PAGEPAGE5第1講平面向量的概念及其線性運算一、選擇題1.兩個非零向量a，b滿足|a+b|=|ab|，那么下面結(jié)論正確的選項是〔〕A.a∥bB.a⊥bC.{0,1,3}D.a+b=ab答案B2．對于非零向量a，b，“a＋b＝0〞是“a∥b〞的()．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析假設(shè)a＋b＝0，那么a＝－b.∴a∥b；假設(shè)a∥b，那么a＝λb，a＋b＝0不一定成立．答案A3．O是△ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊的中點，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，那么 ()．A.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)) B.eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))＝3eq\o(OD,\s\up6(→)) D．2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))解析由2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0可知，O是底邊BC上的中線AD的中點，故eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)).答案A4．設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，假設(shè)eq\o(A1A3,\s\up6(→))＝λeq\o(A1A2,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(A1A4,\s\up6(→))＝μeq\o(A1A2,\s\up6(→))(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，那么稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2.平面上的點C，D調(diào)和分割點A，B，那么以下說法正確的選項是 ()．A．C可能是線段AB的中點B．D可能是線段AB的中點C．C、D可能同時在線段AB上D．C、D不可能同時在線段AB的延長線上解析假設(shè)A成立，那么λ＝eq\f(1,2)，而eq\f(1,μ)＝0，不可能；同理B也不可能；假設(shè)C成立，那么0＜λ＜1，且0＜μ＜1，eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＞2，與矛盾；假設(shè)C，D同時在線段AB的延長線上時，λ＞1，且μ＞1，eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＜2，與矛盾，故C，D不可能同時在線段AB的延長線上，故D正確．答案D5．A，B，C是平面上不共線的三點，O是△ABC的重心，動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up6(→))＋2\o(OC,\s\up6(→))))，那么點P一定為三角形ABC的()．A．AB邊中線的中點B．AB邊中線的三等分點(非重心)C．重心D．AB邊的中點解析設(shè)AB的中點為M，那么eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，即3eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))，也就是eq\o(MP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，∴P，M，C三點共線，且P是CM上靠近C點的一個三等分點．答案B6．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，那么四邊形ABCD的形狀是()．A．矩形 B．平行四邊形C．梯形 D．以上都不對解析由eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq\o(BC,\s\up6(→)).∴eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))不平行，∴四邊形ABCD是梯形．答案C二、填空題7．設(shè)a，b是兩個不共線向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，假設(shè)A，B，D三點共線，那么實數(shù)p的值為________．解析∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b，又A，B，D三點共線，∴存在實數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→)).即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝2λ，,p＝－λ，))∴p＝－1.答案－18.如圖，在矩形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝c，那么|a＋b＋c|＝________.解析根據(jù)向量的三角形法那么有|a＋b＋c|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4.答案49．假設(shè)點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，那么△ABC的形狀為________．解析eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|.故A，B，C為矩形的三個頂點，△ABC為直角三角形．答案直角三角形10．假設(shè)M為△ABC內(nèi)一點，且滿足eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，那么△ABM與△ABC的面積之比為________．解析由題知B、M、C三點共線，設(shè)eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，那么：eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,4)，∴eq\f(S△ABM,S△ABC)＝eq\f(1,4).答案eq\f(1,4)三、解答題11．如下圖，△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，DE∥BC交AC于E，AM是BC邊上的中線，交DE于N.設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，用a，b分別表示向量eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→)).解eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(b－a)，eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(b－a)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)．12．(1)設(shè)兩個非零向量e1，e2不共線，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝6e1＋23e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝4e1－8e2，求證：A，B，D三點共線．(2)設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，假設(shè)A，B，D三點共線，求k的值．(1)證明因為eq\o(BC,\s\up6(→))＝6e1＋23e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝4e1－8e2，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝10e1＋15e2.又因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，得eq\o(BD,\s\up6(→))＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(BD,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))，又因為eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))有公共點B，所以A，B，D三點共線．(2)解Deq\o(B,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，假設(shè)A，B，D共線，那么eq\o(AB,\s\up6(→))∥Deq\o(B,\s\up6(→))，設(shè)Deq\o(B,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝2λ，,4＝λk))?k＝－8.13．如下圖，在△ABC中，在AC上取一點N，使得AN＝eq\f(1,3)AC，在AB上取一點M，使得AM＝eq\f(1,3)AB，在BN的延長線上取點P，使得NP＝eq\f(1,2)BN，在CM的延長線上取點Q，使得eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(CM,\s\up6(→))時，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(QA,\s\up6(→))，試確定λ的值．解∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(CN,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(QA,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))－eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BM,\s\up6(→))＋λeq\o(MC,\s\up6(→))，又∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(QA,\s\up6(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(BM,\s\up6(→))＋λeq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，即λeq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,2).14．O，A，B三點不共線，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，(m，n∈R)．(1)假設(shè)m＋n＝1，求證：A，P，B三點共線；(2)假設(shè)A，P，B三點共線，求證：m＋n＝1.證明(1)m，n∈R，且m＋n＝1，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝m(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))．∴eq\o(BP,\s