PAGEPAGE152022版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算教師用書文北師大版1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小，又有方向的量；向量的大小叫作向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度為單位1的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量如果表示兩個(gè)向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么稱這兩個(gè)向量平行或共線0與任一向量平行相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比擬大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法那么(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共線的判定定理a是一個(gè)非零向量，假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ.，使得b＝λa，那么向量b與非零向量a共線．【知識拓展】1．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6())＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．2．假設(shè)P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，那么eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，假設(shè)點(diǎn)A，B，C共線，那么λ＋μ＝1.【思考辨析】判斷以下結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊台暬颉啊哩?(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量．(×)(2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無關(guān)．(√)(3)假設(shè)a∥b，b∥c，那么a∥c.(×)(4)假設(shè)向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，那么A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．(×)(5)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立．(√)1．給出以下命題：①零向量的長度為零，方向是任意的；②假設(shè)a，b都是單位向量，那么a＝b；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))相等．那么所有正確命題的序號是()A．①B．③C．①③D．①②答案A解析根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個(gè)單位向量不一定相等，故②錯(cuò)誤；向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))互為相反向量，故③錯(cuò)誤．2．(教材改編)D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，那么向量eq\o(CD,\s\up6(→))等于()A．－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) B．－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) D.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))答案A解析如圖，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)).3．對于非零向量a，b，“a＋b＝0〞是“a∥b〞的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析當(dāng)a＋b＝0時(shí)，a＝－b，∴a∥b；當(dāng)a∥b時(shí)，不一定有a＝－b，∴“a＋b＝0〞是“a∥b〞的充分不必要條件．4．a(chǎn)，b是不共線的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是()A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝1答案D解析由eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三點(diǎn)共線得eq\o(AB,\s\up6(→))＝teq\o(AC,\s\up6(→))，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝tμ，))所以λμ＝1，應(yīng)選D.5．在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AO,\s\up6(→))，那么λ＝________.答案2解析由向量加法的平行四邊形法那么，得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).又O是AC的中點(diǎn)，∴AC＝2AO，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→)).又eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AO,\s\up6(→))，∴λ＝2.題型一平面向量的概念例1給出以下四個(gè)命題：①假設(shè)|a|＝|b|，那么a＝b；②假設(shè)A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，那么eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③假設(shè)a＝b，b＝c，那么a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號是()A．②③B．①②C．③④D．②④答案A解析①不正確．兩個(gè)向量的長度相等，但它們的方向不一定相同．②正確．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，假設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，那么eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).③正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同，∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c.④不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．綜上所述，正確命題的序號是②③.應(yīng)選A.思維升華向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度．(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制．(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等．(4)單位向量的關(guān)鍵是方向沒有限制，但長度都是一個(gè)單位長度．(5)零向量的關(guān)鍵是方向沒有限制，長度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線．設(shè)a0為單位向量，①假設(shè)a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，那么a＝|a|a0；②假設(shè)a與a0平行，那么a＝|a|a0；③假設(shè)a與a0平行且|a|＝1，那么a＝a0.上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；假設(shè)a與a0平行，那么a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.題型二平面向量的線性運(yùn)算命題點(diǎn)1向量的線性運(yùn)算例2(1)在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，假設(shè)點(diǎn)D滿足eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，那么eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c B.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c D.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c(2)(2022·課標(biāo)全國Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，假設(shè)eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，那么()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))答案(1)A(2)A解析(1)∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))＝2(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，∴3eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→))＋Aeq\o(B,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.(2)∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝3(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))，即4eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).命題點(diǎn)2根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)例3(1)設(shè)D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.假設(shè)eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1、λ2為實(shí)數(shù))，那么λ1＋λ2的值為________．(2)在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長線上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，假設(shè)eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，那么x的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))答案(1)eq\f(1,2)(2)D解析(1)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，即λ1＋λ2＝eq\f(1,2).(2)設(shè)eq\o(CO,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(BC,\s\up6(→))，∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋y(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－yeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1＋y)eq\o(AC,\s\up6(→)).∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，∴y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝－y，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).思維升華平面向量線性運(yùn)算問題的常見類型及解題策略(1)向量加法或減法的幾何意義．向量加法和減法均適合三角形法那么．(2)求向量的和．一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法那么；求差用三角形法那么；求首尾相連向量的和用三角形法那么．(3)求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比擬求參數(shù)的值．如圖，一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且交對角線AC于點(diǎn)K，其中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AK,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，那么λ的值為()A.eq\f(2,9)B.eq\f(2,7)C.eq\f(2,5)D.eq\f(2,3)答案A解析∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(5,2)eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AF,\s\up6(→)).由向量加法的平行四邊形法那么可知，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AK,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)\o(AE,\s\up6(→))＋2\o(AF,\s\up6(→))))＝eq\f(5,2)λeq\o(AE,\s\up6(→))＋2λeq\o(AF,\s\up6(→))，由E，F(xiàn)，K三點(diǎn)共線，可得λ＝eq\f(2,9)，應(yīng)選A.題型三共線定理的應(yīng)用例4設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線．(1)假設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．(1)證明∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線．又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．(2)解假設(shè)ka＋b與a＋kb共線，那么存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.思維升華(1)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系．當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線．(2)向量a、b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，假設(shè)λ1a＋λ2b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝0時(shí)成立，那么向量a、b不共線．(1)向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，那么()A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線C．A，C，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線(2)如下圖，設(shè)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OB,\s\up6(→))，那么△ABC與△AOC的面積之比為________．答案(1)B(2)2解析(1)∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))、eq\o(AB,\s\up6(→))共線，又有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．應(yīng)選B.(2)取AC的中點(diǎn)D，連接OD，那么eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))，∴O是AC邊上的中線BD的中點(diǎn)，∴S△ABC＝2S△OAC，∴△ABC與△AOC面積之比為2.4．容易無視的零向量典例以下表達(dá)錯(cuò)誤的選項(xiàng)是________．①假設(shè)a∥b，b∥c，那么a∥c.②假設(shè)非零向量a與b方向相同或相反，那么a＋b與a，b之一的方向相同．③|a|＋|b|＝|a＋b|?a與b方向相同．④向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.⑤eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.⑥假設(shè)λa＝λb，那么a＝b.錯(cuò)解展示解析⑤中兩個(gè)向量的和仍是一個(gè)向量，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.答案⑤現(xiàn)場糾錯(cuò)解析對于①，當(dāng)b＝0時(shí)，a不一定與c平行．對于②，當(dāng)a＋b＝0時(shí)，其方向任意，它與a，b的方向都不相同．對于③，當(dāng)a，b之一為零向量時(shí)結(jié)論不成立．對于④，當(dāng)a＝0且b＝0時(shí)，λ有無數(shù)個(gè)值；當(dāng)a＝0但b≠0或a≠0但b＝0時(shí)，λ不存在．對于⑤，由于兩個(gè)向量之和仍是一個(gè)向量，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.對于⑥，當(dāng)λ＝0時(shí)，不管a與b的大小與方向如何，都有λa＝λb，此時(shí)不一定有a＝b.故①②③④⑤⑥均錯(cuò)．答案①②③④⑤⑥糾錯(cuò)心得在考慮向量共線問題時(shí)，要注意考慮零向量．1．a(chǎn)，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，那么以下說法正確的選項(xiàng)是()A．a(chǎn)＋b＝0B．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)與b共線反向D．存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb答案D解析因?yàn)閍，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，那么a與b共線同向，故D正確．2．向量a，b，c中任意兩個(gè)都不共線，但a＋b與c共線，且b＋c與a共線，那么向量a＋b＋c等于()A．a(chǎn)B．bC．cD．0答案D解析依題意，設(shè)a＋b＝mc，b＋c＝na，那么有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a與c不共線，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0，選D.3．eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，那么以下一定共線的三點(diǎn)是()A．A，B，C B．A，B，DC．B，C，D D．A，C，D答案B解析因?yàn)閑q\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))有公共點(diǎn)A，所以A，B，D三點(diǎn)共線．4．平面內(nèi)一點(diǎn)P及△ABC，假設(shè)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，那么點(diǎn)P與△ABC的位置關(guān)系是()A．點(diǎn)P在線段AB上 B．點(diǎn)P在線段BC上C．點(diǎn)P在線段AC上 D．點(diǎn)P在△ABC外部答案C解析由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))得eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，即eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，所以點(diǎn)P在線段AC上．5．如下圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，假設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，那么m＋n的值為()A．1B．2C．3D．4答案B解析∵O為BC的中點(diǎn)，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(meq\o(AM,\s\up6(→))＋neq\o(AN,\s\up6(→)))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up6(→))，∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線，∴eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1，∴m＋n＝2.6．設(shè)P為銳角△ABC的外心(三角形外接圓的圓心)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝k(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))(k∈R)，假設(shè)cos∠BAC＝eq\f(2,5)，那么k等于()A.eq\f(5,14)B.eq\f(2,14)C.eq\f(5,7)D.eq\f(3,7)答案A解析取BC的中點(diǎn)D，連接PD，AD，那么PD⊥BC，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝k(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))(k∈R)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝2keq\o(AD,\s\up6(→))，∴A，P，D三點(diǎn)共線，∴AB＝AC，∴cos∠BAC＝cos∠DPC＝eq\f(DP,PC)＝eq\f(DP,PA)＝eq\f(2,5)，∴AP＝eq\f(5,7)AD，∴2k＝eq\f(5,7)，解得k＝eq\f(5,14)，應(yīng)選A.7．(2022·課標(biāo)全國Ⅱ)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，那么實(shí)數(shù)λ＝____________.答案eq\f(1,2)解析∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b與a＋2b平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，那么得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝μ，,1＝2μ，))解得λ＝μ＝eq\f(1,2).8．(2022·濱州一模)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，假設(shè)起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量a，b，c滿足c＝xa＋yb(x，y∈R)，那么x＋y＝________.答案eq\f(13,5)解析如圖，取單位向量i，j，那么a＝i＋2j，b＝2i－j，c＝3i＋4j.∴c＝xa＋yb＝x(i＋2j)＋y(2i－j)＝(x＋2y)i＋(2x－y)j，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝3，,2x－y＝4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(11,5)，,y＝\f(2,5)，))∴x＋y＝eq\f(13,5).9．設(shè)a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，假設(shè)A，B，D三點(diǎn)共線，那么實(shí)數(shù)p的值是________．答案－1解析∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b.又∵A，B，D三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∵a，b不共線，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.10.△ABC和點(diǎn)M滿足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0.假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，那么m＝______.答案3解析∵eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，∴M為△ABC的重心．如下圖，連接AM并延長交BC于點(diǎn)D，那么D為BC的中點(diǎn)．∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).又eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，即eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AM,\s\up6(→))，∴m＝3.

11.如圖，在△ABC中，D、E分別為BC、AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且GB＝2GE，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).解eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq