高考達(dá)標(biāo)檢測（二十八）基本不等式一、選擇題1．“>0，b>0”是“<a＋b2”的()aab2A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件分析：選D因?yàn)楫?dāng)a>0，b>0時(shí)，a＋b2≥ab，2所以當(dāng)a＝b時(shí)，“ab<a＋b2”不建立，2當(dāng)“<a＋b2”時(shí)，，b能夠異號，所以“a>0，>0”不必定建立，ab2ab故“a>0，b>0”是“ab<a＋b2”的既不充分也不用要條件．2322．已知向量a＝(3,2)，b＝(x,1－y)且a∥b，若x，y均為正數(shù)，則x＋y的最小值是( )A．24B．885C.3D.3分析：選B∵a＝(3,2)，b＝(x,1－y)且a∥b，3(1－y)＝2x，即2x＋3y＝3.23x＋y＝1，32＝32234x≥4＋234x＝8，∴＋＋x＋y＝2＋2＋y＋y·xyxy3x3yx3y1當(dāng)且僅當(dāng)x＝4，y＝2時(shí)取等號，32故x＋y的最小值是8.3．若直線ax－＋2＝0(>0，>0)被圓x2＋y2＋2－4y＋1＝0截得的弦長為4，則byabx11a＋b的最小值為()3A.2＋2B.2132C.D.＋242分析：選A因?yàn)橹本€ax－by＋2＝0被圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦長為4，圓的圓心為(－1,2)，半徑為2，所以直線ax－＋2＝0過圓心(－1,2)，則有＋2b＝2，所以bya11111112ba3211a＋b＝2(a＋2b)a＋b＝23＋a＋b≥2＋2，當(dāng)且僅當(dāng)a＋b的最a＝b時(shí)，等號建立．故3小值為＋2.24．(2018·開封摸底考試)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是( )A．3B．4911C.D.22分析：選B由題意得x＋2y＝8－x·2y≥8－x＋2y2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)，等號建立，2整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y>0，所以x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值為4.5．設(shè)x>0，y>0且x＋4＝40，則lgx＋lgy的最大值是( )yA．40B．10C．4D．2分析：選D∵x>0，y>0且x＋4y＝40，∴40≥2x·4y，即xy≤100，當(dāng)且僅當(dāng)x＝4y＝20時(shí)取等號．則lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg100＝2，所以其最大值是2.2a16b6．不等式x＋2x<b＋a對隨意a，b∈(0，＋∞)恒建立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A．(－2,0)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－4,2)D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)2a16b2分析：選C不等式x＋2x<b＋a對隨意a，b∈(0，＋∞)恒建立，等價(jià)于x＋a16ba16a16b＋a2x<min，因?yàn)閎＋a≥2b·a＝8(當(dāng)且僅當(dāng)a＝4b時(shí)等號建立)，x2＋2x<8，解得－4<x<2.7．若正數(shù)a，b知足，1＋2＝1，則2＋1的最小值為()aba－1－2bA．232B.2532C.2D．1＋4分析：選A因?yàn)檎龜?shù)，b122＋＝，且>1，>2，知足：＋＝1，所以aabababab21212則a－1＋b－2≥2a－1·b－2＝2ab－2a－b＋2＝2，2當(dāng)且僅當(dāng)a2＝1，即a＝b＝3時(shí)，等號建立，故a2＋b1的最小值為2.－1－2－1－2b22xy18．(2018·洛陽統(tǒng)考)若正實(shí)數(shù)x，y，z知足x＋4y＝z＋3xy，則當(dāng)z取最大值時(shí)，x＋112y－z的最大值為()A．23B.21C．1D.2分析：選D∵z＝x2＋4y2－3xy，x，y，z∈(0，＋∞)，xyxy1≤1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)等號建立)，∴z＝x2＋4y2－3xy＝x4yy＋x－3111112，令1＝t>0，此時(shí)＋2y－＝－yxzy2y則1＋1－1＝t－1t2＝－1(t－1)2＋1≤1(當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)等號建立)．x2yz2222二、填空題9．已知a>0，b>0，圓C：(x－2)2＋(y＋1)2＝5對于直線ax－by－1＝0對稱，則3b＋2a的最小值為________．分析：由a>0，b>0，圓C：(x－2)2＋(y＋1)2＝5對于直線ax－by－1＝0對稱，可得2a＋b－1＝0，32326a2b6a2b3＋7，所以＋＝＋(2＋)＝＋＋7≥2·＋7＝4babaabbaba6a2當(dāng)且僅當(dāng)b＝a且2a＋b－1＝0，即a＝2－3，b＝23－3時(shí)取等號．32故b＋a的最小值為7＋43.答案：7＋4310．(2018·湖南長郡中學(xué)月考)設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2017＝4034，則1＋9的最小值為________．a(chǎn)9a2009aa分析：由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，得1＋2017S2017＝＝4034，23則a1＋a2017＝4.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a9＋a2009＝4，所以1＋9149×41a9＋a2009＋a9＋a2009aa＝4＋＝a9a2009a9a2009920091a9a91a20099a9＝42009＋10≥42×＋10＝4，a9＋a20099a2009a當(dāng)且僅當(dāng)a2009＝39時(shí)等號建立．故1＋9的最小值為4.aa9a2009答案：41211.如圖，動(dòng)點(diǎn)A在函數(shù)y＝x(x<0)的圖象上，動(dòng)點(diǎn)B在函數(shù)y＝x(x>0)的圖象上，過點(diǎn)A，B分別向x軸，y軸作垂線，垂足分別為A1，2，1，2，若|11|＝4，則|22|的最小值為________．ABBABAB12分析：設(shè)Aa，a，Bb，b，a<0，b>0，因?yàn)閨AB|＝4，所以b－a＝4，11211[b＋－a211－2ab12)，故|A2B2|＝－＝]·＋－a＝3＋b＋－a≥(3＋2ba4b44222，b＝8－4223＋2243＋22答案：412．(2017·江蘇高考)某企業(yè)一年購置某種貨物600噸，每次購置x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總儲(chǔ)存花費(fèi)為4x萬元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總儲(chǔ)存花費(fèi)之和最小，則x的值是________．分析：由題意，一年購置600次，則總運(yùn)費(fèi)與總儲(chǔ)存花費(fèi)之和為600x＝4900xx×6＋4x＋x900≥8x·x＝240，當(dāng)且僅當(dāng)x＝30時(shí)取等號，故總運(yùn)費(fèi)與總儲(chǔ)存花費(fèi)之和最小時(shí)x的值是30.答案：30三、解答題13．已知x>0，y>0，且x＋8y－xy＝0.當(dāng)x，y分別為什么值時(shí)，xy獲得最小值？當(dāng)x，y分別為什么值時(shí)，x＋y獲得最小值？解：(1)∵x>0，y>0，且x＋8y－xy＝0，∴xy＝x＋8y≥42xy，當(dāng)且僅當(dāng)x＝8y，即x＝16，y＝2時(shí)取等號，4xy≥32.xy的最小值為32.1∵x＋8y－xy＝0，∴x＋y＝1，81x8x8y∴x＋y＝(x＋y)x＋y＝9＋y＋x≥9＋42，當(dāng)且僅當(dāng)y＝x，即y＝1＋22，x＝8＋22時(shí)取等號．所以x＋y的最小值為9＋42.14．某工地決定建筑一批房型為長方體、房高為2.5m的簡略房，房的前后墻用2.5m高的彩色鋼板，雙側(cè)墻用2.5m高的復(fù)合鋼板．兩種鋼板的價(jià)錢都用長度來計(jì)算(即：鋼板的高均為2.5m．用鋼板的長度乘以單價(jià)就是這塊鋼板的價(jià)錢)．已知彩色鋼板每米單價(jià)為450元．復(fù)合鋼板每米單價(jià)為200元，房的地面不需另買資料，房中用其余資料建筑，每平方米資料費(fèi)200元，每套房的資料費(fèi)控制在32000元之內(nèi)．(1)設(shè)房前面墻的長為x(m)，雙側(cè)墻的長為y(m)，建筑一套房所需資料費(fèi)為P(元)，試用x，y表示P；試求一套簡略房面積S的最大值是多少？當(dāng)S最大時(shí)，前面墻的長度應(yīng)設(shè)計(jì)為多少米？解：(1)依題得，P＝2x×450＋2y×200＋xy×200＝900x＋400y＋200xy，即P＝900x＋400y＋200xy.(2)∵S＝xy，∴P＝900x＋400y＋200xy≥2900×400S＋200S＝200S＋1200S，又因?yàn)镻≤32000，所以200S＋1200S≤32000，解得0<S≤10，900x＝400y，20∴0<S≤100，當(dāng)且僅當(dāng)xy＝100，即x＝3時(shí)，S獲得最大值．答：每套簡略房面積S的最大值是100m2，當(dāng)S最大時(shí)前面墻的長度是20m.321的最大值為( )1．若正實(shí)數(shù)x，y知足(2xy－1)＝(5y＋2)(y－2)，則x＋2yA．－1＋32332B．－1＋23332C．1＋2D．－1－2分析：選A由(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)，可得(2xy－1)2＝9y2－(2y＋2)2，5即(2xy－1)2＋(2y＋2)2＝9y2，1222所以2x－y＋2＋y＝9.12222x－1＋2＋22yy因?yàn)?x－y＋2＋y≥2122x＋＋212y＝2，當(dāng)且僅當(dāng)2x－y＝2＋y時(shí)等號建立．12所以2＋＋2≤18，xy1所以2x＋y≤32－2，132－2即x＋2y≤2.132所以x＋2y的最大值為2－1.14y22．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y知足x＋y＝1，且不等式x＋4<m－3m有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－1,4)B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4,1)D．(－∞，0)∪(3，＋∞)y2y2分析：選B∵不等式x＋4<m－3m有解，∴x＋4min＜m－3m，∵＞，＞14y144x＋y＋≥24x·y＋＝，xx0y0xy144xyy4x2y4x244xy當(dāng)且僅當(dāng)y＝4x，即x＝2，y＝8時(shí)取等號，∴x＋ymin＝，∴2－＞，即＋－4)＞，44m3m4(m1)(m0解得＜－1或＞4，故實(shí)數(shù)的取值范圍是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．mmm11n3．設(shè)x>y>z，且x－y＋y－z≥x－z(n∈N)恒建立，則n的最大值為________．分析：因?yàn)閤>y>z，所以x－y>0，y－z