/21/21/江蘇省蘇州市2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.不需要寫出解答過程，請把答案直接填在答題卡相應(yīng)位置上.1.已知集合，，則________.【答案】【解析】【分析】進行交集的運算即可．【詳解】，，0，1，，，．故答案為：，．【點睛】本題考查了描述法、列舉法的定義、交集的運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部為3，則實數(shù)b的值為________.【答案】1【解析】分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，再由虛部為3求解．【詳解】的虛部為3，，即．故答案為：1．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3.從2名男生和l名女生中任選2名參加青年志愿者活動，則選中的恰好是一男一女的概率為________.【答案】【解析】【分析】基本事件總數(shù)，選中的恰好是一男一女包含的基本事件個數(shù)，由此能求出選中的恰好是一男一女的概率．【詳解】從2名男生和1名女生中任選2名參加青年志愿者活動，基本事件總數(shù)，選中的恰好是一男一女包含的基本事件個數(shù)，則選中的恰好是一男一女的概率為．故答案為：．點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．4.為了了解蘇州市某條道路晚高峰時段的車流量情況，隨機抽查了某天單位時間內(nèi)通過的車輛數(shù)，得到以下頻率分布直方圖（如圖），已知在之間通過的車輛數(shù)是440輛，則在之間通過的車輛數(shù)是________.【答案】100【解析】【分析】由頻率分布直方圖得在，之間通過的車輛的頻率為0.44，在，之間通過的車輛的頻率為0.10，由此利用在，之間通過的車輛數(shù)是440輛，能求出在，之間通過的車輛數(shù)．【詳解】由頻率分布直方圖得：在，之間通過的車輛的頻率為，在，之間通過的車輛的頻率為0.10，設(shè)在，之間通過的車輛數(shù)為．在，之間通過的車輛數(shù)是440輛，，解得．則在，之間通過的車輛數(shù)為100．故答案為：100．【點睛】本題考查在，之間通過的車輛數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．5.如圖是一個算法流程圖，若輸入的x值為5，則輸出的y值為________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)算法流程圖，一步一步進行運算，直到跳出循環(huán).【詳解】輸入，不滿足，所以運行，故答案為：2【點睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．6.已知等比數(shù)列中，，則“”是“”的________條件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）【答案】充分不必要【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合充分必要條件的判定方法得答案．【詳解】在等比數(shù)列中，，則由，得，即，；反之，由，得，即或，當(dāng)時，．等比數(shù)列中，，則“”是“”的充分不必要條件．故答案為：充分不必要．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查充分必要條件的判定方法，是基礎(chǔ)題．7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點，是雙曲線的左、右焦點，點P的坐標(biāo)為，若，則該雙曲線的離心率為________.【答案】【解析】【分析】利用已知條件列出、關(guān)系式，然后轉(zhuǎn)化求解雙曲線的離心率即可．【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，己知點，是雙曲線的左、右焦點，點的坐標(biāo)為，由，可得：，即，即，所以雙曲線的離心率為：．故答案為：．【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是基礎(chǔ)題．8.若x，y滿足約束條件，則的最大值為________.【答案】3【解析】【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【詳解】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：設(shè)得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線的縱截距最大，此時最大，此時，故答案為：3．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.9.如圖，某品牌冰淇淋由圓錐形蛋筒和半個冰淇淋小球組成，其中冰淇淋小球的半徑與圓錐底面半徑相同.已知圓錐形蛋筒的側(cè)面展開圖是圓心角為，弧長為的扇形，則該冰淇淋的體積是________.【答案】【解析】分析】求出圓錐底面半徑為，圓錐母線長，圓錐的高為，半個冰淇淋小球的半徑，由此能求出該冰淇淋的體積．【詳解】圓錐形蛋筒的側(cè)面展開圖是圓心角為，弧長為的扇形，圓錐底面半徑為，圓錐母線長，圓錐的高為，半個冰淇淋小球的半徑，該冰淇淋的體積是：．故答案為：．【點睛】本題考查冰淇淋的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線上存在點P，使得過點P向圓作切線PA（切點為A），滿足，則實數(shù)m的取值范圍為________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意，由切線的性質(zhì)分析可得，進而結(jié)合點到直線的距離公式可得，解可得的取值范圍，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，圓，其圓心為，半徑，若點向圓作切線，滿足，又由，則有，變形可得，若直線上存在點，滿足題意，必有，變形可得：，解可得：或，即的取值范圍為或；故答案為：或．【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及圓的切線方程，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知直線與函數(shù)圖象在y軸右側(cè)的公共點從左到右依次為，，…，若點的橫坐標(biāo)為1，則點的橫坐標(biāo)為________.【答案】3【解析】【分析】當(dāng)時，得，或，依題意可得，可求得，繼而可得答案．【詳解】因為點的橫坐標(biāo)為1，即當(dāng)時，，所以或，又直線與函數(shù)的圖象在軸右側(cè)的公共點從左到右依次為，，所以，故，所以函數(shù)的關(guān)系式為．當(dāng)時，（3），即點的橫坐標(biāo)為3，為二函數(shù)的圖象的第二個公共點．故答案為：3．【點睛】本題考查三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換、正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力及思維能力，屬于中檔題．12.如圖，在平面四邊形ABCD中，己知AD=3，，E，F(xiàn)為AB，CD的中點，P，Q為對角線AC，BD的中點，則的值為________.【答案】【解析】【分析】可連接，，，，根據(jù)題意即可得出四邊形為平行四邊形，從而可得出，然后進行數(shù)量積的運算即可．【詳解】如圖，連接，，，，，為，的中點，，為對角線，的中點，四邊形為平行四邊形，，，且，，．故答案為：．【點睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)、向量加法的平行四邊形法則、向量減法和數(shù)乘的幾何意義，考查了向量數(shù)量積的運算及計算公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．13.已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值為________.【答案】4【解析】【分析】實數(shù)，滿足，化為：，令，，則．解得，．代入，化簡整理利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【詳解】實數(shù)，滿足，化為：，令，，則．解得，．則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，即，時取等號．的最小值為4．故答案為：4．【點睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)、換元法、轉(zhuǎn)化法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．14.已知函數(shù)，（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于x的方程恰有5個相異的實根，則實數(shù)a的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】作出圖象，求出方程的根，分類討論的正負，數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】當(dāng)時，令，解得，所以當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞減，且，作出函數(shù)的圖象如圖：（1）當(dāng)時，方程整理得，只有2個根，不滿足條件；（2）若，則當(dāng)時，方程整理得，則，，此時各有1解，故當(dāng)時，方程整理得，有1解同時有2解，即需，，因為（2），故此時滿足題意；或有2解同時有1解，則需，由（1）可知不成立；或有3解同時有0解，根據(jù)圖象不存在此種情況，或有0解同時有3解，則，解得，故，（3）若，顯然當(dāng)時，和均無解，當(dāng)時，和無解，不符合題意．綜上：的范圍是，故答案為：，【點睛】本題主要考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題．二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.己知向量，.（1）當(dāng)時，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，且，求的最大值以及對應(yīng)的x的值.【答案】（1）；（2）時，函數(shù)的最大值為.【解析】【分析】（1）根據(jù)即可求出，然后根據(jù)二倍角的正切公式即可求出的值；（2）進行數(shù)量積的坐標(biāo)運算，并根據(jù)二倍角的正余弦公式和兩角和的正弦公式得出，從而可求出的最大值，以及對應(yīng)的的值．【詳解】（1）因為，所以，因為（否則與矛盾），所以，所以.（2），因為，所以，所以當(dāng)，即時，函數(shù)的最大值為.【點睛】本題考查了平行向量的坐標(biāo)關(guān)系、二倍角的正弦、余弦和正切公式、兩角和的正弦公式和數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.如圖，在斜三棱柱中，，，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）若，求證：.【答案】（1）見證明；（2）見證明【解析】【分析】（1）連結(jié)，，由三角形中位線定理可得，根據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合由線面垂直的判定定理可得平面，再由線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】（1）連結(jié)，，因為斜三棱柱，所以四邊形為平行四邊形，由平行四邊形性質(zhì)得點也是中點，因為點是的中點，所以，又平面，平面，所以平面.（2）連結(jié)，因為，點是的中點，所以，又，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以.【點睛】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題.證明線面平行的常見方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.17.為響應(yīng)“生產(chǎn)發(fā)展、生活富裕、鄉(xiāng)風(fēng)文明、村容整潔、管理民主”的社會主義新農(nóng)村建設(shè)，某自然村將村邊一塊廢棄的扇形荒地（如圖）租給蜂農(nóng)養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜.已知扇形AOB中，，（百米），荒地內(nèi)規(guī)劃修建兩條直路AB，OC，其中點C在上（C與A，B不重合），在小路AB與OC的交點D處設(shè)立售蜜點，圖中陰影部分為蜂巢區(qū)，空白部分為蜂源植物生長區(qū).設(shè)，蜂巢區(qū)的面積為S（平方百米）.（1）求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)為何值時，蜂巢區(qū)的面積S最小，并求此時S的最小值.【答案】（1），；（2）當(dāng)?shù)扔跁r，S取到最小值平方百米【解析】【分析】（1）由余弦定理得，由正弦定理得，，蜂巢區(qū)的面積，由此能求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．（2）對求導(dǎo)得，當(dāng)時，，遞減，當(dāng)時，，遞增，當(dāng)，時，，遞減，由此能求出當(dāng)為時，蜂巢區(qū)的面積最小，的最小值為．【詳解】（1），，由余弦定理得，在中，由正弦定理得，，，，蜂巢區(qū)的面積：，整理，得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：，．（2）對求導(dǎo)，得，令，解得或，當(dāng)時，，遞減，當(dāng)時，，遞增，當(dāng)，時，，遞減，綜上所述，的最小值只可有在或趨近時取得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)為時，蜂巢區(qū)的面積最小，的最小值為．【點睛】本題考查函數(shù)關(guān)系式、蜂巢區(qū)的面積最小值的求法，考查三角函數(shù)性質(zhì)有生產(chǎn)生活中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力和應(yīng)用意識，是中檔題．18.如圖，定義：以橢圓中心為圓心，長軸為直徑的圓叫做橢圓的“輔圓”.過橢圓第一象限內(nèi)一點P作x軸的垂線交其“輔圓”于點Q，當(dāng)點Q在點P的上方時，稱點Q為點P的“上輔點”.已知橢圓上的點的上輔點為.（1）求橢圓E的方程；（2）若的面積等于，求上輔點Q的坐標(biāo)；（3）過上輔點Q作輔圓的切線與x軸交于點T，判斷直線PT與橢圓E的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）；（2）；（3）直線PT與橢圓相切，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)定義直接求解即可；（2）設(shè)點，，則點，，則可得到，再根據(jù)的面積可得到，進一步與橢圓方程聯(lián)立即得解；（3）表示出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，再判斷△即可得出結(jié)論．【詳解】（1）橢圓上的點的上輔點為，輔圓的半徑為，橢圓長半軸為，將點代入橢圓方程中，解得，橢圓的方程為；（2）設(shè)點，，則點，，將兩點坐標(biāo)分別代入輔圓方程和橢圓方程可得，，，故，即，又，則，將與聯(lián)立可解得，則，點的坐標(biāo)為；（3）直線與橢圓相切，證明如下：設(shè)點，，由（2）可知，，與輔圓相切于點的直線方程為，則點，直線的方程為：，整理得，將與橢圓聯(lián)立并整理可得，，由一元二次方程的判別式，可知，上述方程只有一個解，故直線與橢圓相切．【點睛】本題以新概念為載體，旨在考查直線與圓、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查通性通法的運用，計算量較大，對計算能力的要求較高，屬于較難題目．19.已知數(shù)列滿足，，其中是數(shù)列的前n項和.（1）求和的值及數(shù)列的通項公式；（2）設(shè).①若，求k的值；②求證：數(shù)列（中的任意一項總可以表示成該數(shù)列其他兩項之積.【答案】（1），，；（2）①1，②見解析【解析】【分析】（1）利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前幾項，同時求出數(shù)列的通項公式；（2）結(jié)合第一問的結(jié)論求出，①直接代入即可求解；②對于給定的，若存在，，，，使得，只要找到相應(yīng)的整數(shù)，即可證明．【詳解】（1）時，，所以，時，，所以，所以.由，①所以，②由②①得，即，③當(dāng)時，，④由③④得，即，所以數(shù)列是首項為0，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列的通項公式是.（2）；；①；．②對于給定的，若存在，，，，使得；，只需，兩邊取倒數(shù)，即，即；即，；取，則；；對數(shù)列中的任意一項，總可以表示成該數(shù)列其他兩項之積．【點睛】本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式及其前項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)函數(shù)與函數(shù)圖象的公切線l經(jīng)過坐標(biāo)原點時