2021年全國統(tǒng)一考試數(shù)學文試題（湖南卷，含解析）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

（1*

1、已知------=l+i（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)Z=（）

Z

A、1+iB、1-iC、-1+iD、-1-i

【答案】D

【解析】

試題分析：.由題根據(jù)所給復數(shù)式子進行化簡即可得到復數(shù)z的代數(shù)式：

（l-z）2_（1-02且—2i（l—i）

由題---------1+i,.'.z=-------===—1—z,故選D.

z1+/1+i2

考點：一復數(shù)的運算

2、在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績（單位：分鐘）如圖I所示；

1300345668889

1411122233445556678

150122333

若將運動員按成績由好到差編為1、35號、再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間［139,151］

上的運動員人數(shù)為（）

A、3B、4C、5D、6

【答案】B

【解析】

試題分析：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合系統(tǒng)抽樣方法的特征，即可求出正確的結(jié)論；

根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，得；成績在區(qū)間［139,1E：上的運動員人數(shù)是20,用系統(tǒng)抽樣方法從二人中抽??？

人，成績在區(qū)間［139,上的運動員應抽取7>三*>0=41人，故選3.

考點：莖葉圖

3、設XGR,則“X>1”是“云>設的（）

A、充分不必要條件B、必要不充分條件

C、充要條件D、既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

試題分析：.由題根據(jù)明天的關(guān)系進行發(fā)現(xiàn)即可得到所給兩個明天的關(guān)系；由題易知"x〉l”可以推得“產(chǎn)>1”，

可以得到“X>1"，所以“X〉l”是“產(chǎn)〉1”的充要條件，故選C.

考點：命題與條件

^x+y>1

4、若變量x、y滿足約束條件〈y-%<1，則z=2x-y的最小值為()

[%<1

A、-IB、OC、ID、2

【答案】A

【解析】

試題分析：由約束條件作出可行域，然后根據(jù)所得圖得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，數(shù)形結(jié)合得答案.

fx+1>1,

由約束條」i-工41作出可行域如圖，由圖可知，最憂解為A,聯(lián)立《；',/.<二aio/i,

v-x=lV=1

I、X<1LI"

「.z=2x-y在點A處取得最小值為二X0-l=-l.故選：A.

考點：簡單的線性規(guī)劃

5、執(zhí)行如圖2所示的程序框圖，如果輸入n=3,中輸入的S=()

r=l,S=O

亙

【答案】B

【解析】

試題分析一由題根據(jù)所給程序框圖不難得到所求S值即是求遞推數(shù)列的連續(xù)前3項的和；

由題一1匚+二1---1--匚3=二，故選?

1x33x55x77

考點：程序框圖

x2y2

6、若雙曲線丁丁1的一條漸近線經(jīng)過點（3,-4）,則此雙曲線的離心率為

ab

J7545

A、"B、-C、一D、一

3433

【答案】D

【解析】

試題分析：由題利用雙曲線的漸近線方程經(jīng)過的點，得到a、b關(guān)系式，然后求出雙曲線的離心率即可.

22222c5

xv

因為雙曲線f--7=1的一條漸近線經(jīng)過點（3,-4）,4a：,9=6"，金，—=—

ab~a3

故選D.

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

7、若實數(shù)a,b滿足)1+f2=J一甚，則ab的最小值為()

ab

A、/B、2C、20'【)、4

【答案】C

【解析】

試題分析：由題根據(jù)石可得a?,b>：j,然后利用基礎(chǔ)不等式工：三空口,三求解ab的最

ababNab

小值即可；

AO,5〉0,:疝=工+；22產(chǎn)三=:后二。522石，(當且僅當b=2a時取等

號)，所以ab的最小值為:0,故選C.

考點：基本不等式

8、設函數(shù)f(x)=ln(1+x)-In(1-x),則f(x)是()

A、奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B、奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)C、

偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D、偶函數(shù),且在(0,1)上是減函數(shù)

【答案】A

【解析】

試題分析：求出函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)果即可.

函數(shù)f(x)=ln(1+x)-In(1-x),函數(shù)的定義域為(-1,1),函數(shù)f(-x)=ln(1-x)-In(1+x)=-[ln

(1+x)-In(1-x)]=-f(x),所以函數(shù)是奇函數(shù).

.r(x)=」一+—1=」一己知在(0,1〉上尸(x)>0,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，故選A.

1+x1—X1—

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

9、已知點A,B,C在圓/+=1上運動，且AB_LBC,若點P的坐標為(2,0),則|ft4+~PB+~ptf的最

大值為

A、6B、7C、8D、9

【答案】B

【解析】

試題分析：由題根據(jù)所給條件不難得到該圓f+y2=l是一人。位直往的圓，然后根據(jù)所給條件結(jié)合向量的

幾何關(guān)系不難得至“而+可+國=|2而++叫，易知當B為（1,0）時取得最大值.

由題意，AC為直徑，所以忸斗+質(zhì)+西=|2而+的=k+招，已知B為（-1,0）時，卜+而|取得

最大值7,故選B.

考點：直線與圓的位置關(guān)系、平面向量的運算性質(zhì)

10、某工作的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工作通過切削，加工成一個體積盡可能大的正方體新工件，并使

新工件的一個面落在原工作的一.個面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=新工件的體積/原工件的

體積）

A、配B、C、24（0D、851）2

927?71冗

俯視圖

【答案】A

【解析】

試題分析：由題可得，問題等價于圓錐的內(nèi)接長方體的體積，如圖所示，則有三==二5=2-2上

12

、、飛"十Y一?—

所以長方體體積為丫〃=|天門2=……J--=三，當且僅當x=2-2x:

32

216

即工=二時，等號成立，故利用率為L——=—,故選A

31_1：、9,丁

考點：三視圖、基本不等式求最值、圓錐的內(nèi)接長方體

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.

11、已知集合U={1,2,3,4},Am{1,3}1={1,3,4},則叼（詼8）=.

【答案】{1,2,3}.

【解析】

試題分析：由題根據(jù)所給集合首先求出集合3的補集，然后求與集合A的并集即可；

由題所以A—2?；；.

考點：集合的運算

12、在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.若曲線C的極坐標方程為

p=2si〃。，則曲線C的直角坐標方程為.

【答案】f+（y—i）2=i

【解析】

試題分析：將極坐標化為直角坐標，求解即可.

曲線C的極坐標方程為夕=2s〃夕.?."uZps",它的直角坐標方程為f+y2=2y,

X2+（y-l）2=1故答案為：d+（y—1）2=

1.考點：圓的極坐標方程

13.若直線3x-4y+5=0與圓/+丁2=產(chǎn)卜>0）相交于A,B兩點，且N4OB=120"（0為坐標原點），則

r=.

【答案】

【解析】

試題分析：直線3x-4y+5=0與圓x2+y2=/（r>o）交于卜、B兩點，ZA0B=120°,則^AOB為頂角為120°

的等腰三角形，頂點（圓心）到直線3x-4y+5=0的距離為.1r,代入點到直線距離公式，可構(gòu)造關(guān)于r的方

2

程，解方程可得答案.

如圖直線3x-4y+5=0與圓x2+y2=/（r>o）交于A>B兩點，。為坐標原點，且/A0B=120°,則圓心（0,

0）到直線3x-4y+5=0的距離為，5=二尸2.故答案為2.

22

14、若函數(shù)f（x）=|2v-2|-b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是.

【答案】0<b<2

【解析】

試題分析：.由函數(shù)f（x）=2;;-2-b有兩個零點，可得二二4有兩個零點，從而可得函數(shù)一二-二函數(shù)v=b

的圖冢有兩個交點，結(jié)合函數(shù)的圖象可求b的范圍.

由函數(shù)f（x）=丁-二七有兩個零點，可得:-二=1、有兩個零點，從而可得函數(shù)”1-二磁產(chǎn)b的圖冢有兩

個交點，結(jié)合函數(shù)的圖象可得，口<匕<二時符合條件，故答案為：：

考點：函數(shù)零點

15、已知。>0,在函數(shù)y=2sinO）x與y=2cos/x的圖像的交點中，距離最短的兩個交點的距離為2點，則。

【答案】（￡>=-

2

【解析】

試題分析：由題根據(jù)三角函數(shù)的周期性求得兩個函數(shù)的交點坐標，根據(jù)距離最短的兩個交點一定在同一個

周期，結(jié)合勾股定理不難得到0=三；

由題根據(jù)三角函數(shù)圖像與性質(zhì)可得交點坐標為

（工（岳了+三」），（10/+工，一。，即k.eZ-距離最短的兩個交點一定在同一個周期內(nèi)，

考點：三角函數(shù)圖像與性質(zhì)

三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

B（本小題滿分12分）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，抽獎方法是：

從裝有2個紅球4,4和1個白球8的甲箱與裝有2個紅球勾,火和2個白球仇，2的乙箱中，各隨機摸出1

個球，若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎。

（T）用球的標號列出所有可能的摸出結(jié)果；

（II）有人認為：兩個箱子中的紅球比白球多，所以中獎的概率大于不中獎的概率，你認為正確嗎？請說

明理由。

【答案】（1）｛4，?｝,｛4，/｝，｛4舌｝，｛4,匕2｝，｛4，。1｝,｛4，七｝,

｛甌仇｝,出力2卜｛氏4｝,｛8,七｝,｛民仇｝,｛B/2）⑴）說法不正確;

【解析】

試題分析：（I）利用列舉法列出所有可能的結(jié)果即可；（11）在（I）中摸出的2個球都是紅球的結(jié)果數(shù)，然

后利用古典概率公式計算即可得到其對應的概率，什么鎮(zhèn)江概率大于不中獎概率是錯誤的；

試題解析：（I）所有可能的摸出結(jié)果是：{A，q},{A，2},{4，乙}，{4也},{4，0}，{4。}，

{A2,bi},{A2,b2},{B,ax},{B,a2},{B,bx},{B,b2},

（II）不正確，理由如下：

由（I）知，所有可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸出的2個球都是紅球的結(jié)果為

{A,a},{A,a},{A,a},{A,a},共4種，所以中獎的概率包,二］，不中獎的概率為1二1J1［，故

11122122123333

這種說法不iE確。

考點：概率統(tǒng)計

口（本小題滿分12分）設A4BC的內(nèi)角4,8,。的對邊分別為“力,，,。=從2114。

（I）證明：sinB=cosA；

3

若sinC—sinAcosB=_,且B為銳角，求A,。

4

【答案】（I）略；（11）A=30,8=120,。=30.

【解析】

win/Aciti

試題分析：（1）由題根據(jù)正弦定理結(jié)合所給已知條件可得='，所以sin8=cosA；（II）根據(jù)

cosAsinB

33

兩角和公式化簡所給條件可得sinC—sinAcos3=cosAsin8=:，可得sin"=」結(jié)合所給角B的范

44

圍可得角B,進而可得角A,由三角形內(nèi)角和可得角C.

eit-?AzyqinA

試題解析：（I）由。=/?tanA及正弦定理，得:=_=',所以sin3=cosA。

cosAbsin8

（II）因為sinC-sinAcosB=sin［180-（A+B）］-sinAcosB

=sin(A+8)-sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=cosAsinB

3

/.cosAsinB=_

4。

有(I)知|sinB=cosA,因此sin28=_,又B為鈍角，所以sin8=式，

42

故8=120°,由854=5沿8=式知4=30,從而C=180。_(4+為=30,

2

綜上所述，A=30,B=120,C=30,

考點：正弦定理及其運用

B(本小題滿分12分)如圖4,直三棱柱ABC-4瓦G的底面是邊長為2的正三角形，瓦尸分別是

BC,CC,的中點。

(1)證明：平面AEF_L平面B/CG；

(II)若直線與平面所成的角為45°,求三棱錐F-AEC的體積。

__________________________C1

【答案】(I)略；(II理.

12

【解析】

試題分析：(I)首先證明AE工BB「AE1BC,得到AE1平面B.BCC,,利用面面垂直的判定與性質(zhì)

定理可得平面AEVJ.平面8BCG；(ID設AB的中點為D,證明直線NC4Q直線AQ與平面AAB片所

成的角，由題設知NC4Q=45。，求出棱錐的高與底面面積即可求解幾何體的體積.

試題解析：(I)如圖，因為三棱柱ABC-AB￡是直三棱柱，

所以又E是正三角形ABC的邊的中點，

所以因此平面8QCG，而AEu平面AM,

所以平面AEF1平面B.BCC,。

(II)設A3的中點為。，雌因為A4BC是正三角形，所以COJ.A8,又三棱柱ABC—AUG

是直三.棱柱，所以CDJ_A41,因此CDJ■平面尸是NCAQ直線AQ與平面AiABb］所成的角,

由題設知NC%D=45,

所以4。=。。=變A8=/，

3

在及AAAD中，”=小亞二AD?=g=必，所以FC=：A41=

故三棱錐尸―AEC的體積V=|sXFC=「X/X￡=E

考點：柱體、椎體、臺體的體積；面面垂直的判定與性質(zhì)

B（本小題滿分13分）設數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”,已知q=1,%=2,且％+1=35,

一5向+3,(〃eM),

(D證明：an+2=3a?；

(11)求S.。

[3(5x3匹-1),(〃=2%+1,%eM)

【答案】⑴略；(II)5“=在“

l^32-l),(n=2k,kwN")

12

【解析】

試題分析：(I)當〃eN*,〃22EI寸，山題可得a,.=3S?-5?+]+3,(neN*),an+l=3S?_,-5?+3,(〃GM),

兩式子相減可得4+2—。向=3a“-a”+—即a“+2=3凡,（〃22）,然后驗證當n=l時，命題成立即可；（II）

通過求解數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項與偶數(shù)項的和即可得到其對應前n項和的通項公式.

試題解析：(I)由條件，對任意〃wN*,有a”+2=3S?-Sll+i+3,(〃eM),

因而對任意〃eM,o>2,有a“+i=3S,T-S“+3,(〃wM),

兩式相減,得a.-a“+i=3a“一a“+i,BPan+2=3an,(〃>2),

=

又。1=1,?22，所以°3=3S］—S2+3=3。］—Q+生)+3=34,

故對一切an+2.,—3ano

(11)由(1)知，awO,所以上=3,于是數(shù)列｛a｝是首項a=l,公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列｛a｝

n2n—\12n

是首項a=2,公比為3的等比數(shù)列，所以a=3"工。=2x3"7,

102w-l2n

于是S2n=。］+。2+??,+&2n=(a+/+???+生”-1)+(。2+。4+','+)

(l+3+..3"~i)+2(l+3+...3"T)=3(l+3+...3"T)='丁)

3(3"-1),I3n_2

從而S2,I=S〃—生〃=「一一2x3=-(5x3-1),

f3g

6(5x32—l),(n=2k+l,kwM)

綜上所述，q=§“。

1-(32二1),(〃=2左,左GM)

12

考點：數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列求和

、yJC

2)(本小題滿分13分)已知拋物線C：I_r=4>的焦點F也是橢圓C,:一+丁=1

ab-

(a>8〉0)的一個焦點，G與G的公共弦長為2詬，過點F的直線/與G相交于A,8兩點，與。2相交

于C,。兩點，且NC與R同向。

(I)求G的方程；

(II)若|4。|=取。|,求直線/的斜率。

【答案】(I)二+二=1；(II)士之

984

【解析】

試題分析；(I)由題通過F的坐標為(0,1),因為F也是橢圓C的一個焦點，可得/—〃=[,根據(jù)C與。

2I2

96

的公共弦長為2#。與C都關(guān)于y軸對稱可得二二:三1,然后得到對應曲線方程即可:(11)設

124?V

A(M,y?),B(X2,y2),C(x3,y3),￡)(x4,y4)，根據(jù)AC=BD,可得

(x+X)2-4XX=(X+X)2_4XX,設直線/的斜率為左，則/的方程為y=fcr+l,聯(lián)立直線與拋物線

343412I2”

方程、直線與橢圓方程、利用韋達定理進行計算即可得到結(jié)果.

試題解析：(I)由C:%2=4y知其焦點F的坐標為(0,1),因為F也是橢圓C的一個焦點，所以足―〃=1

12

①；又q與q的公共弦長為2詬，q與q都關(guān)于丁軸對稱，且q的方程為0：寸=4＞，由此易知q

c(±396

與2的公共點的坐標為一庶二)，，丁+不=1②，

24a2b'

2上

聯(lián)立①②得＞=9力2=8,故。2的方程為5v"+8=1。

(II)如圖,設A(x”%)，B(X2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),

因~AC與FD同向，平Af十叫),

所以Nt三瓦)，從而當—再=*4一々，即Xj-X4=Xt-x2,于是

(x+x)2-4xx=(x+x)2-4x%③

3434I212

設直線/的斜率為左,則/的方程為y=依+1,

\y-kx+\.

由,得*2-4依一4=0,由是這個方程的兩根，+x=4k,xx=-4④

]24121212

[y=Ax+1

由W2、,2得(9+8爐)f+16依—64=0而電，％是這個方程的兩根，

v+1-1

189

IQ64

x+x=-10k,xx=_,⑤

349+8/349+8公

2162r4X642162x9(42+1)

將④、⑤代入③，得16(4+1)=------y產(chǎn)-----門即16(左+1)=........-

(9+8公)29+8公(9+81)2

所以(9+8A：2)2=16X9,解得斤=±拿，即直線/的斜率為土式

44

考點：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；橢圓的性質(zhì)

2(本小題滿分13分)函數(shù)f(x)=aecosx(xe[0,+oo),記x為/(x)的從小到大的第〃(〃eN")個極

值點。

(I)證明：數(shù)列｛,"%)｝是等比數(shù)列；

(II)若對一切neN",/W/(X")|恒成立，求a的取值范圍。

【答案】(I)略；(TT)龍^/,+oo)

4

【解析】

試題分析：(I)由題_f(x)=JZae'cos(x+*)，令/'(?=()，求出函數(shù)的極值點，根據(jù)等比數(shù)列

“乃一越

定義即可得到結(jié)果；(口)由題問題等價于也W一~"恒成立問題，設g(f)=￡?>0),然后運用導數(shù)

an7r-—t

4

7157V714五4-

01

知識得到[80“)焉=訶801)送(工)]=111呵8(/送(7]=8(/=￡62，所以求得

^2,得到a的取值范圍;

4

rr工/—\

斤：(I)ff(x)=aexcosx-aexsinx=%paecos(x+4)