【高考】模擬

山東省煙臺市2022屆高考數(shù)學(xué)測試模擬試題（三模）

題號一二三四五總分

得分

注意事項：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選一選）

評卷人得分

一、單選題

1,若集合/=神馮8噸—},則解）15=（）

A{x|2<x<3}B{x|-l<x<2}c{x|2<x<3}D{x|-l<x<2}

2i

2.復(fù)數(shù)正的共鈍復(fù)數(shù)為

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

3.若。和。分別為空間中的直線和平面，則’a”是垂直。內(nèi)無數(shù)條直線''的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.屈原是中國歷史上位偉大的愛國詩人，中國浪漫主義文學(xué)的奠基人，“楚辭”的創(chuàng)立

者和代表作者，其主要作品有《離》、《九歌》、《九章》、《天問》等.某校于2022年6

月周舉辦“國學(xué)經(jīng)典誦讀”，計劃周一至周四誦讀屈原的上述四部作品，要求每天只誦

讀一部作品，則周一不讀《天問》，周三不讀《離》的概率為（）

132.3

A.2B.4C.12D.6

5.過雙曲線C：a2b-/的焦點且斜率不為0的直線交C于8兩點,

。為48中點，若心“"“一己，則C的離心率為（）

【高考】模擬

A.&B.2C.GD.2

2cos2a---1+cos2a

6.若I3J,則tan2a的值為（）

—皂如

A.3B.3C.*

7.如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓°,尸為圓。上任一點，若

AP=xAB+yAC）則2x+2y的值為（）

84

A.3B.2C.3D.1

小）=啊心>0

2

8.已知函數(shù)lx+2x-l,x<0（若方程/。）=以-1有且僅有三個實數(shù)解，則實

數(shù)。的取值范圍為（）

A.°<?<1B.0<a<2C.”>1D,a>2

評卷人得分

二、多選題

9.若某地區(qū)規(guī)定在一段時間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體的標準為“連續(xù)10天，每天新增疑

似病例不超過7人”，根據(jù)該地區(qū)下列過去10天新增疑似病例的相關(guān)數(shù)據(jù)，可以認為

該地區(qū)沒有發(fā)生大規(guī)模群體的是（）

A.平均數(shù)為2,中位數(shù)為3B.平均數(shù)為1,方差大于0.5

C.平均數(shù)為2,眾數(shù)為2D.平均數(shù)為2,方差為3

10.已知函數(shù)"x）=/sin（0x+。）（/>（）,。>0,附<5）的部分圖象如圖所示，

則下列結(jié)論正確的是（)

【高考】模擬

/（x）=2cos（2x-y1

A.?

kn,kn-\--

B.滿足/卜）>1的x的取值范圍為I3J（P）

2L—兀

C.將函數(shù)/（X）的圖象向右平移五個單位長度，得到的圖象的一條對稱軸'=3

D.函數(shù)/（X）與g（x）=-2cos2x的圖象關(guān)于直線x=3對稱

11.二進制是計算中廣泛采用的一種數(shù)制，由18世紀德國數(shù)理哲學(xué)家萊布尼茲發(fā)現(xiàn),

二進制數(shù)據(jù)是用0和1兩個數(shù)碼來表示的數(shù).現(xiàn)采用類似于二進制數(shù)的方法構(gòu)造數(shù)列：

正整數(shù)"=%2'+%-「2",'+…+%—2。，其中””{0,1}（i=0,l,2,…,k）,記

”=。。+4+…+%+%如3=1x21+1x2°,4=1+1=2,則下列結(jié)論正確的有

()

A.&=3B.與“=勾c.憶”=2+1D%“+5=”“+3

12.某公司通過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率￡與工作年限廠（，>0）,勞累程度7（

0<7<1）,勞動動機人（l<b<5）相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型五=10-1078°巧.已知甲

、乙為該公司的員工，則下列說確的有（）

A.甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動動機低，則甲比乙勞累程度強

B.甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，則甲比乙勞累程度弱

C.甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動動機高，則甲比乙工作效率高

D.甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高

第II卷（非選一選）

評卷人得分

【高考】模擬

13.若"x）=g（x>ln（x2T）為奇函數(shù)，則g（x）的表達式可以為gG）

14.若°-如）”展開式中第6項的系數(shù)為1792,則實數(shù)。的值為.

15.已知動點P到點"0'°）的距離是到點8（L3）的距離的2倍，記尸點的軌跡為C,

直線y="+l交c于〃，N兩點，。（1，4）,若的面積為2,則實數(shù)氏的值為

評卷人得分四、雙空題

16.某學(xué)校開展手工藝品展示，小明同學(xué)用塑料制作了如圖所示的手工藝品，其外部

為一個底面邊長為6的正三棱柱，內(nèi)部為一個球，球的表面與三棱柱的各面均相切,

則該內(nèi)切球的表面積為.,三棱柱的頂點到球的表面的最短距離為

五、解答題

17.在ANBC中，角A,B,C的對邊分別為a,6,c,且

b=2acosAcosC+2ccos2A

⑴求角A；

（2）若。=4,求c-2b的取值范圍.

18.當下，大量的青少年沉迷于各種游戲，極大地毒害了青少年的身心健康.為了引導(dǎo)

青少年不良游戲，適度參與益腦游戲，某游戲公司開發(fā)了一款益腦游戲，在內(nèi)測時收

集了玩家對每一關(guān)的平均過關(guān)時間，如下表：

關(guān)卡X123456

平均過關(guān)時間y（單位：秒）

5078124121137352

【高考】模擬

V4=28.5,Vxiui=106.05

計算得到一些統(tǒng)計量的值為：I,其中，〃，=lny,.

(1)若用模型'=般”擬合N與X的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出y與X的回歸方程；

(2)制定游戲規(guī)則如下：玩家在每關(guān)的平均過關(guān)時間內(nèi)通過可獲得積分2分并進入下一

關(guān)，否則獲得7分且該輪游戲結(jié)束.甲通過練習(xí)，前3關(guān)都能在平均時間內(nèi)過關(guān)，后面

4

3關(guān)能在平均時間內(nèi)通過的概率均為與，若甲玩一輪此款益腦游戲，求“甲獲得的積分

X”的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(知乂)二…，〃)，其回歸直線f=八+4的斜率和截距

3=得-----

-nx~2人——

的最小二乘估計分別為I,a=y-bx

0

19.已知數(shù)列"J的前〃項和為S，,'~2,當"22時，S；=a?Sn-an

⑴求S”;

\r_

(2)設(shè)數(shù)列IS」的前”項和為k若蜀"+9)2"恒成立，求4的取值范圍.

20.如圖，在平面五邊形"88中，為正三角形，AD//BC,ND48=90。且

AD=AB=2BC=2.將APAD沿AD翻折成如圖所示的四棱錐P-ABCD,使得

(1)求證：世〃平面尸4)；

DE1

(2)若同一萬，求平面ErC與平面夾角的余弦值.

江+金=1旦

22

21.已知橢圓C：ab(a>b>0)的離心率為2,其左、右焦點分別為耳,

行，7為橢圓C上任意一點，△歷&面積的值為1.

(1)求橢圓C的標準方程；

【高考】模擬

(2)已知"°」)，過點I'的直線/與橢圓c交于不同的兩點四，N,直線

與x軸的交點分別為乙Q,證明：以尸。為直徑的圓過定點

22.已知函數(shù)/(x)=ae*-ln(x+l)(”eR)

(1)證明：當a>0時，函數(shù)/(")存在的極值點；

⑵若不等式分)2cos("1)恒成立，求°的取值范圍

【高考】模擬

答案：

1.B

【分析】

首先解一元二次不等式求出集合3,再根據(jù)補集、交集的定義計算可得;

【詳解】

解：由x、2x<3,即G-3)(x+l)<0,解得

所以8=/-_2x<3}={x|-l<x<3},

又/1={X,22},所以Q/={x|x<2},

所以(4/)15={x|-l<x<2}；

故選：B

2.B

【詳解】

0.W-0

Z-------------------------1TI

試題分析：1+i^+0(1-0,故共規(guī)復(fù)數(shù)為l—i

考點：復(fù)數(shù)運算

3.A

【分析】

利用充分條件、必要條件的定義線面垂直的意義判斷作答.

【詳解】

若。,夕，則“垂直"內(nèi)所有直線，因此，命題“若a'a,則“垂直a內(nèi)無數(shù)條直線，，正確,

“垂直々內(nèi)無數(shù)條直線，若這無數(shù)條直線中無任何兩條直線相交，此時直線?？梢栽谄矫?/p>

a內(nèi)，即不能推出a,。，

所以“aLa”是，，a垂直a內(nèi)無數(shù)條直線，，的充分不必要條件.

故選：A

4.C

【高考】模擬

【分析】

利用古典概型去求周一不讀《天問》，周三不讀《離》的概率

【詳解】

該校周一至周四誦讀屈原的四部作品方法總數(shù)為A：=24

周一不讀《天問》，周三不讀《離》的方法總數(shù)為A”A；-A；+A；=14

24_2_

則周一不讀《天問》，周三不讀《離》的概率為24-12

故選：C

5.D

【分析】

先設(shè)出直線Z8的方程，并與雙曲線0的方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法及條件

￡'"""=5得到關(guān)于“、。的關(guān)系，進而求得雙曲線C的離心率

【詳解】

不妨設(shè)過雙曲線C的焦點且斜率不為0的直線為'=“（X-。），/*°,令工區(qū)，％），8（程％）

卜2/

/kI

由［尸k（x-c）,整理得e-a2k2y+2a2k2cx~（a2k2c2+a2b2）=0

2a2k2ca2k2c2+a2b2~a2k2ckb2c、

則為+々=/公_/，x^2=15,

_kb2c_b2_1b?I

則以二窺=五，由儲可得滔=5

_c_V6

則有/=2〃，HP3a2=2c2,則雙曲線C的離心率《a2

故選：D

6.D

【分析】

利用兩角差的余弦公式和二倍角的正弦公式化簡題給條件，得到三角函數(shù)齊次式，進而求

得tan2a的值

【高考】模擬

【詳解】

=-+sin2a+—sin2a=l--cos2a+—sin2a

2222

@sin2a=3cos2a

1——cos2a+——sin2a=1+cos2a

由22可得22

又cos2axO,則tan2a=VJ

故選：D

7.A

【分析】

等和線的問題可以用共線定理，或直接用建系的方法解決.

【詳解】

作8c的平行線與圓相交于點P,與直線Z8相交于點E,與直線ZC相交于點尸,

^.AP=AAE+^AFf則+〃=

—=—=kAre[O,-]

???BC//EF,??.設(shè)/8AC,則3

...AE=kAB,AF=kAC,AP=AAE+JLIAF=AkAB+jnkAC

.x=Ak,y=pk

Q

rc2(1+z/k=2k<-

..2x+2產(chǎn)尸3

故選：A.

8.B

【高考】模擬

【分析】

作出函數(shù)/（X）的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出對應(yīng)的切線方程以及斜率，利用數(shù)形進行

求解即可.

【詳解】

解：作出函數(shù)“X）的圖象如圖：

依題意方程/（、）="-1有且僅有三個實數(shù)解，即歹=/a）與y="X-1有且僅有三個交點,

因為ys-1必過（°，T）,且"°）=T,

若心°時，方程/（x）="7不可能有三個實數(shù)解，則必有。＞0,

當直線了=辦-1與了印11》在x＞］時相切時，

設(shè)切點坐標為（X。，%）,則""）="即

1z、

y-y0=—（x-x0）

則切線方程為x°,

y=—-^+^-1=—-x+lnx0-l

即迎”0,

切線方程為V="x-1,

%且歷%-1=-1,則與二1,所以以=1,

【高考】模擬

即當a>0時夕="-1與y=/（x）在（0,+8）上有且僅有一個交點，

要使方程/（X）="7有且僅有三個的實數(shù)解，

則當X40時"x）=x2+2x-l與卜="-1有兩個交點，設(shè)直線N="T與

/（》）=爪+21切于點（0,-1）,此時/"）=2x+2,則J"（0）=2,即q=2,

所以。<“<2,

故選：B

9.AD

【分析】

根據(jù)給定條件，利用平均數(shù)、中位數(shù)、方差的意義計算推理判斷A,D；舉例說明判斷

B,C作答.

【詳解】

對于A,因10個數(shù)的平均數(shù)為2,中位數(shù)為3,將10個數(shù)從小到大排列，設(shè)后面4個數(shù)從

小到大依次為a,h,c,d,

顯然有而a+6+c+d414,則"的值為5,A符合條件；

對于B,平均數(shù)為1,方差大于0.5,可能存在大于7的數(shù)，如連續(xù)10天的數(shù)據(jù)為：

0,0,0,0,0,0,0,0,0,10,

其平均數(shù)為1,方差大于0.5,B不符合；

對于C,平均數(shù)為2,眾數(shù)為2,可能存在大于7的數(shù)，如連續(xù)10天的數(shù)據(jù)為：

0,0,0,2,2,2,2,2,2,8,

其平均數(shù)為2,眾數(shù)為2,C不符合；

對于D,設(shè)連續(xù)10天的數(shù)據(jù)為因平均數(shù)為2,方差為3,

110

…一指￡（若一-2）2=3,7〃、，.XT..1A

則有10,T,于是得（x,「2）430,而X”N,"€N,,410,因此

xWeN*,iV10,D符合條件.

故選：AD

10.ABD

【高考】模擬

【分析】

根據(jù)圖象求出/（X）的解析式，然后運用三角函數(shù)的知識逐一判斷即可.

【詳解】

f(x)=2,T=2x(—7t__—I=7t

v7max(1212)

由圖可得,

/I--j=2sin|--x2+^j=0--+<?>=2kn,keZ

所以4=2,"=2因為<12；I12J,所以6

(P=2kit+—,keZ|<c>|<—?=—,

所以6，因為㈠2,所以6

f(x)=2sin(2x+*J=2cos(2x-：

3,故A正確;

/(x)=2sinI2x+—I>1sinl2x+—|>—

由"I6j可得I6j2

2far+—<2x+—<2/cn+—,keZxe\/at,/ai+—\

所以666，解得I3),ksZ,故B正確:

將函數(shù)/（X）的圖象向右平移五個單位長度，得到的是函數(shù)

y=2sin2\x--|+—=2sin2x丫=工

LI12）6」的圖象，直線-3不是其對稱軸，故C錯誤;

2兀x\=2sinf-2x+^-

=-2cos2x=g(x)

因為

所以函數(shù)/（X）與g（x）=-2cos2x的圖象關(guān)于直線'=3對稱，故D正確:

故選：ABD

11.BD

【分析】

求得仇=2否定選項人；求得&并與“比較判斷選項B：求得&+3并與4+1比較判斷選項

C；分別求得第+5、4“+3并進行比較判斷選項D.

【詳解】

【高考】模擬

選項A：9=1X23+OX22+OX2'+1X20,則4=1+°+°+1=2判斷錯誤；

選項B："=+%_/21+…+%?2°,4=4+勺_1+…+旬

<+l

則2"=ak-2+?2*+…+4.2,+0x2°,

則％=4+%+…+-+°=%+%+…+%=”判斷正確；

選項C：〃=。/2￡+4_/21+…+g.2°,4=4+%_1+…+旬

則2〃+3=%.2"|+4T-2*+-+(a0+l)-2'+lx2°

62"+3=4+%+?-+%+1+1=。*+。1+“-+%+2=”+2/6,+1判斷錯誤

選項D："=4-2"+4T-21+…+%.2°,bn=ak+ak^+---+a0

則8〃+5=(如立川+%立=+...+g.2,)+1x2?+0x2i+1x2°

2+3t+232

=?*,*+?*-i?2+---+a()-2+lx2+0x2'+1x2°

+2+l2

4/7+3=(at-2*+^_1.2*2)+1x2'+1x2°

+2+12l0

=4-2*4-aA._|.2*+-..+a0.2+lx2+lx2

貝ga”+5=4+4-i+…+/+1+0+]=6“+2

酊"%+%+…+%+1+1=6“+2,則怎”“2.判斷正確.

故選：BD

12.BCD

【分析】

利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，’幕函數(shù)的性質(zhì)逐項分析即得.

【詳解】

設(shè)甲與乙的工人工作效率耳，與，工作年限4,優(yōu)勞累程度7JZ,勞動動機”也，

0Vb<1

對于A,4=M￡1>￡2,4<4,,

一七2=1°(4也")>0T2也.0/仞>7J4《]佝

【高考】模擬

T\y2⑷，

所以乙>1,即甲比乙勞累程度弱，故A錯誤；

對于B,bi,E\>E3f■5,

.ac也如例一4)>°,《也如3>T劭如“'，

.-.如T\b2總店f,

所以心>[,即甲比乙勞累程度弱，故B正確.

對于c,彳/，4>々，a>瓦,

,1>V'4>V>0打"仞>V5>bJM"

4r：

則E,-E2=10-107；--(10-107；-b2^')=107；色""'-A"次)>0

???々汜,即甲比乙工作效率高，故C正確；

對于D,4=牝…%T、<1\,l<b<5,?<V4<1

,b-0'Ar2>b.-°A4r'T>T.>0

??,2,

則4_G=10_107；.4如％-(10-104也如g)=10(7；-4⑶/_7；-V0"")>0

??fOE"即甲比乙工作效率高，故D正確；

故選：BCD.

13.x,sinx,x,丁，等(答案不)

【分析】

利用/(x)=g(x>ln(x2-l)為奇函數(shù)，可以得到g(x)為奇函數(shù)，進而求得g。)的表達式

【詳解】

由/(x)=g(x)ln(x—)為奇函數(shù),則有/(-x)=-/(x)

即g(r)-In(Y-l)=-g(x)ln(x2-1)恒成立

【高考】模擬

則g（r）=-g（x）,則名G）為奇函數(shù)

則g（“）的表達式可以為g（x）=x或g（x）：或gG）=sinx等

故x,sinx,x,x3,等

14.-2

【分析】

由二項式展開公式直接計算即可.

【詳解】

解:因為16=T5+1=C；（-ar）=C；（-a）x_C|（-a）Xs

所以有：=-56a5=1792,

所以a'=-32,解得a=-2,

故-2.

15.々或i##i或-7

【分析】

先求得尸點的軌跡C的方程，再利用AQWN的面積為2列出關(guān)于實數(shù)人的方程，進而求得

實數(shù)q的值

【詳解】

設(shè)尸（X/）,則有J（x-'+y=2j（x-爐+（廣3y

整理得（x-1）一+3-4）一=4,即尸點的軌跡。為以（1,4）為圓心以2為半徑的圓

|Ar+l-4||后-3|

點0°'4）到直線歹=區(qū)+1的距離

解之得上=-7或左=1

【高考】模擬

故-7或1

]6.127rV15-V3

【分析】

過側(cè)棱的中點作正三棱柱的截面，即可得到球心為A"NG的，在正AMNG中求出內(nèi)切圓的

半徑即內(nèi)切球的半徑，從而求出球的表面積，再求出三棱柱的頂點到球心的距離，即可求

出球面上的點到頂點的距離的最小值；

【詳解】

解：依題意如圖過側(cè)棱的中點作正三棱柱的截面，則球心為AMNG的，

r=OH=-MH=-yjMN2-HN2=>/3

因為MN=6,所以AMNG內(nèi)切圓的半徑33,

即內(nèi)切球的半徑&=右，所以內(nèi)切球的表面積S=4"2=12萬，

又正三棱柱的高'4=2R=2百，

OM=3OH=2拒40=>]OM2+AM2=扃+（屈=715

所以3，所以J\J

所以A到球面上的點的距離最小值為/°-尺=而-6；

【高考】模擬

MN

故12萬；

兀

17.(1)T

⑵(-&4)

【分析】

(1)利用正弦定理將邊化角，再利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式計算可得；

(2)利用正弦定理將邊化角，再利用三角恒等變換公式及余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得;

(1)

解：因為力=2。cos4cos。+2ccos2力，

由正弦定理得sin4=2sinZcos4cosc+2sinCeos?A,

即sin3=2cosA(sinAcosC+sinCcosA)

即sin8=2cos/sin(4+C)

因為4+8+。=兀，所以4+。=兀-8,

所以sin8=2cosZsin8

因為8e(0,?r),所以sinBxO,

所以因為北(。町所以"二；

(2)

a8后

解：由正弦定理得sin4一3,

【高考】模擬

c-2b=8cos|S+—|

所以I3<

因為I3J,所以313Jf

所以E嗚+用，所以cd(-&4)

18.⑴…,c0.36x+3.49

1177

(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：言

【分析】

(1)對'=兩邊取對數(shù)可得lny=lna+6x,即“=bx+ln“，再根據(jù)最小二乘法求出

In。，即可得解；

(2)依題意X的所有可能取值為5,7,9,12,求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列，從

而求出數(shù)學(xué)期望；

(1)

解：因為蚱“小兩邊取對數(shù)可得1"=In3"、)=Ina+Ine瓜，即|”=lna+6x,

-16

〃=—X%=4.75

令%=ln%,所以”=6x+lna,由6,=(,

x=-(l+2+3+4+5+6)=3.5Jx,2=I2+22+32+42+52+62=91

6,1=1

Vxu-rixu

jj106.05-6x3.5x4.75

B=R------------=0.36

91—6x3S

-nx2

所以

又〃=Ax+ln〃，即4.75=0.36x3.5+In。,

所以ln〃=3.49,所以〃=e349.

【高考】模擬

所以y關(guān)于x的回歸方程為y=e0.36X+3.49

⑵

解：由題知，甲獲得的積分X的所有可能取值為5,7,9,12,

P（X=5）=—P（X=7）=—x—=—

所以'/5,'75525,

尸（X=9）=gI'!嚙尸("2)=1

i喂,

所以X的分布列為

X5

6912

41664

P

525125125

￡（Ar）=5xl+6x—+9x—+12x—=1177

所以'J525125125125

S=------

19.（1）n"+>

⑵243

【分析】

(1)將=S“-S,I代入化簡可得為等差數(shù)列，進而可得結(jié)果;

(2)利用錯位相減法求出］，，再利用分離參數(shù)的思想即可得結(jié)果.

(1)

當〃22時，S：=a?Sn-an,

所以,s：=-—(f

_±_-L=i

整理得：S￡T=S“T-S“，即S,加

11

5J-1-r1—=—=27

所以數(shù)列是以d%為首項，1為公差的等差數(shù)列.

【高考】模擬

丁=〃+1s?=—

所以S"，即"+1.

(2)

土=(〃+1)2”

由(1)知，S",

所以7；=2?2+3?22+…+〃-2"T+(〃+l>2",①

所以27；=2-22+3"+…+〃2'+(〃+1>2",②

①-②得，々=4+0+23+…+2)(〃+。2[

所以，T,=4+(22+23+--+2")-(〃+1>2":-〃-2向

所以，小〃2"，

MG"-9

所以蜀4(/+9)2,即2YW+9”

即2n22n,

-H22J-------=3

因為22〃722〃,當且僅當"=3時，等號成立,

所以彳43.

20.(1)證明見解析

⑵70

【分析】

(1)取OC的中點M,連接板，MQ可得面MQF〃面R4D,從而可證尸0〃平面；

(2)取力。的中點°,連接。尸，OC,以°為坐標原點，分別以礪，OC,而的方向為

x,了，z軸的正向，建立如圖所示的空間直角坐標系,用向量法求解即可.

(1)

解：(1)證明：取℃的中點用，連接MF,MQ.

【高模擬

則“0〃尸。，MF//DA,

因為面尸力。，ME0面P4D,

所以，MQ"面P4D,加尸〃面尸/。，

因為MQcME=M,

所以，面尸〃面以。，

因為尸0u面M。尸，所以尸?！鍼/O.

（2）

（2）取/。的中點°,連接°P,0C,

因為△P4）為正三角形，AD=2,所以O(shè)P_LZ3且0尸=內(nèi)，

在直角梯形"BCD中，AD//BC,ZDAB=90°,4B=2BC=2,

所以，00。且"=2,

又因為PC=J7,

所以在△「℃中，OQ+OC=PC,即OPJ.OC,

所以，以。為坐標原點，分別以麗，0C,而的方向為x,歹，z軸的正向，建立如圖

所示的空間直角坐標系，

則00,0,0),C(0,2,0),尸(-1,1,0),尸?,04),

麗=G1,o,G)

【高模擬

DE=］_方」而J」,o,包

因為PE-5,即3V33),彳>0,

/。⑥

35,T

所以，IJJ,

反=［二,2,_回而//，卜叵

所以㈠3J,I33),

設(shè)"=(須，加zj為平面EFC的一個法向量，

一］耳+2%--=°

n-EC=05G_

則正?而=0,即卜尹"丁=。,取心(3,一3，一明

11

又平面尸力。的一個法向量〃?=(°』，°),設(shè)平面EFC與平面口。夾角為。，

?加|3V2W

cosa=31」=!==-----

W同J9+9+19270

X22?

—+y=1

21.(1)2

(2)證明見解析

【分析】

a2

bc=\

a2=b2

(1)依題意可得,即可求出“、葭c,即可得解;

(2)設(shè)直線/的方程為'=&+萬，“(X”必)，NS，力),聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、

列出韋達定理，由直線/M、/N的方程，得到P、。的坐標，即可得到以0°為直徑的圓

2U

的方程，再令工=°,得到尸=6,即可得解；

(1)

￡=V|

解：因為橢圓C的離心率為2,所以a2

【高考】模擬

又當7位于上頂點或者下頂點時，面積，即從=L

又/=/+。2,所以6=C=1,a=&.

X22

---FV=1

所以橢圓C的標準方程為2-.

⑵

l_

解：由題知，直線/的斜率存在，所以設(shè)直線/的方程為'=-kx+2,設(shè)M（網(wǎng)，必）,

NG，%）

將直線/代入橢圓C的方程得：（4/+2卜+4"-3=0,

—4k—3

X]+工2=-3X.Xy=-；

由韋達定理得：-4H+2,-4k2+2,

y=—―-x+1y=~~-x+1

直線4W的方程為占，直線"N的方程為當

P口-,0。口-,0

所以〔必-iAE-iJ,

1+上3+上]+『=0

所以以也為直徑的圓為I乂一1八

/+/+(*_+上%+-與一-=0

整理得.(必-1)("-1)①

因為

________4^2_______________-12_______

(必-1)(%T)2一1242+842+442+2

4kx}x2-2Mxi+q)+1

令①中的x=。，可得V=6,所以，以為直徑的圓過定點（°，土遙）

22.（1）證明見解析

⑵3+8)

【分析】

（1）求得函數(shù)/G）的導(dǎo)函數(shù)，依據(jù)函數(shù)極值點定義去證明當。＞0時.，函數(shù)/（X）存在的

極值點;

（2）先令x=0求得。的取值范圍021,再去證明當時不等式/（'"cosS