PAGEPAGE1課時(shí)分層集訓(xùn)(十二)圓周運(yùn)動(dòng)(限時(shí)：40分鐘)[根底對(duì)點(diǎn)練]圓周運(yùn)動(dòng)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析1．(2022·湖北省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)如圖4-3-17所示，由于地球的自轉(zhuǎn)，地球外表上P、Q兩物體均繞地球自轉(zhuǎn)軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)于P、Q兩物體的運(yùn)動(dòng)，以下說法正確的選項(xiàng)是()圖4-3-17A．P、Q兩點(diǎn)的角速度大小相等B．P、Q兩點(diǎn)的線速度大小相等C．P點(diǎn)的線速度比Q點(diǎn)的線速度大D．P、Q兩物體均受重力和支持力兩個(gè)力作用A[P、Q兩點(diǎn)都是繞地軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度相等，即ωP＝ωQ，選項(xiàng)A對(duì)；根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)線速度v＝ωR，P、Q兩點(diǎn)到地軸的距離不等，即P、Q兩點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)線速度大小不等，選項(xiàng)B錯(cuò)；Q點(diǎn)到地軸的距離遠(yuǎn)，圓周運(yùn)動(dòng)半徑大，線速度大，選項(xiàng)C錯(cuò)；P、Q兩物體均受到萬有引力和支持力作用，二者的合力是圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，我們把與支持力等大反向的平衡力即萬有引力的一個(gè)分力稱為重力，選項(xiàng)D錯(cuò)．]2．如圖4-3-18所示，B和C是一組塔輪，即B和C半徑不同，但固定在同一轉(zhuǎn)動(dòng)軸上，其半徑之比為RB∶RC＝3∶2，A輪的半徑大小與C輪相同，它與B輪緊靠在一起，當(dāng)A輪繞過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于摩擦作用，B輪也隨之無滑動(dòng)地轉(zhuǎn)動(dòng)起來．a(chǎn)、b、c分別為三輪邊緣的三個(gè)點(diǎn)，那么a、b、c三點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84370180】圖4-3-18A．線速度大小之比為3∶2∶2B．角速度之比為3∶3∶2C．轉(zhuǎn)速之比為2∶3∶2D．向心加速度大小之比為9∶6∶4D[A、B輪摩擦傳動(dòng)，故va＝vb，ωaRA＝ωbRB，ωa∶ωb＝3∶2；B、C同軸，故ωb＝ωc，eq\f(vb,RB)＝eq\f(vc,RC)，vb∶vc＝3∶2，因此va∶vb∶vc＝3∶3∶2，ωa∶ωb∶ωc＝3∶2∶2，故A、B錯(cuò)誤．轉(zhuǎn)速之比等于角速度之比，故C錯(cuò)誤．由a＝ωv得：aa∶ab∶ac＝9∶6∶4，D正確．]3．如圖4-3-19為某一皮帶傳動(dòng)裝置．主動(dòng)輪的半徑為r1，從動(dòng)輪的半徑為r2．主動(dòng)輪做順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為n1，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中皮帶不打滑．以下說法正確的選項(xiàng)是()圖4-3-19A．從動(dòng)輪做順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)B．從動(dòng)輪做逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)C．從動(dòng)輪邊緣線速度大小為eq\f(r\o\al(2,2),r1)n1D．從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速為eq\f(r2,r1)n1B[主動(dòng)輪沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，傳送帶沿M→N方向運(yùn)動(dòng)，故從動(dòng)輪沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，且兩輪邊緣線速度大小相等，故A、C錯(cuò)誤，B正確；由ω＝2πn、v＝ωr可知，2πn1r1＝2πn2r2，解得n2＝eq\f(r1,r2)n1，D錯(cuò)誤．]“玉兔號(hào)〞月球車依靠太陽能電池板提供能量，如圖ABCD是一塊矩形電池板，能繞CD轉(zhuǎn)動(dòng)，E為矩形的幾何中心(未標(biāo)出)，那么電池板旋轉(zhuǎn)過程中()A．B、E兩點(diǎn)的轉(zhuǎn)速相同B．A、B兩點(diǎn)的角速度不同C．A、B兩點(diǎn)的線速度不同D．A、E兩點(diǎn)的向心加速度相同A[根據(jù)題意，繞CD勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，電池板上各點(diǎn)的角速度相同，那么轉(zhuǎn)速相等，故A正確，B錯(cuò)誤；根據(jù)線速度與角速度關(guān)系式v＝ωr，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑越小的，線速度也越小，由幾何關(guān)系可知，A、B兩點(diǎn)的線速度相等，故C錯(cuò)誤；A、E兩點(diǎn)因角速度相同，半徑不同，由向心加速度的公式a＝ω2r可知，它們的向心加速度不同，故D錯(cuò)誤．應(yīng)選A．]圓周運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)力學(xué)分析4．如圖4-3-20所示，小物體P放在水平圓盤上隨圓盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)，以下關(guān)于小物體所受摩擦力Ff的表達(dá)正確的選項(xiàng)是()圖4-3-20A．Ff的方向總是指向圓心B．圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)Ff＝0C．在物體與軸O的距離一定的條件下，F(xiàn)f跟圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度成正比D．在轉(zhuǎn)速一定的條件下，F(xiàn)f跟物體到軸O的距離成正比D[物體隨圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，如果圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，那么摩擦力指向圓心，如果變速轉(zhuǎn)動(dòng)，那么摩擦力的一個(gè)分力充當(dāng)向心力，另一個(gè)分力產(chǎn)生切向加速度，摩擦力不指向圓心，A、B錯(cuò)誤；根據(jù)公式Fn＝Ff＝mω2r可得在物體與軸O的距離一定的條件下，F(xiàn)f跟圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的平方成正比，C錯(cuò)誤；因?yàn)棣兀?πn，所以Ff＝m(2πn)2r，那么Ff跟物體到軸O的距離成正比，D正確．]5．如圖4-3-21所示，是馬戲團(tuán)中上演的飛車節(jié)目，在豎直平面內(nèi)有半徑為R的圓軌道．表演者騎著摩托車在圓軌道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．人和摩托車的總質(zhì)量為m，人以v1＝eq\r(2gR)的速度通過軌道最高點(diǎn)B，并以v2＝eq\r(3)v1的速度通過最低點(diǎn)A．那么在A、B兩點(diǎn)軌道對(duì)摩托車的壓力大小相差()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84370181】圖4-3-21A．3mg B．4mgC．5mg D．6mgD[由題意可知，在B點(diǎn)，有FB＋mg＝meq\f(v\o\al(2,1),R)，解之得FB＝mg，在A點(diǎn)，有FA－mg＝meq\f(v\o\al(2,2),R)，解之得FA＝7mg，所以A、B兩點(diǎn)軌道對(duì)車的壓力大小相差6mg．應(yīng)選項(xiàng)D正確．]6．如圖4-3-22所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿，一端固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球，另一端固定在水平轉(zhuǎn)軸O上，桿隨轉(zhuǎn)軸O在豎直平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為ω，某時(shí)刻桿對(duì)球的作用力恰好與桿垂直，那么此時(shí)桿與水平面的夾角是()圖4-3-22A．sinθ＝eq\f(ω2L,g) B．tanθ＝eq\f(ω2L,g)C．sinθ＝eq\f(g,ω2L) D．tanθ＝eq\f(g,ω2L)A[小球所受重力和桿的作用力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有：mgsinθ＝mLω2，解得sinθ＝eq\f(ω2L,g)，選項(xiàng)A正確，B、C、D錯(cuò)誤．]7．如圖4-3-23所示，有一質(zhì)量為m的小球在光滑的半球形碗內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道平面在水平面內(nèi)，小球與半球形碗的球心O的連線跟豎直方向的夾角為θ，半球形碗的半徑為R．求小球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小及碗壁對(duì)小球的彈力大小．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84370182】圖4-3-23[解析]由題圖可知，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為O′，運(yùn)動(dòng)半徑為r＝Rsinθ，小球受重力G及碗對(duì)小球彈力FN的作用，向心力為彈力的水平分力，受力分析如下圖．由牛頓第二定律得FNsinθ＝meq\f(v2,Rsinθ)①豎直方向上小球的加速度為零，所以豎直方向上所受的合力為零，即FNcosθ＝mg解得FN＝eq\f(mg,cosθ)②聯(lián)立①②兩式，可解得物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為v＝eq\r(Rgsinθtanθ)．[答案]eq\r(Rgsinθtanθ)eq\f(mg,cosθ)如下圖，輕繩的一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))．當(dāng)小球在豎直平面內(nèi)沿逆時(shí)針方向做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過傳感器測(cè)得輕繩拉力T、輕繩與豎直線OP所成的角θ滿足關(guān)系式T＝a＋bcosθ，式中a、b為常數(shù)．假設(shè)不計(jì)空氣阻力，那么當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?)A．eq\f(b,2m) B．eq\f(2b,m)C．eq\f(3b,m) D．eq\f(b,3m)D[設(shè)小球在最低點(diǎn)，即θ＝0時(shí)的速度為v1，拉力為T1，在最高點(diǎn)，即θ＝180°時(shí)的速度為v2，拉力為T2，在最低點(diǎn)有T1－mg＝meq\f(v\o\al(2,1),R)，在最高點(diǎn)有T2＋mg＝meq\f(v\o\al(2,2),R)，根據(jù)動(dòng)能定理有2mgR＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)，可得T1－T2＝6mg，比照T＝a＋bcosθ，有T1＝a＋b，T2＝a－b，故T1－T2＝2b，即6mg＝2b，故當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭＝eq\f(b,3m)，選項(xiàng)D正確．]圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)的組合問題8．(2022·全國(guó)Ⅱ卷)如圖4-3-24所示，半圓形光滑軌道固定在水平地面上，半圓的直徑與地面垂直．一小物塊以速度v從軌道下端滑入軌道，并從軌道上端水平飛出，小物塊落地點(diǎn)到軌道下端的距離與軌道半徑有關(guān)，此距離最大時(shí)對(duì)應(yīng)的軌道半徑為(重力加速度大小為g)()圖4-3-24A．eq\f(v2,16g) B．eq\f(v2,8g)C．eq\f(v2,4g) D．eq\f(v2,2g)B[設(shè)小物塊的質(zhì)量為m，滑到軌道上端時(shí)的速度為v1．小物塊上滑過程中，機(jī)械能守恒，有eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋2mgR①小物塊從軌道上端水平飛出，做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)水平位移為x，下落時(shí)間為t，有2R＝eq\f(1,2)gt2②x＝v1t③聯(lián)立①②③式整理得x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v2,2g)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4R－\f(v2,2g)))2可得x有最大值eq\f(v2,2g)，對(duì)應(yīng)的軌道半徑R＝eq\f(v2,8g)．應(yīng)選B．]9．如圖4-3-25所示，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩把一個(gè)小鐵球懸掛在離水平地面高為2L的O點(diǎn)，小鐵球以O(shè)為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)且恰能到達(dá)最高點(diǎn)B處．不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84370183】圖4-3-25A．eq\r(3gL) B．eq\r(6gL)C．eq\r(7gL) D．3eq\r(gL)C[小鐵球恰能到達(dá)最高點(diǎn)，即在最高點(diǎn)只有重力提供向心力，設(shè)小鐵球在最高點(diǎn)的速度為v0，由向心力公式和牛頓第二定律可得mg＝eq\f(mv\o\al(2,0),L)；從B點(diǎn)到落地，設(shè)小鐵球落地的速度大小為v，由動(dòng)能定理可得3mgL＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，聯(lián)立可得v＝eq\r(7gL)，應(yīng)選項(xiàng)C正確，A、B、D錯(cuò)誤．]10．(多項(xiàng)選擇)如圖4-3-26所示，半徑為R的水平圓盤中心軸正上方a處水平拋出一小球，圓盤以角速度ω做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)圓盤半徑Ob恰好轉(zhuǎn)到與初速度方向相同且平行的位置時(shí)，將小球拋出，要使球與圓盤只碰一次，且落點(diǎn)為b，重力加速度為g，小球拋出點(diǎn)a距圓盤的高度h和小球的初速度v0可能應(yīng)滿足()圖4-3-26A．h＝eq\f(gπ2,ω2)v0＝eq\f(Rω,2π) B．h＝eq\f(8π2g,ω2)v0＝eq\f(Rω,4π)C．h＝eq\f(2gπ2,ω2)v0＝eq\f(Rω,6π) D．h＝eq\f(32π2g,ω2)v0＝eq\f(Rω,8π)BD[因圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)具有周期性，那么當(dāng)小球落到b點(diǎn)時(shí)，圓盤轉(zhuǎn)過的角度θ＝2πk(k＝1,2,3，…)，由ω＝eq\f(θ,t)，可得圓盤的角速度ω＝eq\f(2πk,t)(k＝1,2,3，…)，因小球做平拋運(yùn)動(dòng)，那么小球下落高度h＝eq\f(1,2)gt2＝eq\f(2π2gk2,ω2)(k＝1,2,3，…)，初速度v0＝eq\f(R,t)＝eq\f(Rω,2πk)(k＝1,2,3，…)，將k的取值代入可知，當(dāng)k取2和4時(shí)B、D項(xiàng)正確．][考點(diǎn)綜合練]11．(多項(xiàng)選擇)(2022·南通模擬)如圖4-3-27所示，一個(gè)固定在豎直平面內(nèi)的光滑半圓形管道，管道里有一個(gè)直徑略小于管道內(nèi)徑的小球，小球在管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，從B點(diǎn)脫離后做平拋運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過0．3s后又恰好與傾角為45°的斜面垂直相碰．半圓形管道的半徑為R＝1m，小球可看做質(zhì)點(diǎn)且其質(zhì)量為m＝1kg，g取10m/s2．那么()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84370184】圖4-3-27A．小球在斜面上的相碰點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離是0．9mB．小球在斜面上的相碰點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離是1．9mC．小球經(jīng)過管道的B點(diǎn)時(shí)，受到管道的作用力NB的大小是1ND．小球經(jīng)過管道的B點(diǎn)時(shí)，受到管道的作用力NB的大小是2NAC[根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，小球在C點(diǎn)的豎直分速度vy＝gt＝3m/s，水平分速度vx＝vytan45°＝3m/s，那么B點(diǎn)與C點(diǎn)的水平距離為x＝vxt＝0．9m，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；設(shè)在B點(diǎn)管道對(duì)小球的作用力方向向下，根據(jù)牛頓第二定律，有NB＋mg＝meq\f(v\o\al(2,B),R)，vB＝vx＝3m/s，解得NB＝－1N，負(fù)號(hào)表示管道對(duì)小球的作用力方向向上，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤．]12．(多項(xiàng)選擇)如圖4-3-28甲所示，輕桿一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一小球，現(xiàn)讓小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)．小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿與小球間彈力大小為F，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v，其F-v2圖象如圖乙所示．那么()甲乙圖4-3-28A．小球的質(zhì)量為eq\f(aR,b)B．當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮閑q\f(R,b)C．v2＝c時(shí)，小球?qū)U的彈力方向向上D．v2＝2b時(shí)，小球受到的彈力與重力大小相等ACD[對(duì)小球在最高點(diǎn)進(jìn)行受力分析，速度為零時(shí)，F(xiàn)－mg＝0，結(jié)合圖象可知a－mg＝0；當(dāng)F＝0時(shí)，由牛頓第二定律可得mg＝eq\f(mv2,R)，結(jié)合圖象可知mg＝eq\f(mb,R)，聯(lián)立解得g＝eq\f(b,R)，m＝eq\f(aR,b)，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤．由圖象可知b<c，當(dāng)v2＝c時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有F＋mg＝eq\f(mc,R)，那么桿對(duì)小球有向下的拉力，由牛頓第三定律可知，選項(xiàng)C正確；當(dāng)v2＝2b時(shí)，由牛頓第二定律可得mg＋F′＝eq\f(m·2b,R)，可得F′＝mg，選項(xiàng)D正確．]13．小明站在水平地面上，手握不可伸長(zhǎng)的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．當(dāng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地，如圖4-3-29所示．握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長(zhǎng)為eq\f(3,4)d，重力加速度為g，忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力．圖4-3-29(1)求繩斷時(shí)球的速度大小v1和球落地時(shí)的速度大小v2；(2)求繩能承受的最大拉力；(3)改變繩長(zhǎng)，使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)，假設(shè)繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長(zhǎng)應(yīng)是多少？最大水平距離為多少？【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84370185】[解析](1)設(shè)繩斷后球飛行時(shí)間為t，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得豎直方向eq\f(1,4)d＝eq\f(1,2)gt2水平方向d＝v1t解得v1＝eq\r(2gd)由動(dòng)能定理得：mgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))d＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)解得v2＝eq\r(\f(5,2)gd)．(2)設(shè)繩能承受的最大拉力大小為FT，這也是球受到繩的最大拉力大?。蜃鰣A周運(yùn)動(dòng)的半徑為R＝eq\f(3,4)d對(duì)小球在最低點(diǎn)由牛頓第二定律得FT－mg＝eq\f(mv\o\al(2,1),R)解得FT＝eq\f(11,3)mg．(3)設(shè)繩長(zhǎng)為l，繩斷時(shí)球的速度大小為v3，繩承受的最大拉力不變．由牛頓第二定律得FT－mg＝eq\f(mv\o\al(2,3),l)解得v3＝eq\r(\f(8,3)gl)繩斷后球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直位移為d－l，水平位移為x，時(shí)間為t1，那么豎直方向d－l＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)水平方向x＝v3t1解得x＝4eq\r(\f(ld－l,3))當(dāng)l＝eq\f(d,2)時(shí)，x有極大值，xmax＝eq\f(2\r(3),3)d．[答案](1)eq\r(2gd)eq\r(\f(5,2)gd)(2)eq\f(11,3)mg(3)eq\f(d,2)eq\f(2\r(3),3)d(2022·黑龍江省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)如下圖，BC為半徑r＝0．4eq\r(2)m豎直放置的用光滑圓管制成的圓弧形軌道，O為軌道的圓心，在圓管的末端C連接傾斜角為45°、動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0．6的足夠長(zhǎng)粗糙斜面，一質(zhì)量為m＝0．5kg的小球從O點(diǎn)正上方某處A點(diǎn)以速度v0水平拋出，恰好能垂直O(jiān)B從B點(diǎn)進(jìn)入圓管