考點一變量間的相關(guān)關(guān)系1.變量間的相關(guān)關(guān)系(1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類:一類是函數(shù)關(guān)系,另一類是相關(guān)關(guān)系.

與函數(shù)關(guān)系不同,相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.(2)在散點圖中,點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi),兩個變量的這種相

關(guān)關(guān)系稱為①正相關(guān)

,點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi),兩個變

量的相關(guān)關(guān)系稱為②負相關(guān)

.2.兩個變量的線性相關(guān)(1)從散點圖上看,如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近,稱兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線.考點清單(2)回歸直線方程(i)最小二乘法:通過求Q=

(yi-bxi-a)2的最小值而得到回歸直線的方法,即使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做③最小二乘法

.(ii)回歸方程:方程

=

x+

是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回歸方程,其中

,

是待定參數(shù).

(3)相關(guān)系數(shù)r

(ii)當(dāng)r>0時,表明兩個變量④正相關(guān)

;當(dāng)r<0時,表明兩個變量⑤負相關(guān)

.r的絕對值越接近于1,表明兩個變量的線性相關(guān)性越強;r的絕對值越接近

于0,表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.當(dāng)r的絕對值大于或等

于0.75時,認為兩個變量有很強的線性相關(guān)關(guān)系.(4)回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方

法.在線性回歸模型y=bx+a+e中,因變量y的值由自變量x和隨機誤差e共同

確定,即自變量x只能解釋部分y的變化,在統(tǒng)計中,我們把自變量x稱為解釋變量,因變量y稱為預(yù)報變量.考點二獨立性檢驗1.分類變量:變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別,像這樣的

變量稱為分類變量.2.列聯(lián)表:列出兩個分類變量的⑥頻數(shù)表

,稱為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個分

類變量X和Y,它們的可能取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表

(稱為2×2列聯(lián)表)為:

y1y2總計x1aba+bx2cdc+d總計a+cb+da+b+c+d可構(gòu)造一個隨機變量K2=

,其中n=a+b+c+d為樣本容量.3.獨立性檢驗利用獨立性假設(shè)、隨機變量⑦

K2

來確定是否有一定把握認為“兩個

分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.兩個分類變量X和Y是否有關(guān)系的判斷標(biāo)準(zhǔn):統(tǒng)計學(xué)研究表明:當(dāng)K2≤3.841時,認為X與Y無關(guān);當(dāng)K2>3.841時,有95%的把握說X與Y有關(guān);當(dāng)K2>6.635時,有99%的把握說X與Y有關(guān);當(dāng)K2>10.828時,有99.9%的把握說X與Y有關(guān).考法一線性回歸分析的應(yīng)用知能拓展例1下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的

折線圖.(1)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測2016年我國生活垃圾無

害化處理量.附:參考數(shù)據(jù):

yi=9.32,

tiyi=40.17,

=0.55,

≈2.646.參考公式:相關(guān)系數(shù)r=

,回歸方程

=

+

t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為

=

,

=

-

.解題導(dǎo)引解析(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得

=4,

(ti-

)2=28,

=0.55,

(ti-

)(yi-

)=

tiyi-

yi=40.17-4×9.32=2.89,r≈

≈0.99.

(4分)因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高,從而可

以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.

(6分)(2)由

=

≈1.331及(1)得

=

=

≈0.10,

=

-

=1.331-0.10×4≈0.93.所以,y關(guān)于t的回歸方程為

=0.93+0.10t.

(10分)將2016年對應(yīng)的t=9代入回歸方程得

=0.93+0.10×9=1.83.所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量約為1.83億噸.(12分)方法總結(jié)求線性回歸方程的步驟(1)用散點圖或進行相關(guān)性檢驗判斷兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系;(2)利用公式

=

,

=

-

求得回歸系數(shù);(3)寫出回歸直線方程.經(jīng)典例題以下為教師用書專用例

(2019廣東深圳第二次調(diào)研,18)某網(wǎng)店經(jīng)銷某商品,為了解該商品的

月銷量y(單位:千件)與當(dāng)月售價x(單位:元/件)之間的關(guān)系,收集了5組數(shù)據(jù)

進行了初步處理,得到下表:x56789y864.53.53(1)統(tǒng)計學(xué)中用相關(guān)系數(shù)r來衡量兩個變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強弱,

若|r|∈[0.75,1],則認為相關(guān)性很強;若|r|∈(0.25,0.75),則認為相關(guān)性一般;

若|r|∈[0,0.25],則認為相關(guān)性較弱.請計算相關(guān)系數(shù)r,并說明y與x之間的線

性相關(guān)關(guān)系的強弱(精確到0.01);(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程;(3)根據(jù)(2)中的線性回歸方程,估計當(dāng)售價x定為多少時,月銷售額最大?

(月銷售額=月銷售量×當(dāng)月售價)參考數(shù)據(jù):

≈12.85.參考公式:相關(guān)系數(shù)r=

,線性回歸方程

=

x+

中,

=

,

=

-

.解析(1)由表中數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得,

=7,

=5,

(1分)

(xi-

)2=10,

(yi-

)2=16.5.

(2分)

(xi-

)(yi-

)=-12.5,r=

≈-0.97.

(3分)因為|r|≈|-0.97|∈[0.75,1],所以說明y與x的線性相關(guān)關(guān)系很強.

(5分)(2)由(1)可知

=

=

=-1.25,

(7分)∴

=

-

=5-(-1.25)×7=13.75,

(8分)∴

=-1.25x+13.75.

(9分)(3)由題意可知,月銷售額的預(yù)估值

=1000·

·x=-1250x2+13750x(元)或者

=

·x=-1.25x2+13.75x(千元).

(10分)則當(dāng)x=5.5時,

取到最大值,即該店主將售價定為5.5元/件時,可使網(wǎng)店的月銷售額最大.(12分)考法二獨立性檢驗的應(yīng)用例2

(2019湘東六校聯(lián)考,19)市教育部門為研究高中學(xué)生的身體素質(zhì)與

課外體育鍛煉時間的關(guān)系,對該市某校200名高中學(xué)生平均每天的課外體

育鍛煉時間進行了調(diào)查,數(shù)據(jù)如下表:平均每天鍛煉的時間(分鐘)[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]總?cè)藬?shù)203644504010將學(xué)生日均課外體育鍛煉時間在[40,60]內(nèi)的學(xué)生評價為“課外體育

達標(biāo)”.(1)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表,并通過計算判斷

是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“課外體育達標(biāo)”與性

別有關(guān);

課外體育不達標(biāo)課外體育達標(biāo)合計男

女

20110合計

(2)從上述課外體育不達標(biāo)的學(xué)生中,按性別用分層抽樣的方法抽取10名學(xué)生,再從這10名學(xué)生中隨機抽取3人了解他們鍛煉時間偏少的原因,

記所抽取的3人中男生的人數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率來估計全市的情況,現(xiàn)在從該市所

有高中學(xué)生中抽取4名學(xué)生,求其中恰好有2名學(xué)生課外體育達標(biāo)的概率.參考公式:K2=

,其中n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828附:解題導(dǎo)引(1)把數(shù)據(jù)代入公式計算K2;(2)求出X=0,1,2,3時的概率,列分布列并求數(shù)學(xué)期望;(3)設(shè)4名學(xué)生中課外體育達標(biāo)的人數(shù)為ξ,由ξ~B

求P(ξ=2).解析(1)

課外體育不達標(biāo)課外體育達標(biāo)合計男603090女9020110合計15050200K2=

≈6.061<6.635,所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下不能判斷“課外體育達標(biāo)”與

性別有關(guān).

(4分)(2)易知,所抽取的10名學(xué)生中,男生有10×

=4名,女生有10×

=6名.X可取0,1,2,3.P(X=0)=

=

,P(X=1)=

=

,P(X=2)=

=

,P(X=3)=

=

.∴X的分布列為X0123P

E(X)=0×

+1×

+2×

+3×

=

.

(9分)(3)設(shè)所抽取的4名學(xué)生中,課外體育達標(biāo)的人數(shù)為ξ,由(1)中表格可知學(xué)生

課外體育達標(biāo)的頻率為

=

,將頻率視為概率,∴ξ~B

,∴P(ξ=2)=

×

×

=

.∴恰好有2名學(xué)生課外體育達標(biāo)的概率為

.

(12分)方法總結(jié)獨立性檢驗的一般步驟:(1)獨立性檢驗原理只能解決兩個對象,每個對象有兩類屬性的問題,所以

對于一個實際問題,我們要首先確定能否用獨立性檢驗的思想加以解決;(2)如果確實屬于這類問題,要科學(xué)地抽取樣本,樣本容量要適當(dāng),不可太

小;(3)根據(jù)數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表;(4)提出假設(shè)H0:所研究的兩類對象(X,Y)無關(guān);(5)根據(jù)公式計算K2=

(n=a+b+c+d)的值;(6)比較觀測值k與臨界值表中相應(yīng)的檢驗水平,根據(jù)小概率原理肯定或者

否定假設(shè),即判斷X、Y是否相關(guān).經(jīng)典例題以下為教師用書專用例

(2018河南開封一模,19)近年來我國電子商務(wù)行業(yè)迎來蓬勃發(fā)展的新

機遇,2017年雙十一期間,某購物平臺的銷售業(yè)績高達1271億元人民幣.

與此同時,相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務(wù)的評價體系,現(xiàn)從

評價系統(tǒng)中選出200次成功交易,并對其評價進行了統(tǒng)計,其中對商品的

好評率為0.6,對服務(wù)的好評率為0.75,對商品和服務(wù)都作出好評的交易為

80次.(1)完成下面的2×2列聯(lián)表,并回答是否有99%的把握認為商品好評與服務(wù)

好評有關(guān);

對服務(wù)好評對服務(wù)不滿意合計對商品好評

對商品不滿意

合計

200(2)若將頻率視為概率,某人在該購物平臺上進行的3次購物中,設(shè)對

商品和服務(wù)全好評的次數(shù)為隨機變量X.①求對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)X的分布列;②求X的數(shù)學(xué)期望和方差.附:P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

K2=

,其中n=a+b+c+d.解析(1)由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評價的2×2列聯(lián)表如下:

對服務(wù)好評對服務(wù)不滿意合計對商品好評8040120對商品不滿意701080合計15050200

K2