PAGEPAGE9分層隨機(jī)抽樣的均值與方差百分位數(shù)新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的取值規(guī)律．掌握分層隨機(jī)抽樣的均值與方差數(shù)據(jù)分析2.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義數(shù)據(jù)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析甲班和乙班各有學(xué)生20人、40人，甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為80分，方差為2，乙班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為82分，方差為4.[問(wèn)題]甲班和乙班這60人的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分是eq\f(80＋82,2)＝81分嗎？方差是eq\f(2＋4,2)＝3嗎？為什么？知識(shí)點(diǎn)一分層隨機(jī)抽樣的均值與方差1．分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)(1)一般地，將樣本a1，a2，…，am和樣本b1，b2，…，bn合并成一個(gè)新樣本，則這個(gè)新樣本的平均數(shù)為eq\f(a1＋a2＋…＋am＋b1＋b2＋…＋bn,m＋n)＝eq\f(m,m＋n)·eq\f(a1＋a2＋…＋am,m)＋eq\f(n,m＋n)·eq\f(b1＋b2＋…＋bn,n).于是，當(dāng)已知上述兩層構(gòu)成的新樣本中每層的平均數(shù)分別為eq\x\to(x)1和eq\x\to(x)2時(shí)，可得這個(gè)新樣本的平均數(shù)為eq\f(m,m＋n)eq\x\to(x)1＋eq\f(n,m＋n)eq\x\to(x)2.記w1＝eq\f(m,m＋n)，w2＝eq\f(n,m＋n)，則這個(gè)新樣本的平均數(shù)為w1eq\x\to(x)1＋w2eq\x\to(x)2，其中w1，w2稱為權(quán)重．(2)設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)和相應(yīng)權(quán)重分別為eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，…，eq\x\to(x)n和w1，w2，…，wn，則這個(gè)樣本的平均數(shù)為w1eq\x\to(x)1＋w2eq\x\to(x)2＋…＋wneq\x\to(x)n.為了簡(jiǎn)化表示，引進(jìn)求和符號(hào)，記作w1eq\x\to(x)1＋w2eq\x\to(x)2＋…＋wneq\x\to(x)n＝eq\i\su(i＝1,n,w)ieq\x\to(x)i.2．分層隨機(jī)抽樣的方差設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)分別為eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，…，eq\x\to(x)n，方差分別為seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，…，seq\o\al(2,n)，相應(yīng)的權(quán)重分別為w1，w2，…，wn，則這個(gè)樣本的方差為s2＝eq\i\su(i＝1,n,w)i[seq\o\al(2,i)＋(eq\x\to(x)i－eq\x\to(x))2]，其中eq\x\to(x)為這個(gè)樣本的平均數(shù)．已知某省二、三、四線城市數(shù)量之比為1∶3∶6,2020年8月份調(diào)查得知該省所有城市房產(chǎn)均價(jià)為1.2萬(wàn)元/平方米，方差為20，二、三、四線城市的房產(chǎn)均價(jià)分別為2.4萬(wàn)元/平方米，1.8萬(wàn)元/平方米，0.8萬(wàn)元/平方米，三、四線城市房?jī)r(jià)的方差分別為10,8，則二線城市的房?jī)r(jià)的方差為_(kāi)_______．解析：設(shè)二線城市的房?jī)r(jià)的方差為s2，由題意可知20＝eq\f(1,1＋3＋6)[s2＋(1.2－2.4)2]＋eq\f(3,1＋3＋6)[10＋(1.2－1.8)2]＋eq\f(6,1＋3＋6)[8＋(1.2－0.8)2]，解得s2＝118.52，即二線城市的房?jī)r(jià)的方差為118.52.答案：118.52知識(shí)點(diǎn)二百分位數(shù)1．p分位數(shù)一般地，當(dāng)總體是連續(xù)變量時(shí)，給定一個(gè)百分?jǐn)?shù)p∈(0,1)，總體的p分位數(shù)有這樣的特點(diǎn)：總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于或等于它的可能性是p.2．四分位數(shù)25%,50%,75%分位數(shù)是三個(gè)常用的百分位數(shù)．把總體數(shù)據(jù)按照從小到大排列后，這三個(gè)百分位數(shù)把總體數(shù)據(jù)分成了4個(gè)部分，在這4個(gè)部分取值的可能性都是eq\f(1,4).因此這三個(gè)百分位數(shù)也稱為總體的四分位數(shù)．3．計(jì)算p分位數(shù)的一般步驟第1步，按照從小到大排列原始數(shù)據(jù)；第2步，計(jì)算i＝np；第3步，若i不是整數(shù)，大于i的最小整數(shù)為j，則p分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則p分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．1．某班級(jí)人數(shù)為50，班主任老師說(shuō)“90%的同學(xué)能夠考取本科院?！保@里的“90%”是百分位數(shù)嗎？提示：不是．是指能夠考取本科院校的同學(xué)占同學(xué)總數(shù)的百分比．2．“這次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的70%分位數(shù)是85分”這句話是什么意思？提示：有70%的同學(xué)數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)小于或等于85分．1．下列關(guān)于一組數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)的說(shuō)法正確的是()A．50%分位數(shù)就是中位數(shù)B．總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于它的可能性一定是50%C．它一定是這組數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù)據(jù)D．它適用于總體是離散型的數(shù)據(jù)解析：選A由百分位數(shù)的意義可知選項(xiàng)B、C、D錯(cuò)誤．2．5,6,7,8,9,10,11,12,13,14的25%分位數(shù)為_(kāi)_______，75%分位數(shù)為_(kāi)_______，90%分位數(shù)為_(kāi)_______．解析：由于共有10個(gè)數(shù)字，則10×25%＝2.5,10×75%＝7.5,10×90%＝9.故25%分位數(shù)為7,75%分位數(shù)為12,90%分位數(shù)為eq\f(13＋14,2)＝13.5.答案：71213.5分層隨機(jī)抽樣背景下的樣本數(shù)字特征估計(jì)[例1](鏈接教科書(shū)第171頁(yè)例6)工廠為了解每個(gè)工人對(duì)某零件的日加工量，統(tǒng)計(jì)員分別從兩車(chē)間抽取了甲、乙兩人日加工量的兩個(gè)樣本．抽到甲的一個(gè)樣本容量為10，樣本平均數(shù)為5，方差為1；乙的一個(gè)樣本容量為12，樣本平均數(shù)為6，方差為2.現(xiàn)將這兩組樣本合在一起，求合在一起后的樣本的平均數(shù)與方差．[解]設(shè)抽到甲的一個(gè)樣本數(shù)據(jù)為x1，x2，…，x10；乙的一個(gè)樣本數(shù)據(jù)為y1，y2，…，y12，由題意知eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,x)i＝5，方差s2＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,)(xi－5)2＝1，eq\x\to(y)＝eq\f(1,12)eq\i\su(i＝1,12,y)i＝6，方差t2＝eq\f(1,12)eq\i\su(i＝1,12,)(yi－6)2＝2，則合在一起后的樣本容量為22，w甲＝eq\f(10,22)，w乙＝eq\f(12,22)，樣本平均數(shù)為eq\x\to(a)＝w甲eq\x\to(x)＋w乙eq\x\to(y)＝eq\f(10,22)×5＋eq\f(12,22)×6≈5.55，樣本方差為b2＝w甲[s2＋(eq\x\to(x)－eq\x\to(a))2]＋w乙[t2＋(eq\x\to(y)－eq\x\to(a))2]＝eq\f(10,22)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋5－5.552))＋eq\f(12,22)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2＋6－5.552))≈1.79.求分層隨機(jī)抽樣背景下的樣本平均數(shù)、方差設(shè)樣本中不同分層的平均數(shù)、方差和相應(yīng)權(quán)重分別為eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，…eq\x\to(x)n、seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，…，seq\o\al(2,n)和w1，w2，…，wn，則樣本平均數(shù)eq\x\to(a)＝w1eq\x\to(x)1＋w2eq\x\to(x)2＋…＋wneq\x\to(x)n＝eq\i\su(i＝1,n,w)ieq\x\to(x)i.樣本方差s2＝eq\i\su(i＝1,n,w)i[seq\o\al(2,i)＋(eq\x\to(x)i－eq\x\to(a))2]．[跟蹤訓(xùn)練]在某學(xué)校為了調(diào)查高一年級(jí)學(xué)生每周的鍛煉時(shí)間(單位：h)，甲同學(xué)抽取了一個(gè)容量為10的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為5，方差為9；乙同學(xué)抽取了一個(gè)容量為8的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為6，方差為16.已知甲、乙兩同學(xué)抽取的樣本合在一起組成一個(gè)容量為18的樣本，求合在一起后的樣本均值與樣本方差．解：由題意知，甲同學(xué)抽取的樣本容量m＝10，樣本平均值為eq\x\to(x)＝5，樣本方差為s2＝9；乙同學(xué)抽取的樣本容量n＝8，樣本平均值為eq\x\to(y)＝6，樣本方差t2＝16.故合在一起后的樣本平均值為w甲eq\x\to(x)＋w乙eq\x\to(y)＝eq\f(10,18)×5＋eq\f(8,18)×6≈5.44.樣本方差為w甲[s2＋(5－5.44)2]＋w乙[t2＋(6－5.44)2]＝eq\f(10,18)[9＋0.442]＋eq\f(8,18)[16＋0.562]≈12.36.百分位數(shù)的計(jì)算[例2](鏈接教科書(shū)第174頁(yè)例7)從某珍珠公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中，任意抽取12顆珍珠，得到它們的質(zhì)量(單位：g)如下：7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5，8．5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.(1)分別求出這組數(shù)據(jù)的25%,75%,95%分位數(shù)；(2)請(qǐng)你找出珍珠質(zhì)量較小的前15%的珍珠質(zhì)量；(3)若用25%,50%,95%分位數(shù)把公司生產(chǎn)的珍珠劃分為次品、合格品、優(yōu)等品和特優(yōu)品，依照這個(gè)樣本的數(shù)據(jù)，給出該公司珍珠等級(jí)的劃分標(biāo)準(zhǔn)．[解](1)將所有數(shù)據(jù)從小到大排列，得7．8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，因?yàn)楣灿?2個(gè)數(shù)據(jù)，所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4，則25%分位數(shù)是eq\f(8.0＋8.3,2)＝8.15，75%分位數(shù)是eq\f(8.6＋8.9,2)＝8.75，95%分位數(shù)是第12個(gè)數(shù)據(jù)為9.9.(2)因?yàn)楣灿?2個(gè)數(shù)據(jù)，所以12×15%＝1.8，則15%分位數(shù)是第2個(gè)數(shù)據(jù)為7.9.即產(chǎn)品質(zhì)量較小的前15%的產(chǎn)品有2個(gè)，它們的質(zhì)量分別為7.8g,7.9g.(3)由(1)可知珍珠質(zhì)量的25%分位數(shù)是8.15g,50%分位數(shù)為8.5g,95%分位數(shù)是9.9g，所以質(zhì)量小于或等于8.15g的珍珠為次品，質(zhì)量大于8.15g且小于或等于8.5g的珍珠為合格品，質(zhì)量大于8.5g且小于或等于9.9g的珍珠為優(yōu)等品，質(zhì)量大于9.9g的珍珠為特優(yōu)品．計(jì)算百分位數(shù)時(shí)，可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，再根據(jù)定義計(jì)算．[跟蹤訓(xùn)練]某校年級(jí)組長(zhǎng)為了解本校高三學(xué)生一?？荚嚨臄?shù)學(xué)成績(jī)(單位：分)，隨機(jī)抽取30名學(xué)生的一模數(shù)學(xué)成績(jī)，如下所示：1101441256389121145123749697142115688311613912485981321471281339911710711396141估計(jì)該校高三學(xué)生一模數(shù)學(xué)成績(jī)的25%分位數(shù)為_(kāi)_______分，50%分位數(shù)為_(kāi)_______分．解析：把這30名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)按從小到大的順序排列，得63,68,74,83,85,89,96,96,97,98,99,107,110,113,115,116,117,121,123,124,125,128,132,133,139,141,142,144,145,147.因?yàn)?0×25%＝7.5,30×50%＝15，所以這30名學(xué)生一模數(shù)學(xué)成績(jī)的25%分位數(shù)為96分，50%分位數(shù)為eq\f(115＋116,2)＝115.5(分)．據(jù)此可以估計(jì)本校高三學(xué)生一模數(shù)學(xué)成績(jī)的25%分位數(shù)為96分，50%分位數(shù)為115.5分．答案：96115.5百分位數(shù)的應(yīng)用[例3]某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過(guò)200千瓦時(shí)的部分按0.5元/千瓦時(shí)收費(fèi)，超過(guò)200千瓦時(shí)但不超過(guò)400千瓦時(shí)的部分按0.8元/千瓦時(shí)收費(fèi)，超過(guò)400千瓦時(shí)的部分按1.0元/千瓦時(shí)收費(fèi)．(1)求某戶居民用電費(fèi)用y(單位：元)關(guān)于月用電量x(單位：千瓦時(shí))的函數(shù)解析式；(2)為了了解居民的用電情況，通過(guò)抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖．若這100戶居民中，今年1月份用電費(fèi)用不超過(guò)260元的占80%，求a，b的值；(3)根據(jù)(2)中求得的數(shù)據(jù)計(jì)算用電量的75%分位數(shù)．[解](1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，y＝0.5x；當(dāng)200<x≤400時(shí)，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60；當(dāng)x>400時(shí)，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.所以y與x之間的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x，0≤x≤200，,0.8x－60，200<x≤400，,x－140，x>400.))(2)由(1)可知，當(dāng)y＝260時(shí)，x＝400，即用電量不超過(guò)400千瓦時(shí)的占80%，結(jié)合頻率分布直方圖可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.001×100＋2×100b＋0.003×100＝0.8，,100a＋0.0005×100＝0.2，))解得a＝0.0015，b＝0.0020.(3)設(shè)75%分位數(shù)為m，因?yàn)橛秒娏康陀?00千瓦時(shí)的所占比例為(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，用電量不超過(guò)400千瓦時(shí)的占80%，所以75%分位數(shù)m在[300,400)內(nèi)，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，解得m＝375千瓦時(shí)，即用電量的75%分位數(shù)為375千瓦時(shí)．[母題探究](變?cè)O(shè)問(wèn))根據(jù)本例(2)中求得的數(shù)據(jù)計(jì)算用電量的15%分位數(shù)．解：設(shè)15%分位數(shù)為x，因?yàn)橛秒娏康陀?00千瓦時(shí)的所占比例為0.001×100＝10%，用電量不超過(guò)200千瓦時(shí)的占30%，所以15%分位數(shù)x在[100,200)內(nèi)，所以0.1＋(x－100)×0.002＝0.15，解得x＝125千瓦時(shí)，即用電量的15%分位數(shù)為125千瓦時(shí)．根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)，首先要理解頻率分布直方圖中各組數(shù)據(jù)頻率的計(jì)算，其次估計(jì)百分位數(shù)在哪一組，再應(yīng)用方程的思想方法，設(shè)出百分位數(shù)，解方程可得．[跟蹤訓(xùn)練]某市為了了解人們對(duì)“中國(guó)夢(mèng)”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，對(duì)不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分(90分及以上為認(rèn)知程度高)，現(xiàn)從參賽者中抽取了x人，按年齡分成5組(第一組：[20,25)，第二組：[25,30)，第三組：[30,35)，第四組：[35,40)，第五組：[40,45])，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有5人．(1)求x；(2)求抽取的x人的年齡的50%分位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；(3)以下是參賽的10人的成績(jī)：90,96,97,95,92,92,98,88,96,99，求這10人成績(jī)的20%分位數(shù)和平均數(shù)，以這兩個(gè)數(shù)據(jù)為依據(jù)，評(píng)價(jià)參賽人員對(duì)“中國(guó)夢(mèng)”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，并談?wù)勀愕母邢耄猓?1)第一組頻率為0.01×5＝0.05，所以x＝eq\f(5,0.05)＝100.(2)由題圖可知年齡低于30歲的所占比例為40%，年齡低于35歲的所占比例為70%，所以抽取的x人的年齡的50%分位數(shù)在[30,35)內(nèi)，由30＋5×eq\f(0.50－0.40,0.70－0.40)＝eq\f(95,3)≈32(歲)，所以抽取的x人的年齡的50%分位數(shù)為32歲．(3)把參賽的10人的成績(jī)按從小到大的順序排列：88,90,92,92,95,96,96,97,98,99，計(jì)算10×20%＝2，所以這10人成績(jī)的20%分位數(shù)為eq\f(90＋92,2)＝91(分)，這10人成績(jī)的平均數(shù)為eq\f(1,10)(88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)＝94.3(分)．評(píng)價(jià)：從百分位數(shù)和平均數(shù)來(lái)看，參賽人員的認(rèn)知程度很高．感想：略(結(jié)合本題和實(shí)際，符合社會(huì)主義核心價(jià)值觀即可)．1．期中考試后，班長(zhǎng)算出了全班40人數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為M，如果把M當(dāng)成一個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù)，與原來(lái)的40個(gè)分?jǐn)?shù)一起，算出這41個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為N，那么eq\f(M,N)等于()A.eq\f(40,41) B．1C.eq\f(41,40) D．2解析：選B平均數(shù)是用所有數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)而得到的．設(shè)40位同學(xué)的成績(jī)?yōu)閤i(i＝1,2，…，40)，則M＝eq\f(x1＋x2＋…＋x40,40)，N＝eq\f(x1＋x2＋…＋x40＋M,41)＝M，故eq\f(M,N)＝1.2．下