響水縣灌江高級中學(xué)2022秋學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試卷命題人:賈海軍一．單項選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用補集定義求出，利用交集定義能求出．【詳解】解：集合，，則或，．故選：D2.已知，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】將式子變形為，然后利用基本不等式即可求解.【詳解】因為，所以，則（當(dāng)且僅當(dāng)，也即時取等號）所以的最小值為，故選：.3.已知為角終邊上一點，則（）A. B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再利用齊次化將弦化切進行求解.【詳解】為角終邊上一點，故，故.故選：B4.已知定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（）A. B. C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】由可知，函數(shù)的周期為2，利用周期性把所給的自變量轉(zhuǎn)化到區(qū)間上，代入求值即可.【詳解】由可知，函數(shù)的周期為2，當(dāng)時，，∴.故選：B5.已知函數(shù)，若存在R，使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性把函數(shù)不等式變形，然后由分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．【詳解】是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，因此不等式可化為，所以，，由得的最小值是2，所以．故選：D．6.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性排除AB，根據(jù)函數(shù)的值域排除D.【詳解】，，所以為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，排除選項AB；當(dāng)時，，故D錯誤，故選：C.7.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角恒等變換將等式化簡為，即可求出，進一步求出，，即可求出.【詳解】因為，則，則，因為，所以，所以，所以，因為，所以.故選：A.8.已知，則下列關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可比較出的大小關(guān)系，再根據(jù)基本不等式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得的范圍，即可解出．【詳解】因為，，所以，又，，所以．故選：C．二．多項選擇題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9.下列函數(shù)以為對稱中心的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】由正弦函數(shù)與正切函數(shù)的對稱性對每個選項逐項判斷即可.【詳解】對于A，中心為，沒有整數(shù)解,所以不是對稱中心.對于B,中心為,得，所以為對稱中心對于C,所以不是對稱中心.對于D,,所以為對稱中心.故選：BD10.已知命題：關(guān)于的不等式的解集為R，那么命題的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】求出命題p成立時a的取值范圍，再根據(jù)必要不充分條件的定義判斷即可．【詳解】命題p：關(guān)于x的不等式的解集為R，則，解得又?，?，故選：CD．11.將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將圖?上的每一個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小值為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.若存在使．則的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】可通過對函數(shù)先進行平移和伸縮變換，得到函數(shù)的解析式，分別求解出該函數(shù)的值域、對稱中心、單調(diào)遞增區(qū)間以及最小正周期，即可完成對選項的判斷，完成求解.【詳解】由題意可知，函數(shù)先經(jīng)過平移變換，得到的函數(shù)，在經(jīng)過伸縮變換，得到，選項A，因為，故函數(shù)的最小值為，所以該選項正確；選項B，的對稱中心是令，解得，當(dāng)，故函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以該選項正確；選項C，單調(diào)遞增區(qū)間是令，解得，當(dāng)，故選項C錯誤；選項D，函數(shù)的值域為，要使得成立，那么需要同時取得函數(shù)的最大值或最小值，故正好是函數(shù)的周期數(shù)，而的最小值為函數(shù)的最小正周期，是，故該選項正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（）．A.函數(shù)為增函數(shù)B.，，C.若在上恒成立，則n的最小值為2D.若關(guān)于的方程有三個不同的實根，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，作出可知時，，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合逐項檢驗，即可得到正確結(jié)果.【詳解】設(shè)時，則，所以，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，則，所以，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，則，所以，又，所以當(dāng)時，；所以由此可知時，；作出函數(shù)的部分圖象，如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)不增函數(shù)，故A錯誤；由圖象可知，，所以，，，故B正確；在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)和函數(shù)的圖象，如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)時，恒成立，所以的最小值為2，故C正確；令，則，則方程等價于，即，所以，或（舍去），在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)，函數(shù)和函數(shù)的圖象，如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)時，即時，關(guān)于的方程有三個不同的實根，故D正確.故選：BCD.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13.的值為__________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，平方關(guān)系即可解出．【詳解】原式＝．故答案為：1．14.的值為______．【答案】【解析】【分析】直接利用對數(shù)的運算法則和指數(shù)冪的運算法則求解即可【詳解】15.摩天輪的主架示意圖如圖所示，其中為輪軸的中心，距地面42m（即長），摩天輪的半徑長為40m，摩天輪逆時針旋轉(zhuǎn)且每分鐘轉(zhuǎn)一圈．摩天輪上懸掛吊艙，點M為吊艙的初始位置，經(jīng)過10分鐘，吊艙運動到點P處，此時有m，則距離地面的高度h為______________m．【答案】20【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點，為軸，與垂直的線為軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)點的方程為，由題意求得解析式，當(dāng)代入計算即可得出結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點，為軸，與垂直的線為軸，建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)點的方程為，依題意得,解得：又因為，所以，此時，又當(dāng)時，，所以，所以，所以當(dāng)時，，所以距離地面的高度故答案為：20.16.已知正實數(shù)滿足，則的最小值是__________．【答案】9【解析】【分析】設(shè)，可得，結(jié)合得到，利用基本不等式可得結(jié)果.【詳解】，，，設(shè)，可得，則，當(dāng)時，當(dāng)“=”成立，即的最小值是9，故答案為9.【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)是否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.四．解答題（共6小題，滿分70分）17.（1）計算；（2）已知，計算．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用指數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)結(jié)合換底公式可求得所求代數(shù)式的值；（2）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出的值，將所求代數(shù)式化簡，代值計算即可得解.【詳解】解：（1）原式；（2），則，所以，，，則，故，所以，，因為，則，.18.已知集合，．（1）若a＝1，求；（2）給出以下兩個條件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要條件．在以上兩個條件中任選一個，補充到橫線處，求解下列問題：若_____________，求實數(shù)a的取值范圍．（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由并集定義計算；（2）若選擇①，則由A∪B＝B，得，然后分類討論：與兩類求解；若選擇②，得是的真子集，同樣分類與求解．【小問1詳解】當(dāng)時，集合，因為，所以；【小問2詳解】若選擇①，則由A∪B＝B，得．當(dāng)時，即，解得，此時，符合題意；當(dāng)時，即，解得，所以，解得：；所以實數(shù)的取值范圍是．若選擇②，則由““是“”的充分不必要條件，得A?B．當(dāng)時，，解得，此時A?B，符合題意；當(dāng)時，，解得，所以且等號不同時取，解得；所以實數(shù)的取值范圍是．19.設(shè)m為實數(shù)，已知函數(shù)是奇函數(shù).（1）求m的值；（2）證明：在區(qū)間(+∞)上單調(diào)遞減：（3）當(dāng)時，求函數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）(1,+∞).【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義即得；或利用特殊值法；（2）利用單調(diào)性的定義證明即得；（3）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即得.【小問1詳解】解法1：由題意得，函數(shù)的定義域為，又因函數(shù)為奇函數(shù)，所以，∴，即，解得解法2：取，則有，∴，解得，當(dāng)時，，而所以在上為奇函數(shù)，故【小問2詳解】由（1）知，對于任意，設(shè)，則有.由得，那么，從而有，即，故在區(qū)間(+∞)上單調(diào)遞減.【小問3詳解】對于，有，得，從而，所以當(dāng)，函數(shù)的取值范圍為.20.為進一步推進“快遞進村”工程，加大農(nóng)村綜合物流服務(wù)供給力度，使得快遞服務(wù)“三農(nóng)”成果更加豐碩，讓廣大農(nóng)民可以享受到更加便捷高效的快遞服務(wù)，我市某鄉(xiāng)鎮(zhèn)農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)園聯(lián)合多家快遞企業(yè)計劃在該鎮(zhèn)建一矩形物流中轉(zhuǎn)站．按照規(guī)劃要求，需要將中轉(zhuǎn)站設(shè)計為內(nèi)部物流工作區(qū)（圖中陰影部分）和四周物流車輛通行區(qū)，已知內(nèi)部物流工作區(qū)的面積需要平方米，四周車道的寬分別需要米和米，如圖所示．（1）設(shè)工作區(qū)的長（單位：米，且），求中轉(zhuǎn)站的占地面積關(guān)于的函數(shù)；（2）為了使中轉(zhuǎn)站占地面積最小，問：工作區(qū)的長和寬該如何設(shè)計？【答案】（1），；（2）設(shè)計工作區(qū)的長為米，寬為米，占地面積最小.【解析】【分析】（1）利用矩形的面積公式可求得，由可解出的取值范圍，進而可得出中轉(zhuǎn)站的占地面積關(guān)于的函數(shù)，及其該函數(shù)的定義域；（2）利用基本不等式可求得的最小值，利用等號成立求出的值，進而可求得、的長，由此可得出結(jié)論.小問1詳解】解：因為，且的面積平方米，所以，因為，所以，解得，面積，.【小問2詳解】解：，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)，等號成立，此時，，答：設(shè)計工作區(qū)的長為米，寬為米，占地面積最小.21.函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的π倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若在上有兩個解，求a的取值范圍.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)圖像可得函數(shù)的周期，從而求得，再根據(jù)可求得，從而可得函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性借口整體思想即可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）根據(jù)平移變換和周期變換可得，在上有兩個解，即為與的圖象在上有兩個不同的交點，令，則作出函數(shù)在上的簡圖，結(jié)合圖像即可得出答案.【小問1詳解】解：由題圖得，，，，，，，，又，，，令，，解得，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；【小問2詳解】解：將的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，再將圖象上的所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的π倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若在上有兩個解，則與的圖象在上有兩個不同的交點，令，則作出函數(shù)在上的簡圖，結(jié)合圖像可得或，所以a的取值范圍為或.22.定義：若對定義域內(nèi)任意x，都有（a為正常數(shù)），則稱函數(shù)為“a距”增函數(shù)．（1）若，(0，)，試判斷是否為“1距”增函數(shù)，并說明理由；（2）若，R是“a距”增函數(shù)，求a的取值范圍；（3）若，(﹣1，)，其中kR，且為“2距”增函數(shù)，求的最小值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用“1距”增函數(shù)的定義證明即可；（2）由“a距”增函數(shù)的定義得到在上恒成立，求出a的取值范圍即可；（3）由為“2距”增函數(shù)可得到在恒成立，從而得到恒成立，分類討論可得到的取值范圍，再由，可討論出的最小值．【詳解】（1）任意,,因為,