）由(1）可得，利用乘“公比”錯(cuò)位相減法求和．【詳解】解：(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí)，滿足上式，故的通項(xiàng)式為．設(shè)的公比為，由已知條件知，，，所以，，即．（2），兩式相減得：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求法,錯(cuò)位相減法求數(shù)列通項(xiàng),屬于中檔題.22。如圖所示，在四棱錐中，底面是且邊長(zhǎng)為的菱形，側(cè)面為正三角形,其所在平面垂直于底面.（1)若為邊的中點(diǎn)，求證：平面。（2）求證：。（3)若為邊的中點(diǎn)，能否在上找出一點(diǎn)，使平面平面？【答案】（1)見解析；（2）見解析；(3)見解析【解析】【分析】（1）證明，利用面面垂直的性質(zhì)即可證明（2）證平面即可得(3）存在點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，證明平面，即可證出平面平面.【詳解】證明：連接，,因?yàn)槭堑冗吶切?，為邊的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所以．因?yàn)樗?/p>