階段總結(jié)一、天體運動的分析與計算解決天體運動的基本思路(1)將天體運動視為勻速圓周運動。(2)萬有引力提供向心力，根據(jù)已知條件靈活選擇合適的表達(dá)式eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r。(3)關(guān)于地球衛(wèi)星的問題，有時還會應(yīng)用GM＝gR2做代換。[例1]我國成功發(fā)射探月衛(wèi)星“嫦娥三號”，該衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈所用的時間為t，月球半徑為R0，月球表面處重力加速度為g0。(1)請推導(dǎo)出“嫦娥三號”衛(wèi)星離月球表面高度的表達(dá)式；(2)已知地球和月球的半徑之比為eq\f(R,R0)＝4，表面重力加速度之比為eq\f(g,g0)＝6，試求地球和月球的密度之比。解析(1)由題意知，“嫦娥三號”衛(wèi)星的周期為T＝eq\f(t,n)設(shè)衛(wèi)星離月球表面的高度為h，由萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,（R0＋h）2)＝m(R0＋h)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)又Geq\f(Mm′,Req\o\al(2,0))＝m′g0聯(lián)立解得h＝eq\r(3,\f(g0Req\o\al(2,0)t2,4π2n2))－R0(2)設(shè)星球的密度為ρ，由Geq\f(Mm′,R2)＝m′g得GM＝gR2ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)聯(lián)立解得ρ＝eq\f(3g,4πGR)設(shè)地球、月球的密度分別為ρ0、ρ1，則eq\f(ρ0,ρ1)＝eq\f(g·R0,g0·R)將eq\f(R,R0)＝4，eq\f(g,g0)＝6代入上式，解得ρ0∶ρ1＝3∶2答案(1)eq\r(3,\f(g0Req\o\al(2,0)t2,4π2n2))－R0(2)3∶2[針對訓(xùn)練1](多選)土星的衛(wèi)星眾多，其中土衛(wèi)五和土衛(wèi)六的半徑之比為eq\f(R5,R6)，質(zhì)量之比為eq\f(m5,m6)，圍繞土星做圓周運動的半徑之比為eq\f(r5,r6)，下列判斷正確的是()A.土衛(wèi)五和土衛(wèi)六的公轉(zhuǎn)周期之比為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r5,r6)))eq\s\up6(\f(3,2))B.土星對土衛(wèi)五和土衛(wèi)六的萬有引力之比為eq\f(m6,m5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r6,r5)))eq\s\up12(2)C.土衛(wèi)五和土衛(wèi)六的公轉(zhuǎn)速度之比為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r6,r5)))eq\s\up6(\f(1,2))D.土衛(wèi)五和土衛(wèi)六表面的重力加速度之比為eq\f(m5,m6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R6,R5)))eq\s\up12(2)解析根據(jù)公式Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，所以eq\f(T5,T6)＝eq\r(\f(req\o\al(3,5),req\o\al(3,6)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r5,r6)))eq\s\up6(\f(3,2))，A正確；根據(jù)公式F＝Geq\f(Mm,r2)可得eq\f(F5,F6)＝eq\f(m5req\o\al(2,6),m6req\o\al(2,5))，B錯誤；由公式Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，所以eq\f(v5,v6)＝eq\f(\r(r6),\r(r5))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r6,r5)))eq\s\up6(\f(1,2))，C正確；根據(jù)黃金代換公式gR2＝Gm可得g＝eq\f(Gm,R2)，所以eq\f(g5,g6)＝eq\f(m5Req\o\al(2,6),m6Req\o\al(2,5))，D正確。答案ACD二、人造衛(wèi)星穩(wěn)定運行量、各運動參量的分析由eq\f(GMm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r得a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，即隨著軌道半徑的增大，衛(wèi)星的向心加速度、線速度、角速度均減小，周期增大。[例2]太陽系八大行星繞太陽運動的軌道可粗略地認(rèn)為是圓，各行星的半徑、日星距離和質(zhì)量如下表所示：行星名稱星球半徑/106m日星距離/1011m質(zhì)量/1024kg水星2.440.580.33金星6.051.084.87地球6.381.506.00火星3.402.280.64木星71.47.781900土星60.2714.29569天王星25.5628.7186.8海王星24.7545.04102則根據(jù)所學(xué)的知識可以判斷下列說法中正確的是()A.太陽系的八大行星中，海王星的圓周運動速率最大B.太陽系的八大行星中，水星的圓周運動周期最大C.若已知地球的公轉(zhuǎn)周期為1年，萬有引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，再利用地球和太陽間的距離，則可以求出太陽的質(zhì)量D.若已知萬有引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，并忽略地球的自轉(zhuǎn)，利用地球的半徑以及地球表面的重力加速度g＝10m/s2，則可以求出太陽的質(zhì)量解析設(shè)太陽的質(zhì)量為M，行星的質(zhì)量為m，軌道半徑為r，運動周期為T，線速度為v。由牛頓第二定律得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，知v＝eq\r(\f(GM,r))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，則行星的軌道半徑越大，周期越大，線速度越小。所以海王星周期最大，水星線速度最大，選項A、B錯誤；由地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期T，軌道半徑r，可知Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得太陽質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)，選項C正確；同時看出地球表面的重力加速度與太陽質(zhì)量無關(guān)，選項D錯誤。答案C[針對訓(xùn)練2]澳大利亞科學(xué)家近日宣布，在離地球約14光年的紅矮星wolf1061周圍發(fā)現(xiàn)了三顆行星b、c、d，它們的公轉(zhuǎn)周期分別是5天、18天、67天，公轉(zhuǎn)軌道可視為圓，如圖1所示。已知萬有引力常量為G。下列說法不正確的是()圖1A.可求出b、c的公轉(zhuǎn)半徑之比B.可求出c、d的向心加速度之比C.若已知c的公轉(zhuǎn)半徑，可求出紅矮星的質(zhì)量D.若已知c的公轉(zhuǎn)半徑，可求出紅矮星的密度解析行星b、c的周期分別為5天、18天，均做勻速圓周運動，根據(jù)開普勒第三定律公式eq\f(r3,T2)＝k，可以求解出軌道半徑之比，選項A正確；根據(jù)萬有引力提供向心力列式，對行星c、d，有Geq\f(Mm,r2)＝ma，故可以求解出c、d的向心加速度之比，選項B正確；已知c的公轉(zhuǎn)半徑和周期，根據(jù)牛頓第二定律，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可以求解出紅矮星的質(zhì)量，但不知道紅矮星的體積，故無法求解紅矮星的密度，選項C正確，D錯誤。答案D三、人造衛(wèi)星的發(fā)射、變軌與對接1.發(fā)射問題要發(fā)射人造衛(wèi)星，動力裝置在地面處要給衛(wèi)星一很大的發(fā)射初速度，且發(fā)射速度v＞v1＝7.9km/s，人造衛(wèi)星做離開地球的運動；當(dāng)人造衛(wèi)星進(jìn)入預(yù)定軌道區(qū)域后，再調(diào)整速度，使F引＝F向，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，從而使衛(wèi)星進(jìn)入預(yù)定軌道。2.變軌問題如圖2所示，一般先把衛(wèi)星發(fā)射到較低軌道1上，然后在P點點火，使衛(wèi)星加速，讓衛(wèi)星做離心運動，進(jìn)入軌道2，到達(dá)Q點后，再使衛(wèi)星加速，進(jìn)入預(yù)定軌道3?；厥者^程：與發(fā)射過程相反，當(dāng)衛(wèi)星到達(dá)Q點時，使衛(wèi)星減速，衛(wèi)星由軌道3進(jìn)入軌道2，當(dāng)?shù)竭_(dá)P點時，再讓衛(wèi)星減速進(jìn)入軌道1，再減速到達(dá)地面。圖23.對接問題如圖3所示，飛船首先在比空間站低的軌道運行，當(dāng)運行到適當(dāng)位置時，再加速運行到一個橢圓軌道。通過控制使飛船跟空間站恰好同時運行到兩軌道的相切點，便可實現(xiàn)對接。圖3[例3](多選)2016年中國發(fā)射了“天宮二號”空間實驗室和“神舟十一號”載人飛船，2017年4月中國發(fā)射的“天舟一號”貨運飛船與“天宮二號”交會對接。長征運載火箭將天宮二號送入近地點為A、遠(yuǎn)地點為B的橢圓軌道上，B點距離地面的高度為h，地球的中心位于橢圓的一個焦點上?！疤鞂m二號”飛行幾周后進(jìn)行變軌進(jìn)入預(yù)定圓軌道，如圖4所示。已知“天宮二號”在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用時間為t，引力常量為G，地球半徑為R。則下列說法正確的是()圖4A.“天宮二號”從B點沿橢圓軌道向A點運行的過程中，引力為動力B.“天宮二號”在橢圓軌道的B點的加速度大于在預(yù)定圓軌道上B點的加速度C.“天宮二號”在橢圓軌道的B點的速度大于在預(yù)定圓軌道上的B點的速度D.根據(jù)題目所給信息，可以計算出地球質(zhì)量解析“天宮二號”從B點沿橢圓軌道向A點運行的過程中，速度在變大，故受到的地球引力為動力，選項A正確；在B點“天宮二號”的加速度都是由萬有引力產(chǎn)生的，因為同在B點萬有引力大小相等，故不管在哪個軌道上運動，在B點時萬有引力產(chǎn)生的加速度大小相等，選項B錯誤；“天宮二號”在橢圓軌道的B點加速后做離心運動才能進(jìn)入預(yù)定圓軌道，故“天宮二號”在橢圓軌道的B點的速度小于在預(yù)定圓軌道的B點的速度，選項C錯誤；“天宮二號”在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用時間為t，故周期為T＝eq\f(t,n)，根據(jù)萬有引力提供向心力Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝meq\f(4π2（R＋h）,T2)，得地球的質(zhì)量M＝eq\f(4π2（R＋h）3,GT2)＝eq\f(4π2n2（R＋h）3,Gt2)，選項D正確。答案AD[針對訓(xùn)練3]我國發(fā)射“天宮二號”空間實驗室，之后發(fā)射“神舟十一號”飛船與“天宮二號”對接。假設(shè)“天宮二號”與“神舟十一號”都圍繞地球做勻速圓周運動，為了實現(xiàn)飛船與空間實驗室的對接，下列措施可行的是()圖5A.使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后飛船加速追上空間實驗室實現(xiàn)對接B.使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后空間實驗室減速等待飛船實現(xiàn)對接C.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上加速，加速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者速度接近時實現(xiàn)對接D.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上減速，減速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者速度接近時實現(xiàn)對接解析若使飛船與空間站在同一軌道上運行，然后飛船