考點(diǎn)一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)的解析式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);(2)頂點(diǎn)式:若二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k),則其解析式為f(x)=①

a(x-h)2+k(a≠0)

;(3)兩根式:若相應(yīng)一元二次方程的兩根為x1,x2,則其解析式為f(x)=②

a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

.考點(diǎn)清單解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+bx+c(a<0)圖象

定義域RR值域

③

最值f(x)min=

f(x)max=④

2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)單調(diào)性在⑤

上單調(diào)遞減,在⑥

上單調(diào)遞增在

上單調(diào)遞增,在

上單調(diào)遞減奇偶性當(dāng)b=0時為偶函數(shù),當(dāng)b≠0時為非奇非偶函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)

對稱性圖象關(guān)于⑦直線x=-

對稱知識拓展

二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在區(qū)間[m,n]上的最大值或最小

值如下:(1)當(dāng)-

∈[m,n],即對稱軸在所給區(qū)間內(nèi)時,f(x)的最小值在對稱軸處取得,其最小值是f

=

;若-

≤

,則f(x)的最大值為f(n);若-≥

,則f(x)的最大值為f(m).(2)當(dāng)-

?[m,n],即給定的區(qū)間在對稱軸的一側(cè)時,f(x)在[m,n]上是單調(diào)函數(shù),若-

<m,則f(x)在[m,n]上是增函數(shù),f(x)的最小值是f(m),最大值是f(n);若n<-

,則f(x)在[m,n]上是減函數(shù),f(x)的最小值是f(n),最大值是f(m).(3)當(dāng)不能確定-

是否屬于區(qū)間[m,n]時,則需分類討論,以對稱軸與區(qū)間的關(guān)系確定討論的標(biāo)準(zhǔn),然后轉(zhuǎn)化為上述(1)(2)兩種情形求最值.考點(diǎn)二冪函數(shù)1.冪函數(shù)的定義一般地,形如y=xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中α為常數(shù).2.冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=

,y=

的圖象

y=xy=x2y=x3y=

y=x-1定義域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增(-∞,0)上減,(0,+∞)上增增增(-∞,0)上減,(0,+∞)上減定點(diǎn)(0,0),(1,1)(1,1)3.冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=

,y=

的性質(zhì)考法一求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值(值域)知能拓展例1

(2019山西晉中模擬,18)已知f(x)=ax2-2x+1-a,a∈R.(1)求f(x)在[0,2]上的最小值g(a);(2)若關(guān)于x的方程f(2x)=(a+1)·4x-a·(2x+1)-2x+1+3有正實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值

范圍.解題導(dǎo)引(1)通過討論a的范圍,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)

間,求出函數(shù)的最小值即可;(2)化簡方程,得到4x-a·2x+2=0,令t=2x(t>0),問題轉(zhuǎn)化為

+t=a在(1,+∞)上有實(shí)根,求出a的取值范圍即可.解析(1)當(dāng)a=0時,f(x)=-2x+1在[0,2]上單調(diào)遞減,故最小值g(a)=f(2)=-3.當(dāng)a≠0時,f(x)=ax2-2x+1-a是關(guān)于x的二次函數(shù),其圖象的對稱軸為直線x=

.①當(dāng)a<0時,x=

<0,此時f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,故最小值g(a)=f(2)=3a-3;②當(dāng)a>0時,x=

>0,當(dāng)

∈(0,2),即a>

時,f(x)在

上單調(diào)遞減,在

上單調(diào)遞增,故最小值g(a)=f

=1-a-

;當(dāng)

∈[2,+∞),即0<a≤

時,f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,故最小值g(a)=f(2)=3a-3.綜上所述,g(a)=

(2)f(2x)=(a+1)4x-a(2x+1)-2x+1+3即a·4x-2x+1+1-a=(a+1)4x-a(2x+1)-2x+1+3,化簡得4x-a·2x+2=0,令t=2x(t>0),則方程變形為t2-at+2=0,根據(jù)題意得,原方程4x-a·2x+2=0有正實(shí)數(shù)根,即關(guān)于t的一元二次方程t2-at+2=0有大于1的實(shí)數(shù)根,而方程t2-at+2=0?

+t=a在(1,+∞)上有實(shí)根,令F(t)=

+t,t∈(1,+∞),則F(t)在(1,+∞)上的值域?yàn)閇2

,+∞),故a∈[2

,+∞).方法總結(jié)

二次函數(shù)求最值問題,一般先用配方法化成y=a(x-m)2+n(a≠0)

的形式,得其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),對稱軸為直線x=m,再結(jié)合二次函數(shù)

的圖象求解,常見的有三種類型:(1)對稱軸、區(qū)間都是給定的;(2)對稱軸動,區(qū)間固定;(3)對稱軸定,區(qū)間變動.解決這類問題的思路是抓住“三點(diǎn)一軸”進(jìn)行數(shù)

形結(jié)合,三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個端點(diǎn)及兩個端點(diǎn)的中點(diǎn),一軸指的是對稱軸.

具體方法是利用函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解.對于(2)、(3),通常要分對稱軸在區(qū)間內(nèi)、對稱軸在區(qū)間外兩大類情況進(jìn)

行討論.簡單地講,軸在區(qū)間外,端點(diǎn)處取最值,軸在區(qū)間內(nèi),頂點(diǎn)和端點(diǎn)處有最值.經(jīng)典例題以下為教師用書專用例若函數(shù)f(x)=x2-2x+1在區(qū)間[a,a+2]上的最大值為4,則a的值為

()A.1

B.-1

C.1或-1

D.0解析∵函數(shù)f(x)=x2-2x+1=(x-1)2在區(qū)間[a,a+2]上的最大值為4,f(-1)=f(3)=

4,∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,a+2]上的最大值在x=-1或x=3處取得.結(jié)合二次函數(shù)圖象可得a=-1,或a+2=3,∴a=-1,或a=1.故選C.答案

C例

(2016皖北第一次聯(lián)考,8)已知函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的

最大值為2,則a的值為

()A.2

B.-1或-3

C.2或-3

D.-1或2解析函數(shù)f(x)=-(x-a)2+a2-a+1圖象的對稱軸為x=a,且開口向下,分三種情

況討論如下:①當(dāng)a≤0時,函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù),∴f(x)max=f(0)=1-

a,由1-a=2,得a=-1.②當(dāng)0<a≤1時,函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,a]上是增函數(shù),在(a,1]上是

減函數(shù),∴f(x)max=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1,由a2-a+1=2,解得a=

或a=

,∵0<a≤1,∴兩個值都不滿足,舍去.③當(dāng)a>1時,函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù),∴f(x)max=f(1)=-1

+2a+1-a=2,∴a=2.綜上可知,a=-1或a=2.答案

D例設(shè)函數(shù)f(x)=2x2-6x+3,x∈[1,4],則f(x)的最小值和最大值為

()A.

,11

B.-1,3C.-

,4

D.-

,11解析函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=-

=

.∵a=2>0,∴拋物線開口向上,∵

∈[1,4],∴當(dāng)x=

時,f(x)取得最小值且f(x)最小值=-

;當(dāng)x=4時,f(x)取得最大值,且f(x)最大值=11.故選D.答案

D例

(2016浙江名校(柯橋中學(xué))交流卷四,18)已知f(x)=x2-3a2,g(x)=(2a+1)x.(1)若f(x)<g(x)的解集中有且僅有一個整數(shù),求a的取值范圍;(2)若|f(x)-g(x)|≤4a在x∈[1,4a]上恒成立,試確定a的取值范圍.解題導(dǎo)引(1)構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)→由F(0)=-3a2≤0,討論實(shí)數(shù)a是不是0→a=0時,求出不等式解集并進(jìn)行檢驗(yàn)(舍去)→a≠0時,僅需

→解不等式組得結(jié)論(2)利用特殊值1和區(qū)間的定義,得實(shí)數(shù)a的范圍→討論函數(shù)F(x)在區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值→得結(jié)論解析(1)令F(x)=f(x)-g(x)=x2-(2a+1)x-3a2,若a=0,則f(x)<g(x)的解集為(0,1),不滿足條件;若a≠0,則F(0)=-3a2<0,所以

解得

≤a<0.綜上可知,a的取值范圍為

.(2)根據(jù)題意知,a>

,且|f(1)-g(1)|≤4a,可得

<a≤

,所以F(x)=x2-(2a+1)x-3a2的圖象的對稱軸為直線x=a+

,且a+

∈

.若

<a≤

,則

即

解得0≤a≤

,所以

<a≤

;若

<a≤

,則

即

解得

≤a≤

,所以

<a≤

.綜上,a的取值范圍是

<a≤

.考法二一元二次方程根的分布例2已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有兩根,其中一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi),求m的取

值范圍;(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi),求m的取值范圍.解析令f(x)=x2+2mx+2m+1.(1)由條件知,拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別在區(qū)間

(-1,0)和(1,2)內(nèi),如圖所示,則

?

故m的取值范圍是

.(2)拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均落在區(qū)間(0,1)內(nèi),如圖所示,則

?

故m的取值范圍是

.方法總結(jié)研究二次函數(shù)零點(diǎn)的分布,一般情況下需要從以下三個方面考慮:(1)一元二次方程根的判別式;(2)對應(yīng)二次函數(shù)區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù);(3)對應(yīng)二次函數(shù)圖象——拋物線的對稱軸x=-

與區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系.設(shè)x1,x2是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩實(shí)根,則x1,x2的分布范

圍與一元二次方程系數(shù)之間的關(guān)系如下表:零點(diǎn)的分布(m,n,p為常數(shù))圖象滿足條件x1<x2<m

m<x1<x2

x1<m<x2

f(m)<0m<x1<x2<n

m<x1<n<x2<p

只有一個零點(diǎn)在(m,n)之間

或f(m)·f(n)<0或

或

經(jīng)典例題以下為教師用書專用例已知函數(shù)f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)(m≠2)的兩個零點(diǎn)分別在區(qū)間(-1,

0)和區(qū)間(1,2)內(nèi),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

()A.

B.

C.

D.

解析①當(dāng)m-2>0,即m>2時,需滿足

無解.②當(dāng)m-2<0,即m<2時,需滿足

解得m∈

,故選A.答案

A例若關(guān)于x的方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的兩根異號,且負(fù)根的絕對值比

正根大,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是

()A.-3<m<0

B.0<m<3C.m<-3或m>0

D.m<0或m>3解析由題意知,

由①②③解得-3<m<0.故選A.答案

A例

(2018山東德州期中,8)已知f(x)=ax2+(b-a)x+c-b(其中a>b>c且a≠0),若

a+b+c=0,x1、x2為f(x)的兩個零點(diǎn),則|x1-x2|的取值范圍為

()A.

B.(2,2

)C.(1,2)

D.(1,2

)解析∵a>b>c,a+b+c=0,∴a>0,c<0,b=-a-c,∴

<0.由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=

=

=2+

,x1·x2=

=

=1+

,∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=

-4

=

-

=

-4.∵x1+x2=

>0,x1·x2=

<0,∴2+

>0,1+

<0,∴-2<

<-

,∴

<

-4<12,∴|x1-x2|∈

.故選A.答案

A例

(2017江西九江七校聯(lián)考,13)若方程x2-mx+m-1=0有兩實(shí)根,則其中一

根大于2,另一根小于2的充要條件是

.解析令f(x)=x2-mx+m-1,由已知得f(2)<0?m>3.答案

m>3考法三冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用例3(1)(2020廣東揭陽三中第一次月考,7)如圖的曲線是冪函數(shù)y=xn在第

一象限內(nèi)的圖象.已知n分別取±2,±

四個值,與曲線C1,C2,C3,C4相應(yīng)的n依次為

()A.2,

,-

,-2B.2,

,-2,-

C.-

,-2,2,

D.-2,-

,

,2(2)(多選題)(2019湖北荊門一模,4改編)已知點(diǎn)

在冪函數(shù)f(x)的圖象上,則f(x)是

()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.定義域每個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)D.定義域每個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)解題導(dǎo)引(1)根據(jù)冪函數(shù)圖象的變化規(guī)律求解.(2)先根據(jù)題設(shè)條件求出

冪函數(shù)的解析式,后根據(jù)解析式判斷各選項.解析(1)根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì),得在直線x=1的右側(cè)越遠(yuǎn)離x軸的曲

線,指數(shù)越大,所以與曲線C1,C2,C3,C4相應(yīng)的n依次為2,

,-

,-2.故選A.(2)設(shè)y=f(x)=xα,把

代入函數(shù)解析式中,得2α=

,解得α=-1,∴冪函數(shù)f(x)=x-1,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),∴f(x)是定義域上的奇函數(shù),且在定義域的每個區(qū)

間內(nèi)是單調(diào)減函數(shù).故選AC.答案(1)A(2)AC經(jīng)典例題