關于離散模型離散模型第1頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五離散模型

離散模型：差分方程（第7章）、整數(shù)規(guī)劃（第4章）、圖論、對策論、網(wǎng)絡流、……

分析社會經(jīng)濟系統(tǒng)的有力工具

只用到代數(shù)、集合及圖論（少許）的知識第2頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五8.1層次分析模型背景

日常工作、生活中的決策問題

涉及經(jīng)濟、社會等方面的因素

作比較判斷時人的主觀選擇起相當大的作用，各因素的重要性難以量化Saaty于1970年代提出層次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)AHP——一種定性與定量相結合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法第3頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五目標層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途一.層次分析法的基本步驟例.選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.第4頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五“選擇旅游地”思維過程的歸納

將決策問題分為3個層次：目標層O，準則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素間的關系用相連的直線表示。

通過相互比較確定各準則對目標的權重，及各方案對每一準則的權重。

將上述兩組權重進行綜合，確定各方案對目標的權重。層次分析法將定性分析與定量分析結合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結果。第5頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五層次分析法的基本步驟成對比較陣和權向量

元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度

設要比較各準則C1,C2,…,Cn對目標O的重要性A~成對比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對O的權向量選擇旅游地第6頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成對比較陣和權向量第7頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五成對比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

A的任一列向量是對應于n的特征向量

A的歸一化特征向量可作為權向量對于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對比較陣A，建議用對應于最大特征根的特征向量作為權向量w，即一致陣性質(zhì)成對比較陣和權向量第8頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五2468比較尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍強強明顯強絕對強aij=1,1/2,,…1/9的重要性與上面相反

心理學家認為成對比較的因素不宜超過9個

用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對若干實例構造成對比較陣，算出權向量，與實際對比發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu)。

便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成對比較陣和權向量第9頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五一致性檢驗對A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n

階正互反陣最大特征根

n,且

=n時為一致陣定義一致性指標:CI越大，不一致越嚴重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機一致性指標RI——隨機模擬得到aij,形成A，計算CI即得RI。定義一致性比率CR=CI/RI

當CR<0.1時，通過一致性檢驗Saaty的結果如下第10頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五“選擇旅游地”中準則層對目標的權向量及一致性檢驗準則層對目標的成對比較陣最大特征根=5.073權向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標隨機一致性指標RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗第11頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五組合權向量記第2層（準則）對第1層（目標）的權向量為同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準則)的權向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費用)的成對比較陣…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

權向量w1(3)w2(3)…

wn(3)第12頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五第3層對第2層的計算結果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1對目標的組合權重為0.5950.263+…=0.300方案層對目標的組合權向量為(0.300,0.246,0.456)T第13頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五組合權向量第1層O第2層C1,…Cn第3層P1,…Pm第2層對第1層的權向量第3層對第2層各元素的權向量構造矩陣則第3層對第1層的組合權向量第s層對第1層的組合權向量其中W(p)是由第p層對第p-1層權向量組成的矩陣第14頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結構模型深入分析實際問題，將有關因素自上而下分層（目標—準則或指標—方案或?qū)ο螅蠈邮芟聦佑绊?，而層?nèi)各因素基本上相對獨立。2）構造成對比較陣用成對比較法和1~9尺度，構造各層對上一層每一因素的成對比較陣。3）計算權向量并作一致性檢驗對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，若通過，則特征向量為權向量。4）計算組合權向量（作組合一致性檢驗*）組合權向量可作為決策的定量依據(jù)。第15頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五二.層次分析法的廣泛應用

應用領域：經(jīng)濟計劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價，生產(chǎn)決策，交通運輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結構，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。

處理問題類型：決策、評價、分析、預測等。

建立層次分析結構模型是關鍵一步，要有主要決策層參與。

構造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應由經(jīng)驗豐富、判斷力強的專家給出。第16頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五國家綜合實力國民收入軍事力量科技水平社會穩(wěn)定對外貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國工作選擇貢獻收入發(fā)展聲譽關系位置供選擇的崗位例1

國家實力分析例2

工作選擇第17頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五過河的效益

A經(jīng)濟效益B1社會效益B2環(huán)境效益B3節(jié)省時間C1收入C2岸間商業(yè)C3當?shù)厣虡I(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過河效益層次結構例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇第18頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五過河的代價

A經(jīng)濟代價

B1環(huán)境代價B3社會代價B2投入資金C1操作維護C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對水的污染C8對生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過河代價層次結構例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇第19頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五待評價的科技成果直接經(jīng)濟效益

C11間接經(jīng)濟效益

C12社會效益

C13學識水平

C21學術創(chuàng)新

C22技術水平

C23技術創(chuàng)新

C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評價例4科技成果的綜合評價第20頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五三.層次分析法的若干問題

正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？一致性指標能否反映正互反陣接近一致陣的程度？

怎樣簡化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？

為什么用特征向量作為權向量？

當層次結構不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用層次分析法？第21頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五1.

正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)定理1

正矩陣A的最大特征根是正單根，對應正特征向量w，且定理2n階正互反陣A的最大特征根

n,=n是A為一致陣的充要條件。正互反陣的最大特征根是正數(shù)，特征向量是正向量。一致性指標定義合理第22頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五2.

正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算

精確計算的復雜和不必要

簡化計算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應近似特征向量，可取其某種意義下的平均。和法——取列向量的算術平均列向量歸一化算術平均精確結果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010第23頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五根法——取列向量的幾何平均冪法——迭代算法1）任取初始向量w(0),k:=0，設置精度2)計算3）歸一化5)計算簡化計算4）若，停止；否則，k:=k+1,轉(zhuǎn)2第24頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五3.

特征向量作為權向量——成對比較的多步累積效應問題一致陣A,權向量w=(w1,…wn)T,aij=wi/wjA不一致,應選權向量w使wi/wj與

aij相差盡量?。▽λ衖,j)。用擬合方法確定w非線性最小二乘線性化——對數(shù)最小二乘結果與根法相同第25頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五

按不同準則確定的權向量不同，特征向量有什么優(yōu)點。成對比較Ci:Cj(直接比較）aij~1步強度aisasj~Ci通過Cs與Cj的比較aij(2)

~2步強度更能反映Ci對Cj的強度多步累積效應體現(xiàn)多步累積效應定理1特征向量體現(xiàn)多步累積效應當k足夠大,Ak第i行元素反映Ci的權重求Ak的行和第26頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五4.不完全層次結構中組合權向量的計算完全層次結構：上層每一元素與下層所有元素相關聯(lián)不完全層次結構設第2層對第1層權向量w(2)=(w1(2),w2(2))T已定第3層對第2層權向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得討論由w(2),W(3)=(w1(3),

w2(3))計算第3層對第1層權向量w(3）的方法貢獻O教學C1科研C2P2P1P3P4例:評價教師貢獻的層次結構P1,P2只作教學,P4只作科研,P3兼作教學、科研。C1,C2支配元素的數(shù)目不等第27頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五

不考慮支配元素數(shù)目不等的影響

仍用計算

支配元素越多權重越大用支配元素數(shù)目n1,n2對w(2)加權修正

若C1,C2重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,

P1~P4能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的評價應為：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1

再用計算w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T

支配元素越多權重越小教學、科研任務由上級安排教學、科研靠個人積極性考察一個特例：第28頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五5.

殘缺成對比較陣的處理mi~A第i行中的個數(shù)為殘缺元素輔助矩陣第29頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五6.

更復雜的層次結構

遞階層次結構：層內(nèi)各元素獨立，無相互影響和支配；層間自上而下、逐層傳遞，無反饋和循環(huán)。

更復雜的層次結構：層內(nèi)各元素間存在相互影響或支配；層間存在反饋或循環(huán)。制動底盤車輪方向盤發(fā)動機減震裝置剎車轉(zhuǎn)向運行加速性能汽車行駛性能汽車1汽車2汽車n……例第30頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五

層次分析法的優(yōu)點

系統(tǒng)性——將對象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進行決策——系統(tǒng)分析（與機理分析、測試分析并列）；

實用性——定性與定量相結合，能處理傳統(tǒng)的優(yōu)化方法不能解決的問題；

簡潔性——計算簡便，結果明確，便于決策者直接了解和掌握。層次分析法的局限

囿舊——只能從原方案中選優(yōu)，不能產(chǎn)生新方案；

粗略——定性化為定量，結果粗糙；

主觀——主觀因素作用大，結果可能難以服人。第31頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五8.2循環(huán)比賽的名次

n支球隊循環(huán)賽，每場比賽只計勝負，沒有平局。

根據(jù)比賽結果排出各隊名次方法1：尋找按箭頭方向通過全部頂點的路徑。123456312456146325方法2：計算得分：1隊勝4場，2,3隊各勝3場，4,5隊各勝2場，6隊勝1場。無法排名2,3隊，4,5隊無法排名6支球隊比賽結果……第32頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五123(1)123(2)1234(1)1234(2)1234(3)1234(4)循環(huán)比賽的結果——競賽圖每對頂點間都有邊相連的有向圖3個頂點的競賽圖名次{1，2，3}{(1,2,3)}并列{1,2,3,4}{2,(1,3,4)}{(1,3,4),2}4個頂點的競賽圖名次{(1,2),(3,4)}{1,2,3,4}?第33頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五123412341234(1)(2)(3)1234(4)競賽圖的3種形式

具有唯一的完全路徑，如(1)；

雙向連通圖——任一對頂點存在兩條有向路徑相互連通，如(4)；

其他，如(2)，(3)。競賽圖的性質(zhì)

必存在完全路徑；

若存在唯一的完全路徑，則由它確定的頂點順序與按得分排列的順序一致，如(1)。第34頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五1234(4)雙向連通競賽圖G=(V,E)的名次排序鄰接矩陣得分向量第35頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五雙向連通競賽圖的名次排序

對于n(>3)個頂點的雙向連通競賽圖，存在正整數(shù)r，使鄰接矩陣A滿足Ar>0，A稱素陣

素陣A的最大特征根為正單根，對應正特征向量s，且排名為{1，2，4，3}用s排名1234(4){1,2,3,4}?第36頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五1234566支球隊比賽結果排名次序為{1，3，2，5，4，6}第37頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五v1—能源利用量；v2—能源價格；v3—能源生產(chǎn)率；v4—環(huán)境質(zhì)量；v5—工業(yè)產(chǎn)值；v6—就業(yè)機會；v7—人口總數(shù)。8.3社會經(jīng)濟系統(tǒng)的沖量過程系統(tǒng)的元素——圖的頂點元素間的影響——帶方向的弧影響的正反面——弧旁的+、–號帶符號的有向圖影響——直接影響符號——客觀規(guī)律；方針政策例能源利用系統(tǒng)的預測+-+-++++--+v2v1v3v4v6v7v5第38頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五帶符號有向圖G1=(V,E)的鄰接矩陣AV~頂點集E~弧集定性模型-vivj+某時段vi

增加導致下時段vj

增加減少帶符號的有向圖G1+-+-++++--+v2v1v3v4v6v7v5第39頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五加權有向圖G2及其鄰接矩陣W定量模型某時段vi

增加1單位導致下時段vj

增加wij單位v70.311.511.51.20.8-2-2-0.7-0.5v1v2v3v4v5v6加權有向圖G2第40頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五沖量過程（PulseProcess)研究由某元素vi變化引起的系統(tǒng)的演變過程vi(t)~vi在時段t的值；pi(t)~vi在時段t的改變量(沖量)沖量過程模型或第41頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五231-10010-12-21-110-11-11-10103-32-211-1能源利用系統(tǒng)的預測簡單沖量過程——初始沖量p(0)中某個分量為1，其余為0的沖量過程若開始時能源利用量有突然增加，預測系統(tǒng)的演變設能源利用系統(tǒng)的p(t)和v(t)-110-11-100011-100000100000010000000第42頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五簡單沖量過程S的穩(wěn)定性

任意時段S的各元素的值和沖量是否為有限(穩(wěn)定)S不穩(wěn)定時如何改變可以控制的關系使之變?yōu)榉€(wěn)定S沖量穩(wěn)定~對任意i,t,|pi(t)|有界S值穩(wěn)定~對任意i,t,|vi(t)|有界值穩(wěn)定沖量穩(wěn)定S的穩(wěn)定性取決于W的特征根記W的非零特征根為第43頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五

S沖量穩(wěn)定|

|1

S沖量穩(wěn)定|

|1且均為單根

S值穩(wěn)定S沖量穩(wěn)定且不等于1對于能源利用系統(tǒng)的鄰接矩陣A特征多項式能源利用系統(tǒng)存在沖量不穩(wěn)定的簡單沖量過程簡單沖量過程S的穩(wěn)定性第44頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五簡單沖量過程的穩(wěn)定性改進的玫瑰形圖S*

~帶符號的有向圖雙向連通，且存在一個位于所有回路上的中心頂點。回路長度~構成回路的邊數(shù)回路符號~構成回路的各有向邊符號+1或-1之乘積ak~長度為k的回路符號和r~使ak不等于0的最大整數(shù)S*沖量穩(wěn)定

若S*沖量穩(wěn)定，則S*值穩(wěn)定+-+-++++--+v2v1v3v4v6v7v5第45頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五簡單沖量過程S*的穩(wěn)定性a1=0,

a2=(-1)v1v2(-1)v2v1=1a3=(+1)v1v3v5v1+(-1)v1v4v7v1+(+1)v1v3v2v1=1,a4=0,a5=1,r=5S*沖量穩(wěn)定

(-1)v1v2(+1)v1v2(由鼓勵利用變?yōu)橄拗评?

a2

=-1+S*沖量不穩(wěn)定A的特征多項式S*沖量穩(wěn)定S*沖量穩(wěn)定|

|1且均為單根v1~利用量,v2~價格v7+-+-++++--+v2v1v3v4v6v5第46頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五

若S*沖量穩(wěn)定，則S*值穩(wěn)定

S*沖量穩(wěn)定v3—能源生產(chǎn)率v5—工業(yè)產(chǎn)值(-1)v3v5違反客觀規(guī)律S*值不穩(wěn)定S*值穩(wěn)定(+1)v3v5(-1)v3v5能源利用系統(tǒng)的值不應穩(wěn)定？-+-+++++--+v2v1v3v4v6v7v5+第47頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五8.4

效益的合理分配例甲乙丙三人合作經(jīng)商，若甲乙合作獲利7元，甲丙合作獲利5元，乙丙合作獲利4元，三人合作獲利11元。又知每人單干獲利1元。問三人合作時如何分配獲利？記甲乙丙三人分配為解不唯一(5，3，3)(4，4，3)(5，4，2)……第48頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五(1)

Shapley合作對策[I,v]~n人合作對策，v~特征函數(shù)~n人從v(I)得到的分配，滿足v(s)~子集s的獲利第49頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五公理化方法s~子集s中的元素數(shù)目，

Si~包含i的所有子集~由s決定的“貢獻”的權重Shapley值~i對合作s的“貢獻”Shapley合作對策第50頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五三人(I={1,2,3})經(jīng)商中甲的分配x1的計算1/31/61/61/311213I17511011416471/312/37/3x1=13/3類似可得x2=23/6,x3=17/61223第51頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五合作對策的應用例1污水處理費用的合理分擔20km38km河流三城鎮(zhèn)地理位置示意圖123

污水處理，排入河流三城鎮(zhèn)可單獨建處理廠，或聯(lián)合建廠(用管道將污水由上游城鎮(zhèn)送往下游城鎮(zhèn))Q1=5Q3=5Q2=3Q~污水量，L~管道長度建廠費用P1=73Q0.712管道費用P2=0.66Q0.51L第52頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五污水處理的5種方案1）單獨建廠總投資2）1,2合作3）2,3合作4）1,3合作總投資總投資合作不會實現(xiàn)第53頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五5）三城合作總投資D5最小,應聯(lián)合建廠

建廠費：d1=73(5+3+5)0.712=45312管道費：d2=0.6650.5120=3023管道費：d3=0.66(5+3)0.5138=73D5城3建議：d1按5:3:5分擔,d2,d3由城1,2擔負城2建議：d3由城1,2按5:3分擔,d2由城1擔負城1計算：城3分擔d15/13=174<C(3),

城2分擔d13/13+d33/8

=132<C(2),

城1分擔d15/13+d35/8+d2

=250>C(1)不同意D5如何分擔？第54頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五特征函數(shù)v(s)~聯(lián)合(集s)建廠比單獨建廠節(jié)約的投資~三城從節(jié)約投資v(I)中得到的分配Shapley合作對策第55頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五計算城1從節(jié)約投資中得到的分配x111213I0400640002504003912231/31/61/61/3

06.7

013

x1=19.7,城1C(1)-x1=210.4,城2C(2)-x2=127.8,城3C(3)-x3=217.8三城在總投資556中的分擔x2=32.1,x3=12.2x2最大，如何解釋？第56頁，共67頁，2023年，2月20日