考點(diǎn)一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和①等于

常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.集合語(yǔ)言:P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a>c>0,且a,c為常數(shù).注意若2a=|F1F2|,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2;若2a<|F1F2|,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡

不存在.考點(diǎn)清單(1)中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1(a>b>0);(2)中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1(a>b>0).注意(1)焦點(diǎn)位置的判斷焦點(diǎn)在x軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中含x2項(xiàng)的分母較大;焦點(diǎn)在y軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中

含y2項(xiàng)的分母較大.(2)a2=b2+c2,即a最大.2.標(biāo)準(zhǔn)方程3.焦點(diǎn)三角形(1)P是橢圓上不同于長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn),F1,F2為橢圓的兩焦點(diǎn),則

=b2tan

,其中∠F1PF2=θ.(2)P是橢圓上不同于長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn),F1,F2為橢圓的兩焦點(diǎn),則△PF1F2的周長(zhǎng)為2(a+c).(3)過(guò)焦點(diǎn)F1的弦AB與橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)F2構(gòu)成的△ABF2的周長(zhǎng)為4a.考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)1.橢圓的方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程②

+

=1(a>b>0)

+

=1(a>b>0)一般方程Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)圖形

焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)范圍|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a長(zhǎng)軸長(zhǎng)|A1A2|=2a短軸長(zhǎng)|B1B2|=2b焦距|F1F2|=2c離心率e=③

=

(0<e<1),2.常用結(jié)論(1)設(shè)P,A,B是中心在原點(diǎn)的橢圓上不同的三點(diǎn),其中A,B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱,且直線PA、PB的斜率都存在,則kPA·kPB=-

.注意適用于焦點(diǎn)在x軸上,當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),直線PA與PB的斜率之積為

定值-

.(2)P是橢圓上一點(diǎn),F為橢圓的焦點(diǎn),則|PF|∈[a-c,a+c],即橢圓上的點(diǎn)到焦

點(diǎn)距離的最大值為a+c,最小值為a-c.(3)橢圓的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦)長(zhǎng)為

,通徑是最短的焦點(diǎn)弦.考點(diǎn)三直線與橢圓的位置關(guān)系1.直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷把橢圓方程

+

=1(a>b>0)與直線方程y=kx+h聯(lián)立消去y,整理成Ax2+Bx+C=0(A≠0)的形式,則:Δ=B2-4AC直線與橢圓的位置關(guān)系Δ>0直線與橢圓相交,有兩個(gè)公共點(diǎn)Δ=0直線與橢圓相切,有一個(gè)公共點(diǎn)Δ<0直線與橢圓相離,無(wú)公共點(diǎn)知識(shí)拓展點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系已知點(diǎn)P(x0,y0),橢圓

+

=1(a>b>0),則(1)點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓內(nèi)?

+

<1;(2)點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓上?

+

=1;(3)點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓外?

+

>1.2.弦長(zhǎng)公式設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2).則|AB|=

;|AB|=

|x1-x2|=

;|AB|=

(k≠0).注意

對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),Δ≥0,|x1-x2|=

.3.弦中點(diǎn)問(wèn)題設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)為弦端點(diǎn)坐標(biāo),P(x0,y0)為線段AB中點(diǎn),其中k=

(x1≠x2).若橢圓方程為

+

=1(a>b>0),則k=-

.若橢圓方程為

+

=1(a>b>0),則k=-

.考法一與橢圓定義相關(guān)的問(wèn)題知能拓展例1(1)已知點(diǎn)P是圓F1:(x+1)2+y2=16上任意一點(diǎn),點(diǎn)F2與點(diǎn)F1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱,線段PF2的垂直平分線m分別與PF1,PF2交于M,N兩點(diǎn),則點(diǎn)M的軌跡方

程為

.(2)過(guò)點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓

+

=1于A、B兩點(diǎn),F為橢圓的右焦點(diǎn),則△ABF周長(zhǎng)的最大值為

.解題導(dǎo)引(1)由于P在圓上,故|PF1|為定值;M在PF2的垂直平分線上,則|

MF2|=|MP|,結(jié)合圖形可知,|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|為定值,且大于|F1F2|,則M的軌跡是橢圓,進(jìn)而求出方程.(2)要求△ABF周長(zhǎng)最值,一種方法是找到取最值的幾何位置,另一種方法

是建立周長(zhǎng)關(guān)于變量的函數(shù),從而求最值;結(jié)合本題,三邊均變化,同時(shí)A,B

在橢圓上,考慮位置,由于|AB|≤|AF1|+|BF1|,當(dāng)AB過(guò)F1時(shí)取“=”,因此△ABF的周長(zhǎng)|AB|+|BF|+|AF|≤|AF1|+|BF1|+|AF|+|BF|=4a(a為橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)).解析(1)如圖所示,連接MF2,由題意知F2(1,0).∵直線m是線段PF2的垂直平分線,∴|MP|=|MF2|,又知|MP|+|MF1|=4,∴|MF1|+|MF2|=4>|F1F2|=2.∴點(diǎn)M的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓,且2a=4,2c=2.∴b2=3.∴點(diǎn)M的軌跡方程為

+

=1.(2)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1.如圖所示,連接AF1,BF1,由題意,可知橢圓的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(-2,0),F(2,0),a=2

,又由橢圓的定義可得|AF|=4

-|AF1|,|BF|=4

-|BF1|,所以△ABF的周長(zhǎng)為|AF|+|BF|+|AB|=8

+|AB|-(|AF1|+|BF1|),顯然|AF1|+|BF1|≥|AB|,當(dāng)且僅當(dāng)A,B,F1三點(diǎn)共線時(shí)周長(zhǎng)最大,最大值為8

.答案(1)

+

=1(2)8

經(jīng)典例題以下為教師用書(shū)專用例

(2019浙江高考數(shù)學(xué)仿真卷,3)以雙曲線

-x2=1的頂點(diǎn)為焦點(diǎn),離心率為

的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

()A.

+

=1

B.

+

=1

C.

+

=1

D.

+

=1解析由題意得橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,且c=

,由橢圓的離心率

=

?a=3,所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1,故選D.答案

D考法二橢圓離心率問(wèn)題的求法例2(1)(2019江西南康中學(xué)第二次大聯(lián)考,10)橢圓G:

+

=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-c,0),F2(c,0),M是橢圓上的一點(diǎn),且滿足

·

=0,則橢圓離心率e的取值范圍為()A.

B.

C.

D.

(2)(2020山東濟(jì)南6月模擬,14)已知F1,F2分別是橢圓C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),A,B是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn),AF2的中點(diǎn)P恰好落在y軸

上,若

·

=0,則橢圓C的離心率為

.解析(1)解法一:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0),∵

·

=0,F1(-c,0),F2(c,0),∴(x0+c)·(x0-c)+

=0,即

+

=c2①,又知點(diǎn)M在橢圓G上,∴

+

=1②,由①②聯(lián)立結(jié)合a2-b2=c2解得

=

,由橢圓的性質(zhì)可得0≤

≤a2,即

即

所以c2≥b2,又知b2=a2-c2,∴c2≥a2-c2,即2c2≥a2,解得e2≥

,又知0<e<1,∴

≤e<1,故選D.解法二:∵

·

=0,∴MF1⊥MF2,即△MF1F2是以M為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∵|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,∴橢圓的離心率e=

=

,又知(|MF1|+|MF2|)2≤2(|MF1|2+|MF2|2)=2|F1F2|2=8c2,∴|MF1|+|MF2|≤2

c,∴e=

≥

=

,當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|=|MF2|=

c時(shí),等號(hào)成立,又知0<e<1,∴e∈

.故選D.(2)由于AF2的中點(diǎn)P恰好落在y軸上,A,B是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn),所以AB過(guò)左焦點(diǎn)F1,且AB⊥F1F2,則不妨令A(yù)

,B

.因?yàn)镻是AF2的中點(diǎn),則P

.又F2(c,0),所以

=

.因?yàn)?/p>

=

,

·

=0,所以2c2-

=0,即2c=

.又b2=a2-c2,所以2ac=

(a2-c2),即

e2+2e-

=0,解得e=

或e=-

(舍去).答案(1)D(2)

經(jīng)典例題以下為教師用書(shū)專用例

(2020四川南充順慶月考,15)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C:

+

=1上的動(dòng)點(diǎn),F為C的右焦點(diǎn),定點(diǎn)A(2,1),則|PA|+|PF|的取值范圍是

.解析如圖,設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F',由橢圓方程

+

=1,得a=2

,∴|PF|=2a-|PF'|=4

-|PF'|,則|PA|+|PF|=4

+(|PA|-|PF'|)=4

-(|PF'|-|PA|).連接AF',當(dāng)P在AF'的延長(zhǎng)線上時(shí),|PA|-|PF'|最大為|AF'|=

=

,∴|PA|+|PF|的最大值為4

+

;當(dāng)P在F'A的延長(zhǎng)線上時(shí),|PF'|-|PA|最大為|AF'|=

=

,∴|PA|+|PF|的最小值為4

-

.∴|PA|+|PF|的取值范圍為[4

-

,4

+

].答案

[4

-

,4

+

]考法三直線與橢圓位置關(guān)系問(wèn)題的解法例3

(2020山東臨沂、棗莊考前練,21)已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)的離心率為

,其左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn),且

=

,

·

=-

,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)M為橢圓C的左頂點(diǎn),A,B是橢圓C上兩個(gè)不同的點(diǎn),直線MA,MB的傾

斜角分別為α,β,且α+β=

.證明:直線AB恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).解析(1)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),則

=(-c-x0,-y0),

=(c-x0,-y0),由題意得

解得c2=3.∴c=

.又e=

=

,∴a=2,∴b2=a2-c2=1,∴所求橢圓C的方程為

+y2=1.(2)由題可知直線AB的斜率存在,則設(shè)直線AB方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立得

消去y得,(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,∴x1+x2=-

,x1x2=

,∵α+β=

,∴tanα·tanβ=1,設(shè)直線MA,MB的斜率分別為k1,k2,則k1k2=1,∴

·

=1,即(x1+2)(x2+2)=y1y2,可化為(x1+2)·(x2+2)=(kx1+m)(kx2+m),∴(k2-1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2-4=0,∴(k2-1)

+(km-2)

+m2-4=0,化簡(jiǎn)得20k2-16km+3m2=0,解得m=2k或m=

k.當(dāng)m=2k時(shí),y=kx+2k,過(guò)點(diǎn)(-2,0),不合題意(舍去);當(dāng)m=

k時(shí),y=kx+

k,過(guò)點(diǎn)

,∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)

.方法總結(jié)1.判斷直線與橢圓的位置關(guān)系,可通過(guò)討論直線方程與橢圓

方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解組數(shù)來(lái)確定.一般通過(guò)消元得關(guān)于x(或y)的一

元二次方程,若Δ>0,則直線與橢圓相交;若Δ=0,則直線與橢圓相切;若Δ<0,

則直線與橢圓相離.2.弦長(zhǎng)公式:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)為直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn),直線AB的斜率存

在,設(shè)為k(k≠0),則|AB|=

|x1-x2|或|AB|=

|y1-y2|.3.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)為橢圓

+

=1(a>b>0)上兩點(diǎn),弦AB的中點(diǎn)為