浙江大學(xué)2006年攻讀碩士研究生入學(xué)初試試題考試科目：數(shù)學(xué)分析科目代號(hào)：427注意：所有解答必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷或草稿紙上一律無(wú)效！注：這是我憑記憶記下來(lái)的，有些題目可能不是很準(zhǔn)確。希望對(duì)大家有用！浙江大學(xué)2005數(shù)學(xué)分析計(jì)算定積分：解：假設(shè)f(x)在[0,1]Rieman可積，，求解：利用可積的定義和Taylor展開(kāi)作設(shè)a,b,c是實(shí)數(shù)，b>-1,c≠0,試確定a,b,c，使得解：不斷利用L’Hospital法則f(x)在[a,b]上連續(xù)，對(duì)于，求證：證明：利用實(shí)數(shù)系的幾個(gè)定理就可以了5．(1)設(shè)f(x)在[a,+∞]上連續(xù)，且收斂，證明：存在數(shù)列，使得滿(mǎn)足，(2)設(shè)f(x)在[a,+∞]上連續(xù)，f(x)≥0,且收斂，問(wèn)：是否必有，為什么？證明：（1）此題也可以用反證法來(lái)解決，也非常簡(jiǎn)單。（2）不是，構(gòu)造一個(gè)鋸齒形的函數(shù)設(shè)f(x)在[0,+∞]具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且已知和都是有限數(shù)，求證：證明：根據(jù)Taylor展開(kāi)：由題1的結(jié)論：7．設(shè)f(x)在任何有限區(qū)間上Rieman可積，且收斂，證明：證明：分成兩段，然后把它化成級(jí)數(shù)來(lái)考慮，做的有點(diǎn)麻煩。8．（1）將arctanx展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，并求他的收斂半徑（2）利用（1）證明：利用（2）的公式，近似計(jì)算的值，需要用多少項(xiàng)求和，誤差不會(huì)超過(guò)？解：（1）（2）將x=1代入（3）利用Taylor展開(kāi)的余項(xiàng)9．設(shè)U(x,y)是R2/{0,0}上C2徑向函數(shù)，即存在一元函數(shù)f，u(x,y)=f(r),r=，若滿(mǎn)足如下的方程：，求f滿(mǎn)足的方程及函數(shù)u(x,y)解：我對(duì)復(fù)變函數(shù)學(xué)的不多，只能看出u(x,y)應(yīng)該是調(diào)和函數(shù)，應(yīng)該可以找到一個(gè)共軛的調(diào)和函數(shù)，然后接下來(lái)是不是可以繼續(xù)作我就不是很了解了。10．（1）設(shè)f是R1的C1，周期為L(zhǎng)的函數(shù)（L>0）。且,l利用f的Fourior級(jí)數(shù)展開(kāi)證明：，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)，使得（2）設(shè)是R2上具有C1光滑的連通區(qū)域。設(shè)是的面積，則其中（3）同上，是的邊界長(zhǎng)度，利用（1）（2）證明：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)圓盤(pán)等號(hào)成立。證明：（1）（2）（3）本題的證明是從陳紀(jì)修老師的《數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）》P.432的定理16.3.7找到的我覺(jué)得這道題目的難點(diǎn)是把l2表達(dá)出來(lái)，開(kāi)始，我直接用了極坐標(biāo)的方法來(lái)做，結(jié)果在一個(gè)不等號(hào)出出現(xiàn)了問(wèn)題。他做了一次參數(shù)方程，在變換到弧度制，巧妙的把l2的問(wèn)題解決了。浙江大學(xué)二〇〇四年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題考試科目：數(shù)學(xué)分析一．（15分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義。試證明：在上一致連續(xù)的充要條件是對(duì)區(qū)間上任意的兩數(shù)列與，當(dāng)時(shí)，有。二．（15分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有直到三階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，。試證明：絕對(duì)收斂。三．（15分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可微，且在點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)，。證明：在內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)。四.（15分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上Riemann可積，且。試證明：存在閉區(qū)間使得當(dāng)時(shí)，。五.（15分）證明：若一族開(kāi)區(qū)間覆蓋了閉區(qū)間，則必存在一正數(shù)，使得中任何兩點(diǎn)滿(mǎn)足時(shí)，必屬于某個(gè)開(kāi)區(qū)間。六.（15分）用球面坐標(biāo)變換方程七.（10分）計(jì)算：。八.（15分）求在條件下的最大最小值，其中。九．（15分）利用公式計(jì)算積分的值。（說(shuō)明計(jì)算過(guò)程中每一步的合理性）十．（20分）（1）設(shè)為中光滑區(qū)域，為其邊界，在上有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)。證明：其中為沿邊界外法線(xiàn)方向的導(dǎo)數(shù)，為邊界上的面積元，。（2）的坐標(biāo)為，函數(shù)證明：在上成立。（3）設(shè)是以為中心為半徑的球，為其邊界。若在上滿(mǎn)足，則。浙江大學(xué)2003年研究生數(shù)學(xué)分析試題1．（15分）敘述數(shù)列的柯西（Cauchy）收斂原理，并證明之。2．（15分）設(shè)在上一致連續(xù)，在上連續(xù)，且。證明：在上一致連續(xù)。3．（15分）設(shè)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，當(dāng)時(shí)。證明：在內(nèi)，方程有且只有一個(gè)實(shí)根。4．（20分）設(shè)連續(xù)，，且（常數(shù)），求，并討論在處的連續(xù)性。5．（10分）定義為，證明：。6．（10分）給出Riemann積分的定義，并確定實(shí)數(shù)的范圍使下列極限收斂。7．（20分）證明：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂，但是對(duì)任意非絕對(duì)收斂；函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)任意都絕對(duì)收斂，但在上非一致收斂。8．（45分）計(jì)算1）（15分）；2）（15分），其中為平面曲線(xiàn)所圍成的有界閉區(qū)域。3）（15分），其中浙江大學(xué)二〇〇二年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題考試科目：數(shù)學(xué)分析一、（共30％）（A）（10％）用“語(yǔ)言”證明；（B）（10％）給出一個(gè)一元函數(shù)，在有理點(diǎn)都不連續(xù)，在無(wú)理點(diǎn)都連續(xù)，并證明之；（C）（10％）設(shè)為二元函數(shù)，在附近有定義，試討論“在處可微”與“在附近關(guān)于、的偏導(dǎo)數(shù)都存在”之間的關(guān)系，必要時(shí)，請(qǐng)給出反例。二、（共30％）（A）（5％）設(shè)，數(shù)列由如下遞推公式定義：，，，，，，求證：。（B）（5％）求。（C）（5％）求，，，，，，（當(dāng)時(shí)）。（D）（5％）求不定積分。（E）（5％）證明：在上連續(xù)可微。三、（共20％）（A）（10％）求第一型曲面積分，其中。（B）（10％）設(shè)、、為三個(gè)實(shí)數(shù)，證明：方程的根不超過(guò)三個(gè)。四、（共20％）設(shè)，求證：（A）（10％）對(duì)任意自然數(shù)，方程在內(nèi)有且僅有一個(gè)正根；（B）（10％）設(shè)是的根，則。浙江大學(xué)2000年研究生數(shù)學(xué)分析試題一．（共10分）(1)求極限(2)設(shè)二．（共10分）1．設(shè)2．在上連續(xù)，在內(nèi)存在，試證明存在，使得三．（共15分）1．求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和2．試證明在上的連續(xù)函數(shù)四．（共15分）1．設(shè)方程組，確定了可微函數(shù)，試求2．設(shè)，求五．（共30分）1．計(jì)算定積分2．求以曲面為頂，以平面為底，以柱面為側(cè)面的曲頂柱體的體積3．設(shè)表示半球面的上側(cè)，求第二類(lèi)曲面積分六．（共20分）1．將函數(shù)展開(kāi)成級(jí)數(shù)2．求級(jí)數(shù)的和3．計(jì)算廣義積分浙江大學(xué)1999年研究生數(shù)學(xué)分析試題求極限在平面上求一點(diǎn)，使它到三條直線(xiàn)及的距離平方和最小計(jì)算二重積分，其中由曲線(xiàn)所圍城的區(qū)域設(shè)在時(shí)連續(xù)，，并且，，試求函數(shù)設(shè)函數(shù)連續(xù)，若有數(shù)列使，則對(duì)A，B之間的任意數(shù)，可找到數(shù)列，使得設(shè)，證明不等式設(shè)函數(shù)在，試證明：并利用上述等式證明下式從調(diào)和級(jí)數(shù)中去掉所有在分母的十進(jìn)表示中含數(shù)碼9的項(xiàng)，證明由此所得余下的級(jí)數(shù)必定是收斂的清華大學(xué)碩士生入學(xué)考試試題專(zhuān)用紙準(zhǔn)考證號(hào)系別考試日期2003.01專(zhuān)業(yè)考試科目數(shù)學(xué)分析試題內(nèi)容：一、（15分）設(shè)（20分）設(shè)在R2\上定義，=A,且>0使得當(dāng)0＜｜y-y0｜＜時(shí)，Ф(y)存在。求證：二、（20分）設(shè)半徑為r的球面∑的球心在一固定球面∑ˊ：x2+y2+z2=a2(a>0)上，問(wèn)當(dāng)r取何值時(shí)，球面∑含在球面∑ˊ內(nèi)部的部分面積最大？三、（20分）設(shè)0(x)[﹣a,a](a>0),n(x)=n-1(t)dt,(n=1,2,…).求證：{n(x)}在[﹣a,a]上一致收斂于0.四、（20分）設(shè)(x,y）在R2上二階連續(xù)可微，(x,2x）=x,x(x,2x）=x2,且xx(x,y)=yy(x,y),2.求：y(x,2x）,yy(x,2x)及xy(x,2x).五、（25分）設(shè)(0）存在，(0)=0,xn=.求證：存在，且＝/2.六、（25分）設(shè)(x)且在(0,1)上可導(dǎo)，且(1)=.求證：存在，使得（）=-()/七、（25分）設(shè)，在R上連續(xù)，οɡ(x)=ɡο(x);,并且(x)≠ɡ(x),.求證：ο(x)≠ɡοɡ(x)