題目高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座關(guān)于求空間距離的問題高考要求空間中距離的求法是歷年高考考查的重點(diǎn)，其中以點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離為基礎(chǔ)，求其他幾種距離一般化歸為這三種距離重難點(diǎn)歸納空間中的距離主要指以下七種(1)兩點(diǎn)之間的距離(2)點(diǎn)到直線的距離(3)點(diǎn)到平面的距離(4)兩條平行線間的距離(5)兩條異面直線間的距離(6)平面的平行直線與平面之間的距離(7)兩個(gè)平行平面之間的距離七種距離都是指它們所在的兩個(gè)點(diǎn)集之間所含兩點(diǎn)的距離中最小的距離七種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離在七種距離中，求點(diǎn)到平面的距離是重點(diǎn)，求兩條異面直線間的距離是難點(diǎn)求點(diǎn)到平面的距離(1)直接法，即直接由點(diǎn)作垂線，求垂線段的長(2)轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離(3)體積法(3)向量法求異面直線的距離(1)定義法，即求公垂線段的長(2)轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離(3)函數(shù)極值法，依據(jù)是兩條異面直線的距離是分別在兩條異面直線上兩點(diǎn)間距離中最小的典型題例示范講解例1把正方形ABCD沿對角線AC折起成直二面角，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是原正方形的中心，求(1)EF的長；(2)折起后∠EOF的大小命題意圖考查利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解決立體幾何問題知識(shí)依托空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積公式錯(cuò)解分析建立正確的空間直角坐標(biāo)系其中必須保證x軸、y軸、z軸兩兩互相垂直技巧與方法建系方式有多種，其中以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，以、、的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向最為簡單解如圖，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz,設(shè)正方形ABCD邊長為a,則A(0，－a,0),B(a,0,0),C(0,a,0),D(0,0,a),E(0,－a,a),F(a,a,0)∴∠EOF=120°例2正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，求異面直線A1C1與AB1命題意圖本題主要考查異面直線間距離的求法知識(shí)依托求異面直線的距離，可求兩異面直線的公垂線，或轉(zhuǎn)化為求線面距離，或面面距離，亦可由最值法求得錯(cuò)解分析本題容易錯(cuò)誤認(rèn)為O1B是A1C與AB1的距離，這主要是對異面直線定義不熟悉，異面直線的距離是與兩條異面直線垂直相交的直線上垂足間的距離技巧與方法求異面直線的距離，有時(shí)較難作出它們的公垂線，故通常采用化歸思想，轉(zhuǎn)化為求線面距、面面距、或由最值法求得解法一如圖，在正方體AC1中，∵A1C1∥AC,∴A1C1∥平面AB1∴A1C1與平面AB1C間的距離等于異面直線A1C1與AB連結(jié)B1D1、BD，設(shè)B1D1∩A1C1=O1,BD∩AC=∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥平面BB1D1D∴平面AB1C⊥平面BB1D1D連結(jié)B1O，則平面AB1C∩平面BB1D1D=B1作O1G⊥B1O于G，則O1G⊥平面∴O1G為直線A1C1與平面AB1C間的距離，即為異面直線A1C1與在Rt△OO1B1中，∵O1B1=，OO1=1，∴OB1==∴O1G=，即異面直線A1C1與AB1間距離為解法二如圖，在A1C上任取一點(diǎn)M，作MN⊥AB1于N，作MR⊥A1B1于R，連結(jié)RN∵平面A1B1C1D1⊥平面A1ABB1，∴MR⊥平面A1ABB1，MR⊥AB1∵AB1⊥RN，設(shè)A1R=x,則RB1=1－x∵∠C1A1B1=∠AB1A1=45∴MR=x,RN=NB1=(0＜x＜1∴當(dāng)x=時(shí)，MN有最小值即異面直線A1C1與AB1距離為解法三（向量法）如圖建立坐標(biāo)系，則∴設(shè)MN是直線A1C1與AB1且則從而有∴例3如圖，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中點(diǎn)求(1)Q到BD的距離；(2)P到平面BQD的距離解(1)在矩形ABCD中，作AE⊥BD，E為垂足連結(jié)QE，∵QA⊥平面ABCD，由三垂線定理得QE⊥BE∴QE的長為Q到BD的距離在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,∴AE=在Rt△QAE中，QA=PA=c∴QE=∴Q到BD距離為(2)解法一∵平面BQD經(jīng)過線段PA的中點(diǎn)，∴P到平面BQD的距離等于A到平面BQD的距離在△AQE中，作AH⊥QE，H為垂足∵BD⊥AE,BD⊥QE,∴BD⊥平面AQE∴BD⊥AH∴AH⊥平面BQE，即AH為A到平面BQD的距離在Rt△AQE中，∵AQ=c,AE=∴AH=∴P到平面BD的距離為解法二設(shè)點(diǎn)A到平面QBD的距離為h，由VA—BQD=VQ—ABD,得S△BQD·h=S△ABD·AQh=學(xué)生鞏固練習(xí)1正方形ABCD邊長為2，E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)，將正方形沿EF折成直二面角(如圖)，M為矩形AEFD內(nèi)一點(diǎn)，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值為，那么點(diǎn)M到直線EF的距離為()AB1CD2三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°,設(shè)平面A1BC1與平面ABC的交線為l，則A1C1與A B C D3如左圖，空間四點(diǎn)A、B、C、D中，每兩點(diǎn)所連線段的長都等于a，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，動(dòng)點(diǎn)Q在線段CD上，則P與Q的最短距離為_________4如右上圖，ABCD與ABEF均是正方形，如果二面角E—AB—C的度數(shù)為30°，那么EF與平面ABCD的距離為_________5在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如圖(1)求證平面A1BC1∥平面ACD1；(2)求(1)中兩個(gè)平行平面間的距離；(3)求點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離6已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，點(diǎn)E在棱D1D上，截面EAC∥D1B且面EAC與底面ABCD所成的角為45°,AB=a,求(1)截面EAC的面積；(2)異面直線A1B1與AC之間的距離；(3)三棱錐B1—EAC的體積7如圖，已知三棱柱A1B1C1—ABC的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱A1A與AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于(1)求點(diǎn)A到平面B1BCC1的距離；(2)當(dāng)AA1多長時(shí)，點(diǎn)A1到平面ABC與平面B1BCC1的距離相等8如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB=AD=a,∠ADC=arccos,PA⊥面ABCD且PA=a(1)求異面直線AD與PC間的距離；(2)在線段AD上是否存在一點(diǎn)F，使點(diǎn)A到平面PCF的距離為參考答案1解析過點(diǎn)M作MM′⊥EF,則MM′⊥平面BCF∵∠MBE=∠MBC∴BM′為∠EBC為角平分線，∴∠EBM′=45°,BM′=,從而MN=答案A2解析交線l過B與AC平行，作CD⊥l于D，連C1D，則C1D為A1C1與l的距離，而CD等于AC上的高，即CD=,Rt△C1CD中易求得C1D==答案C3解析以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為空間四邊形，且為正四面體，取P、Q分別為AB、CD的中點(diǎn)，因?yàn)锳Q=BQ=a,∴PQ⊥AB,同理可得PQ⊥CD，故線段PQ的長為P、Q兩點(diǎn)間的最短距離，在Rt△APQ中，PQ=a答案a4解析顯然∠FAD是二面角E—AB—C的平面角，∠FAD=30°,過F作FG⊥平面ABCD于G，則G必在AD上，由EF∥平面ABCD∴FG為EF與平面ABCD的距離，即FG=答案5(1)證明由于BC1∥AD1，則BC1∥平面ACD1同理，A1B∥平面ACD1，則平面A1BC1∥平面ACD1(2)解設(shè)兩平行平面A1BC1與ACD1間的距離為d，則d等于D1到平面A1BC1的距離易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，則cosA1BC1=,則sinA1BC1=,則S=,由于，則S·d=·BB1,代入求得d=,即兩平行平面間的距離為(3)解由于線段B1D1被平面A1BC1所平分，則B1、D1到平面A1BC1的距離相等，則由(2)知點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離等于6解(1)連結(jié)DB交AC于O，連結(jié)EO，∵底面ABCD是正方形∴DO⊥AC，又ED⊥面ABCD∴EO⊥AC，即∠EOD=45°又DO=a，AC=a，EO==a，∴S△EAC=a(2)∵A1A⊥底面ABCD，∴A1A⊥AC，又A1A⊥A∴A1A是異面直線A1B1與AC又EO∥BD1，O為BD中點(diǎn)，∴D1B=2EO=2∴D1D=a，∴A1B1與AC距離為a(3)連結(jié)B1D交D1B于P，交EO于Q，推證出B1D⊥面EAC∴B1Q是三棱錐B1—EAC的高，得B1Q=a7解(1)∵BB1⊥A1E，CC1⊥A1F，BB1∥CC∴BB1⊥平面A1EF即面A1EF⊥面BB1在Rt△A1EB1中，∵∠A1B1E=45°，A1B1=a∴A1E=a,同理A1F=a,又EF=a，∴A1E=a同理A1F=a,又EF=a∴△EA1F為等腰直角三角形，∠EA1F過A1作A1N⊥EF，則N為EF中點(diǎn)，且A1N⊥平面BCC1B1即A1N為點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離∴A1N=又∵AA1∥面BCC1B，A到平面BCC1B1的距離為∴a=2，∴所求距離為2(2)設(shè)BC、B1C1的中點(diǎn)分別為D、D1，連結(jié)AD、DD1和A1D1，則DD1必過點(diǎn)N，易證ADD1A1∵B1C1⊥D1D,B1C1⊥A∴B1C1⊥平面ADD1∴BC⊥平面ADD1A得平面ABC⊥平面ADD1A1，過A1作A1M⊥平面ABC，交AD于若A1M=A1N，又∠A1AM=∠A1D1N，∠AMA1=∠A1ND1=90∴△AMA1≌△A1ND1,∴AA1=A1D1=,即當(dāng)AA1=時(shí)滿足條件8解(1)∵BC∥AD,BC面PBC,∴AD∥面PBC從而AD與PC間的距離就是直線AD與平面PBC間的距離過A作AE⊥PB，又AE⊥BC∴AE⊥平面PBC，AE為所求在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a∴AE=a(2)作CM∥AB，由已知cosADC=∴tanADC=,即CM=DM∴ABCM為正方形，AC=a,PC=a過A作AH⊥PC,在Rt△PAC中，得AH=下面在AD上找一點(diǎn)F，使PC⊥CF取MD中點(diǎn)F，△ACM、△FCM均為等腰直角三角形∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90°∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在滿足條件的點(diǎn)F課前后備注學(xué)法指導(dǎo):立體幾何中的策略思想及方法立體幾何中的策略思想及方法近年來，高考對立體幾何的考查仍然注重于空間觀點(diǎn)的建立和空間想象能力的培養(yǎng)題目起點(diǎn)低，步步升高，給不同層次的學(xué)生有發(fā)揮能力的余地大題綜合性強(qiáng)，有幾何組合體中深層次考查空間的線面關(guān)系因此，高考復(fù)習(xí)應(yīng)在抓好基本概念、定理、表述語言的基礎(chǔ)上，以總結(jié)空間線面關(guān)系在幾何體中的確定方法入手，突出數(shù)學(xué)思想方法在解題中的指導(dǎo)作用，并積極探尋解答各類立體幾何問題的有效的策略思想及方法一、領(lǐng)悟解題的基本策略思想高考改革穩(wěn)中有變運(yùn)用基本數(shù)學(xué)思想如轉(zhuǎn)化，類比，函數(shù)觀點(diǎn)仍是考查中心，選擇好典型例題，在基本數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下，歸納一套合乎一般思維規(guī)律的解題模式是受學(xué)生歡迎的，學(xué)生通過熟練運(yùn)用，逐步內(nèi)化為自己的經(jīng)驗(yàn)，解決一般基本數(shù)學(xué)問題就會(huì)自然流暢二、探尋立體幾何圖形中的基面立體幾何圖形必須借助面的襯托，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系才能顯露地“立”起來在具體的問題中，證明