學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)秒殺數(shù)學(xué)第一章立體幾何專題8空間向量與立體幾何秒殺秘籍：第一講求平面法向量坐標(biāo)的特殊方法1．空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量．向量一般用有向線段表示，同向等長的有向線段表示同一或相等的向量．2．空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組，使得．若三向量不共面，我們把叫做空間的一個(gè)基底，都叫做基向量，空間任何三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．3．向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即．向量的夾角公式．4．平面的法向量：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．幾點(diǎn)注意：（1）法向量一定是非零向量；（2）一個(gè)平面的所有法向量都互相平行；（3）向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有．?第一步：寫出平面內(nèi)兩個(gè)不平行的向量=(x1，y1，z1)，=(x2，y2，z2)，?第二步：那么平面法向量5．判定直線、平面間的位置關(guān)系（1）直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線a，b的方向向量分別為，．①若∥，即=λ，則a∥b．②若⊥，即·=0，則a⊥b（2）直線與平面的位置關(guān)系：直線L的方向向量為，平面α的法向量為，且L⊥α．①若∥，即=λ，則L⊥α②若⊥，即·=0，則a∥α．（3）平面與平面的位置關(guān)系：平面α的法向量為，平面β的法向量為．①若∥，即=λ，則α∥β②若⊥，即·=0，則α⊥β【例1】正方體中，E、F分別是、CD的中點(diǎn)，求證:平面AED⊥平面．【證明】以A為原點(diǎn)建立如圖所示的的直角坐標(biāo)系，設(shè)：正方體的棱長為2，那么，，，，于是，設(shè)平面AED的法向量為得解得：取得同理可得平面的法向量為平面平面．6．空間角的計(jì)算（1）兩條異面直線所成角的求法：設(shè)直線a，b的方向向量為，，其夾角為θ，則cosφ＝|cosθ|＝(其中φ為異面直線a，b所成的角)．（2）直線和平面所成角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為，平面α的法向量為，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量與的夾角為θ，則有sinφ＝|cosθ|＝，或者sinφ＝cosθ．（3）二面角的求法①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如圖所示，〈，〉即為所求二面角的平面角．②對于易于建立空間直角坐標(biāo)系的幾何體，求二面角的大小時(shí)，可以利用這兩個(gè)平面的法向量的夾角來求．如圖所示，二面角α－l－β，平面α的法向量為，平面β的法向量為，〈，〉＝θ，則二面角α－l－β的大小為θ或π－θ．【例2】如圖所示，已知點(diǎn)P在正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線BD′上，∠PDA=60°．（1）求DP與CC′所成角的大小；（2）求DP與平面AA′D′D所成角的大?。窘馕觥咳鐖D所示，以D為原點(diǎn)，DA為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz．則，．連接BD，．在平面中，延長DP交于H．設(shè)，由已知，由，可得，解得，所以．因?yàn)樗裕磁c所成的角為．（2）平面的一個(gè)法向量．因?yàn)樗?，可得DP與平面所成的角為．【例3】如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點(diǎn)．（1）求證：EF⊥平面PAB；（2）設(shè)AB=BC，求AC與平面AEF所成角的大小．【證明】（1）以D為原點(diǎn)，DC，DA，DP的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，，則，，，，，．，，．，．，平面PAB．【解析】（2），，從而，，．設(shè)平面AEF的法向量為，則即；即令，則，，平面AEF的一個(gè)法向量為．設(shè)AC與平面AEF所成角為，則．【例4】如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)E，M分別圖為，的中點(diǎn)，過，B，M三點(diǎn)的平面交于點(diǎn)N．（1）求證:EM∥平面；（2）求二面角的正切值．【證明】（1）建立圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2a，AA1=a(a＞0)，則A1(2a，0，a)，B(2a，2a，0)，C(0，2a，0)，C1(0，2a，a)．∵E為A1B的中點(diǎn)，M為CC1的中點(diǎn)，∴E（2a，a，），M（0，2a，）．∴=(-2a，a，0)．∴EM∥平面A1B1C1D1．【解析】（2）設(shè)平面A1BM的法向量為．∵=(0，2a，-a)，=（-2a，0，），∴由，，2ay-az=0，x=，-2ax+=0．y=，∴令z=a，則=（，，a）而平面A1B1C1D1的法向量為，設(shè)二面角為θ，則cosθ=又∵二面角為銳二面角，∴cosθ=從而tanθ=即二面角B—A1N—B1的正切值為．7．求解空間中的距離（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算．如圖，設(shè)兩條異面直線a、b的公垂線的方向向量為，這時(shí)分別在a、b上任取A、B兩點(diǎn)，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線a、b的距離．∴即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．【例5】在棱長為1的正方體中，求異面直線AC1與BD間的距離．【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，(1，1，1)，設(shè)異面直線AC1與BD的公垂線的方向向量，則由，得得：∴異面直線與BD間的距離．（2）點(diǎn)到平面的距離A為平面α外一點(diǎn)(如圖)，為平面α的法向量，過A作平面α的斜線AB及垂線AH．【小結(jié)】點(diǎn)到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點(diǎn)的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對值與平面的法向量模的比值．【例6】在直三棱柱中，，，∠ACB=90°，求B1到面的距離．【解析】以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則C(0，0，0)，(1，0，)，B(0，1，0)，(0，1，)．設(shè)面的法向量，由得．或．【例7】在三棱錐中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，，M，N分別為AB，SB的中點(diǎn)，如圖所示．求點(diǎn)B到平面CMN的距離．【解析】取AC的中點(diǎn)O，連接OS，OB．∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO．∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO．如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M（1，，0），N（0，，）∴=(3，，0)，=(-1，0，)，=(-1，，0)．設(shè)為平面CMN的一個(gè)法向量，·n=3x+y=0，==0，取，則x=，y=，∴∴點(diǎn)B到平面CMN的距離．【例8】如圖示，在三棱錐中，，，AP=BP=AB，PC⊥AC．求證：PC⊥AB；求二面角B-AP-C的余弦值；（3）求點(diǎn)C到平面APB的距離．【證明】（1）∵AC=BC，AP=BP，∴△APC≌△BPC．又PC⊥AC，∴PC⊥BC．∵AC∩BC=C，∴PC⊥平面ABC．∵AB平面ABC，∴PC⊥AB．【解析】（2）如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C—xyz．則C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）．設(shè)P（0，0，t），∵|PB|=|AB|=2，∴t=2，P（0，0，2）取AP中點(diǎn)E，連接BE，CE．∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，∴CE⊥AP，BE⊥AP．∴∠BEC是二面角B—AP—C的平面角．∵E（0