40分鐘單元基礎(chǔ)小練15解三角形及應(yīng)用一、選擇題1．已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(π,4)，a＝1，則b＝()A．2B．1C.eq\r(3)D.eq\r(2)答案：D解析：由正弦定理得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(\f(\r(2),2),\f(1,2))＝eq\r(2).2．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為eq\f(a2＋b2－c2,4)，則C＝()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)答案：C解析：∵S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(a2＋b2－c2,4)＝eq\f(2abcosC,4)＝eq\f(1,2)abcosC，∴sinC＝cosC，即tanC＝1.∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,4).故選C.3．在△ABC中，已知C＝eq\f(π,3)，b＝4，△ABC的面積為2eq\r(3)，則c＝()A．2eq\r(7)B.eq\r(7)C．2eq\r(2)D．2eq\r(3)答案：D解析：由S＝eq\f(1,2)absinC＝2a×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12，故c＝2eq\r(3).4．已知a，b，c為△ABC的三個角A，B，C所對的邊，若3bcosC＝c(1－3cosB)，則sinCsinA＝()A．2：3B．4：3C．3：1D．3：2答案：C解析：由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB,3sin(B＋C)＝sinC,3sinA＝sinC，所以sinC：sinA＝3：1.故選C.5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且B＝2C,2bcosC－2ccosB＝a，則角A的大小為()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)答案：A解析：由正弦定理得2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，∴sinBcosC＝3sinCcosB，∴sin2CcosC＝3sinCcos2C，∴2cos2C＝3(cos2C－sin2C)，求得tan2C＝eq\f(1,3).∵B＝2C，∴C為銳角，∴tanC＝eq\f(\r(3),3)，∴C＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(π,3)，A＝eq\f(π,2).故選A.6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，其面積S＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，則C的大小是()A．30°B．90°C．45°D．135°答案：C解析：由題意及余弦定理得S＝eq\f(a2＋b2－c2,4)＝eq\f(2abcosC,4)＝eq\f(1,2)absinC，故tanC＝1，而C∈(0，π)，因此C＝45°.故選C.7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，且∠A＝75°，則b＝()A．2B．4－2eq\r(3)C．4＋2eq\r(3)D.eq\r(6)－eq\r(2)答案：A解析：在△ABC中，由a＝c知△ABC為等腰三角形，所以b＝2c·cosA＝2×(eq\r(6)＋eq\r(2))×eq\f(\r(6)－\r(2),4)＝2.故選A.8．如圖，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于()A．5eq\r(6)mB．15eq\r(3)mC．5eq\r(2)mD．15eq\r(6)m答案：D解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(30,sin135°)，解得BC＝15eq\r(2)(m)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6)(m)．9．△ABC中，內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，c＝2a，bsinB－asinA＝eq\f(1,2)asinC，則sinB的值為()A．－eq\f(\r(7),4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(7),4)D.eq\f(1,3)答案：C解析：由正弦定理，得b2－a2＝eq\f(1,2)ac，又c＝2a，所以b2＝2a2，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(3,4)，所以sinB＝eq\f(\r(7),4).10．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為()A．直角三角形B．等腰非等邊三角形C．等邊三角形D．鈍角三角形答案：C解析：∵eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，∴eq\f(a,b)＝eq\f(a,c)，∴b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3)，∴△ABC是等邊三角形．11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足2acosA＝bcosC＋ccosB，b＋c＝4，則a的最小值為()A．2B．2eq\r(2)C．3D．2eq\r(3)答案：A解析：由題意及正弦定理得2sinAcosA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sinA，故cosA＝eq\f(1,2)，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b＋c2－2bc－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，所以a2＝16－3bc≥16－3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋c,2)))2＝4(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時，等號成立)，所以a的最小值為2.故選A.12．在△ABC中，b＝5，B＝eq\f(π,4)，tanA＝2，則a的值是()A．10eq\r(2)B．2eq\r(10)C.eq\r(10)D.eq\r(2)答案：B解析：∵在△ABC中，tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝2，sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝eq\f(2\r(5),5).由b＝5，B＝eq\f(π,4)及正弦定理可得eq\f(a,\f(2\r(5),5))＝eq\f(5,\f(\r(2),2))，解得a＝2eq\r(10).故選B.二、填空題13．△ABC的周長等于2(sinA＋sinB＋sinC)，則其外接圓半徑等于________．答案：1解析：設(shè)外接圓半徑為R，已知2(sinA＋sinB＋sinC)＝a＋b＋c，得eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2①.根據(jù)正弦定理知a＋b＋c＝2RsinA＋2Rsinb＋2Rsinc，代入①式得2R＝2，即R＝1.14．若△ABC中，a＋b＝4，C＝30°，則△ABC面積的最大值是____________．答案：1解析：在△ABC中，∵C＝30°，a＋b＝4，∴△ABC的面積S＝eq\f(1,2)ab·sinC＝eq\f(1,2)ab·sin30°＝eq\f(1,4)ab≤eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(1,4)×4＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時取等號．因此△ABC面積的最大值是1.15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，則B＝________.答案：eq\f(2π,3)解析：因為(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，整理得a2＋c2－b2＝－ac，所以eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝－eq\f(1,2)，即cosB＝－eq\f(1,2)又B∈(0，π)，所以B＝eq\f(2π,3).16．△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足a＝4，asinB＝eq\r(3)bcosA，則△ABC面積的最大值是________．答案：4eq\r(3)解析：由正弦定理可得sinAsinB＝eq\r(3)sinBcosA，得sinA