學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)必修2學(xué)案：第2章2.12.1.1平面含解析2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法．（難點(diǎn)）2．能用符號語言描述空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系．（重點(diǎn))3．能用圖形、文字、符號三種語言描述三個(gè)公理，理解三個(gè)公理的地位與作用．（難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)）1.通過對平面有關(guān)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．2．通過平面基本性質(zhì)的應(yīng)用,培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．1．平面的概念幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的．幾何里的平面是無限延展的．思考:一個(gè)平面能否把空間分成兩部分？[提示］因?yàn)槠矫媸菬o限延展的，所以一個(gè)平面能把空間分成兩部分．2．平面的畫法（1)水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，它的銳角通常畫成45°角，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍．如圖①。(2）如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來．如圖②.①②3．平面的表示法上圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．4．平面的基本性質(zhì)公理內(nèi)容圖形符號公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α公理2過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B,C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線P∈α，P∈β?α∩β＝l且P∈l思考：經(jīng)過空間任意三點(diǎn)能確定一個(gè)平面嗎?[提示］不一定，只有經(jīng)過空間不共線的三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面．1．用符號表示“點(diǎn)A在直線l上,l在平面α外”，正確的是（)A．A∈l，l?α B．A∈l，l?αC．A?l,l?α D．A?l,l?α[答案］B2．如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為()A．平面MN B．平面NQPC．平面α D．平面MNPQA[表示平面不能用一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)表示,但可以表示為平面MP,選A.]3．任意三點(diǎn)可確定平面的個(gè)數(shù)是（）A．0B．1C．2D．1或無數(shù)個(gè)D［當(dāng)這三點(diǎn)共線時(shí),可確定無數(shù)個(gè)平面；當(dāng)這三點(diǎn)不共線時(shí)，可確定一個(gè)平面．］4．將下面用符號語言表示的關(guān)系用文字語言予以敘述,并用圖形語言表示．α∩β＝l，A∈l，AB?α，AC?β.[解]文字語言敘述：點(diǎn)A在平面α與平面β的交線l上，直線AB，AC分別在平面α，β內(nèi)．圖形語言表示(如圖所示）.立體幾何三種語言的相互轉(zhuǎn)化【例1】用符號表示下列語句，并畫出圖形．(1)平面α與β相交于直線l,直線a與α，β分別相交于點(diǎn)A，B；(2)點(diǎn)A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點(diǎn)C,點(diǎn)C不在直線AB上．[解］(1）用符號表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖．（2)用符號表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如圖．三種語言的轉(zhuǎn)換方法：（1）用文字語言、符號語言表示一個(gè)圖形時(shí),首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．(2）要注意符號語言的意義.如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．（3)由符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別．eq\a\vs4\al（［跟進(jìn)訓(xùn)練])1．用符號語言表示下列語句，并畫出圖形：(1）三個(gè)平面α,β，γ相交于一點(diǎn)P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；（2）平面ABD與平面BDC相交于BD,平面ABC與平面ADC相交于AC。［解］(1)符號語言表示:α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，圖形表示：如圖①.(2）符號語言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，圖形表示：如圖②。點(diǎn)線共面問題【例2】如圖，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQ?α.[證明]∵PQ∥a，∴PQ與a確定一個(gè)平面β.∴直線a?β，點(diǎn)P∈β?！逷∈b，b?α，∴P∈α.又∵a?α，∴α與β重合．∴PQ?α.解決點(diǎn)線共面問題的基本方法:eq\a\vs4\al(［跟進(jìn)訓(xùn)練］）2．求證:兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi)．［解］已知:AB∩AC＝A,AB∩BC＝B，AC∩BC＝C.求證:直線AB，BC，AC共面．證明:法一:因?yàn)锳C∩AB＝A，所以直線AB，AC可確定一個(gè)平面α.因?yàn)锽∈AB,C∈AC，所以B∈α,C∈α，故BC?α。因此直線AB，BC，AC都在平面α內(nèi)，所以直線AB，BC,AC共面．法二：因?yàn)锳不在直線BC上，所以點(diǎn)A和直線BC可確定一個(gè)平面α.因?yàn)锽∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB?α.同理AC?α，故直線AB，BC,AC共面．法三：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上，所以A，B，C三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面α。因?yàn)锳∈α，B∈α，所以AB?α，同理BC?α，AC?α，故直線AB，BC，AC共面．點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題[探究問題］1．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判斷點(diǎn)E在平面A1BCD[提示］如圖，連接BD1,∵A1C∩平面ABC1D1＝E∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1∵A1C?平面A1BCD1∴E∈平面A1BCD1。2．上述問題中，你能證明B，E，D1三點(diǎn)共線嗎？[提示]由于平面A1BCD1與平面ABC1D1交于直線BD1，又E∈BD1，根據(jù)公理3可知B，E,D1三點(diǎn)共線．【例3】如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l.設(shè)梯形ABCD中,AD∥BC，且AB?α,CD?β.求證：AB,CD,l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn)）.思路探究：eq\x（梯形的兩腰）→eq\x（找交點(diǎn))→eq\x(探求交點(diǎn)與面α,β的位置關(guān)系）→eq\x（得結(jié)論)[證明］因?yàn)樘菪蜛BCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰。所以AB，CD必定相交于一點(diǎn)。設(shè)AB∩CD＝M.又因?yàn)锳B?α，CD?β，所以M∈α，M∈β.所以M∈α∩β.又因?yàn)棣痢搔拢絣,所以M∈l。即AB，CD，l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn)）。本例變?yōu)椋喝鐖D所示，在空間四邊形各邊AD、AB、BC、CD上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，如果EF、GH交于一點(diǎn)P,求證：點(diǎn)P在直線BD上．[證明]若EF、GH交于一點(diǎn)P，則E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，又因?yàn)镋F?平面ABD，GH?平面CBD,平面ABD∩平面CBD＝BD，所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，由公理3可得P∈BD。所以點(diǎn)P在直線BD上.1．證明三點(diǎn)共線的方法(1)首先找出兩個(gè)平面,然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知,這些點(diǎn)都在兩個(gè)平面的交線上．（2）選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,然后證明另一點(diǎn)也在此直線上．2．證明三線共點(diǎn)的步驟(1)首先說明兩條直線共面且交于一點(diǎn)；(2）說明這個(gè)點(diǎn)在另兩個(gè)平面上，并且這兩個(gè)平面相交；(3)得到交線也過此點(diǎn)，從而得到三線共點(diǎn)．1．立體幾何的三種語言圖形語言、符號語言、文字語言是立體幾何的三大語言，要準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換．2．三個(gè)公理的作用公理1-—判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；公理2-—判定點(diǎn)共面、線共面的依據(jù)；公理3--判定點(diǎn)共線、線共點(diǎn)的依據(jù)．3．證明幾點(diǎn)共線的方法：首先考慮兩個(gè)平面的交線，再證有關(guān)的點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn).或先由某兩點(diǎn)作一條直線,再證明其他點(diǎn)也在這條直線上．1．有以下結(jié)論:①平面是處處平的面;②平面是無限延展的；③平面的形狀是平行四邊形；④一個(gè)平面的厚度可以是0.001cm其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4B[平面是無限延展的，但是沒有大小、形狀、厚薄,①②兩種說法是正確的；③④兩種說法是錯(cuò)誤的．故選B。]2．在空間中，可以確定一個(gè)平面的條件是（)A．兩兩相交的三條直線B.三條直線其中的一條直線與另外兩條分別相交C.三個(gè)點(diǎn)D．三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點(diǎn)D[三條直線若交于同一點(diǎn),可以有多個(gè)平面，共線的三個(gè)點(diǎn)可以有多個(gè)平面,這里三條兩兩相交且不共點(diǎn)的直線確定一個(gè)平面．故應(yīng)選D。]3．如果點(diǎn)A在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點(diǎn)B在平面α內(nèi),則可以表示為（)A．A?a，a?α，B∈α B．A∈a，a?α,B∈αC．A?a，a∈α，B?α D．A∈a，a∈α，B∈αB[點(diǎn)A在直線a上，而直線a在平面α內(nèi),點(diǎn)B在平面α內(nèi)，表示為A∈a，a?α，B∈α.］4．如圖,已知D，E是△ABC的邊AC，BC上的點(diǎn)