第7章參數(shù)估計(jì)總體所服從的分布類型已知/未知估計(jì)總體中未知的參數(shù)參數(shù)估計(jì)抽樣當(dāng)前1頁，總共62頁。

參數(shù)估計(jì)問題是利用從總體抽樣得到的信息來估計(jì)總體的某些參數(shù).參數(shù)估計(jì)估計(jì)廢品率估計(jì)新生兒的體重估計(jì)湖中魚數(shù)當(dāng)前2頁，總共62頁。點(diǎn)估計(jì)§7.1當(dāng)前3頁，總共62頁。點(diǎn)估計(jì)X1,X2,…,Xn現(xiàn)從該總體抽樣，得到樣本設(shè)有一個(gè)統(tǒng)計(jì)總體，總體的分布函數(shù)向量).為F(x,)，其中為未知參數(shù)(可以是從樣本出發(fā)構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量作為參數(shù)的估計(jì)量，即點(diǎn)估計(jì)。將 代入估計(jì)量，得到的估計(jì)值當(dāng)前4頁，總共62頁。點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)極大似然估計(jì)關(guān)鍵問題：如何構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量?當(dāng)前5頁，總共62頁。矩估計(jì)樣本k階原點(diǎn)矩總體k階原點(diǎn)矩矩估計(jì)基本思想:用樣本矩估計(jì)總體矩.大數(shù)定律：K.皮爾遜當(dāng)前6頁，總共62頁。設(shè)總體的分布函數(shù)中含有k個(gè)未知參數(shù)(1)它的前k階原點(diǎn)矩都是這k個(gè)參數(shù)的函數(shù),記為：(2)用樣本i階原點(diǎn)矩替換總體i階原點(diǎn)矩當(dāng)前7頁，總共62頁。(3)解方程組，得

θi=hi(X1,X2,…,Xn)(i=1,2,…,k);則以hi(X1,X2,…,Xn)作為θi的估計(jì)量，并稱hi(X1,X2,…,Xn)為θi的矩法估計(jì)量，而稱hi(x1,x2,…,xn)為θi的矩法估計(jì)值。當(dāng)前8頁，總共62頁。總體期望、方差的矩估計(jì)量分別是樣本均值和樣本二階中心矩。例1.設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望和方差分別是μ,σ2

，求μ,σ2的矩估計(jì)量。當(dāng)前9頁，總共62頁。例2:已知某產(chǎn)品的不合格率為p,有簡單隨機(jī)樣本X1,X2,…,

Xn求p的矩估計(jì)量。解：E(X)=p.當(dāng)前10頁，總共62頁。例3：設(shè)電話總機(jī)在某段時(shí)間內(nèi)接到呼喚的次數(shù)服從參數(shù)λ未知的泊松分布，現(xiàn)在收集了如下42個(gè)數(shù)據(jù)：接到呼喚次數(shù)012345出現(xiàn)的頻數(shù)71012832求未知參數(shù)λ的矩估計(jì)。當(dāng)前11頁，總共62頁。例4.X~U(a,b),由簡單隨機(jī)樣本X1,X2,…,

Xn求a,b的矩估計(jì)量。解：E(X)=(a+b)/2,D(X)=(b-a)2/12.當(dāng)前12頁，總共62頁。

矩法的優(yōu)點(diǎn)是簡單易行,并不需要事先知道總體是什么分布.缺點(diǎn)是，當(dāng)總體類型已知時(shí)，沒有充分利用分布提供的信息.矩法特點(diǎn)分析：當(dāng)前13頁，總共62頁。極大似然估計(jì)

例：設(shè)一箱中裝有若干個(gè)白色和黑色的球，已知兩種球的數(shù)目之比為3:1或1:3，現(xiàn)有放回地任取3個(gè)球，有兩個(gè)白球，問：白球所占的比例p是多少？當(dāng)前14頁，總共62頁。

如果只知道0<p<1,并且實(shí)測記錄是X=k(0≤k≤n),又應(yīng)如何估計(jì)p呢?若總體分布已知，對于樣本值，選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，使樣本值出現(xiàn)的概率最大，這種估計(jì)方法就是極大似然估計(jì)法。當(dāng)前15頁，總共62頁。極大似然估計(jì)法設(shè)總體X的分布律或概率密度為f(x;?),θ=(θ1,θ2,…,θk)是未知參數(shù)，X1,X2,…,Xn是總體X的樣本，則稱X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布律或概率密度函數(shù)為樣本的似然函數(shù)，簡記為L(θ)。當(dāng)前16頁，總共62頁。對于固定的樣本觀測值x1,x2,…,xn。如果有當(dāng)前17頁，總共62頁。例1.設(shè)總體X~N(μ,σ2)，其中μ,σ2是

未知參數(shù)。求μ,σ2的極大似然估計(jì)。當(dāng)前18頁，總共62頁。當(dāng)前19頁，總共62頁。求極大似然估計(jì)量的步驟：(1)根據(jù)f(x;θ)，寫出似然函數(shù)(2)對似然函數(shù)取對數(shù)(3)寫出方程若方程有解，求出L(θ)的最大值點(diǎn)

當(dāng)前20頁，總共62頁。例3.已知某產(chǎn)品的不合格率為p,有簡單隨機(jī)樣本X1,X2,…,

Xn，求p的極大似然估計(jì)量。若抽取100件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)10件次品，試估計(jì)p.例2.設(shè)總體X服從參數(shù)λ>0的泊松分布，求參數(shù)λ的極大似然估計(jì)量。當(dāng)前21頁，總共62頁。例4.設(shè)X1,X2,…,Xn為取自總體X~U(a,b)的樣本,求a,b的極大似然估計(jì)量.

當(dāng)前22頁，總共62頁?；仡櫍?/p>

設(shè)X1,X2,…Xn是取自總體X的一個(gè)樣本求的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量.其中

>0,解：(1)矩估計(jì)當(dāng)前23頁，總共62頁。(2)極大似然估計(jì)當(dāng)前24頁，總共62頁?！?.2點(diǎn)估計(jì)量的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

當(dāng)前25頁，總共62頁。評價(jià)一個(gè)估計(jì)量的好壞，不能僅僅依據(jù)一次試驗(yàn)的結(jié)果，而必須由多次試驗(yàn)結(jié)果來衡量.即確定估計(jì)量好壞必須在大量觀察的基礎(chǔ)上從統(tǒng)計(jì)的意義來評價(jià)。常用的幾條標(biāo)準(zhǔn)是：1．無偏性2．有效性3．一致性當(dāng)前26頁，總共62頁。一、無偏性則稱為的無偏估計(jì).設(shè)是未知參數(shù)的估計(jì)量，若當(dāng)前27頁，總共62頁。則稱較有效.都是參數(shù)的無偏估計(jì)量，若有設(shè)和二、有效性當(dāng)前28頁，總共62頁。例1：設(shè)X1,X2,X3是來自某總體X的樣本，且E(X)=μ,討論μ的以下估計(jì)量的無偏性和一致性。當(dāng)前29頁，總共62頁。例2：設(shè)X1,X2,…,Xn是來自某總體X的樣本，且,判斷的矩估計(jì)量是否是無偏估計(jì)。當(dāng)前30頁，總共62頁。三、一致性(相合性)是參數(shù)的估計(jì)量，若有設(shè)則稱 是參數(shù)的一致估計(jì)量.當(dāng)前31頁，總共62頁。切比雪夫大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律當(dāng)前32頁，總共62頁?！?.3區(qū)間估計(jì)當(dāng)前33頁，總共62頁。置信區(qū)間定義：則稱區(qū)間是θ

的置信度為

的置信區(qū)間.分別稱為置信下限和置信上限.滿足設(shè)θ是一個(gè)待估參數(shù)，給定若由樣本X1,X2,…Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量當(dāng)前34頁，總共62頁。正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)§7.4當(dāng)前35頁，總共62頁。期望的區(qū)間估計(jì)

σ2已知時(shí)μ的置信區(qū)間

σ2未知時(shí)μ的置信區(qū)間2.求方差的區(qū)間估計(jì)

μ已知時(shí)σ2的置信區(qū)間

μ未知時(shí)σ2的置信區(qū)間單正態(tài)總體四種類型的區(qū)間估計(jì)當(dāng)前36頁，總共62頁。已知方差，求期望的區(qū)間估計(jì)例1：隨機(jī)地從一批服從正態(tài)分布N(μ,0.022)的零件16個(gè)，分別測得其長度為：2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11估計(jì)該批零件的平均長度μ，并求μ的置信區(qū)間(α=0.05)當(dāng)前37頁，總共62頁。求參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間.設(shè)X1,…Xn是取自的樣本，查正態(tài)分布表得使當(dāng)前38頁，總共62頁。例1：隨機(jī)地從一批服從正態(tài)分布N(μ,0.022)的零件16個(gè)，分別測得其長度為：2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11估計(jì)該批零件的平均長度μ，并求μ的置信區(qū)間(α=0.05)解：μ的置信區(qū)間為(2.115,2.135).當(dāng)前39頁，總共62頁。求置信區(qū)間的步驟(1)構(gòu)造僅與待估參數(shù)θ有關(guān)，但分布已知的函數(shù)U；(2)給定置信度1-α，得常數(shù)a,b，使

P{a<U<b}=1-α；(3)將a<U<b變形，使得：(4)結(jié)論當(dāng)前40頁，總共62頁。方差未知，求期望的區(qū)間估計(jì)例2：隨機(jī)地從一批服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的零件16個(gè)，分別測得其長度為：2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11估計(jì)該批零件的平均長度μ，并求μ的置信區(qū)間(α=0.05)當(dāng)前41頁，總共62頁。使查t分布表得求參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間.設(shè)X1,…Xn是取自的樣本，當(dāng)前42頁，總共62頁。例1：用一個(gè)儀表測量某物理量9次，得到樣本均值為56.32，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.22.測量標(biāo)準(zhǔn)差σ反映了測量儀表的精度，試求σ的置信水平為0.95的置信區(qū)間。μ未知,求方差的區(qū)間估計(jì)例2：假設(shè)某地區(qū)18~25歲女青年身高現(xiàn)抽取30名，樣本均值為158cm,樣本方差為(5cm)2，求σ2的置信水平為95%的區(qū)間估計(jì)。當(dāng)前43頁，總共62頁。求參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間.設(shè)X1,…Xn是取自的樣本，確定分位數(shù)使當(dāng)前44頁，總共62頁。例2：假設(shè)某地區(qū)18~25歲女青年身高現(xiàn)抽取30名，樣本均值為158cm,樣本方差為(5cm)2，求σ2的置信水平為95%的區(qū)間估計(jì)。當(dāng)前45頁，總共62頁。例3：隨機(jī)地從一批服從正態(tài)分布N(2.12,σ2)的零件16個(gè)，分別測得其長度為：2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11試求σ2的置信水平為0.95的置信區(qū)間。μ已知,求方差的區(qū)間估計(jì)

當(dāng)前46頁，總共62頁。求參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間.設(shè)X1,…Xn是取自的樣本，μ已知確定分位數(shù)使當(dāng)前47頁，總共62頁。例4.對飛機(jī)的飛行速度進(jìn)行15次獨(dú)立試驗(yàn)，測得飛機(jī)的最大飛行速度(單位：m/s)如下：422.2418.7425.6420.3425.8423.1431.5428.2438.3434.0411.3417.2413.5441.3423.0假設(shè)飛機(jī)最大飛行速度服從求最大飛行速度的方差的置信度為0.90的置信區(qū)間。解：σ2的置信區(qū)間為(41.407010,142.549270).當(dāng)前48頁，總共62頁。雙總體設(shè)總體X~N(μ1,σ12)，總體Y~N(μ2,σ22)，X1,X2,…,Xm來自X，Y1,Y2,…,Yn來自Y，且兩樣本相互獨(dú)立。均值差μ1-μ2的區(qū)間估計(jì)方差比σ12/σ22的區(qū)間估計(jì)當(dāng)前49頁，總共62頁。例1.設(shè)甲乙兩地區(qū)女青年身高分別服從 分布。甲地區(qū)抽取100名，樣本均值為163cm；乙地區(qū)抽取100名，樣本均值為160cm,求的置信水平為90%的置信區(qū)間。當(dāng)前50頁，總共62頁。σ1,σ2已知時(shí),μ1-μ2的置信區(qū)間即得μ1-μ2的置信區(qū)間當(dāng)前51頁，總共62頁。例2：今抽樣甲乙兩地區(qū)18~25歲女青年身高的數(shù)據(jù)如下：甲地區(qū)抽取50名,樣本均值為163cm,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為4cm;乙地區(qū)抽取50名,樣本均值為160cm,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為3cm。假設(shè)身高均服從正態(tài)分布并具有公共方差，求的置信水平為90%的置信區(qū)間。當(dāng)前52頁，總共62頁。σ1,σ2未知,但σ1=σ2=σ時(shí),μ1-μ2的置信區(qū)間當(dāng)前53頁，總共62頁。μ1-μ2的置信區(qū)間：當(dāng)前54頁，總共62頁。σ1,σ2未知,且σ1≠σ2，但容量m,n很大時(shí),

μ1-μ2的置信區(qū)間當(dāng)前55頁，總共62頁。例7：兩位化驗(yàn)員A,B獨(dú)立對某種化合物的含氯量用相同方法各作了10次測量，測量的樣本方差分別為S12=0.5419,S22=0.6065，設(shè)A,B所測量值總體為X,Y，并且均服從正態(tài)分布，方差分別為例8：假設(shè)人體身高服從正態(tài)分布，今抽樣甲乙兩地區(qū)18~25歲女青年身高的