考點(diǎn)一平面向量的概念及線性運(yùn)算1.向量的有關(guān)概念及表示法考點(diǎn)清單名稱定義表示法向量既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的長度(或模)向量:

;模:①|(zhì)

|

零向量長度為0的向量叫零向量,其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位的向量常用e表示平行向量方向相同或相反的非零向量a與b共線可記為②

a∥b

;0與任一向量共線共線向量平行向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量a=b相反向量長度相等且方向相反的向量a與b互為相反向量,則a=-b;0的相反向量為02.平面向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個向量和的運(yùn)算

三角形法則平行四邊形法則(1)交換律:a+b=③

b+a

;(2)結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)減法求a與b的相反向量-b的和的運(yùn)算三角形法則

數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|=|λ||a|;(2)當(dāng)λ>0時,λa與a的方向相同;當(dāng)λ<0時,λa與a的方向相反;當(dāng)λ=0時,λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=④

λa+λb

考點(diǎn)二平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算1.共線向量定理(1)判定定理:a是一個非零向量,若存在一個實(shí)數(shù)λ使得⑤

b=λa

,則向量

b與a共線.(2)性質(zhì)定理:若向量b與非零向量a共線,則存在唯一一個實(shí)數(shù)λ,使得b=λa.(3)A,B,C是平面上三點(diǎn),且A與B不重合,P是平面內(nèi)任意一點(diǎn),若點(diǎn)C在直線

AB上,則存在實(shí)數(shù)λ,使得

=(1-λ)

+λ

,如圖.

2.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意

向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,⑥不共線

的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.溫馨提示(1)構(gòu)成基底的兩向量不共線;(2)基底給定,同一向量的分解形式唯一;(3)若λ1e1+λ2e2=0,則λ1=λ2=0.3.平面向量的坐標(biāo)表示(1)在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、

j作為基底.對于平面內(nèi)的一個向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一

對實(shí)數(shù)x、y,使得a=xi+yj,這樣,平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定,

我們把有序數(shù)對⑦(x,y)

叫做向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y),其中x叫做a在

x軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸上的坐標(biāo),顯然0=(0,0),i=(1,0),j=⑧(0,1)

.(2)設(shè)

=xi+yj,則向量

的坐標(biāo)(x,y)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo),即若

=(x,y),則A點(diǎn)坐標(biāo)為⑨(x,y)

,反之亦成立(O是坐標(biāo)原點(diǎn)).4.向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

坐標(biāo)表示加法已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=⑩(x1+x2,y1+y2)

減法已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a-b=

(x1-x2,y1-y2)

數(shù)乘已知a=(x1,y1),則λa=

(λx1,λy1)

,其中λ是實(shí)數(shù)任一向量的坐標(biāo)已知A(x1,y1),B(x2,y2),則

=

(x2-x1,y2-y1)

溫馨提示

a.向量相等,則坐標(biāo)相同;b.向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線

段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān),只與其相對位置有關(guān).(2)平面向量共線的坐標(biāo)表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?

x1y2-x2y1=0.

.溫馨提示

a.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件不能表示成

=

.因?yàn)閤2,y2有可能等于0,所以應(yīng)表示為x1y2-x2y1=0.同時,a∥b的充要條件也不

能錯記為x1x2-y1y2=0,x1y1-x2y2=0等.b.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件是a=λb(b≠0),這與x1y2-x2y1=0在

本質(zhì)上是沒有差異的,只是形式上不同.考法一與平面向量線性運(yùn)算有關(guān)的解題策略知能拓展例1

(2020浙江金華十校期末,14)在△ABC中,M,N分別在AB,BC上,且

=2

,

=3

,AN交CM于點(diǎn)P,若

=x

+y

,則x=

,y=

.解析解法一:由已知

=2

,

=3

可得,

=

,

=

.由M,P,C三點(diǎn)共線可得,存在實(shí)數(shù)m,使

=m

+(1-m)

=

+(1-m)

.由A,P,N三點(diǎn)共線可得,存在實(shí)數(shù)n,使得

=n

+(1-n)

=n

+

(1-n)

.則有

+(1-m)

=n

+

(1-n)

.∴

∴

∴

=

+

.再由已知

=x

+y

及

=

-

,得

=x(

-

)+y

,∴

=

+

,∴

∴

解法二:

=x

+y

=x(

-

)+y

,即(1+x)

=x

+y

,所以

=

+

.由已知得

=3

,

=

,則

=

+

=

+

.因?yàn)镸,P,C共線,N,P,A共線,所以

解得

答案

;

方法總結(jié)1.若A,B,P三點(diǎn)共線,則可設(shè)成

=λ

的形式,也可以設(shè)成

=t

+(1-t)

的形式,兩種設(shè)法因題而異,如例1的解法一就用到了第二種設(shè)法;2.用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧:(1)觀察各向量的

位置;(2)尋找相應(yīng)的三角形或多邊形;(3)運(yùn)用法則找關(guān)系;(4)化簡結(jié)果.考法二與平面向量坐標(biāo)運(yùn)算有關(guān)的解題策略例2

(2020浙江臺州期末)如圖,已知正方形ABCD,點(diǎn)E,F分別為BC,CD上

的動點(diǎn),且|BE|=2|CF|,設(shè)

=x

+y

(x,y∈R),則x+y的最大值為

.

解題導(dǎo)引分別以AB,AD所在直線為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)正方

形的邊長為1,|BE|=2m,0≤m≤

,然后寫出A,E,F,C的坐標(biāo),求出向量

,

,

的坐標(biāo),再由

=x

+y

,將x,y分別用m表示出來,將x+y表示成關(guān)于m的函數(shù),求出其最大值.解析不妨設(shè)正方形的邊長為1,|BE|=2|CF|=2m,其中0≤m≤

.分別以AB,AD所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(1,0),E(1,2m),F(1-m,1),C(1,1).因?yàn)?/p>

=x

+y

,即(1,1)=x(1,2m)+y(1-m,1),所以有

解得

因而x+y=

=

.設(shè)t=1-m,t∈

,則x+y=

≤

=

,當(dāng)且僅當(dāng)t=

,即m=1-

時取等號,故x+y的最大值是

.答案

例3給定兩個長度為1的平面向量

和

,它們的夾角為

π,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動,若

=x

+y

,則x+y的最大值是

()A.

B.1

C.

D.2解題導(dǎo)引由于點(diǎn)C在

上運(yùn)動,故可設(shè)∠AOC=θ

,再通過建系,求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo),結(jié)合

=x

+y

,將x,y用θ表示出來,進(jìn)而求出x+y的最大值.解析以O(shè)為原點(diǎn),OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,設(shè)∠AOC=θ

,易知,A(1,0),B

,C(cosθ,sinθ)

.∵

=x

+y

,∴

∴

∴x+y=

sinθ+cosθ+

sinθ=

sinθ+cosθ=2sin

.又0≤θ≤

,∴sin

∈

,∴當(dāng)θ=

時,x+y取最大值2,故選D.答案

D方法總結(jié)在解決圓、直角三角形、矩形等特殊圖形中的向量問題時,

建立合適的平面直角坐標(biāo)系可以快速打開思路.經(jīng)典例題以下為教師用書專用例

(2018河北武邑中學(xué)期中,8)已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,AC=2,D是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且∠DAB=60°,設(shè)

=λ

+μ

(λ,μ∈R),則

=

()A.

B.

C.3

D.2

解析如圖,以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸建立平面直

角坐標(biāo)系,則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2).因?yàn)椤螪AB=60°,所以設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,

m)(m≠0).

=(m,

m)=λ

+μ

=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ)?λ=m,μ=

m,則

=

.故選A.答案

A技巧歸納解決直角三角形、等邊三角形、矩形等特殊圖形中的向量

問題時,建立合適的平面直角坐標(biāo)系可以快速打開思路.例

平面內(nèi)給定三個向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m、n;(2)若(a+kc)∥(2b-a),求實(shí)數(shù)k;(3)設(shè)d=(x,y),滿足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求d