1第3章

函數(shù)逼近與快速傅里葉變換3.1函數(shù)逼近的基本概念3.2正交多項(xiàng)式3.3最佳平方逼近3.4曲線擬合的最小二乘法3.5有理逼近3.6三角多項(xiàng)式與快速傅里葉變換2知識(shí)回顧一、函數(shù)逼近與函數(shù)空間

1.函數(shù)逼近

2.線性相關(guān)、線性無關(guān)

3.范數(shù)與賦范線性空間

4.內(nèi)積與內(nèi)積空間

5.格拉姆矩陣及其非奇異的充要條件

(內(nèi)積的定義)(向量、函數(shù))6.權(quán)函數(shù)、正交多項(xiàng)式3

在上的向量

稱為范數(shù)或最大范數(shù)，

稱為1-范數(shù)，

稱為2-范數(shù).

設(shè)內(nèi)積：4對(duì)連續(xù)函數(shù)空間，若,

稱為范數(shù)，

稱為1-范數(shù)，

稱為2-范數(shù).

設(shè)內(nèi)積：由此內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)為5

定理3（1.7）稱為格拉姆(Gram)矩陣，

則非奇異的充分必要條件是線性無關(guān).設(shè)X為一個(gè)內(nèi)積空間，矩陣6

若是中的線性無關(guān)函數(shù)族，（1.17）

根據(jù)定理3可知線性無關(guān)的充要條件是它的格拉姆矩陣為記7

函數(shù)逼近主要討論給定，求它的最佳逼近多項(xiàng)式的問題.

3.1.4

最佳逼近

若使誤差則稱是在上的最佳逼近多項(xiàng)式.

若則稱相應(yīng)的為最佳逼近函數(shù).

通常將范數(shù)取為或8

若取，即（1.18）則稱是在上的最優(yōu)一致逼近多項(xiàng)式.

求就是求上使最大誤差最小的多項(xiàng)式.9

若取，即則稱是在上的最佳平方逼近多項(xiàng)式.（1.19）

若是上的一個(gè)列表函數(shù)，在

上給出，要求使則稱為的最小二乘擬合.（1.20）10

3.2.3

切比雪夫多項(xiàng)式

當(dāng)權(quán)函數(shù)，區(qū)間為時(shí)，由序列正交化得到的正交多項(xiàng)式就是切比雪夫(Chebyshev)多項(xiàng)式.

它可表示為（2.10）若令，則11

性質(zhì)1

切比雪夫多項(xiàng)式有很多重要性質(zhì)：

這只要在三角恒等式中，令即得.遞推關(guān)系（2.11）12

由（2.11）可推出

的函數(shù)圖形見圖3-2.13圖3-2

由遞推關(guān)系（2.11）還可得到的最高次項(xiàng)系數(shù)是14

性質(zhì)2（2.12）

令，則，切比雪夫多項(xiàng)式在區(qū)間上帶權(quán)正交，且于是15

若令，則是首項(xiàng)系數(shù)為1的切比雪夫多項(xiàng)式.

性質(zhì)4在區(qū)間上有個(gè)零點(diǎn)

性質(zhì)3只含的偶次冪，只含的奇次冪.

這個(gè)性質(zhì)由遞推關(guān)系直接得到.

性質(zhì)5

的首項(xiàng)的系數(shù)為16

若記為所有次數(shù)小于等于的首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式集合，對(duì)有以下性質(zhì)：

定理6

設(shè)是首項(xiàng)系數(shù)為1的切比雪夫多項(xiàng)式，則且17

定理6表明在所有首項(xiàng)系數(shù)為1的次多項(xiàng)式集合中，所以是中最大值最小的多項(xiàng)式，即（2.13）

利用這一結(jié)論，可求在中的最佳（一致）逼近多項(xiàng)式.18由定理6可知，多項(xiàng)式與零偏差最小，故

解由題意，所求最佳逼近多項(xiàng)式應(yīng)滿足當(dāng)時(shí)，例3求在上的最佳2次逼近多項(xiàng)式.19就是在上的最佳2次逼近多項(xiàng)式.

由于切比雪夫多項(xiàng)式是在區(qū)間上定義的，對(duì)于一般區(qū)間，要通過變量替換變換到，可令（2.14）則可將變換到20

切比雪夫多項(xiàng)式在區(qū)間上有個(gè)零點(diǎn)

3.2.4

切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)插值和個(gè)極值點(diǎn)（包括端點(diǎn)）這兩組點(diǎn)稱為切比雪夫點(diǎn)，它們?cè)诓逯抵杏兄匾饔?21

從圖3-3可以看到切比雪夫點(diǎn)恰好是單位圓周上等距分布點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)在接近區(qū)間的端點(diǎn)處是密集的.圖3-3

利用切比雪夫點(diǎn)做插值，可使插值區(qū)間最大誤差最小化.

設(shè)插值點(diǎn)為相應(yīng)的次拉格朗日插值多項(xiàng)式，則余項(xiàng)22于是其中是由被插函數(shù)決定的.

如果插值節(jié)點(diǎn)為的零點(diǎn)23則由（2.13）可得由此可導(dǎo)出插值誤差最小化的理論.

定理7設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)，被插函數(shù)為相應(yīng)的插值多項(xiàng)式，則（2.15）24

在第2章中曾經(jīng)指出，高次插值會(huì)出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，一般不收斂于，因此并不適用.但若用切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)插值卻可避免龍格現(xiàn)象，可保證整個(gè)區(qū)間上收斂.25

例5設(shè)，在上利用的零點(diǎn)作插值點(diǎn)，構(gòu)造10次拉格朗日插值多項(xiàng)式.與第2章得到的等距節(jié)點(diǎn)造出的近似作比較.

解在上的10次切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)為作變換它們是內(nèi)的插值點(diǎn)，由此得到在上的拉格朗日插值多項(xiàng)式26

的圖形見圖3-4，從圖上可見沒有出現(xiàn)龍格現(xiàn)象.圖3-4273.3

最佳平方逼近28

3.3.1

最佳平方逼近及其計(jì)算

對(duì)及中的一個(gè)子集若存在，使（3.1）則稱是在子集中的最佳平方逼近函數(shù).29

由（3.1）可知該問題等價(jià)于求多元函數(shù)（3.2）的最小值.

是關(guān)于的二次函數(shù)，即利用多元函數(shù)求極值的必要條件（3.1）30于是有（3.3）這個(gè)關(guān)于的線性方程組，稱為法方程.

由于線性無關(guān)，故于是方程組（3.3）有唯一解從而得到31即對(duì)任何

下面證明滿足（3.1），（3.4）為此只要考慮有（3.1）32

由于的系數(shù)是方程（3.3）的解，從而上式第二個(gè)積分為0，故（3.4）成立.

這就證明了是在中的最佳平方逼近函數(shù).故于是（3.3）（3.4）33若令（3.5）則平方誤差為

若取中求次最佳平方逼近多項(xiàng)式則要在34此時(shí)

若用表示對(duì)應(yīng)的矩陣，（3.6）稱為希爾伯特(Hilbert)矩陣.

即35

記（3.7）的解即為所求.則36

例6設(shè)

解得方程組求上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式.利用（3.7），得（3.7）37解之故平方誤差最大誤差383.4

曲線擬合的最小二乘法

3.4.1

最小二乘法及其計(jì)算

在函數(shù)的最佳平方逼近中如果只在一組離散點(diǎn)集上給定，這就是科學(xué)實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常見到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線擬合.39

記誤差

問題為利用求出一個(gè)函數(shù)與所給數(shù)據(jù)擬合.40

設(shè)是上線性無關(guān)函數(shù)族，在中找一函數(shù)，使誤差平方和（4.1）這里（4.2）41

這個(gè)問題稱為最小二乘逼近，幾何上稱為曲線擬合的最小二乘法.

用最小二乘求擬合曲線時(shí),首先要確定的形式.

確定的形式問題不僅是數(shù)學(xué)問題,還與問題的實(shí)際背景有關(guān).

通常要用問題的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及給定的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)描圖,確定的形式,然后通過實(shí)際計(jì)算選出較好的結(jié)果.42

為了使問題的提法更有一般性，通常在最小二乘法中考慮加權(quán)平方和（4.3）這里是上的權(quán)函數(shù)，它表示不同點(diǎn)處的數(shù)據(jù)比重不同.就是次多項(xiàng)式.

若是次多項(xiàng)式，

的一般表達(dá)式為（4.2）表示的線性形式.（4.2）43

這樣，最小二乘問題就轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù)（4.4）的極小點(diǎn)問題.

用最小二乘法求擬合曲線的問題，就是在形如(4.2)的中求一函數(shù)，

由求多元函數(shù)極值的必要條件，有使（4.3）取得最小.（4.2）（4.3）44若記（4.5）上式可改寫為（4.6）這方程稱為法方程，可寫成矩陣形式45其中（4.7）

要使法方程(4.6)有唯一解，就要求矩陣非奇異，而在上線性無關(guān)不能推出矩陣非奇異，必須加上另外的條件.（4.6）46

顯然在任意個(gè)點(diǎn)上滿足哈爾條件.哈爾條件，則法方程(4.6)

的系數(shù)矩陣(4.7)

非奇異，

如果在上滿足函數(shù)的最小二乘解為

定義7設(shè)的任意線性組合在點(diǎn)集上至多只有個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱在點(diǎn)集上滿足哈爾(Haar)條件.方程(5.6)存在唯一的解從而得到于是47這樣得到的，對(duì)任何形如(4.2)的，都有故確是所求最小二乘解.（4.2）48一般可取，但這樣做當(dāng)時(shí)，通常對(duì)的簡(jiǎn)單情形都可通過求法方程（4.6）得到

給定的離散數(shù)據(jù)，

例如，，求解法方程（4.6）將出現(xiàn)系數(shù)矩陣為病態(tài)的問題，

有時(shí)根據(jù)給定數(shù)據(jù)圖形，其擬合函數(shù)表面上不是（4.2）的形式，但通過變換仍可化為線性模型.若兩邊取對(duì)數(shù)得（4.6）（4.2）49這樣就變成了形如（4.2）的線性模型.此時(shí)，若令則50

例9已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下，求它的擬合曲線.

解將所給數(shù)據(jù)在坐標(biāo)紙上標(biāo)出，見圖3-5.圖3-551

從圖中看到各點(diǎn)在一條直線附近，故可選擇線性函數(shù)作擬合曲線，

令這里故52解得由（4.6）得方程組于是所求擬合曲線為（4.6）53

關(guān)于多項(xiàng)式擬合，Matlab中有現(xiàn)成的程序其中輸入?yún)?shù)為要擬合的數(shù)據(jù)，為擬合多項(xiàng)式的次數(shù)，輸出參數(shù)為擬合多項(xiàng)式的系數(shù).

利用下面的程序，可在Matlab中完成上例的多項(xiàng)式擬合