入學(xué)統(tǒng)一考數(shù)學(xué)試題答案和評分參考數(shù)學(xué)（.曲線ylnx上與直線xy1垂直的切線方程 yx1已知f(ex)xex，且f(1)0，則f(x) 1(ln 2Lx2y22L

xdy2ydx3 3 d2 歐拉方程x2 4x 2y0(x0)的通解 y1 A

0BABA*2BA*EA*為A 1是單位矩陣，則B 量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則P{X exx0時的無窮小量x0

cost2dt,

x0 tdt,x0

sint3dt，使排在，的是前一個的高階無窮小確的排列次序 ，(A),, ,, (C),, ,,設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且f(0)0則存在0使 f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)增加 (B)f(x)在(,0)內(nèi)單調(diào)減少(C)對任意的x(0,)有f(x)f(0) (D)對任意的x(,0)有f(x)f(0)設(shè)an為正項級數(shù)下列結(jié)論中正確的 若limnan=0，則級數(shù)an收斂 若存在非零常數(shù)，使得limnan，則級數(shù)an發(fā)散

若級數(shù)a收斂，則lim 0n

若級數(shù)an發(fā)散,則存在非零常數(shù)，使得limnan f(x為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(t1dy

f(x)dx

2f(2) f(2) f(2) (D)0設(shè)A是3階方陣將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C,則滿足AQ=C的可逆矩陣Q 1 1

111 111

0 (B)

1

0

01

0

0

0

設(shè)A,B為滿足AB=O的任意兩個非零矩陣則必 設(shè) 量X服從正態(tài)分布N(0,1)，對給定的(01)，數(shù)u滿P{Xu}若{Xx}則x等 u 2

u 2

2

u1，設(shè) 量X,X ,X(n1)獨(dú)立同分布，且其方差為20.令Y1， 2 ni Cov(X1,Y) n

Cov(X1,Y)2

Y)n22 n

D(

Y)n12n44設(shè)eabe2，證明ln2bln2a (ba)證法１設(shè)(xln2x

x，則(x2lnx

1ln，(x 5xe時，(x0,故(x從而當(dāng)exe2時，(x(e24

0 ……9即當(dāng)exe2時，(x)單調(diào)增加.因此當(dāng)exe2時，(b)(a即ln2b4bln2a

4a，故ln2bln2a

4(ba ……12證法２對函數(shù)ln2x在[a,b]ln2bln2a2ln(baa 3設(shè)(t)lnt，則(t)1lnt，當(dāng)te時，(t0，即(t9t從而((e2)ln

tlne22，故ln2bln2a4(ba) ……12 某種飛機(jī)在機(jī)場降落時，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開傘，以增，使飛機(jī)迅速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸時的水平速度為 經(jīng)測試，傘打開后，飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比（比例系數(shù)為k6.0106).問從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長距離是多少？解由題設(shè)，飛機(jī)的質(zhì)量m=9000kg，著陸時的水平速度v0700kmh.從飛機(jī)接觸跑道開始記時，設(shè)t時刻飛機(jī)的滑行距離為x(t)，速度為v(t).法 ……4又dvdvdxvdv，故由以上兩式得dxmdv ……7 dx mx(t)mvk

因v(0v0x(00，故C

vx(t)m(v k 當(dāng)v(t)0x(t)k

6.0

11法 kv, ……4 v

kdt.

兩端積分得通解v

km，代入初始條件

t

v0解得Cv0k故v(t)v0em

k

7

v(t)dt 0ek

0

11法

md2xk d2 kdx0 ……4 k

dt m k其特征方程為2 0，解之得0, ，故xCCem ……7 k t

0,

t

k

t

2em

t

，得

k0于是x(t)

0(1k

m).當(dāng)tx(t)

0k

11I2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy，其中z1x2y2z0的上側(cè) 解取xoyx2y21所圍部分的下側(cè)，記為由與圍成的空I2x3dydz2y3dzdx3(z2 2x3dydz2y3dzdx3(z2 2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy6(x2y2 3 1r

1 2 2=60d0 (zr)rdz=120[r(1r2

r(1r)]dr ……92x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy

3dxdy3x2y2因此I23 ……12設(shè)有方程xnnx10n為正整數(shù).xn當(dāng)1

nn

x收斂n證f(x)xnnx1.x0時f(xnxn1n0nn故fn(x)在[0,)上單調(diào)增加 ……3fn(0)10fn(1)n0xnnx10x1 1

……6由xnnx10與xn0，知0xn n

，故當(dāng)1時，0

(

.……9 n而正項級數(shù)n

1時，級數(shù)

收斂 ……11zz(xyx26xy10y22yzz2180zz(xy的解因為x26xy10y22yzz2180 所以2x6y2yx2zx0，6x20y2z2yy2zy0 ……2

x3y x令 ，得3x10yz0，故z

x xx26xy10y22yzz218

，可得y3z

yz

……52z2(z)22z2z0，62z2y2

2zz2z2

由于22y

y

202z2z2y2z2(z

2z2z y

y

……9zz A

，B

，C

，故ACB 0，

36A10(9,3)z(xyz(9,3)3zz

zz

1，B6

1，C2

53ACB2

0A10，從而點(diǎn)(-9,3)z(xy6z(9,3)3 12 (1a)xx x02x(2a)x 設(shè)有齊次線性

(n2),anx1nx2 (na)xn解法 對方的系數(shù)矩陣A作初等行變換， 1 1 2 2 0A a n aa 由此得基礎(chǔ)解系為(1,1,0,,0)T,(1,0,1,,0)T,, (1,0,0,,1)T, 于是 的通解為xk11 其中k1,,kn1為任意常數(shù) ……4a0時，對矩陣B1 1 an(n 0 B 0

0.……6

1 1可知an(n1)時，r(A)n1n，故 2 2xx 3xx

，由此得基礎(chǔ)解系為12,,n)于是方的通解為xk，其中k為任意常數(shù) ……91 2 A

an(n ……32 n故當(dāng)A0，即a0或a 2a0時，對系數(shù)矩陣A

1 1 1 1 1 A n 0 故方的同解方為x1x2 xn由此得基礎(chǔ)解系為(1,1,0, (1,0,1,,0)T (1,0,0,,1)T

xk11kn1n1,其中k1,,kn1為任意常數(shù) ……6a

時，對系數(shù)矩陣A1 1 1 1 2 2 0A a n aa 1 1 0 0 0 1 1 2xx 3xx 故 的同解 為

，由此得基礎(chǔ)解系為12,,n)于是方的通解為xk其中k為任意常數(shù) ……921)（9分 設(shè)矩陣A

3的特征方程有一個二重根，求aA 5解AEA

2)(2818 2 若2是特征方程的二重根，則有2216183a0,解得a2 ……4 3此時，A的特征值為2,2,6,矩陣2E-A= 3的秩為1，故2對應(yīng)的線性無 ……6若2不是特征方程的二重根，則28183a為完全平方，從而183a163解得a23

33

3 32，故4 1 ……922)（9分 ,P(B|A) ,P(A|B) ， X A發(fā)生，Y1,B發(fā)生

P( 解（I）由于P(AB)P(A)P(B|A) ，P(B) ……2 P(A| 所以P{X1,Y1}P(AB)

P{X1,Y0}P(AB)P(A)P(AB) 6P{X0,Y1}P(AB)P(B)P(AB)13（P{X0,Y01

1

2YX0011YX0011 則EX ,EY ，

XP1031114YXP1031114YP 6 故Cov(X,YE(XYEXEY

1XY

15Cov(Cov(X,YDX

……91

,xF(x x11.X

,為來自總體X

（II）的最大似然估計量,x解Xf(xx1x （I）由于EXxf(x;)dx1xx1dx1 ……2 X，所以參數(shù)的矩估計量為? . ……41X

Xn

X1xi1(i1,2,, 6L()f(xi;) xn

nxi1(i1,2,,nL()0，取對數(shù)得lnL()nln1)lnxi

dlnL()

nlnnin

，令dlnL()0，可得

ln

n

……9lnXi數(shù)學(xué)（二.設(shè)f(x)lim(n1)x,則f(x)的間斷點(diǎn)為x nnx2y(x由參數(shù)方程x2 x2

yy(x

設(shè)函數(shù)zz(x,y)由方程ze2x3z2y確定,則3zz 微分方程yx3)dx2xdy0（5）

65

y1x3 5二、選擇題（8432分.在每小題給出的四個選項中，（7）設(shè)f(x)x(1x)， x0f(x的極值點(diǎn),但(00)yx0f(x的極值點(diǎn),但(00)y

f(x)的拐點(diǎn)f(x)的拐點(diǎn)x0f(x的極值點(diǎn),且(00)yf(x的拐點(diǎn)n)(1)(1122nx0n)(1)(1122nlim

等 （A）2ln2xdx （B）22lnxdx （C）22ln(1x)dx （D）2ln2(1 （8）微分方程yyx21sinx的特解形式可設(shè) yax2bxcAcosx設(shè)函數(shù)f(u)連續(xù),區(qū)域D(x,y)x2y22y,則f(xy)dxdy等 D2y （A）1 f(xy)dy （B）20 f2y （C）d2sinf(r2sincos)dr （D）d2sinf(r2sincos)rdr （11）（12）12cosx 求極限 3 1x0x 解法 原式lim

……3

（sin

……6 ……9

sin

lim 2x02cos

102原式lim

……3 lim

……6

……8 limcosx1

10

f(x在（）上有定義,在區(qū)間[02f(xx(x24,若對任意xf(x)kf(x2,其中k為常數(shù).f(x在[20](II)問k為何值時,解(I)當(dāng)2x0,即0x22時,

f(x)x0處可導(dǎo)f(xkf(x2)k(x2)[(x2)24kx(x2)(x4 3由題設(shè)知f(0)0 ……4f(0)limf(x)f(0)

x(x24)

6

x

f(0)limf(x)f(0)

kx(x2)(x

8k 8 x 令f(0)f(0)，得k1.即當(dāng)k1時，f(x)在x0處可導(dǎo) ……10 (17（

f(x

sintdt2f(x是以為周期的周期函數(shù)；(II)f(x的值域解(I)f(x) sintdt ……3設(shè)tuf(x)xf(x是以為周期的周期函數(shù)

sin(u)dux

sinuduf(x，……5因為sinx在(,)上連續(xù)且周期為，故只需在[0,]上討論其值域.因為f(x)sin(x)sinxcosxsinx， ……8分2f(x)0

，x3 由于f() 4sintdt4

2，f )

4sintdt4

3sintdt4

4sintdt22 f(0)2sintdt1，f() 2(sint)dt1 因而f(x)的最小值是2 ，故f(x)的值域是[2 2,2].……11 ee 曲線y 與直線x0,xt(t0)及y0圍成一曲邊梯形.該曲邊梯形繞2求S(t)(II)Vt

limS(t)tF解(I)S(t)02 ……21222texe12220200

dx2

)dx,4(2(t texexV(t)0ydx0S

)dx 62 2 ……7VF(t)

etet)2 ……8

telimS(t)lim20

e )

11 tF (ee2

t2(ee)(ee lietlit 12tet19（12分）（15）20（11分）（16）(21)（本題滿分10分） zf(xye)f具有連續(xù)二

， z2xfyexyf ……3 z2yfxexyf 52z

xyxy xy 2x[f11(2 f12xe xye ye[f21( f22xe 4xyf2(x2y2)exyfxye2xyfexy(1xyf (1a)xxx 2x(2a)x2x2x0設(shè)有齊次線性

04x4x4x(4a)x0 試問a取何值時，該方有非零解，并求出其通解.解法1對方的系數(shù)矩陣A作初等行變換，1 1 1 1 2 2 0A= ……2 3 4

由此得基礎(chǔ)解系為(1,1,0,0)T，(1,0,1,0)T，(1,0, ……4 于是所求 的通解為xk11k22k33,其中k1,k2,k3為任意常數(shù) ……5 1 0 當(dāng)a0時，B ……6

當(dāng)a10時，r(A)34，故方也有非零解，其同解方

3x 0 4xx 由此得基礎(chǔ)解系為(1,2,3,4)T ……8所以所求方的通解為xk,其中k為任意常數(shù) ……9 a 1 1 1 2 解法2方的系數(shù)行列式A (a 3 3 4 當(dāng)A0，即a0或a10時,方有非零解 1 1 1 1

1 1 1 1 當(dāng)a0時，對系數(shù)矩陣A作初等行變換,有A 3 0 4 故 的同解方為x1x2x3x4其基礎(chǔ)解系為1,100)T,10,10)T,100,1)T 的通解為xk11k22k33,其中k1,k2,k3為任意常數(shù).……6分當(dāng)a10時，對A作初等行變換，有 1 1 9111 000 2 20 0 2100 2100A 3 0 3010 3010

400

400 x故 的同解 x x

，其基礎(chǔ)解系為1,2,3,4)T所以所求方的通解為xk,其中k為任意常數(shù) ……923（9分）（21）數(shù)學(xué)（.若limsinx(cosxb)5，則a ，b x0exf(uv)f[xg(yyxg(y)g(y)g(y2 u

gxex,1x 設(shè)f(x) 2，則1f(x1)dx 1,x 二次型f(x,x,x)(xx)2(xx)2(xx)2的秩為 （6） 1Y1Y2Yn2X和Y (XiX)2(YjYE[

jn1n2

]|x|sin(xf(x)

x(x1)(x

(A)(1, (B)(0, (C)(1, (D)(2, 設(shè)f(x)在(,+)內(nèi)有定義，且f(x)a，g(x)f(x),x0， ,xx=0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn) (B)x=0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn)(C)x=0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn) (D)g(x)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)（8） (1)若(u2n1u2n)收斂，則un收斂 (2)若un收斂，則 n1

n

n

(3)若lim 1，則un發(fā)散.(4)若(unvn)收斂，則un,vn都收斂n n n (1) (2) (3) (1)設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)0,f(b)0，則下列結(jié)論中錯誤的 x0(a,bfx0fx0(a,bfx0>fx0(a,bf(x00x0(a,bfx0=設(shè)n階矩陣A與B等價,則必 當(dāng)|A|a(a0)時,|B|a (B)當(dāng)|A|a(a0)時,|B|a(C)當(dāng)|A|0時,|B|0 (D)當(dāng)|A|0時,|B|0 設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A*0，若ξ,ξ,ξ,ξ是非齊次線性方Axb的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方Ax (B)僅含一個非零解向量(C)含有兩個線性無關(guān)的解向量 (D)含有三個線性無關(guān)的解向量（13）158分

sin2

cos2 ) x2

sin2 li cosx)limxsinxcosx= ……2x0sin2 x2x1sin＝ ＝lim

……4……61＝lim ……8 6x 168分求D

y)dDx2y24和(x1)2y21

x2x2

Dx2y2y)dD

x2y2 ……2（x2y2 =x2y2dD大 D D2d2r2dr0

……4

2 （x2y2y)d=x2y2dyd2d r2dr0 …7D小

0D D D

y)d16(32) 89解法 DydD

1D原式=D

x2y2d=2[ D上1x2y2dD上2x2y2d……2 ……522d r2drd ……5

2cos=24416)16(3 ……8 9注：

x2y2d11分；D上

x2y2d22分178分 f(x)，g(x)在[a,b]上連續(xù)，且滿足af(t)dtag(t)dtx[ab af(t)dtag(t)dt.證明axf(x)dxaxg(x)dxx證F(x)f(xg(x)G(x)aF(t)dt由題設(shè)知G(x)0，bx[a,b]，G(a)G(bb)0，G(x)bF(x) ……2從而

xF(x)dx

xdG(x)xG(x)b

4 由于G(x)0，x[a,b]，故有aG(x)dx ……6 即axF(x)dx0.因此axf(x)dxaxg(x)dx ……8設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q1005PP0,20)，Q為需求量EdEdPQPQ解(I)Ed

Q'

20

……2 由R=PQ，得dRQPQ'Q(1PQ')Q(1E) ……4 P又由Ed20P1，得P= ……5當(dāng)10<P<20時，Ed>1，于是dR0 ……7故當(dāng)10<P<20時，降低價格反而使收益增加 ……9xxx xxx

(xS(x2 24 246求：(I)S(x(II)S(x)的表達(dá)式S(x)x4

S(0)

2 24 246

1 S(x) x(

……2 2 24 2

2 24

xy2

,y(0)0的解 ……4(II)3

xy 2yexdx[xexdxdxC]x1Ce2 ……7 由初始條件y(0)=0，得C= ……8x

故y e21，因此和函數(shù)S(x)

e2 92 α11,2,0)Tα1,α2,3α)Tα1,b2,α2b)Tβ1,3,3)T, β不能由α1α2α3β可由α1α2α3唯一地線性表示，并求出表示式β可由α1α2α3解設(shè)有數(shù)k1,k2,k3,使得k1α1k2α2k3α3β. ……1分記A(α1,α2,α3).對矩陣(A,β)施以初等行變換，有 1 Aβ a b 3 1 ……3 a

a 1

當(dāng)a0時，有(A,β) 0

1可知r(A)r(A,β).故 (*)無解，β不能由α1,α2,α3線性表示 ……5a0,ab,rA)rA,β)3(*)k11

k1

k30β可由

,

,

β

)α1

α2 7 ab0時，對矩陣Aβ

11aaA) 1 ……9a0 00可知r(A)r(A,β)2 k11

k1c

k3c，其中c為任意常數(shù) ……11此時，β可由α1α2α3線性表示，但表示式不唯一，其表示式 β1a)α1ac)α2cα3 131 b b 設(shè)n階矩陣A 1 )解(I)1當(dāng)b0時|EA

＝[λ1(n1)b][λ1b)]n1,……3 Aλ11n1)bλ2λn1bλ11n1)b，設(shè)Aλ1的一個特征向量為11 b b

向量為k1k(1,1,1,,1)Tk為任意不為零的常數(shù))． ……5分對于2n1b，解齊次線性方 [(1b)EA]x0，由 1 (1b)EA 0 ξ2(1,1,0,,0)T，ξ3(1,0,1,,0)T，,n(1,0,0,,1)T故全部特征向量為k22k33 (k2,k3,,kn是不全為零的常數(shù) ……7當(dāng)b0λ1

19

b0AnP1,2,,nP1APdiag1(n1)b,1b,,1

1112當(dāng)b0時，AE，對任意可逆矩陣P,均有P1APE．……13分注：(1,1,1,,1)T也可由求解齊次線性方 (EA)x0得出.12213分)（22）設(shè)隨量X的分布函數(shù)為F(x,α,β)

α1 x 其中參數(shù)α1 X1X2XnX的簡單隨機(jī)樣本當(dāng)α1時,β

x x當(dāng)α1時,ββ2時,求未知參數(shù)α的最大似然估計量β x解當(dāng)α1時，X的概率密度為f(x,β)xβ ……10，x EX

xf(x;β)dx

x

dxββ

……2令 X，解得β ，所以參數(shù)β的矩估計量為X . ……4β

X

XXx1x2,,xn xi1(i1,2,,L()f(xi;) xn 6

nxi1(i1,2,,nLβ)0，取對數(shù)得lnLβ)nlnββ1)lnxinn

d[lnL(β)]

nln

，令d[lnL(

lnx0

β

……9nln

ln當(dāng)β2時，X的概率密度為f(x,β)x3 xXx1x2,,xn

x 2n

xi(i1,2,,,3,L()f(xi;) xn 11

xi(i1,2,nαL(α越大，即α,,數(shù)學(xué)（四.（1） e設(shè)y e2x dx e2

, x1 21

2f(x1)dx

f(x)

,x 222A00

0 0BP1APPB20042A2 0 0 設(shè)Aa是實(shí)正交矩陣，且a111，b(1,0,0)T，則線性 Axb的解ij （6）（7）（8）（8） 1, 設(shè)f 0, 0

f(t)dt 1,x F(x)x0點(diǎn)不連續(xù)F(x)在()F(x)f(x（11）（12）（13）（14）

f(x)158分)（15）168分)（16）(17)(本題滿分8分)f(uv)fu(u,vfv(u,vuv.y(xe2xf(xx所滿足 y2x2e f(,x)x2exvf(,x)x2yx2e2x ……3分因此，所求的一階微分方程為y2y ……4解得ye2dx(x2e2xe2dxdx ……6＝(1x3C)e23

……8189分)（18）199分e2x,xF(x)e2x,x0S表示夾在x軸與曲線y=F(x)之間的面積.對任何t表示矩形txt，0yF(t)的面積.S(tSS1(t(IIS(t)的最小值解(I)S2e2xdx ……2 S1(t)2te2t，因此S(t)12te2t，t(0, ……4由于S(t)2(12t)e2t