A.(—1)naa…2anB.(—1)nA.(—1)naa…2anB.(—1)n+1aa?…aC.aa…a00…0a00…a02、n階行列式??.??.—0a…00a0…00A.ann(n—1)B.(—1)2anC.(—1)nan13、n2=A.(—1)nn!n(n—1)B.(—1)2n!C.(—1)n+1n!4、A是n階方陣，m,l是非負(fù)整數(shù)，以下說(shuō)法不正確的是A.(Am)l—AmlB.Am-Al=Am+lC.(AB)m—AmBm（B）（B）（B）（C）（C）（C）（A）.選擇題1、00.ai0…0a2??.????????.00??.—00??.0an—1a0??.005、A、B分別為mxn、sxt矩陣,ACB有意義的條件是A.C為mxt矩陣；B.C為nxt矩陣；C.C為nxs矩陣6、下面不一定為方陣的是A.對(duì)稱(chēng)矩陣.B.可逆矩陣.C.線性方程組的系數(shù)矩陣.「1—2]7、01的伴隨矩陣是A.「12一B.「10-C.「1-2一01—21018、分塊矩陣(其中A、B為可逆矩陣)的逆矩陣是-A-10一B.-B0-C.-B-10一0B-1_0A0A-1A.有唯一解的條件是9、線性方程組Ax=bA.r(A)=r(Ab)=A的列數(shù)B.r(A)=r(Ab).C.r(A)=r(Ab)=A的行數(shù)10、線性方程組ax+X+X=1<X+aX+x=a有唯一解的條件是X+X+ax=a2(A)A.a^1,—211、a=(2，1，—3)23B.a=1或a=—2.C.a豐1P=(4，-5，0)，y=(—4,—2,6)則下面向量組線性無(wú)關(guān)的是(B)A.a，P，012、設(shè)A為正交矩陣，A.AT也為正交矩陣.B.P，yC.a，y下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是B.A-1也為正交矩陣.C.總有(C)A|=—113、二次型f(X「1100-12011010一2020一4B、10一2C、0-2-300一4一30一2—3—1J—1_0000_43A、1223,X,X,X)=X2+2XX一4XX—3X2的矩陣為114、設(shè)r是實(shí)二次型f(X,X^,的負(fù)慣性指數(shù)，s是二次型的符號(hào)差，那么(BA.r=p一q；下面二次型中正定的是A.f(x,x,x)=xX12312C.f(X,X,X)=X2+2X2設(shè)A，B為n階方陣：(A)A=0或B=0;(C)A=0或網(wǎng)=0;A和B均為n階矩陣，(A)A=E；(B)B=E設(shè)A為mxn矩陣，齊次方程組Ax=0僅有零解的充要條件是(A的列向量線性無(wú)關(guān)；A的列向量線性相關(guān)；,氣)的秩，p是二次型的正慣性指數(shù)，〃)C.s=p+q；q是二次型15、16、17、18、B.r=p+q；(B)B.f(x,X,X)=X2+2X2+X22滿(mǎn)足等式AB=0，則必有(B)A+B=0；(D)A+B=0。且(A+B)2=A2+2AB+B2(C)A=B.)(D)AB=BA)則必有(A的行向量線性無(wú)關(guān)；A的行向量線性相關(guān).TOC\o"1-5"\h\z19、n階矩陣A為奇異矩陣的充要條件是()A的秩小于n；岡。0；A的特征值都等于零；A的特征值都不等于零；、判斷題1、若行列式主對(duì)角線上的元素全為0，則此行列式為0.(x)2、A與B都是3X2矩陣，則A與B的乘積也是3X2矩陣。(x)3、A是3X2矩陣，B是2X3矩陣，則A與B,B與A都可以相乘。(v)4、A是mxn矩陣，B是nxs矩陣，則AB是mxs矩陣。(v)5、設(shè)A、B是同階方陣，則(AB)5=A5B5(x)6、設(shè)A、B是同階方陣，則由AB=O，可得到A=O或B=O.(x)7、設(shè)A、B是同階可逆方陣，則8、設(shè)A=f17、設(shè)A、B是同階可逆方陣，則8、設(shè)A=f102)-1\130Jf102、[0-11>9、設(shè)A=，則4A=-0A--110A-1"B0=B-10f402)1-4，f(x)=x+1則f(A)=10、行階梯形矩陣中非零行的個(gè)數(shù)就是它的秩.11、設(shè)n階矩陣A滿(mǎn)足A2-2A+3E=0，則秩A=n.12、如果向量組氣。2，，氣線性相關(guān)，那么其中每一個(gè)向量都是其余向量的線性組合.(x)TOC\o"1-5"\h\z13、如果A是正定矩陣，那么A-1也是正定矩陣.(v)14、二次型6x2+5x2+7x2一4xx+4xx正定.(v)123121415、特征多項(xiàng)式相同的矩陣相似.(x)三、填空題1、按定義，5階行列式有120項(xiàng)，其中帶負(fù)號(hào)的有60項(xiàng).2、t(14532)=5.3、T(54321)=10,124、行列式D=23313235、行列式15061-231=-18.2-113TOC\o"1-5"\h\z0a06、行列式D=b0c=0.0d0k—127、2k-1"°的必要充分條件是陣-1且陣38、i-2(8、i-2(131iy0J,B=如果A=B,則x=39、，則9、10、-1J貝UA+B=11、(-14I(1-4111則-A=-1-1、2-5,、一25,-21設(shè)A=1Ji2i112、13、14、i-31J，且A+X則X=-1J(1-21「11]-10則AB=-53,03」—1010B=15、設(shè)A=貝0-3A=15-3-90-12-21AB=r501]~T，則3A=「1503[r4,B=2,AB=4-2712-621-7—1-1—1———1-16、設(shè)A=17、\f1-2),B=-10Jk03,1-1f11「ba,—-5kJ3J則AB=18、設(shè)A=13〕，19、設(shè)A是3階矩陣，20、\E\=_J21、22、設(shè)A=k-31kLtk1877-43-10-1-96-3「4-「4812-2，則BA=246,AB=80000―—,J—■B=則|A*|16且|a|=4,,|2E|=2n.|-E=(-1)n,D是可逆矩陣的條件是dd2...d。0dJ-03],A—第在2列加上第1列的3倍，在第3列上加上第4列的2倍-B,則B=f1-1Y1/)f1-1)k01,k0a1J表示對(duì)矩陣A=k01,23、a。0,-03〔所作的初等變換是將A的第1列的匕倍加到第2列.^a24、p廣(2,-1,-1,4)"=(4,-2,0,7),p3=(2,-1,1,3),則秩%,P2,pj=22x一x+4x=025、線性方程組＜4x；+aX2+x：=4有唯一解的充要條件為a力2.2x-x+3x=1v1232x一x+4x=2的解為26、線性方程組＜4x1-2x+8x=42x一x+5x=4V123的解為-1-1000-01-100的系數(shù)矩陣為001-10，此方0001-1-10001x一x—ax2-x：=427、線性方程組＜x3-x4—a3x一x—aTOC\o"1-5"\h\z454*-a5程組有解的必要充分條件為ai+a28、&—（2,-1,一1,4）"=（4,一2,4,5）,&—（2,-1,5,1），則秩前，P,6}-2.12312329、方陣A的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān).30、設(shè)二次型f(%,x2,,x)—xAx經(jīng)過(guò)可逆線性變換x—Cy化為二次型yBy，那么矩陣B=CAC.31、32、若4階矩陣A的行列式A=一5，A*是A的伴隨矩陣且A2一A一2E=0，則(A+2E)31、32、若4階矩陣A的行列式A=一5，A*是A的伴隨矩陣且A2一A一2E=0，則(A+2E)T=A為nxn階矩陣，已知方程組f1211fx1f11123a+2x321a-2x〔43無(wú)解，則a=34、二次型1'2’31231213是正定的，則t的取值氾圍是四、計(jì)算題1、1111計(jì)算n階行列式D=x1%x3x4答案:x2x2x2x21234x4x4x4x41234D=（x一x）（x一x）（x一x）（x一x）（x一x）（x一x）（x+x+x+x）1213142324341234

2、計(jì)算△=5111151111511115811111111111答案：解A851115110400=815=8=8=512111510040811511150004xy0000xy…003、計(jì)算n階行列式D=00X…00.000xyy000x答案：解按第1列展開(kāi)得D=Xn+(-1)n+1yn4、按定義求D答案：D=12=.的值。?n(—1＞氐一1)..2.1)aa..a=(-1)""一"n!01005、按定義求D=00n01n2n—1n10002...00的值。0...0n—10…00答案：D=Q1＞氐一1)...2.1)aa…a=Q1)”；"n!1n2n—1n1a11…11a??.…16、求n階行列式D=11a…1n??????????111…a答案：D=(n-1+a)G—1X

1234234134124123答案：D=3608、行列式A=的余子式M,M12,M1320108、行列式A=的余子式M,M12,M13201012M==4，M==2,M=113212-1213-13=5答案:9、計(jì)算行列式a1000a2b200c-3d3答案：將行列式按第1列展開(kāi)b002cca0cc=ab34=-abcd13412d012430d033437-5原行列式=10、計(jì)算行列式12646274234330-125答案：將此行列式第2行加到第3行，就變成一個(gè)范德蒙行列式。原行列式11111111437-5437(一5)=(3—)7-4)-5—4)7-3)-5—3)-5—7)=16949254232726427343-125433373（頊=(-1)3?(-9)?4?(-8)(-12)=10368an(a—1)n?-(a-n)an-1(a—1)n-1?-(a-n)11、計(jì)算行列式…a2??.?(a—1*?????-(a-n)aa—1?-a-n11-?1答案：這不是一個(gè)范德蒙行列式，但如果將首行與末行對(duì)換，第二行與倒數(shù)第2行對(duì)換，…，就得到范德蒙行列式,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，對(duì)換交數(shù)為號(hào)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，對(duì)換次數(shù)為少蘭次,21綜合有:原行列式=1

a—1

G-1)2a-n(a-n>(a-1)?t(a-1)(a-n)(a-n7-1543289434970036100056000680074972.(-i)G+6X(i+2).5361300560068797500答案：按5,6列展開(kāi)得：12、計(jì)算行列式。一7第二個(gè)行列式按1,2行展開(kāi)1?1?5.(—|)(1+2)+(1+2)=412-113、A=310是否可逆？若可逆，求A-i-10-2答案；因?yàn)閷?9。0,所以A可逆。)1-35-919--491_-32_-9

2-92-31-9-XA1-9-

XA1一的

-A-14、求矩陣A=13的逆矩陣.答案:A-1=15、-162200012000008000003000011-41矩陣A=A1可將A寫(xiě)成A=是否可逆？若可逆，求它的逆。其中A1可逆。=8,AAJ=2。0JA|=8。0,|A|=3。0,所以A經(jīng)計(jì)算A-11-1A1

=8,A-1A-1所以A-1A-1A-116、用公式法解方程組答案;=3,x=-2=17x+x+x+x=5TOC\o"1-5"\h\zx+2x一x+4x=-217、解方程組<123417、解方程組x—3x—x—5x=—2x+x+2x+11x=0"1234答案:Ix匚2<2x=33x4=—118、解線性方程組x+2x+x+x=5<2x+4x一x一x=43x+6x+x+x=12TOC\o"1-5"\h\zV1234答案:對(duì)線性方程組的增廣矩陣A作行的初等變換f12115)f12115)f12002)A=24—1—14-00—3—3—6—00113V361112/V00113JV00003J方程組無(wú)解。TOC\o"1-5"\h\zx+2x+x+x=519、解線性方程組<2x+4x-x-x=43x+6x+x+2x=12V1234答案：對(duì)線性方程組的增廣矩陣A作行的初等變換■—12115.(3)-(1)-(2)12115:12003、A=23V。46一11—12412j⑵2⑴~~>0V000一31一32—63JJ—0V000100111,TOC\o"1-5"\h\z[x1+2x2=3對(duì)應(yīng)的線性方程組為<x3=1x=3—2k解得<x2=kx3=1〔x4=1^x4=x=3—2k解得<x2=kx3=1〔x4=11V1J

30811220、知A316,B134求解X，Y，使得AX=B，YA=B205205答案：o:50811211550214XA1B31613410040,YBA14232032054219200310071428418的秩。31211321、按矩陣秩的定義求A...24答案：入有二階子式只3114...24答案：入有二階子式只31140,但所有三階子式全部為零，所以秩A=2。2x1x22、根據(jù)克蘭姆法則求解線性方程組1x1答案：27,181,2108,3x5x233x22xx234x7x2327,427，x86x92x56x0再根據(jù)克蘭姆法則求x=3,x=-4，x=-1，123x=123、為何值時(shí)齊次線性方程組x1%0有非零解

xx012答案：方程組有非零解，必有系數(shù)行列式。答案：方程組有非零解，必有系數(shù)行列式。210，所以，這時(shí)1或1x2x024、解線性方程組x23x305x03答案：只有唯一的零解。25、設(shè)A1）求Ax=0的基礎(chǔ)解系；2）求Axb的一個(gè)特解，并寫(xiě)出解集;

(1)(-2)0的基礎(chǔ)解系n=110V7/,n=201V【/答案：1)秩A=1,Ax=2)由x-x(3[、+2x=3得Ax=b的一個(gè)特解y=0,2)由x-x0V7/S=<1「(3'0S=<1「(3'00V7/'1]10V7/(一2〕01V/26、求矩陣A=3—5的全部特征值和特征向量.答案：|人I-答案：|人I-A|=0的根為X[=4，12=-2，解（4/-A）x=0得對(duì)應(yīng)于"4的特征向量是，所以勺=4的全部特征向量.解（-2解（-21-A）x=0得對(duì)應(yīng)于氣=-2的特征向量是所以c（c。0）是對(duì)應(yīng)于氣=-2的全部特征向量.460460-3-50-3-6127、求矩陣A=的全部特征值和特征向量。,（c。0）,對(duì)應(yīng)于1的全部特征向量為■-2一",（c。0）,對(duì)應(yīng)于1的全部特征向量為■-2一"0_c1+c01021對(duì)應(yīng)于-2,（c,,c不全為零.）12的全部特征向量為c的全部特征向量為c1

56-3-10112128、求矩陣A二的全部特征值和特征向量.答案：|XI-A=0的根為2，解（21-A）x=0得兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特因此對(duì)應(yīng)于人=X因此對(duì)應(yīng)于人=X=X=2的全部特征向量為.--2--「C1+c01021（匕匕不全為0）--2-T征向量1和001,29、設(shè)X-1AX=f(x,x,x,x29、設(shè)X-1AX=f(x,x,x,x)=(x,x,x,x)123412341234該二次型的矩陣為01-30100-3-30010-310丫氣1，x2x八x4)01-3100-3000-31A二0-310)(2)IX-AI=(X2-4)(X2-16),A的特征值X=2,X=-2,X=4,X=-4.解線性方程組(XE-A)x=0,(i=1：2,3,4)，i得基礎(chǔ)解系(11(11(11(11-111-1一,&=一,&=一,&=一-1213-141k1)")_1k1)_1k1)(11(11答案：A=X5X-1,貝UA11=X511k一2k-211),求A11X-1-2)30、設(shè)實(shí)二次型f（x,x,x,x）=2xx一6xx一6xx1234'~~~（1）寫(xiě)出該二次型的矩陣；并寫(xiě)出變換的矩陣和標(biāo)準(zhǔn)形。（2用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，答案：解（1）

它們兩兩正交，再將它們單位化為門(mén)，門(mén)，門(mén)，四，令7=01,門(mén)J123412‘111111-11并寫(xiě)出變換的矩陣和標(biāo)準(zhǔn)形。它們兩兩正交，再將它們單位化為門(mén)，門(mén)，門(mén)，四，令7=01,門(mén)J123412‘111111-111-1

T=,2-11-1111-1-ly原二次型經(jīng)過(guò)正交變換x=Ty化為標(biāo)準(zhǔn)形2y-2y+4y-4y.12343,七），則1+X11111-x1131、計(jì)算行列式。=［〔I,111+y1111l—y32、計(jì)算〃階行列式x+3x12XX-12‘200、33、設(shè)人=032〔023jXnXnx+3n求一個(gè)正交矩陣尸使得PtA尸為對(duì)角矩陣X+X+X

12334、已知方程組｛X+2x+ax123X+4-X+Q2JV

k123二0=0與方程組^x+2%+x—a—123二01有公共解。氣是它的三個(gè)解向「2）rn32T|二,T|+T|二14233點(diǎn)）求該方程組的通解。五、證明題a0b1、證明°cX00d0z0一(ad-bc)Qw-zy)0yo答案：按行列式將1,3行展開(kāi)得

a0b00X0y=ab.(-i)g+3)+g+3).X>=obx>=右邊c0d0cdzwcdzw0z0w3、2、ai1求證0a201an000bib2=(-i)n+iYabiij=ibn第3行乘（-aJ，可證。答案：把第2行乘（-a「，第i行，再按第i行展開(kāi)設(shè)A是n階方陣，證明（A—Eic+A+A2++Ak-i）=Ak-E第n+i行乘（-a.）全部加到答案：（A-E3、2、ai1求證0a201an000bib2=(-i)n+iYabiij=ibn第3行乘（-aJ，可證。答案：把第2行乘（-a「，第i行，再按第i行展開(kāi)設(shè)A是n階方陣，證明（A—Eic+A+A2++Ak-i）=Ak-E第n+i行乘（-a.）全部加到答案：（A-E+A+A2+???+Ak-i)答案：證明向量組（A）的最大無(wú)關(guān)組可由向量組（A）線性表示；由已知，向量組（A）可由向量組（B）線性表示；又向量組（B）可由向量組（B）的最大無(wú)關(guān)組線性表示，由傳遞性，向量組（A）的最大無(wú)關(guān)組可由向量組（B）的最大無(wú)關(guān)組線性表示，所以（A）的秩不超過(guò)（B）的秩.5、設(shè)向量組以，以，…，以線性無(wú)關(guān)，P可由以，以，…，以線性表出，試證明P由i2ni2n氣，以2，...，氣表出的組合式是唯一的。答案：證明設(shè)P=k以+k以+…+k以又設(shè)P=k'以+k'以+…+k'以貝Uii22nnii22nn(k-k)a+(k-k)a+..?+(k-k)a=0iii222nnn由于以，以，…，以線性無(wú)關(guān)，故k=k'(i=i，2,...，n)，即P由以，以，…，以表出的i2niii2n組合式是唯一的。6、設(shè)A為n階方陣，且A2=A，試證：秩A+秩（A—E）=n。

答案；證明：由定理14秩(A)+秩(A—E)=秩入+秩(E—A)N秩(A+E-A)=秩E=n由問(wèn)題2結(jié)論。由A(A-E)=0,有秩A+秩(A一E)Wn綜合有秩A+秩(A—E)=n7、設(shè)oc,P,y線性無(wú)關(guān)，證明oc+P,P+y,y+a也線性無(wú)關(guān)。TOC\o"1-5"\h\z答案；證明：設(shè)G+p)+^(p+邛)+k+以)=0123艮G+kk+1+k)p+G+>=0131223因a,P，Y線性無(wú)關(guān)，故(k+k=O),(k+k=+k-0)131223所以k=k=k=01238、若向量組a,a,a線性相關(guān)，向量組a,a,a線性無(wú)關(guān)。證明：123234a能有a,a線性表出；123a不能由a,a,a線性表出。41239、設(shè)A是〃階矩方陣3是〃階單位矩陣，A+E可逆，且f(A)=(E-A)(E+A)-io證明(E+/(A))(E+A)=2E；/(/(A))=AO華中師范大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院《線性代數(shù)》練習(xí)測(cè)試題庫(kù)參考答案一.選擇題I、B；6、CI、B；6、C；II、B；16、C2、B；7、A；12、C；17、D3、B；8、A；13、C；18、A4、C；9、A；14、B；19、A5、C；10、A；15、Bo1、X；2、x;3、V;4、v;5、X；6、x;7、x;8、X；9、x;10、V；11、V；12、x;13、V；14、v;15、X。三、填空題1、120,60；2、5；3、10；4、-18；5、-1136、0；8、3,-2；/16、0；/1-4、10、‘629、;11、-1-1、3-10；'一2n12、13、14、11-53一15-3~9~16、3A=「1503-，AB="4"_0-12-2112-621-715、17、（1"5‘7-43'~4812~-10-1；18、246廠96-3；0008；19、16；21、ddd。0；22、B='040-3、12n廠1°一20?20、1,2〃，（-1）〃;24、2；25、23、將A的第1列的/倍加到第2列;/a26、x2X31—100001—100001—100001—1—1000127、，a+a+a+a+a28、2；29、線性無(wú)關(guān)；30、CAC。31、-125;33、-1；34、四、計(jì)算題1、(X一X)(x-X)(x-X)(X—X)(x—X)(x—X)(X1213142324341811111111111851115110400A-—8二8-51281511151一00408115111500042、D=Xn+(—1)n+1ynD=解3、解按第1列展開(kāi)得4、5、6、D—(—。氐-1)…2」)aa…aD—(—倉(cāng)氐-1)…2.1)aaD=(n—1+。北-11-1…an1n!n!7、D=3608、201012—4，M--2,M-3212—1213—13=5MII9、將行列式按第1列展開(kāi)b200eea0ee-ab3413412d00d033原行列式二-—abed124310、將此行列式第2行加到第3行，就變成一個(gè)范德蒙行列式。原行列式1111_1111_437-5—16949256427343-125，536813、因?yàn)閷?9。0，所以A可逆。335————912-114、a-1=34-，536813、因?yàn)閷?9。0，所以A可逆。335————912-114、a-1=34-23272(-5力3373(-5》=(-1)3?(-9)?4?(-8)(-12)=1036811、這不是一個(gè)范德蒙行列式，但如果將首行與末行對(duì)換，第二行與倒數(shù)第2行對(duì)換，…，就得到范德蒙行列式，當(dāng)口為偶數(shù)時(shí)，對(duì)換交數(shù)為n，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，對(duì)換次數(shù)為生丑次，綜合有：1a-n(品=")n(j-i)2??.1<j<i<n+1a-n)n-1(a—n)n12、按5,6列展開(kāi)得:?(-1)(?(-1)(5+6H+2)?750043009656716822-—92319第二個(gè)行列式按1,2行展開(kāi)1?1?71991————.(_1)1+2)+(1+2)F=4

15、可將A寫(xiě)成A二其中=8,AlAJ2。0,|A21991————15、可將A寫(xiě)成A二其中=8,AlAJ2。0,|A2所以A可逆。經(jīng)計(jì)算A-1=1A1=8,AA-1所以A-1A-1-116、=3,x=-217、x=218、12115.12115.12002、24-1-14T00-3-3-6T00113361112/(00113J(00003)對(duì)線性方程組的增廣矩陣A作行的初等變換A=k方程組無(wú)解。19、對(duì)線性方程組的增廣矩陣A作行的初等變換(12115)r12115)r12003)-A=24-1-14⑶-(1)-(2)(2)_2(1)00-3-3-6—00101(2)2(1)/361212J100123」71000111對(duì)應(yīng)的線性方程組為」X3X4解得對(duì)應(yīng)的線性方程組為」X3X4解得J氣=3-2kx=k2X=13X=1，其中k為任意常數(shù)，解或表示為f3次、

k11其中k為任意常數(shù)。21、A有二階子式21、A有二階子式但所有三階子式全部為零，■-50-8一一1-12「_115-50-一214一X=A-1B=-3-1-6-134100—40,Y=BA-1=4-23203-205-4-21920031所以秩A=2。22、A=27,A122、A=27,A1得氣=3,=81,A=-108,A=-27,A4=27，再根據(jù)克蘭姆法則求x4=12X=-4,3X=-1，23、方程組有非零解，必有系數(shù)行列式D==X2-1=0，所以，這時(shí)x=1或x=-1f1)f-2)1,n=200a1t24、只有唯一的零解。25、1）秩A=1,Ax=0的基礎(chǔ)解系門(mén)/=b的解集為12)由X]-X2+2X3=3得Ax=/=b的解集為■-2一向量為c1+c01021,(c,,c不全為零.)12rr3)r1)r-2)50+k1+k01k,keP>1212001Vv7Vv7XS=126、Xrr3)r1)r-2)50+k1+k01k,keP>1212001Vv7Vv7XS=126、XI-A=0的根為X=4，X=-2，解（41-A）x=0得對(duì)應(yīng)于X=4的特征向量是1是對(duì)應(yīng)于\=4的全部特征向量.，所以c解（-21-A）x=0得對(duì)應(yīng)于X2=-2的特征向量是（c。0是對(duì)應(yīng)于X=-2的全部特征向量.27、全部特征值為-2,1（二重），對(duì)應(yīng)于-2的全部特征向量為c(C。0)，所以,（co0）,對(duì)應(yīng)于1的全部特征因此對(duì)應(yīng)于X=X=X=2的全部特征向量為.一-2-T1+c0201C1一-2-T1和0_0__1_,的特征向量r1)r1\29、a=X5X-1,則A11=X511X-2/X-211/X-130、解（1）（c1c2不全為0）

f(X,X,X,X)=(X,X,X,X)該二次型的矩陣為100-3-30011-300f(X,X,X,X)=(X,X,X,X)該二次型的矩陣為100-3-30011-3000-3001-310[0-3"0X1，X2Xr3八*4)解線性方程組(XE-A)x=0,(i=1,2,3,4)，得基礎(chǔ)解系t=m,t=m,門(mén),n，門(mén)）,則12741-1-11k1111111-1-11]-11-11Jf11㈡f11f11-111-1一,&=一,&=一,&=一-1213-141k1J11J_1k11k1再將它們單位化為&廣它們兩兩正交，原二次型經(jīng)過(guò)正交變換X=Ty化為標(biāo)準(zhǔn)形2"-2y_+4y-4y.31、解：第一行減第二行，第三行減第四行得：D第二列減第一列，第四列減第三列得：D=31、解：第一行減第二行，第三行減第四行得：D第二列減第一列，第四列減第三列得：D=x101XX0011-X11=00yy1111-y0010y01一y0—x00—X10按第一行展開(kāi)得D=X0y001-y—X01=一xy

r一\32、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子言X,+3J，再通過(guò)行列XnXn式的變換化為上三角形行列式\D=1^x+3/?1Ln3n-1才X+333、解:(1)由|XE-A|=0得A的特征值為X1=1（XnXn（2）X=1的特征向量為&=11r。'

l*X2=2的特征向量為q=r1)00

V7/氣=5的特征向量為&3=（3）因?yàn)樘卣髦挡幌嗟?，則§,§,￡正交。⑷將&,&,⑷將&,&,&單位化得P1=r。'

l』P2r1)00

V7/1'=—=3<2（5）取P二偵乂丁）"1010、010000000000>AT，(6)P-iAP=020k005)34、解：該非齊次線性方程組Ax(6)P-iAP=020k005)34、解：該非齊次線性方程組Ax=b對(duì)應(yīng)的齊次方程組為Ax=0因R(A)=3,則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系有1個(gè)非零解構(gòu)成，即任何一個(gè)非零解都是它的基礎(chǔ)解系。另一方面，記向量g=2q-(門(mén)+門(mén))，則123Ag=A(2q-門(mén)一門(mén))=2A門(mén)-A門(mén)-A門(mén)=2b-b-b=0直接計(jì)算得&=(3,4,5,6)t。0，&就是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。根據(jù)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)知，原方程組的通解為(31(214+35416J15JkeR，x=k^+q=k35、解：將①與②聯(lián)立得非齊次線性方程組：\x+x+xx+2x+ax123x+4x+a2x123x+2x+x=0,=0,=0,=a—1.對(duì)③的增廣矩陣A作初(1110)(1110)12a001a—10—^14a2000(a—2)(a—1)0121a-J1001—aa—1JA=等行變換得：③若此非齊次線性方程組有解,則①與②有公共解，且③的解即為所求全部公共解.1°當(dāng)