全真模擬卷02（新課標(biāo)Ⅱ卷）理科數(shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】已知集合，集合，則.故選：B.2．當(dāng)復(fù)數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)的值可以為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以不滿足，故A不正確.當(dāng)時(shí)，,所以，故B不正確.當(dāng)時(shí)，,，滿足，故C正確.由上可知，選項(xiàng)D不正確.故選：C3．設(shè)，為非零向量，則“”是“與共線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，即，，即與共線當(dāng)與共線時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，，與不一定相等，即不一定相等故“”是“與共線”的充分不必要條件4．若實(shí)數(shù)，，滿足，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以，所以，故選：D5．為響應(yīng)國(guó)家“節(jié)約糧食”的號(hào)召，某同學(xué)決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2種大葷、4種小葷中選取一種主食、一種素菜、一種葷菜作為今日伙食，并在用餐時(shí)積極踐行“光盤行動(dòng)”，則不同的選取方法有（）A．48種 B．36種 C．24種 D．12種【答案】B【詳解】解：由題意可知，分三步完成：第一步，從2種主食中任選一種有2種選法；第二步，從3種素菜中任選一種有3種選法；第三步，從6種葷菜中任選一種有6種選法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有不同的選取方法，故選：B6．函數(shù)的部分圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，故排除A，，故函數(shù)為奇函數(shù)，由于時(shí)，，故時(shí)，，故排除BC；所以D選項(xiàng)為正確答案.7．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）是（）A．24 B．30 C． D．【答案】D【詳解】由三視圖可知幾何體為圖中的四棱錐，由題得，所以幾何體的高為.所以幾何體的體積為.8．琵琶、二胡、編鐘、簫笛、瑟、琴、塤、笙和鼓這十種民族樂器被稱為“中國(guó)古代十大樂器”．為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校以這十種樂器為題材，在周末學(xué)生興趣活動(dòng)中開展了“中國(guó)古代樂器”知識(shí)講座，共連續(xù)安排八節(jié)課，一節(jié)課只講一種樂器，一種樂器最多安排一節(jié)課，則琵琶、二胡、編鐘一定安排，且這三種樂器互不相鄰的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】從這十種樂器中挑八種全排列，有情況種數(shù)為．從除琵琶、二胡、編鐘三種樂器外的七種樂器中挑五種全排列，有種情況，再?gòu)呐藕玫奈宸N樂器形成的6個(gè)空中挑3個(gè)插入琵琶、二胡、編鐘三種樂器，有種情況，故琵琶、二胡、編鐘一定安排，且這三種樂器互不相鄰的情況種數(shù)為．所以所求的概率，故選：B．9．克羅狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，根據(jù)以上材料，完成下題：如圖，半圓的直徑為2，為直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，，為半圓上一點(diǎn)，以為一邊作等邊三角形，則當(dāng)線段的長(zhǎng)取最大值時(shí)，（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【詳解】因?yàn)?，且為等邊三角形，，所以，所以，所以的最大值為，取等?hào)時(shí)，所以，不妨設(shè)，所以，所以解得，所以，所以，故選：C.10．若將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后圖像的一條對(duì)稱軸為（）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的函數(shù)為，由，得，當(dāng)時(shí)，，故選：B11．已知梯形的上底長(zhǎng)為1，下底長(zhǎng)為4，對(duì)角線長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，則的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】如圖，過作，連接，則，所以，故.12．若對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則恒成立，由，令，則恒成立，所以為增函數(shù)，令得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；所以在遞減，在遞增，故在處取得最小值，故最小值，因?yàn)椋瑒t所以恒成立，得，又因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）；所以即.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則_______.【答案】【詳解】解：因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所?14．的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______．（用數(shù)字作答）【答案】【詳解】展開式的通項(xiàng)為，令，可得，因此，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.15．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，以為圓心，半徑為的圓與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，若，且的面積為，則______．【答案】2【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以是線段的中點(diǎn),因?yàn)榈拿娣e為，所以的面積為.又由可得，所以,所以，解得.16．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，把兩底面為直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”，已知三棱柱是一個(gè)“塹堵”，其中，，，則這個(gè)“塹堵”的外接球的表面積為________.【答案】【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以可將三棱柱補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖：則該長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于這個(gè)“塹堵”的外接球的直徑，所以，所以.所以外接球的表面積為.三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．若數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也符合上式，所以對(duì)任意正整數(shù)，.（2）由（1）得，所以，①，②，得，，所以．18．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，E為的中點(diǎn)，平面為等邊三角形，.（1）若平面，求的值；（2）在（1）的條件下，求二面角的余弦值.【詳解】解：（1）連接與相交于點(diǎn)M，連接.由于四邊形為平行四邊形，E為的中點(diǎn)，∴，且，從而.∵平面平面，平面平面，∴，∴，∴，即.（2）取中點(diǎn)O，連接，∵為等邊三角形，∴，又∵平面，平面，∴，平面，∴平面.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為x軸?y軸?z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則.易知，平面的法向量為.設(shè)平面的法向量為，，∴得，取，得，，，∴，由于二面角的平面角為鈍角所以二面角的余弦值為.19．紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對(duì)農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害.每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)和平均溫度有關(guān).現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.平均溫度/℃21232527293235平均產(chǎn)卵數(shù)/個(gè)71121246611532527.42981.2863.61240.182147.714表中，（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可不必說明理由）并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程.（計(jì)算結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位）（2）根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)，該地每年平均溫度達(dá)到28℃以上時(shí)紅鈴蟲會(huì)造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達(dá)到28℃以上的概率為.（?。┯浽摰亟窈?年中，恰好需要3次人工防治的概率為，求的最大值，并求出相應(yīng)的概率.（ⅱ）當(dāng)取最大值時(shí)，記該地今后5年中，需要人工防治的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望和方差.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為：，.【詳解】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖可以判斷更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回歸方程類型.對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)得，令，，，得.因?yàn)椋?，所以關(guān)于的線性回歸方程為，所以關(guān)于的回歸方程為.（2）（?。┯?，得，因?yàn)椋畹?，解得；令得，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有唯一極大值，也為最大值.所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)響應(yīng)的概率.（ⅱ）由（ⅰ）知，當(dāng)取最大值時(shí)，，所以，所以，.20．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求零點(diǎn)之間距離最小時(shí)a的值．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，可得，所以切點(diǎn)為，因?yàn)椋?，所以在處的切線方程為：，即，（2），因?yàn)?，所以函?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，分別設(shè)為，則，，所以，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)之間距離最小為.21．已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)作直線，，與橢圓分別交于點(diǎn)，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；（2）若直線，的斜率之和為，證明：直線的斜率為定值．【詳解】（1）由題設(shè)，得，①且，②由①②解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓的離心率為．（2）直線的斜率為定值1.證明：設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，記，．設(shè)直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，并消去得，則，是該方程的兩根，則，即．設(shè)直線的方程為，同理得．因?yàn)?，，所以，因此直線的斜率為定值．請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，射線分別交，于A，B兩點(diǎn)(異于極點(diǎn))，當(dāng)時(shí)，