(x)dx，DX()統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型是一類十分重要的統(tǒng)計(jì)模型用描述一些經(jīng)濟(jì)當(dāng)中的隨機(jī)現(xiàn)象及規(guī)律為我需要對(duì)經(jīng)濟(jì)計(jì)量型給出一些基本的介紹便學(xué)習(xí)更為深入的經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)理論與方法。為此，我們需要首先回顧概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面的一些重要內(nèi)容。§3.1隨機(jī)變量及其分布的數(shù)字特征§隨機(jī)變量任何隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果都可以利用樣本空間表示，因此可以在樣本空間上定義隨機(jī)變量。定3.1定義在樣本間上的實(shí)值可測(cè)函數(shù)，稱為隨機(jī)變量。這樣一來(lái)隨機(jī)變量可以表示很隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可以通過(guò)定量化變量來(lái)表示隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。定義隨機(jī)變量以后可以定義隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)樣就可以利用概率分布函數(shù)分析隨機(jī)變量取值的概率?！祀S機(jī)變量的概率分布定3.2假設(shè)是隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x定義函數(shù)：F(x{X}

(3.1)我們稱函數(shù)(x)是隨機(jī)量的率分布函數(shù)。如此定義的概率分布函數(shù)是左連續(xù)函數(shù)。當(dāng)分布函數(shù)連續(xù)可微的時(shí)候?qū)?shù)稱為概率密度函數(shù)分函數(shù)存在可數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)時(shí)，稱其為離散概率分布，這時(shí)可以定義離散概率分布列。如果了解了隨機(jī)變量的概率分布，則可以計(jì)算出任何區(qū)間內(nèi)隨機(jī)變量的概率，則有：命3.1假設(shè)是隨機(jī)變量，(x)是率布函數(shù)，f(概率密度函數(shù)則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，：P{a}(b)a)

b

f(x)

(3.2)a§隨機(jī)變量的數(shù)字特征由于徹底了解隨機(jī)變量的概率性質(zhì)要知道隨機(jī)變量的分布函數(shù)或者密度函數(shù)是比較困難的因此有時(shí)候只要了解一些概率分布函數(shù)的重要特征就可以了此們討論下述隨機(jī)變量的重要數(shù)字特征，即均值和方差。定3.3假設(shè)是隨機(jī)變量，并且二次可積，則定義隨機(jī)變量的均值和方差為：E

(x)

f()均值和方差具有非常重要的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)值表示隨機(jī)變量的平均取值方差表示隨機(jī)變量圍繞均值的波動(dòng)程度。這里的波動(dòng)經(jīng)常代表一種“信息”和“風(fēng)險(xiǎn)大家給予深入的理解。例一些重要的概率分布函數(shù)如下：均分布(f(x)

X~Ua,)x,)x(b)

)，密度函數(shù)為：

(3.3)/

12kk12kkf()，f(y)Y

a2

，DX

()12

2均勻分布是一種表示均等可能的概率分布等同無(wú)知“同濃度概。指分布密函數(shù)為：exp[],f()

(3.4)

EX

，

2指數(shù)分布經(jīng)常表示一種生命過(guò)程，例如產(chǎn)品周期和使用壽命等。正分布X~N

2

)，是十分重要的概率分布。其分布密度函數(shù)為：f(x)

2

exp

，

(3.5)這種分布的意義應(yīng)該給予更為深刻的了解，因此這種分布是概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)。顯然有：EX

，DX

2二分布X~B)假設(shè)隨機(jī)變量0,2,,n概率分布列為：(X)(1p)nEXnpDXnpq

n

(3.6)二項(xiàng)分布表示次試驗(yàn)中成功次數(shù)的概率分布，是一種十分常見(jiàn)的離散概率分布類型。泊分布(XP(

假隨機(jī)變X0,1,

，概率分布列為：()

k!

，

(3.7)EX

，DX泊松分布經(jīng)常表示一段時(shí)間(0,t)內(nèi)種時(shí)間發(fā)生頻率或者強(qiáng)度的概率分布?！?.2多元隨機(jī)向量及其概率分布§多元隨機(jī)向量如果一個(gè)隨機(jī)變量無(wú)法描述一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象某射擊的彈落點(diǎn)就需要二元坐標(biāo)加以度量則需要多個(gè)隨機(jī)變量一起量這些隨機(jī)現(xiàn)象隨變量為分量構(gòu)成的向量稱為隨機(jī)向量。定3.4設(shè)X,,)是維機(jī)向量對(duì)任意實(shí)數(shù)(x,,x)，稱n元數(shù)：11F(x,){x,X}Xn為,,X)的合概率分布函數(shù)。1

(3.8)有了上述聯(lián)合概率分布函數(shù)的定義以后可聯(lián)合概率密度函數(shù)定邊際概率密度和條件概率密度。聯(lián)合概率密度函數(shù)定義為：F(x,)f,,x)例如對(duì)于二元概率密度函數(shù)f(Y)

(y)

，邊際密度函數(shù)定義為：

(3.9)f()X

f()dx

條件概率密度函數(shù)為：/

iiiif(|)

f

()(,)f(yY

，f(|X)

f

(x)(,Y)f()

§隨機(jī)向量之間的獨(dú)立和相依性獨(dú)立性和相關(guān)性是隨機(jī)變量之間最為重要的相互關(guān)系，獨(dú)立性定義為：定3.5如果隨機(jī)向的聯(lián)合概率分布函數(shù)等于邊際分布函數(shù)的乘積機(jī)變量之間的相互獨(dú)立的。對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量而言如果f

(,)

(,)(x)f()則兩個(gè)隨機(jī)變量X和之Y是相互獨(dú)立的對(duì)多個(gè)隨機(jī)變而言兩獨(dú)立和相互獨(dú)立之間存在區(qū)別在用中應(yīng)該給予注意。如果兩個(gè)隨機(jī)變量之間不是獨(dú)立的其相依的需要定義它們之間的協(xié)方差，即：Y)[(X)(Y)]

上述協(xié)方差表示兩個(gè)隨機(jī)變量圍繞其均值偏離水平之間的關(guān)系果協(xié)方差大于零說(shuō)明兩個(gè)隨機(jī)變量具有相同的變化趨勢(shì)果方差小于零說(shuō)明兩個(gè)隨機(jī)變量具有相反的變化趨勢(shì)；這種統(tǒng)計(jì)性質(zhì)需要大家認(rèn)真理解協(xié)方差定義來(lái)加以理解。如果協(xié)方差等于零，則稱兩個(gè)隨機(jī)變量是無(wú)關(guān)的。將協(xié)方差標(biāo)準(zhǔn)化，可以得到相關(guān)系數(shù)的定義。定3.5如果隨機(jī)向X和Y均是非退化的，即具有大于零的方差，則定義關(guān)系數(shù)為：

,)DX

相關(guān)系數(shù)定量地描述隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度。§3.3抽樣分布和參數(shù)估計(jì)注意到上述所描述的分布及其特征都是理論上的得對(duì)現(xiàn)實(shí)隨機(jī)現(xiàn)象及其分布的認(rèn)識(shí)必通過(guò)抽取數(shù)據(jù)進(jìn)行推和估計(jì)。為此論上的分布稱為母體的，獲得數(shù)據(jù)后的推斷稱為樣本的。母體的性質(zhì)是理論上的，樣本的性質(zhì)是經(jīng)驗(yàn)的?！鞓颖竞徒y(tǒng)計(jì)量假設(shè)X,12

,X

n

是從母體X中得的樣本，這些樣本在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)之前是隨機(jī)變量，而進(jìn)行實(shí)驗(yàn)以后就是觀測(cè)值。因此，一般情況下，我們所表示的都是樣本，而不是觀測(cè)值，這樣X(jué),12

,X

n

是具有獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本也稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣。定3.4不包含任何數(shù)的樣本的函數(shù)，稱為統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量是可以計(jì)算出數(shù)值的統(tǒng)計(jì)量最為重要的性質(zhì)下述都是重要的統(tǒng)計(jì)量：1樣本均值：Xni

i

樣本方差：S

1n()ni

1n樣本k原矩：rXni

i

1樣本k中矩：w(XX)ni

/

nxtxTtnxtxTt樣本極差：max{X}min{}nii1樣本協(xié)方差：()iii隨機(jī)變量的矩：連續(xù)隨機(jī)變量的階定義為：

m

(X

)

X

f(x這里“”示數(shù)學(xué)期望

f(x)是X的概率密度函數(shù)。一階矩稱之為X的值或者數(shù)學(xué)期望其量的是分布的中位置我們用表的均值。的階心矩可以表示為：mE(X)

(X)

f(x假定積分存在。二階中心矩用

x

表示，度量的是

的變化，稱為

的方差。方差的正平方根稱的標(biāo)準(zhǔn)離差知道一階矩和二階矩就可以確定一個(gè)唯一的正態(tài)分布x于其他的分布，則要考慮更高階矩。三階矩度量

相對(duì)于均值的對(duì)稱性。四階矩度量的是

的尾部特征。統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上，偏度和峰度（也就是的階矩和四階矩）常用于概括分布的偏峰和厚尾的程度。X的三階矩和四階矩定義如下：S)E

(X)3

，()

(X)4

。因?yàn)檎龖B(tài)分布下

K()

，因此

()

稱之為剩余峰度。于是，正態(tài)隨機(jī)變量的剩余峰度為零如果一個(gè)分布具有的剩余峰度稱之為厚尾的這暗示著和正態(tài)分布相比較，該分布在尾部有更多的質(zhì)量。在實(shí)際中，這意味著這樣的隨機(jī)分布具有更多的極值。在應(yīng)用上度和峰1可以通過(guò)樣本觀測(cè)值估計(jì)出來(lái)

{}T

是隨機(jī)變量

的T

個(gè)樣本觀測(cè)值，樣本均值如下：tTt樣本方差為：

（）

2x

1T()Tt

（）樣本偏度為：()

1

t

(

tx

3

（）樣本峰度為：(x)(x)4t在正態(tài)假設(shè)下，()和K(x進(jìn)的服從零均值，方差分別為T和24。也為峭度，描述的是密度函數(shù)的陡峭程度，若十分陡峭，則具有厚尾的特性。/

（）

§參數(shù)估計(jì)如果隨機(jī)變量的概率分布中存在未知參數(shù)需要利用統(tǒng)計(jì)量將參數(shù)估計(jì)出來(lái)般估計(jì)方法有兩種，一種是點(diǎn)估計(jì)，一種是區(qū)間估計(jì)。參點(diǎn)估計(jì)(pointestimation)常用的點(diǎn)估計(jì)方法有兩種一種是矩估計(jì)一種是極大似然估計(jì)矩估計(jì)是假設(shè)樣本原點(diǎn)矩等于母體原點(diǎn)矩從而獲得數(shù)的估計(jì)極大似然估計(jì)是通過(guò)似然函數(shù)的極大化得參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，這是最為重要的一種參數(shù)估計(jì)方法。極大似然估計(jì)依據(jù)極大似然原理，可以從下述例子中了解這種原理的應(yīng)用。例假設(shè)隨機(jī)樣本X,X12

,X

n

從母體P(

中獲得，試求參數(shù)

的極大似然估計(jì)。解構(gòu)似然函數(shù)似函數(shù)一是概率分布列或者概率密度函數(shù)的乘積然后通過(guò)求對(duì)數(shù)，獲得對(duì)數(shù)似然函數(shù)，這是單調(diào)變換，不影響極大值性質(zhì)。然后可以得到：

X區(qū)估計(jì)(intervalestimation)定3.5假設(shè)T(,X)和T()是個(gè)統(tǒng)計(jì)量，且對(duì)于任意樣本都有：11(,)(X,X)。果隨機(jī)區(qū)間[(XXT(X)]覆未知參11數(shù)的率等于某個(gè)事先給定的正常數(shù)即P{(,,)gT(X,,X)}121

則稱[(XT(X)]是數(shù)的信度為1n21n

的置信區(qū)間。一般情形下置信區(qū)間不是唯一我們希望獲得長(zhǎng)度最小的置信區(qū)間信間估計(jì)的構(gòu)造方法比較普遍，希望大家復(fù)習(xí)并掌握?！靺?shù)估計(jì)的判斷準(zhǔn)則參數(shù)估計(jì)的優(yōu)劣可以通過(guò)一些標(biāo)準(zhǔn)加以判斷的準(zhǔn)則有無(wú)偏性性一致性等。無(wú)性是指統(tǒng)計(jì)量在母體分布下是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)，即：(X)

)

有性是指統(tǒng)計(jì)量在一定范圍無(wú)偏估計(jì)范具有較小的方差。一性是一種參數(shù)估計(jì)的大樣本性質(zhì)，是指樣本容量增加時(shí)，統(tǒng)計(jì)量按概率收到未知參數(shù)，即XXg1n

對(duì)于大樣本性質(zhì)家盡量了一些收斂性的概念和命題樣可以對(duì)經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)中的一些高級(jí)算法有所理解。§3.4參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中非常重要的一類內(nèi)容，重要根據(jù)“小概率事件不可能發(fā)生原理”來(lái)進(jìn)行參數(shù)顯著性的檢驗(yàn)，基本過(guò)程包括：根實(shí)際問(wèn)題提出原假設(shè)和備選假設(shè)根實(shí)際問(wèn)題確定適當(dāng)?shù)娘@著性水平根原假設(shè)形式構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值。確假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域。對(duì)假