第一章仿射幾何的基本概念1、證明線段的中點(diǎn)是仿射不變性，角的平分線不是仿射不變性。證明：設(shè)T為仿射變換，根據(jù)平面仿射幾何的基本定理，T可使等腰△ABC（AB=AC）與一般△A'B'C'相對(duì)應(yīng)，設(shè)點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，則AD⊥BC，且β=γ，T（D）=D'（圖1）。∵T保留簡(jiǎn)比不變，即（BCD）=（B'C'D'）=-1，∴D'是B'C'的中點(diǎn)。因此線段中點(diǎn)是仿射不變性。∵在等腰△ABC中，β=γ。設(shè)T（β）=β'，T（γ）=γ'，但一般△A'B'C'中，過(guò)A'的中線A'D'并不平分∠A'，即B'與γ'一般不等?！嘟瞧椒志€不是仿射不變性。在等腰△ABC中，設(shè)D是BC的中點(diǎn)，則AD?BC，由于T(△ABC)=△A'B'C'（一般三角形），D'仍為B'C'的中點(diǎn)。由于在一般三角形中，中線A'D'并不垂直底邊B'C'。得下題2、兩條直線垂直是不是仿射不變性答:兩直線垂直不是仿射不變性。3、證明三角形的中線和重心是仿射不變性。證明：設(shè)仿射變換T將△ABC變?yōu)椤鰽'B'C'，D、E、F分別是BC、CA，AB邊的中點(diǎn)。由于仿射變換保留簡(jiǎn)比不變，所以D'=T(D)，E'=T(E)，F(xiàn)'=T(F)分別是B'C',C'A',A'B'的中點(diǎn)，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三條中線（圖2）。設(shè)G是△ABC的重心，且G'=T(G)∵G∈AD，由結(jié)合性得G'∈A'D'；又∵（AGD）=（A'G'D'）即∴G'是△A'B'C'的重心。4、證明梯形在仿射對(duì)應(yīng)下仍為梯形。證明：設(shè)在仿射對(duì)應(yīng)下梯形ABCD（AB??CD）與四邊形A'B'C'D'相對(duì)應(yīng)，由于仿射對(duì)應(yīng)保持平行性不變，因此A'B'??C'D'，所以A'B'C'D'為梯形。5、證明兩個(gè)全等矩形經(jīng)過(guò)仿射變換為兩個(gè)等積平行四邊形。證明：設(shè)T為仿射變換，A1B1C1D1與A2B2C2D2為兩個(gè)全等矩形，其面積分別以S1=S2。由于T保留平行性，所以：T（A1B1C1D1）=平行四邊形A'1B'1C'1D'1,面積記為：S'1T（A2B2C2D2）=平行四邊形A'2B'2C'2D'2,面積記為：S'2，且S'1=KS1，S'2=KS2，∴A'1B'1C'1D'1與A'2B'2C'2D'2是等積的平行四邊形。6、經(jīng)過(guò)A（-3，2）和B（6，1）兩點(diǎn)的直線被直線X+3y-6=0截于P點(diǎn)，求簡(jiǎn)比（ABP）解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，yo）（分割比），且P在直線x+3y-6=0上，解得λ=1，即P是AB中點(diǎn)，且（ABP）=－1。7、證明直線Ax+By+C=0將兩點(diǎn)P1（x1，y1）和P2（x2，y2）的聯(lián)線段分成的比是證明設(shè)分點(diǎn)為P（x0，y0），則分割比λ=，P（x0，y0）在直線Ax+By+C=0上，Ax1+By1+C+λ(Ax2+By2+C)=08、證明一直線上二線段之比是仿射不變量。證明：若直線a上兩線段AB和CD經(jīng)仿射變換T后與直線a'上的兩段A'B'和C'D'對(duì)應(yīng)圖（3）得證。9、證明圖形的對(duì)稱中心是仿射不變性，圖形的對(duì)稱軸和對(duì)稱平面是不是仿射不變性證明：設(shè)仿射變換T將中心對(duì)稱圖形F變?yōu)閳D形F'，點(diǎn)O是F的對(duì)稱中心，A，B為圖形F上關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的任意一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)。設(shè)T（O）=O'，T（A）=A'T（B）=B'。∵T（F）=F'，由結(jié)合性，點(diǎn)A'，B'在圖形F'上；由簡(jiǎn)比不變性，（ABO）=(A'B'O')。所以F'是中心對(duì)稱圖形，從而圖形的對(duì)稱中心是仿射不變性。如果點(diǎn)A、B關(guān)于直線l（平面π）對(duì)稱，則線段AB⊥1（AB⊥π）。但仿射變換不保留角的度量，所以當(dāng)T（A）=A'，T（B）=B'，T（1）=1'（T（π）=π'）時(shí)，線段A'B'不一定垂直線1'（平面π'）。10、在仿射坐標(biāo)系下，直線方程是一次的。證明：設(shè)在笛氏坐標(biāo)系下直線方程為：Ax+By+C=0（x,y）為笛氏坐標(biāo)，（x'，y'）為仿射坐標(biāo)。（1）笛氏到仿射的變換式為：設(shè)其逆變換為：將（3）式代入（1），得A（a1x'+a2y'+a0）+B(b1x'+b2y'+b0)+C=0,即：(Aa1+Bb1)x'+(Aa2+Bb2)y'+Aa0+Bb0+C=0，記為：其中是x',y'的一次式。=Aa1+Bb1,=Aa2+Bb2，=Aa0+Bb0+C0且不全為0，若不然，Aa1+Bb1=0，Aa2+Bb2=011、利用仿射變換式，試求在仿射變換下，三角形的面積是怎樣改變的（從而明確定理5所指常數(shù)的意義）。解：ΔA1A2A3和ΔA'1A'2A'3的面積分別以S,S'表示，=這結(jié)果與§系2一致，三角形（從而多邊形或曲線形）的面積經(jīng)仿射變換后乘以一個(gè)常數(shù)k，此地進(jìn)一步明確了這常數(shù)就是仿射變換式的行列式的絕對(duì)值，仿射變換式不同，這常數(shù)也不同。12、在等腰梯形中，兩底中心，兩對(duì)角線交點(diǎn)，兩腰（所在直線）交點(diǎn)，這四點(diǎn)顯然共線（在對(duì)稱軸上），試用仿射變換于此圖形，得出什么推廣了的命題解：設(shè)E，F(xiàn)，Q，P分別是等腰梯形ABCD下底，上底的中點(diǎn)，對(duì)角線交點(diǎn)，要腰所在直線交點(diǎn)，T為仿射變換，則梯形ABCD梯形A'B'C'D'，EE'為B'C'中點(diǎn)，F(xiàn)F'為A'D'中點(diǎn)?！撸˙DQ）=（B'D'Q'）,(ACQ)=（A'C'Q'）,（BAP）=（B'A'P'）,(CDP)=(C'D'P')且E，Q，F(xiàn)，P共線，∴由結(jié)合性得E'，Q'，F(xiàn)'，P'四點(diǎn)共線，但直線P'E'已不是對(duì)稱軸（圖4）。由此得出，任意梯形上、下底中點(diǎn)，對(duì)角線交點(diǎn)，兩腰所在直線交點(diǎn)凡四點(diǎn)共線。13、求仿射變換的自對(duì)應(yīng)點(diǎn)和自對(duì)應(yīng)直線；解：求自對(duì)應(yīng)點(diǎn)：設(shè)x=x',y=y'，因此得解得自對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為x=-6，y=-8。求自對(duì)應(yīng)直線，設(shè)任意直線l（u,v,w）在所給的變換下的像1'的方程為：u'x'+v'y'+w'=0u'(3x－y+4)+v'(4x－2y)+w'=0，或（3u'+4v'）x－(u'+2v')y+4u'+w'=0。若1為自對(duì)應(yīng)直線，則u=λu'，v=λv'，w=λw'，因此因?yàn)閡'，v'，w'不全為零，所以方程組(1)有非零解。故解得λ1=2，λ2=－1，λ3=1，將λ1=2代入方程組(1)，得u'=4,v'=－1，w'=16。將λ2=－1代入方程組(1)，得u'=1,v'=－1，w'=－2。將λ3=1代入方程組(1)，得u'=0,v'=0，w'=1。就本章內(nèi)容而言，λ=1時(shí)，自對(duì)應(yīng)直線不存在，故所求自對(duì)應(yīng)直線為：4x－y+16=0和x－y－2=0。第二章歐氏平面的拓廣1、證明中心投影一般不保留共線三點(diǎn)的簡(jiǎn)比。證：設(shè)△SAC為等腰三角形（SA=SC）,SB⊥AC,過(guò)A作一射線平行于SC交SB的延長(zhǎng)線于B1,交SC于C∞（圖5），則A,B1,C∞在中心S的投影下分別是A,B,C的像點(diǎn)，∵（ABC）=,而（AB1C∞）=，∴（ABC）≠（AB1C∞）,即中心投影一般不保留共線三點(diǎn)的簡(jiǎn)比。2、以下面的坐標(biāo)表示的直線是怎樣的直線（1）（1，1－1）；（2）（1，－1，0）；（3）（0，1，0）。解利用點(diǎn)線結(jié)合方程：u1x1+u2x2+u3x3=0.(1)∵u1=1,u2=1,u3=－1,∴x1+x2－x3=0，非齊次化為：x+y－1=0.(2)x1－x2=0或x－y=0。（3）x2=0或y=0是x軸的方程。3、求聯(lián)接點(diǎn)（1,2,－1）與二直線（2,1,3），（1，－1，0）之交點(diǎn)的直線方程。解先求二直線（2,1,3），（1，－1，0）的交點(diǎn)坐標(biāo)：x1：x2：x3=再求兩點(diǎn)（1，1，－1），（1，2，－1）的聯(lián)線的坐標(biāo)：u1：u2：u3=所求直線方程為：x1+x3=0或x+1=04、求直線（1,－1,2）與二點(diǎn)（3，4，－1）,(5,－3,1)之聯(lián)線的交點(diǎn)坐標(biāo)。解：先求二點(diǎn)（3，4，－1），(5,－3,1)的聯(lián)線坐標(biāo)：u1：u2：u3=再求二直線（1,－1,2），（1，－8，－29）的交點(diǎn)坐標(biāo)：x1：x2：x3=所求交點(diǎn)坐標(biāo)為（45，31，－27）。5、方程u1－u2+2u3=0代表什么u12－u22=0代表什么解：方程u1－u2+2u3=0表點(diǎn)（1，－1，2）的方程或表示以點(diǎn)（1，－1，2）為中心的線束方程?！遳12－u22=（u1+u2）（u1－u2）=0，∴u1+u2=0表示點(diǎn)（1，1，0）的方程；u1－u2=0表示點(diǎn)（1，－1，0）的方程?！鄒12－u22=0表示兩點(diǎn)（1，1，0）和（1，－1，0）的方程。6、將2x－y+1表示成3x+y－2，7x－y的線性組合，這種表達(dá)的幾何依據(jù)何在解：設(shè)2x－y+1=λ（3x+y－2）+μ（7x－y）=（3λ+7μ）x+（λ－μ）v－2λ，得方程組∴2x－y+1=(3x+y－2)+(7x－y)。依據(jù)是若令它們?yōu)榱?，所得三直線共點(diǎn)。7、將（2，1，1）表成（1，－1，1）和（1，0，0）的線性組合，這說(shuō)明什么幾何性質(zhì)解：設(shè)（2，1，1）=λ（1，－1，1）+μ（1，0，0）（1）則此方程組無(wú)解，即找不到λ和μ滿足（1）式，這說(shuō)明它們表示的三點(diǎn)（線）不共線（點(diǎn)）。8、求直線x－2y+3=0上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)。解：x3=0是無(wú)窮遠(yuǎn)直線方程∴從而x1－2x2=0,取x1=2,得x2=1,所求無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為（2,）。9、下列概念，哪些是仿射的，哪些是歐氏的①非平行線段的相等；②不垂直的直線；③四邊形；⑤菱形；④梯形；⑥平行移動(dòng)；⑦關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱；⑨繞點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)；⑧關(guān)于直線的對(duì)稱；⑩面積的相等。答：①歐氏；②歐氏；③仿射；④仿射；⑤歐氏；⑥仿射；⑦仿射；⑧歐氏；⑨歐氏；⑩仿射。第三章一維射影幾何1、設(shè)A、B、C、D、E為直線上五點(diǎn)，證明(AB,CD)(AB,DE)(AB,EC)=1。證明:(AB,CD)(AB,DE)(AB,EC)2、證明一線段中點(diǎn)是這直線上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的調(diào)和共軛點(diǎn)。證明：設(shè)C為線段AB的中點(diǎn)，D∞為直線AB上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，（AB·CD∞）3、直線上順序四點(diǎn)A、B、C、D相鄰兩點(diǎn)距離相等，計(jì)算這四點(diǎn)形成的六個(gè)交比的值。解:（AB，CD）（AB，DC）(AC，BD)=1－（AB，CD）（AC，DB）（AD，BC）（AD，CB）4、求四點(diǎn)（2，1，－1）,（1，－1，1）,（1，0，0）,（1，5，－5）順這次序的交比。解：以（2，1，－1）和（1，－1，1）為基底。則（2，1，－1）+μ1（1，－1，1）=（1，0，0）；（2，1，－1）+μ2（1，－1，1）=（1，5，-5）所求交比為5、設(shè)P1,P2,P4三點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1，1）,（1，－1，1）,（1，0，1）且（P1P2,P3P4）=2,求點(diǎn)P3的坐標(biāo)。解：以P1，P2為基底，則（1，1，1）+μ2（1，－1，1）∝（1，0，1）。設(shè)μ1是基底P1，P2表示P3的參數(shù)，由已知條件（P1P2,P3P4）=，且μ2=1，∴μ1=2，因此，P3的坐標(biāo)為（1，1，1）+2（1，-1，1）=（3，-1，3）。6、設(shè)A、B、C、D為共線四點(diǎn)，O為CD的中點(diǎn)，且OC2=OA·OB，證明（AB，CD）=-1證明：∵OC2=OA·OB，由合分比得因此（∵OC=－OD），7、設(shè)A、B、C、D成調(diào)和點(diǎn)列，即(AB，CD)=－1，求證證明：由假設(shè)得：(AB，CD)∵BD=CD－CB,AD=CD－CA,代入（1）式得AC（CD－CB）+BC（CD－CA）=0，化簡(jiǎn)得：AC·CD－AC·CB+BC·CD－BC·CA=0，－CA·CD+CA·CB－CB·CD+CB·CA=02CB·CA=CA·CD+CB·CD（2）以CA·CB·CD除（2）式兩邊，得：8、證明在X軸上由方程a11x2+2a12x+a22=0和b11x2+2b12x+b22=0之根所決定的兩個(gè)點(diǎn)偶成調(diào)和分割的充要條件是a11b22－2a12b12+a22b11=0。證明：必要性，設(shè)兩方程的根依次是x1,x2和x3，x4，則x1+x2=x3+x4=，x1·x2=，x3·x4=（1）若(x1x2，x3x4)=－1，即有（x1－x3）（x2－x4）+（x1－x4）（x2－x3）=0，2（x1x2＋x3x4）－（x1＋x2）（x3＋x4）=0，（2）將（1）代入（2），得：∴a11b22+a22b11-2a122b12=0。充分性，以乘a11b22+a22b11－2a12b12=0的兩邊，得將（1）代入上式后按必要性步驟倒推即得：(x1x2，x3x4)=－1。9、試證四直線2x－y+1=0,3x+y－2=0,7x－y=0,5x－1=0共點(diǎn)，并順這次序求其交比。證明：以2x－y+1=0和3x+y－2=0為基線表示7x－y=0，5x－1=0，∵7x－y=0與（2x－y+1）+λ1（3x+y－2）=0重合，∴∵5x－1=0與（2x－y+1）+λ2（3x+y－2）=0重合.∴所求交比為，由于交比存在，所以四直線共點(diǎn)。10、試證，一角的兩邊和它的內(nèi)外分角線成調(diào)和線束。證明：設(shè)直線c、d是a、b為邊的角的內(nèi)外分角線，以直線1截a、b、c、d分別于A、B、C、D∵（AB，CD）∴（ab，cd）=（AB，CD）=－1。11、ABCD為平行四邊形，過(guò)A引AE與對(duì)角線BD平行，證明A（BD，CE）=－1。證明：設(shè)AC×BD=O，AE×BD=P∞（圖7），因此A（BD，CE）=（BD，OP∞）=（BDO）12、AB為圓之直徑，C為直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，從C向圓引切線CT，證明T在AB上的垂直射影D是C對(duì)于A、B的調(diào)和共軛點(diǎn)，若C在線段AB本身上，如何作它的調(diào)和共軛點(diǎn)證法1：設(shè)O是AB的中點(diǎn)，∴OT⊥CT，TD⊥AB∴OT2=OD·OC，即OA2=OD·OC，由本章6題結(jié)論得（AB，CD）=－1。證法2：∠ATD=∠ATE，∠DTB=∠BTC，∴TB，TA是∠DTC的內(nèi)外分角線（圖8），因此（AB，CD）=T（AB，CD）=－1。如果C在線段AB內(nèi)部，過(guò)C作CT⊥AB交圓于T，過(guò)T作圓的切線交AB的延長(zhǎng)線于D，則A，B調(diào)和分割C，D，因?yàn)楫?dāng)C確定后，T也確定，所以點(diǎn)D唯一確定。13、設(shè)兩點(diǎn)列同底，求一射影對(duì)應(yīng)使0，1，∞分別變?yōu)?，∞，0解：設(shè)第四對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為x，x'，由于射影對(duì)應(yīng)保留交比不變，所以（01,∞x）=（1∞，0x'）由交比性質(zhì)得：（10，x∞）=(0x'，1∞)，即：（10x）=（0x'1），展開(kāi)得：14、設(shè)點(diǎn)列上以數(shù)x為笛氏坐標(biāo)的點(diǎn)叫做x，試求一射影對(duì)應(yīng)，使點(diǎn)列上的三點(diǎn)1,2,3對(duì)應(yīng)于點(diǎn)列上三點(diǎn)：（1）4,3,2；（2）1,2,3；（3）－1,－2,－3.解：設(shè)第四對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)x，x'，（1）∵（12，3x）=（43，2x'）（2）∵（12,3x）=(12,3x')，∴x'=x為恒等變換，（3）∵（12,3x）=（-1-2，-3x'），∴x'=-x15、當(dāng)射影對(duì)應(yīng)使一點(diǎn)列上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于另一點(diǎn)列上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)，證明兩點(diǎn)列的對(duì)應(yīng)線段成定比。證法1：∵三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)A→A'，B→B'，C∞→C'∞，決定射影對(duì)應(yīng)，設(shè)M→M'為任一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則由（AB，C∞M）=（A'B'，C'∞M'）得：（ABM）=（A'B'M'），即證法2：射影變換式為；因?yàn)楫?dāng)x→∞時(shí)，x'→∞，所以c=0。此時(shí)射影變換式為：，或dx'－ax－b=0。設(shè)x1→x1'，x2→x2'為兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，因此dx1'－ax1－b=0dx2'－ax2－b=0①②①式減②式，得d(x1'－x2')=a(x1－x2)16、圓周上的點(diǎn)和其上二定點(diǎn)相聯(lián)得兩個(gè)線束，如果把線束交于圓周上的兩線叫做對(duì)應(yīng)直線，證明這樣的對(duì)應(yīng)是射影的。證明：設(shè)A，A'為圓周上二定點(diǎn)，Mi（i=1，2，3，4）為圓周上任意四點(diǎn)（圖9）∵A（M1M2，M3M4）===A'（M1M2,M3M4）?！郃'（M1M2,M3M4A'（M1M2,M3M4）17、從原點(diǎn)向圓（x－2）2+(y－2)2=1作切線t1,t2。試求x軸，y軸，t1,t2順這次序的交比。（設(shè)t1是鄰近x軸的切線）解：設(shè)直線y=kx與圓相切，則，兩邊平方得：，解得：k1,2=∵t1鄰近x軸，∴t1的斜率為k1=t2的斜率為k2=，因此t1的方程為y－x=0，t2的方程為y－x=0，故（xy，t1,t2）==。18、設(shè)點(diǎn)A（3，1，2），B（3，-1，0）的聯(lián)線與圓x2+y2－5x－7y＋6=0相交于兩點(diǎn)C和D，求交點(diǎn)C，D及交比（AB，CD）。解：圓方程齊次化：x12+x22－5x1x3－7x2x3+6x23=0,設(shè)直線AB上任一點(diǎn)的齊次坐標(biāo)是（3+3λ，1－λ，2），若此點(diǎn)在已知圓上，則（3+3λ）2+（1－λ）2－5（3+3λ）2－7（1－λ）2+6×22=0，化簡(jiǎn)得：10λ2－10=0，∴λ1=1，λ2=-1，即直線AB與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)λ1，λ2分別對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)是C，D，則C的坐標(biāo)是（3,0,1），D的坐標(biāo)是（0,1,1）且（AB，CD）==-1.19、一圓切于x軸和y軸，圓的動(dòng)切線m交兩軸于M及M'，試證｛M｝｛M'｝。證明：設(shè)圓半徑為r，M（a,0），M'（0，b），a，b為參數(shù)（圖10），則m的方程為或bx+ay-ab=0，由于m與圓相切，因此，此式兩邊平方，得r2a2+r2b2+a2b2+2abr－2a2br－2b2ar＝a2r2＋b2r2,或ab－2ra－2rb+2r2=0∴點(diǎn)M，M'的參數(shù)間有一個(gè)行列式不等于零的雙一次函數(shù)，故｛M｝｛M'｝。20、x表直線上點(diǎn)的笛氏坐標(biāo)，這直線上的射影變換,δα－βγ≠0,在什么條件下以無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)作為二重點(diǎn)。解：設(shè)x=x'是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，因此==所以，以無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)作為二重點(diǎn)的射影變換是21、設(shè)兩個(gè)重迭一維射影幾何形式有兩個(gè)二重元素S1、S2，證明它們之間的對(duì)應(yīng)式可以寫(xiě)作,k是個(gè)常數(shù)。證明：已知S1→S2，S2→S2，設(shè)μ1→μ'1是第三對(duì)對(duì)元素，μ→μ'是任一對(duì)對(duì)應(yīng)元素，因?yàn)槿龑?duì)對(duì)應(yīng)元素確定唯一射影對(duì)應(yīng)，∴（S1S2，μ1μ'）=（S1S2，μ1'μ'），因而=22、設(shè)S1，S2是對(duì)合對(duì)應(yīng)的二重元素，證明這對(duì)合可以寫(xiě)作:證明：設(shè)μ→μ'是對(duì)合對(duì)應(yīng)下任一對(duì)對(duì)應(yīng)元素，從而（S1S2，μμ'）=-1，即或∴23、一直線上點(diǎn)的射影變換是x'=，證明這直線上有兩點(diǎn)保持不變，且這兩點(diǎn)跟任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的交比為一常數(shù)。證明：設(shè)固定點(diǎn)為x=x'，所以x(x+4)=3x+2，即x2+x－2=0，解得固定點(diǎn)為x=-2和x=1設(shè)任一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為x，交比：（1，—2，x，）=24、試證對(duì)合對(duì)應(yīng)的二線束中，一般只有一對(duì)互相垂直的對(duì)應(yīng)直線，若有兩對(duì)互垂的對(duì)應(yīng)直線，則每對(duì)對(duì)應(yīng)直線都互垂。證明：取二線束公共頂點(diǎn)為原點(diǎn)，取對(duì)應(yīng)線的斜率為λ、λ'，則對(duì)合方程為aλλ'+b(λ+λ')+d=0,且ad－b2≠0，互垂對(duì)應(yīng)線應(yīng)滿足λλ'=－1，所以所以當(dāng)方程（1）有兩個(gè)不等實(shí)根λ1，λ2時(shí)，只有一對(duì)互垂對(duì)應(yīng)線，這是因?yàn)棣?λ2=－=－1,因而λ1'==λ2，λ'2==λ1。當(dāng)方程（1）有兩個(gè)相等實(shí)根時(shí)，必須a－d=0，b=0，這時(shí)對(duì)合變?yōu)棣甩?=－1，每對(duì)對(duì)應(yīng)線都互垂。25、設(shè)A，A'；B，B'；C，C'是對(duì)合的三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，試證（ABC'）（BCA'）（CAB'）=1。證明：由對(duì)合對(duì)應(yīng)的相互交換性，有A→A'，B→B'，A'→A，C'→C，所以（AB，A'C'）=（A'B'，AC），于是得∴（ABC'）（BCA'）（CAB'）=126、AB是定圓直徑，作一組圓使其中心都在直線AB上并且都跟定圓正交，證明這組圓跟直線AB的交點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)雙曲對(duì)合。證明：設(shè)圓O'是與定圓O正交的任一圓，T為一個(gè)交點(diǎn)，且圓O'與直線AB交于點(diǎn)和P'（圖11）已知OT⊥O'T，∴OT2=OP·OP'，即OA2=OB2=OP·OP'?！帱c(diǎn)P，P'是以A，B為二重元素，O為中心的雙曲對(duì)合的一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)。27、O是笛氏正交坐標(biāo)的原點(diǎn)，A是y軸上一定點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的直角繞A旋轉(zhuǎn)，證明直角兩邊被x軸所截的點(diǎn)偶構(gòu)成一個(gè)橢圓型對(duì)合。證明：設(shè)直角邊交x軸的任意兩個(gè)位置為A1，A2；B1，B2（圖12）設(shè)OA2=k，則OA1·OA2=OB1·OB2=OA2=k，因?yàn)锳1，A2；B1，B2在x軸上的位置為一正一負(fù)，故OA1·OA2=OB1·OB2＜0，因而A1，A2；B1，B2，……在x軸上構(gòu)成橢圓型對(duì)合第四章代沙格定理、四點(diǎn)形與四線形1、設(shè)△ABC的頂點(diǎn)，A，B，C分別在共點(diǎn)的三直線α，β，γ上移動(dòng)，且直線AB和BC分別通過(guò)定點(diǎn)P和Q，求證CA也通過(guò)PQ上一個(gè)定點(diǎn)（圖13）。證：設(shè)A0是α上的一個(gè)定點(diǎn)，AOP交β于B0，B0Q交γ于C0，則A0C0是定直線（圖13）。若R是定直線A0C0與定直線PQ的交點(diǎn)，從而R是PQ上的定點(diǎn)，若△ABC是合于條件的，因?yàn)樵凇鰽BC及△A0B0C0中，A0A，B0B，C0C共點(diǎn)，根據(jù)代沙格定理，P，Q及A0C0×AC共線，即AC通過(guò)A0C0×PQ=R（定點(diǎn)）。2、△ABC的二頂點(diǎn)A與B分別在定直線α和β上移動(dòng)，三邊AB，BC，CA分別過(guò)共線的定點(diǎn)P，Q，R，求證頂點(diǎn)C也在一定直線上移動(dòng)。證：設(shè)α×β=0（定點(diǎn)），△A0B0C0是滿足條件的定三角形，△ABC是滿足條件的任意三角形?！逜0B0×BC=Q，A0C0×AC=R。由代沙格定理逆定理得，三線A0A，B0B，C0C共點(diǎn)O，即C在定直線C0O上移動(dòng)（圖14）。3、設(shè)P，Q，R，S是完全四點(diǎn)形的頂點(diǎn)，A=PS×QR，B=PR×QS，C=PQ×RS，證明A1=BC×QR，B1=CA×RP，C1=AB×PQ三點(diǎn)共線。證：在△ABC及△PQR中（圖15），∵AP，BQ，CR共點(diǎn)S?！鄬?duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)C1=AB×PQ，B1=CA×RP，A1=BC×RQ三點(diǎn)共線。4、已知線束中的三直線a，b，c求作直線d使（ab，cd）=－1。解：設(shè)線束中心為S，以直線1分別截a,b，c于A，B，C在直線c上任意取一點(diǎn)Q，聯(lián)AQ交d于R，聯(lián)BQ交a于P，聯(lián)PR與1交于D（圖16），則直線SD為所求。因?yàn)?，SPQR構(gòu)成一完全四點(diǎn)形，∴（AB，CD）=－1，從而（ab，cd）=（AB，CD）=－1。5、設(shè)AD，BE，CF為△ABC的三高線，EF×BC=D'，求證（BC,DD'）=－1，在等腰三角形AB=AC的情況，這命題給出什么結(jié)論證明：設(shè)P為△ABC的垂心，由完全四點(diǎn)形AFPE（圖17）的性質(zhì)，得（BC，DD'）=－1。在等腰△ABC中，若AB=AC，D為垂足，因而D為BC的中點(diǎn)?！撸˙C，DD'）=－1，所以D'為BC直線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，因而FE∥BC。即在等腰三角形中，底邊的頂點(diǎn)到兩腰的垂足的聯(lián)線平行于底邊。第五章射影坐標(biāo)系和射影變換1、將一維笛氏坐標(biāo)與射影坐標(biāo)的關(guān)系：以齊次坐標(biāo)表達(dá)。解設(shè)一維笛氏坐標(biāo)系中，一點(diǎn)的坐標(biāo)為x，則齊次坐標(biāo)為（x1，x2），且x＝，一點(diǎn)的射影坐標(biāo)為λ，齊次坐標(biāo)為（λ1,λ2）且λ=，將λ和x代入關(guān)系式（1）有，化簡(jiǎn)得：∴2、在直線上取笛氏坐標(biāo)為2，0，3的三點(diǎn)作為射影坐標(biāo)系的A1,A2,E，(i)求此直線上任一點(diǎn)P的笛氏坐標(biāo)x與射影坐標(biāo)λ的關(guān)系；（ii）問(wèn)有沒(méi)有一點(diǎn)，它的兩種坐標(biāo)相等解：笛氏坐標(biāo)023xλ射影坐標(biāo)：A2A1E（i）由定義λ=（A1A2，EP）=（20，3x）=(ii)若有一點(diǎn)它的兩種坐標(biāo)相等，即x=λ則有∴當(dāng)x=0及x=時(shí)兩種坐標(biāo)相等。，即3x2－7x=0，3、在二維射影坐標(biāo)系下，求直線A1E，A2E，A3E的方程和坐標(biāo)。解：坐標(biāo)三角形頂點(diǎn)A1（1，0，0）,A2（0，1，0）,A3（0，0，1）和單位點(diǎn)E（1，1，1）設(shè)P（x1，x2，x3）為直線A1E上任一點(diǎn)，其方程為：即x2－x3=0，線坐標(biāo)為（0，1,－1）直線A2E的方程為：，即x1－x3=0，線坐標(biāo)為（1，0，－1）；，即x2－x1=0，線坐標(biāo)為（－1，1，0）直線A3E的方程為：4、寫(xiě)出分別通過(guò)坐標(biāo)三角形的頂點(diǎn)A1，A2，A3的直線方程。解：設(shè)平面上任意直線方程為u1x1+u2x2+u3x3=0，過(guò)點(diǎn)A1(1，0，0)時(shí)u1=0，即為u2x2+u3x3=0，過(guò)點(diǎn)A2(0，1，0)時(shí)u2=0，即為u1x1+u3x3=0，過(guò)點(diǎn)A3(0，0，1)時(shí)u3=0，即為u1x1+u2x2=0。5、取笛氏坐標(biāo)系下三直線x－y=0，x+y－1=0，x－2=0分別作為坐標(biāo)三角形的邊A2A3，A3A1，A1A2，取E（）為單位點(diǎn)，求一點(diǎn)的射影坐標(biāo)（x1，x2，x3）與笛氏坐標(biāo)（x，y，t）的關(guān)系。解：E（），∴e1=，e2=，e3=。（圖18）任意一點(diǎn)M（x，y）到三邊的距離為：ρ1=，ρ2=，ρ3=∴射影坐標(biāo)（x1，x2，x3）與笛氏坐標(biāo)的關(guān)系為：ρx1==x－y，ρx2==x+y－t，ρx3==－2x+4t即：6、從變換式求出每一坐標(biāo)三角形的三邊在另一坐標(biāo)系下的方程。解：△A1'A2'A3'三邊，A1'A2'：x'3=0；A1'A3'：x'2=0；A2'A3'：x'1=0。從變換式（1）可求得△A1'A2'A3'的三邊在坐標(biāo)系△A1A2A3下的方程：A1'A2'的方程為：x'3=0，即x1+x2－x3=0；A1'A3'的方程為：x'2=0，即x1－x2+x3=0。A2'A3'的方程為：x'1=0，即－x1+x2＋x3=0。由（1）可求出逆變換式為：△A1A2A3的三邊，A1A2：x3=0；A1A3：x2=0；A2A3：x1=0。從變換式（2）可求得△A1A2A3的三邊在坐標(biāo)系△A1'A2'A3'下的方程：x'1+x'2=0，即A1A2的方程。x'1+x'3=0，即A1A3的方程。x'2+x'3=0，即A2A3的方程。7、若有兩個(gè)坐標(biāo)系，同以△A1A2A3為坐標(biāo)三角形，但單位點(diǎn)不同，那么兩種坐標(biāo)間的轉(zhuǎn)換式為何解：設(shè)變換式為：已知（1,0,0）→（1,0,0）,（0,1,0）→（0,1,0）,（0,0,1）→（0,0,1）分別代入變換式得ρ1=a11，a21=0，a31=0；ρ2=a22，a12=0，a32=0；ρ3=a33，a13=0，a23=0故有又（1,1,1）→（a,b,c）∴即a：b：c=a11：a22：a33故變換式為：8、在拓廣歐氏平面上求平移的二重元素。解：設(shè)x=，y=（1）求二重點(diǎn)：，則有，即μ=1為三重根。將μ=1代入方程組：解得：所以在有限歐氏平面上，在平移變換下無(wú)二重元素，在拓廣歐氏平面上，1∞上的所有點(diǎn)（x1，x2，0）皆為二重點(diǎn)。（2）求二重直線：λ=1為三重根。將λ=1代入方程組：得u1，u2可取任意數(shù)，且au1+bu2+0u3=0所以二重直線是通過(guò)點(diǎn)（a，b，0）的一切直線，即以為斜率的平行線束及無(wú)窮遠(yuǎn)線，這平行線束即平移方向的直線集合。9、求射影變換的二重元素。解：（i）求二重點(diǎn)：二重點(diǎn)（x1，x2，x3）應(yīng)滿足，∴μ1=1為二重根，μ2=－1為單根。將μ1=1代入（2）式得x1=0，x2，x3為任意數(shù)，所以二重點(diǎn)為（0，x2，x3），但x2，x3不同時(shí)為零，此為坐標(biāo)三角形的邊x1=0上的一切點(diǎn)；將μ2=－1代入（2）式得二重點(diǎn)（x1，0，0），此為坐標(biāo)三角形的頂點(diǎn)A1（1，0，0）。（ii）求二重直線：λ1=1及λ2=－1，將λ1=1代入得二重直線u1=0，即過(guò)A1（1，0，0）的一切直線；將λ=－1代入（3）得二重直線x1=0，為坐標(biāo)三角形的邊A2A3。10、求射影變換的二重元素。解：（i）求二重點(diǎn)：（x1，x2，x3）滿足，有三重根μ=1，將μ=1代入（2）式得二重點(diǎn)為x2=0,即坐標(biāo)三角形的邊A1A3上所有的點(diǎn)。（ii）求二重直線：λ=1為三重根，將λ=1代入得u1=0,u2,u3為任意數(shù)，即二重直線為以A1(1,0,0)為中心的線束。11、求射影變換的二重元素。解（i）求二重點(diǎn)：二重點(diǎn)（x1，x2，x3）滿足，得(μ+1)(μ+2)(－μ+3)=0，所以特征根μ=-1，-2，3。取μ=－1代入（2）得二重點(diǎn)為（0，0，x3）即（0,0,1），取μ=－2代入（2）得二重點(diǎn)為（1，6，5），取μ=3代入（2）得二重點(diǎn)為（1，1，0）。（ii）求二重直線：特征根λ=－1，－2，3。取λ=－1代入得二重直線為（1，－1，－1）取λ=－2代入（3）得二重直線為（1，－1，0）取λ=3代入（3）得二重直線為（－6，1，0）。12、證明射影變換只有一個(gè)二重點(diǎn)及通過(guò)該點(diǎn)的一條二重直線。證：若有二重點(diǎn)（x1，x2，x3）則滿足，即μ=a為三重根，將μ=a代入（2）得二重點(diǎn)為（1，0，0）。若有二重直線（u1，u2，u3），得λ=a為三重根，將λ=a代入，得二重直線為（0，0，u3）即x3=0，所以二重直線A1A2通過(guò)二重點(diǎn)A1（1，0，0）。13、（i）求變換：x'=，y'=的二重點(diǎn)。（ii）設(shè)O為原點(diǎn)，P為直線x=1上任一點(diǎn)，m'為直線OP上一點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，求交比（OP，MM'）；（iii）從這個(gè)交比得出什么結(jié)論解出逆變換式以驗(yàn)證這結(jié)論。解（i）求二重點(diǎn)：由題設(shè)有x=，解出x=0,1。y=，化簡(jiǎn)為：y(2x－2)=0，所以x=1時(shí)，y為任何值都行，故二重點(diǎn)為（0，0）及直線x=1上的任意點(diǎn)。（ii）交比（OP，MM'）=（01，xx'）=（01，x(iii)從原變換求其逆變換：）=－1.x'=y'=→x=→y=；所以在每條直線OP上有一個(gè)對(duì)合對(duì)應(yīng)，對(duì)合的兩個(gè)二重點(diǎn)是原點(diǎn)及P點(diǎn)。14、求證這里的R，S，T表示變換。證：設(shè)A'=T（A），A"=S（A'），A"'=R（A"），∴A'''=(RST)（A），則（RST）-1（A"'）=A。而R-1（A"'）=A"，S-1（A"）=A'，T-1（A'）=A∴15、證明直線上非奇異射影變換構(gòu)成群。證：設(shè)T：，S：，所以S·T：故直線上非奇異射影變換之積仍為直線上非奇異射影變換；又因?yàn)門(mén)-1：故直線上非奇異射影變換之逆仍為直線上非奇異射影變換，所以直線上非奇異射影變換構(gòu)成群。16、證明直線上非奇異射影變換構(gòu)成群。證：設(shè)T：，S：，所以S·T：故直線上非奇異射影變換之積仍為直線上非奇異射影變換；又因?yàn)門(mén)-1：故直線上非奇異射影變換之逆仍為直線上非奇異射影變換，所以直線上非奇異射影變換構(gòu)成群。17、證明直線上非奇異射影變換不構(gòu)成群。證：設(shè)T：，S：，所以S·T：即直線上行列式<0的非奇異射影變換之積不再是直線上行列式<0的非奇異射影變換，故不構(gòu)成群。18、證明繞原點(diǎn)的全體旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)成群。證：設(shè)T：S：，且，且A==1所以S·T：，且故旋轉(zhuǎn)變換之積仍為旋轉(zhuǎn)變換；又因?yàn)門(mén)-1：且A-1=，故旋轉(zhuǎn)變換之逆仍為旋轉(zhuǎn)變換，所以繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)成群。第六章二次曲線的射影性質(zhì)1、試求二階曲線的方程，它是由兩個(gè)射影線束x1－λx3=0與x2－λ'x3=0（）所決定的。解：∵（1）由x1－λx3=0；x2－λ'x3=0將(2)(3)代入(1)得：故所求二階曲線的方程為：2、在平面上給定四點(diǎn)A，B，C，D，其中無(wú)三點(diǎn)共線，求滿足條件P(AB，CD)=定值k的點(diǎn)P的軌跡。解：由本章定理3給定無(wú)三點(diǎn)共線的任意五點(diǎn)，可決定唯一的二階曲線，由定理4，二階曲線上四點(diǎn)與其上任意第五點(diǎn)所聯(lián)直線的交比為常數(shù)。因此，此題關(guān)鍵是作出一點(diǎn)E，使E(AB，CD)=k。則滿足條件P(AB，CD)=k。假設(shè)E點(diǎn)已作出，過(guò)無(wú)三點(diǎn)共線的五點(diǎn)A，B，C，D，E可唯一決定一條二階曲線。作法：過(guò)A任作一直線1與直線CD交于A'，再在CD上作B'使(A'B'，CD)=k，然后連接B'B交1于E，則二階曲線唯一確定之后，在其上任取一點(diǎn)P都有P(AB，CD)=E(AB，CD)=E(A'B'，CD)=k（圖18）3、建立一個(gè)透視對(duì)應(yīng)使以A1(1，0，0)為中心的線束對(duì)應(yīng)于以A2（0，1，0）為中心的線束；并求這兩透視線束所產(chǎn)生的變態(tài)二階曲線的方程。解：因?yàn)榈慕稽c(diǎn)為A1，過(guò)A1的線束方程為：x2－λx3=0（1）的交點(diǎn)A2，過(guò)A2的線束方程為：x1－μx3=0（2）又若線束A1線束A2，則（3）將(1)(2代入(3)得：x2(γx1+δx3)-x3(ax1+βx3)=0（4）若線束A1線束A2，則x3=0為自對(duì)應(yīng)直線（即x3=0，變?yōu)閤3=0），即（3）式中μ=∞時(shí)對(duì)應(yīng)于λ=∞，∴γ=0，化簡(jiǎn)為x3（－αx1+δx2－βx3）=0,且αδ≠0（5）若A3（0，0，1）在（5）式所表示曲線Γ上，則有β=0，再E（1，1，1）在（5）式所表示曲線Γ上，則有－α+δ=0，這時(shí)（5）式變?yōu)椋簒3(－ax1+ax2)=0，a≠0,二透視線束產(chǎn)生的變態(tài)二階曲線的方程為：x3（x1－x2）=04、給定二次曲線上五點(diǎn)，求作曲線上另外一些點(diǎn)。解：（圖19）已