PAGEPAGE11題型專項(xiàng)練4解答題組合練(A)1.(2021·福建福州一模)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a+b=ccosB-bcosC.(1)求角C的大小;(2)設(shè)CD是△ABC的角平分線,求證:1CA2.(2021·山東臨沂三模)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=ancan+1(c>0),且a1,a2(1)證明:數(shù)列1an是等差數(shù)列,并求{an}(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=(4n2+1)anan+1,其前n項(xiàng)和為Sn,證明:Sn<n+1.3.(2021·湖南懷化一模)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D為B1B的中點(diǎn),F為C1D的中點(diǎn),AC=AB=BC=12C1C=2(1)若M為AB的中點(diǎn),求證:FM∥平面A1ACC1;(2)求二面角F-A1C1-B1的余弦值.4.(2021·遼寧大連二模)我市某醫(yī)療用品生產(chǎn)企業(yè)對(duì)原有的生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級(jí),為了更好地對(duì)比技術(shù)升級(jí)前和升級(jí)后的效果,其中甲生產(chǎn)線繼續(xù)使用技術(shù)升級(jí)前的生產(chǎn)模式,乙生產(chǎn)線采用技術(shù)升級(jí)后的生產(chǎn)模式,質(zhì)檢部門隨機(jī)抽檢了甲、乙兩條生產(chǎn)線的各200件該醫(yī)療用品,在抽取的400件產(chǎn)品中,根據(jù)檢測結(jié)果將它們分為“A”“B”“C”三個(gè)等級(jí),A,B等級(jí)都是合格品,C等級(jí)是次品,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示:(表一)等級(jí)ABC頻數(shù)20015050(表二)生產(chǎn)線檢測結(jié)果合計(jì)合格品次品甲160乙10合計(jì)在相關(guān)政策扶持下,確保每件該醫(yī)療用品的合格品都有對(duì)口銷售渠道,但按照國家對(duì)該醫(yī)療用品產(chǎn)品質(zhì)量的要求,所有的次品必須由廠家自行銷毀.(1)請(qǐng)根據(jù)所提供的數(shù)據(jù),完成上面的2×2列聯(lián)表(表二),并依據(jù)α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級(jí)有關(guān)?(2)在抽檢的所有次品中,按甲、乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的次品比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣,抽取10件該醫(yī)療用品,然后從這10件中隨機(jī)抽取5件,記其中屬于甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的有X件,求X的分布列和均值.(3)每件該醫(yī)療用品的生產(chǎn)成本為20元,A,B等級(jí)產(chǎn)品的出廠單價(jià)分別為m元、40元.已知甲生產(chǎn)線抽檢的該醫(yī)療用品中有70件為A等級(jí),用樣本的頻率估計(jì)概率,若進(jìn)行技術(shù)升級(jí)后,平均生產(chǎn)一件該醫(yī)療用品比技術(shù)升級(jí)前多盈利不超過9元,則A等級(jí)產(chǎn)品的出廠單價(jià)最高為多少元?附:χ2=n(ad-bcα0.050.010.0050.001xα3.8416.6357.87910.8285.(2021·重慶二模)已知函數(shù)f(x)=ex+1+ax2+2ax(a∈R).(1)若f(x)在區(qū)間(-1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,求a的取值范圍;(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(x1<x2),且x2-x1>ln2,求a的取值范圍.6.(2021·湖南長沙模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)(1)求雙曲線C的方程;(2)四邊形MNPQ的四個(gè)頂點(diǎn)均在雙曲線C上,且MQ∥NP,MQ⊥x軸,若直線MN和直線QP交于點(diǎn)S(4,0),四邊形MNPQ的對(duì)角線交于點(diǎn)D,求點(diǎn)D到雙曲線C的漸近線的距離之和.題型專項(xiàng)練4解答題組合練(A)1.(1)解由a+b=ccosB-bcosC及正弦定理得sinA+sinB=sinCcosB-sinBcosC.又sin(B+C)=sin(π-A)=sinA,所以sin(B+C)+sinB=sinCcosB-sinBcosC,所以2sinBcosC+sinB=0.因?yàn)锽∈(0,π),所以sinB≠0,所以cosC=-1又C∈(0,π),所以C=2(2)證明因?yàn)镃D是△ABC的角平分線,且C=2π3,所以∠ACD=∠在△ABC中,S△ABC=S△ACD+S△BCD,則12CA·CBsin2π3=12CA·CDsinπ即CA·CB=CA·CD+CD·CB.兩邊同時(shí)除以CA·CB·CD得12.(1)解由a1=1,an+1=ancan+1,得1an+1=1因此1an=1+(n-1)c,an由a1,a2,a5成等比數(shù)列,得a22=a1a5,即1c+12=1×14c+1,解得c=(2)證明因?yàn)閎n=4n2+14n2-1=所以Sn=b1+b2+…+bn=n+1-13+13-15+…+因?yàn)?2n+1>0,所以Sn3.(1)證明如圖,取AA1的中點(diǎn)N,連接C1N,ND,取C1N的中點(diǎn)E,連接EF,AE.∵AN∥BD,AN=BD,∴四邊形ANDB為平行四邊形,∴AB∥ND,AB=ND.∵E,F分別為C1N,C1D的中點(diǎn),∴EF12ND.又AM12ND,∴AM∴四邊形MAEF為平行四邊形,∴MF∥AE.又MF?平面A1ACC1,AE?平面A1ACC1,∴FM∥平面A1ACC1.(2)解如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則C1(3,1,0),F32∴A1C1=設(shè)平面FA1C1的法向量為n=(x,y,z),則n·A1C1=3x+y=0,n·A1F=32x+32y+z=0,取x=3,則y=-3,z=3,∴由題意可知m=(0,0,1)為平面A1B1C1的一個(gè)法向量.設(shè)二面角F-A1C1-B1的平面角為θ,由圖可知θ為銳角,∴cosθ=|4.解(1)根據(jù)所提供的數(shù)據(jù),可得2×2列聯(lián)表如下.生產(chǎn)線檢測結(jié)果合計(jì)合格品次品甲16040200乙19010200合計(jì)35050400零假設(shè)為H0:產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級(jí)無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),計(jì)算可得,χ2=400×(160×10-190×40)2200×200×350×50≈20.571>(2)由于抽檢的所有次品中,甲、乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的次品數(shù)的比為4∶1,故抽取的10件中有8件是甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的,2件是乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的,所以X的所有可能取值為3,4,5,所以P(X=3)=C83C22C105=29,P(X=所以X的分布列為X345P252所以E(X)=3×29+4×59+5(3)甲生產(chǎn)線抽檢的產(chǎn)品中有70件A等級(jí),90件B等級(jí),40件C等級(jí),乙生產(chǎn)線抽檢的產(chǎn)品中有130件A等級(jí),60件B等級(jí),10件C等級(jí).用樣本的頻率估計(jì)概率,則技術(shù)升級(jí)前,單件產(chǎn)品的利潤(單位:元)為m·70200+40×90200-20技術(shù)升級(jí)后,單件產(chǎn)品的利潤(單位:元)為m·130200+40×60200-20=由1320m-8-720m-故A等級(jí)產(chǎn)品的出廠單價(jià)最高為50元.5.解(1)由題意知f'(x)=ex+1+2ax+2a≥0在區(qū)間(-1,+∞)內(nèi)恒成立,即2a≥-ex+1x+1在區(qū)間(-1,令h(x)=-ex+1x+1(x>-1),則h'(x由h'(x)>0,得-1<x<0;由h'(x)<0,得x>0,所以h(x)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以h(x)≤h(0)=-e,所以2a≥-e,即a≥-e(2)由題意知,x1,x2是方程f'(x)=0的兩根,又f'(-1)=1≠0,故x1,x2是-ex+1x+1=2a的兩根,令h(x由(1)知h(x)在區(qū)間(-∞,-1)和(-1,0)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,當(dāng)x<-1時(shí),h(x)的圖象在x軸上方,當(dāng)x>-1時(shí),h(x)的圖象在x軸下方,此時(shí)當(dāng)x=0時(shí),h(x)取得最大值h(0)=-e,所以當(dāng)2a<-e,即a<-e2時(shí),方程h(x)=2a有兩根x1,x2,其中-1<x1<0<x2若x1+ln2≤0,即-1<x1≤-ln2,則x2-x1>ln2一定成立;若x1+ln2>0,即x1>-ln2,則x2-x1>ln2?x2>x1+ln2?h(x2)<h(x1+ln2),而h(x2)=h(x1)=2a,所以h(x1)<h(x1+ln2)?-ex1+1x1+1<-ex所以-ln2<x1<ln2-1.所以當(dāng)x2-x1>ln2時(shí),-1<x1<ln2-1.所以2a=h(x1)<h(ln2-1)=-2ln2,所以a<-6.解(1)由題意得c-a=7-2,ca=72,a2(2)如圖,由MQ⊥x軸,MQ∥NP,可知四邊形MNPQ為等腰梯形,且關(guān)于x軸對(duì)稱,故四邊形MNPQ的對(duì)角線的交點(diǎn)D在x軸上.設(shè)點(diǎn)D(t,0),則對(duì)角線MP的方程為x=my+t(m≠0),設(shè)M(x1,y1),P(x2,y2),由對(duì)稱性知Q(x1,-y1),N(x2,-y2),聯(lián)立x24-y23=1,x=my+t,消去x得(3m2所以Δ=(6mt)2-4(3m2-4)(3t2-12)=48(3m2-4+t2)>0,即3m2+t2